Файл: Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2024
Просмотров: 108
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ремещений, построенные при поочередном перемещении в основной системе дополнительных связей на единицу
– эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений заданной внешней нагрузки. Проверки правильности построения окончательной эпюры моментов по смыслу те же, что ив методе сила от именно
(
)
∑
=
0
узл
M
– проверяется равновесие узлов статическая кинематическая
∫
l е
сил э
олжна составлять не более 3%. Построение эпюры поперечных (
Q
) и продольных сил выполняется теми же приемами, что ив методе сил. Рассматривая отдельные стержни системы под действием заданных внешних нагрузок и опорных моментов, определяют поперечные силы в стержнях, а продольные силы находят из условий равновесия узлов, учитывая поперечные силы и внешние сосредоточенные нагрузки, если эти нагрузки прило лах. аки отыскивается перемещение по направлению любой отбрасываемой лишн й связи в основной системе метода
, и то перемещение (теоретически) должно быть равно нулю. Для рам средней сложности относительная погрешность вычислений д жены вуз Проверки правильности решения задачи остаются такими же, кв методе сил. Для систем средней сложности можно ограничиться проверкой равновесия системы в целом, воспользовавшись уравнениями равновесия
(3.7):
∑
= 0
X
;
∑
= 0
Y
и
0
=
K
M
. В уравнения проекций быть включены проекции внешних нагрузок равновесие отсечен асти рамы
Подробно эти проверки рассмотрены в п. 4
всех заданных и реакций опор. Уравнением ной ч или рамы в целом.
.6.
0
=
∑
K
M
проверяется
59
– эпюра изгибающих моментов в основной системе метода перемещений заданной внешней нагрузки. Проверки правильности построения окончательной эпюры моментов по смыслу те же, что ив методе сила от именно
(
)
∑
=
0
узл
M
– проверяется равновесие узлов статическая кинематическая
∫
l е
сил э
олжна составлять не более 3%. Построение эпюры поперечных (
Q
) и продольных сил выполняется теми же приемами, что ив методе сил. Рассматривая отдельные стержни системы под действием заданных внешних нагрузок и опорных моментов, определяют поперечные силы в стержнях, а продольные силы находят из условий равновесия узлов, учитывая поперечные силы и внешние сосредоточенные нагрузки, если эти нагрузки прило лах. аки отыскивается перемещение по направлению любой отбрасываемой лишн й связи в основной системе метода
, и то перемещение (теоретически) должно быть равно нулю. Для рам средней сложности относительная погрешность вычислений д жены вуз Проверки правильности решения задачи остаются такими же, кв методе сил. Для систем средней сложности можно ограничиться проверкой равновесия системы в целом, воспользовавшись уравнениями равновесия
(3.7):
∑
= 0
X
;
∑
= 0
Y
и
0
=
K
M
. В уравнения проекций быть включены проекции внешних нагрузок равновесие отсечен асти рамы
Подробно эти проверки рассмотрены в п. 4
всех заданных и реакций опор. Уравнением ной ч или рамы в целом.
.6.
0
=
∑
K
M
проверяется
59
4.6. Пример расчета рамы методом перемещений Для рамы, приведенной на рис. 4.10, требуется построить эпюры изги- бающ ментов
( )
M
, поперечных (
Q
) и продольных
( )
N
сил. их мо
Степень кинематической не-
Рис. 4.10 определимости системы находим по формуле
лин
у
n
n
n
+
=
(см. п. 4.2). В имеется один заданной раме жесткий узел и поэтому
=1. у Рис. 4.11 Число степеней свободы шарнирной схемы заданной системы будет (рис.
=
−
−
=
0 2
3
С
Ш
Д
W
1 17 18 7
5 2
6 Так как количество линейных смещений узлов рамы совпадает с числом степеней свободы ее шарнирной схемы, то также равно единице и для заданной рамы степень ее кинематической неопределимости будет
лин
п
2 Основную систему формируем введением дополнительных связей, препятствующих угловому и линейному перемещениям узлов рамы (рис.
4.12). В жесткий узел
B вводим защемляющую связь, препятствующую углу поворота узла, а в узел – связь, препятствующую горизонтальному смещению узлов см. п.
Других перемещений узлов не будет, ввиду принятых допущений (Неизвестными при расчете этой рамы будут угол поворота жесткого узла
B и линейное горизонтальное перемещение узлов
2
Z
60
,
B
,
E
G
. Направления смещений введенных связей при построении единичных эпюр указаны в основной системе стрелками. Там же цифрами 1, 2,
…, 6 указаны порядковые номера стержней. Рис. 4.12 погонные жесткости
Вычислим
( )
i
стержней
,
n
n
n
EI
i
l
=
где – жесткость- го стержня,
– его как погонные жесткости всех стерж
n
EI
n
n
l длина. Так ней выражены через EI , то численное значение EI может быть принято любым (неравным нулю числом, и соотношение жесткостей стержней в системе будет соблюдаться. Примем EI =8:
;
2 4
1 1
1 1
=
=
=
=
l l
i
8
EI
EI
;
4 2
2 2
2 2
=
=
=
=
l l
i
8
EI
EI
;
8 8
8 8
8 3
3 3
=
3
⋅
=
=
=
l l
EI
EI
i
;
4 4
8 2
2 4
4 4
=
⋅
=
=
=
l l
EI
EI
i
4
;
8 6
8 6
5
⋅
EI
5 5
=
=
=
l
i
2 4
8 6
EI
EI
4 В нашем случае канонически ия имеют вид Для вычисления коэффициентов при неизвестных и свободных членов нических уравнений по от поочередного смещения добавленных связей на единицу идей- ствия
Повернем дополнительно введенную (защемляющую) связь на угол е уравнен 2
2 22 1
21 1
2 12 1
11
p
p
R
Z
r
Z
r
R
Z
r
Z
r
кано остроим в основной системе эпюры изгибающих момент в заданной нагрузки.
61
1 1
=
Z
. Н риса показаны изогнутые оси стержней от этого воздействия.
Изогн ыми. Изгибающие моменты, возникающие при иены на рис. б (см. табл. 4.1. готовых решений. а
улись только те стержни, которые примыкают к узлу
1
, а остальные стержни остались прямолинейн згибе стержней, и эпюры изгибающих моментов на стержнях привед
Рис. 4.13 Изогнутые оси стержней
- нии связи
2
в горизонтальном язи 2 показаны на риса. Изогнутся стержни в основной системе при линейном перемеще направлении св
Стержень DE повернется, не изгибаясь и
FG
, стержни BE и
EG
– сместятся. Эпюры изгибающих момен от этого воздействия приведены на рис. б. вправо, тоже не изгибаясь тов на стержнях а)
б)
Рис. 4.14 От действия заданной нагрузки изгибаться будут стержни BE и
EG
, к котор при а
баются и изгибающие моменты в них не возникают. Эпюры изгибающих моментов в стержнях от этого воздействия приведены на рис. 4.15. ым непосредственно ложена нагрузк . Остальные стержни не изги-
62
Рис. На эпюрах от единичных смещений нагрузки и от действия заданной стрелками указаны положительные направления реакций, совпадающие с направлением соответствующих перемещений.
Вычислим реактивные моменты в дополнительно введенной защемляющей первой связи, рассматривая равновесие узла. На риса обозначены значения моментов в отсекаем нях при повороте этой связи на угол момента, а на рис в – вычисление реак
- ых стерж
1 1
=
Z
и показано вычисление реактивного момента
11
r
. На рис. б, приведено вычисление реактивного. 4.16
тивного момента
p
R
1
от заданной нагрузки. б)
a)
в)
0 11 1
1
=
→
=
∑
r
r
M
=
→
,
0 8
24 12
;
1
=
−
−
−
,
0 6
3
;
0 12 1
=
−
+
44 Рис. 4.16 Реакцию в дополнит репятствующей линейному см 1
1
=
+
=
∑
p
R
M
16
,
0
ельно введенной связи, п ещению узлов рамы в горизонтальном направлении, определим, рассматривая равновесие отсеченной части рамы (рис. 4.17).
63
Вычислим реактивные моменты в дополнительно введенной защемляющей первой связи, рассматривая равновесие узла. На риса обозначены значения моментов в отсекаем нях при повороте этой связи на угол момента, а на рис в – вычисление реак
- ых стерж
1 1
=
Z
и показано вычисление реактивного момента
11
r
. На рис. б, приведено вычисление реактивного. 4.16
тивного момента
p
R
1
от заданной нагрузки. б)
a)
в)
0 11 1
1
=
→
=
∑
r
r
M
=
→
,
0 8
24 12
;
1
=
−
−
−
,
0 6
3
;
0 12 1
=
−
+
44 Рис. 4.16 Реакцию в дополнит репятствующей линейному см 1
1
=
+
=
∑
p
R
M
16
,
0
ельно введенной связи, п ещению узлов рамы в горизонтальном направлении, определим, рассматривая равновесие отсеченной части рамы (рис. 4.17).
63
3
,
0 6
3
;
0 21 21
=
→
=
−
+
=
∑
r
r
X
875
,
4
,
0 375
,
0 5
,
1 3
;
0
=
→
=
−
б)
a)
в)
22 Рис. 4.17
,
0
;
0 2
=
=
∑
р
R
X
Проверим достоверность вычисленных значений коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений. этого строим суммарную Для единичную эпюру по условию
2 1
M
M
M
S
+
=
(рис. 4.18) и проверим соблюдение условия (4.5):
(
)
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
∑∫
1 1
2 2
4 5
5 8
6 4
18 3
2 2
18 2
1 8
1 0
2
l
EI
dx
M
s
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
5
,
1 3
2 4
5
,
1 2
1 8
1 24 3
2 8
24 2
1 8
8 1
875
,
54 375
,
0 24 5
,
3 Рис. 4.18 Алгебраическая сумма коэффициентов при неизвестных
875 54 875 4
3 3
44 22 21 12 11
,
,
=
+
+
+
=
+
+
+
=
k
i
∑
r
r
r
r
r
64
Следовательно, реакции найдены верно. Для проверки свободных членов уравнений суммарную единичную эпюру )
( )
S
M
умножаем на грузовую эпюру, построенную в ОС. метода сил. На риса показана основная система метода силана рис. б – эпюра изгибающих моментов в этой системе от заданных нагрузок. б)
а)
основная система м.с.
Рис. 4.19 16 64 48 2
4 64 8
1 24 4
3 8
64 3
1 8
8 1
*
=
+
−
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
=
∑∫
⋅
EI
dx
M
M
p
s
,
16 0
16 те.
∑
∑ ∫
−
=
,
*
p
i
p
R
s
EI
dx
M
M
что подтверждает правильность полученных значений Система канонических уравнений принимает вид
⎩
⎨
⎧
−
=
=
+
+
=
=
−
+
233577
,
0
,
0 0
875
,
4 3
;
379562
,
0
;
0 16 3
44 2
2 1
1 2
1
Z
Z
Z
Z
откуда
Z
Z
Проверка правильности решения системы уравнений остается обычной приведена в методе сил п. 3.4). Окончательную эпюру изгибающих моментов получаем по условию
2 2
1 Эпюры изгибающих моментов от фактических значений перемещений и результирующая эпюра моментов приведены на рис. 4.20а,б,в.
65
( )
S
M
умножаем на грузовую эпюру, построенную в ОС. метода сил. На риса показана основная система метода силана рис. б – эпюра изгибающих моментов в этой системе от заданных нагрузок. б)
а)
основная система м.с.
Рис. 4.19 16 64 48 2
4 64 8
1 24 4
3 8
64 3
1 8
8 1
*
=
+
−
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
=
∑∫
⋅
EI
dx
M
M
p
s
,
16 0
16 те.
∑
∑ ∫
−
=
,
*
p
i
p
R
s
EI
dx
M
M
что подтверждает правильность полученных значений Система канонических уравнений принимает вид
⎩
⎨
⎧
−
=
=
+
+
=
=
−
+
233577
,
0
,
0 0
875
,
4 3
;
379562
,
0
;
0 16 3
44 2
2 1
1 2
1
Z
Z
Z
Z
откуда
Z
Z
Проверка правильности решения системы уравнений остается обычной приведена в методе сил п. 3.4). Окончательную эпюру изгибающих моментов получаем по условию
2 2
1 Эпюры изгибающих моментов от фактических значений перемещений и результирующая эпюра моментов приведены на рис. 4.20а,б,в.
65
a)
б)
в)
Рис. 4.20 Выполним проверки правильности окончательной эпюры изгибающих моментов (см. п. Рис. 4.21 В статической проверке проверяют равновесие узлов (
∑
=
0
узл
M
). В нашем случае проверяем равновесие узла .
B
(Рис. 4.21).
0 0002
,
0 8903
,
6 8905
,
6 7371
,
3 1532
,
3 В кинематической проверке находят перемещение в заданной системе по направлению любого неизвестного Х по формуле где – любая единичная эпюра в любой ОС. метода сил.
i
M
a)
б)
Рис. 4.22 Примем основную систему метода сил, как показано на риса Единичная эпюра
1
M
приведена на рис. б. Тогда
%
005
,
0
;
058395
,
0 0583920
,
0 35037
,
0 3
2 4
1 2
1 8
1 7371
,
3 3
1 2189
,
2 3
2 4
1 2
1 8
1 Эпюра поперечных
( )
Q
и продольных )
N
сила также схема рамы с указанными значениями внешних нагрузок и реакций опор приведены на рис. 4.23а,б,в. a)
б)
в)
Рис. 4.23 остроение этих эпюр и проверки их правильности выполняются теми же сп
=
П
особами, что ив методе сил. Выполним проверки равновесия системы в целом, пользуясь уравнениями 10 8
2
=
−
=
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
−
⋅ 2 5766
,
1 4
489
,
1 14 8613
,
8 Полученные результаты свидетельствуют о правильности построения эпюр и о правильности решения задачи
б)
в)
Рис. 4.20 Выполним проверки правильности окончательной эпюры изгибающих моментов (см. п. Рис. 4.21 В статической проверке проверяют равновесие узлов (
∑
=
0
узл
M
). В нашем случае проверяем равновесие узла .
B
(Рис. 4.21).
0 0002
,
0 8903
,
6 8905
,
6 7371
,
3 1532
,
3 В кинематической проверке находят перемещение в заданной системе по направлению любого неизвестного Х по формуле где – любая единичная эпюра в любой ОС. метода сил.
i
M
a)
б)
Рис. 4.22 Примем основную систему метода сил, как показано на риса Единичная эпюра
1
M
приведена на рис. б. Тогда
%
005
,
0
;
058395
,
0 0583920
,
0 35037
,
0 3
2 4
1 2
1 8
1 7371
,
3 3
1 2189
,
2 3
2 4
1 2
1 8
1 Эпюра поперечных
( )
Q
и продольных )
N
сила также схема рамы с указанными значениями внешних нагрузок и реакций опор приведены на рис. 4.23а,б,в. a)
б)
в)
Рис. 4.23 остроение этих эпюр и проверки их правильности выполняются теми же сп
=
П
особами, что ив методе сил. Выполним проверки равновесия системы в целом, пользуясь уравнениями 10 8
2
=
−
=
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
−
⋅ 2 5766
,
1 4
489
,
1 14 8613
,
8 Полученные результаты свидетельствуют о правильности построения эпюр и о правильности решения задачи
Таблица реактивных моментов и сил в однопролетных балках Эпюры изгибающих моментов и реакции 11
А
А
А
9
А
8
А
7
А
6
δ=1
В
l/3
P
l/3
P
M=
P
l
9
q
В
В
В
В
z
P
l/2
P
vl
С
С
8
l
l
l
l/2
l
ul
1
А
5
А
4 2
А
3
А
№№
п/п
А
С
vl
δ=1
z
В
В
l/2
С
P
q
В
В
A
R
C
Схемы
P
В
R =
R =R =
6i
R =R =
R =
R =
R =
R =
R =R =
R =
R =
3
M =M =
2
A
9
M = -
Pl
A
B
-
l
δ
A
A
+2 i z
+4iz
12
ql
Pl
2
2u v Pl
2
+u vPl
-uv Pl
M =
A
B
M =
A
M =
-
A
M = -
8
2
A
B
A
M =
C
M =
B
M =
A
2
2
B
A
12i
2
B
l
B
6i
l
P
P
2
2
R =R =
3i
R =
R =
+3
128
iz
ql
3
16
M =
A
l
M = -
A
M =
max
l
q
2 16
M
C
R
B
M Реактивные моменты =
A
Pl
v(1-v )
2
A
2
M =
A
-
8
9
2
ql
B
2
A
ql
3
2
3i
B
l
B
l
3i
z
8
5
8
ql
11
16 Таблица 4.1
(3-u Опорные реакции
Pv
2
M
A
R
A
M
A
M
M
A
R
B
R
A
C
R
A
A
M
B
R
A
B
R
B
R
A
R
A
M
A
M
R
A
B
R
B
M
C
M
B
M
B
R
R
A
M
C
M
A
M
A
R
B
R
B
M
A
M
B
M
R
A
R
B
A
M
B
M
B
R
В
(3-u )
R = 2
B
2
Pu
M =
C
Pl
5
32
16
5
R =
B
P
M =
C
Pl
2 u v(3-u )
2
M =+
Pl
B
8
M =
+
12
ql
2
B
M =
+
24
C
ql
2
R =
B
R =
A
2
2
ql
δ
δ
A
A
M
M
R
B
B
R
A
R
ql
M =
B
Pl
+
2
9
B
R =
δ
Pl
P
P
v (1+2u)P
u (1+2v)P
2
2
68
А
А
А
9
А
8
А
7
А
6
δ=1
В
l/3
P
l/3
P
M=
P
l
9
q
В
В
В
В
z
P
l/2
P
vl
С
С
8
l
l
l
l/2
l
ul
1
А
5
А
4 2
А
3
А
№№
п/п
А
С
vl
δ=1
z
В
В
l/2
С
P
q
В
В
A
R
C
Схемы
P
В
R =
R =R =
6i
R =R =
R =
R =
R =
R =
R =R =
R =
R =
3
M =M =
2
A
9
M = -
Pl
A
B
-
l
δ
A
A
+2 i z
+4iz
12
ql
Pl
2
2u v Pl
2
+u vPl
-uv Pl
M =
A
B
M =
A
M =
-
A
M = -
8
2
A
B
A
M =
C
M =
B
M =
A
2
2
B
A
12i
2
B
l
B
6i
l
P
P
2
2
R =R =
3i
R =
R =
+3
128
iz
ql
3
16
M =
A
l
M = -
A
M =
max
l
q
2 16
M
C
R
B
M Реактивные моменты =
A
Pl
v(1-v )
2
A
2
M =
A
-
8
9
2
ql
B
2
A
ql
3
2
3i
B
l
B
l
3i
z
8
5
8
ql
11
16 Таблица 4.1
(3-u Опорные реакции
Pv
2
M
A
R
A
M
A
M
M
A
R
B
R
A
C
R
A
A
M
B
R
A
B
R
B
R
A
R
A
M
A
M
R
A
B
R
B
M
C
M
B
M
B
R
R
A
M
C
M
A
M
A
R
B
R
B
M
A
M
B
M
R
A
R
B
A
M
B
M
B
R
В
(3-u )
R = 2
B
2
Pu
M =
C
Pl
5
32
16
5
R =
B
P
M =
C
Pl
2 u v(3-u )
2
M =+
Pl
B
8
M =
+
12
ql
2
B
M =
+
24
C
ql
2
R =
B
R =
A
2
2
ql
δ
δ
A
A
M
M
R
B
B
R
A
R
ql
M =
B
Pl
+
2
9
B
R =
δ
Pl
P
P
v (1+2u)P
u (1+2v)P
2
2
68
Глава 5 Основы устойчивости стержневых систем
5.1. К истории вопроса Впервой и второй частя курса строительной механики изучаются методы определения усилий и перемещений в статически определимых и неопределимых стержневых системах. Практика эксплуатации сооружений, имеющих в своей структуре сжатые элементы определенной гибкости, показала, что во многих случаях расчетов н ха прочность недостаточно для полной оценк ения в мами расчетных сопротивлений материала, то это еще не значит, что конструкция в период эксплуатации будет нахо безопасном состоянии. Крушения крупн ойчивости сооружением своего полож го асчета на прочность сечений в массивных каменных и деревянных конструкциях было достаточно для обеспечения устойчивости их элементов. Интенсивное строительство железных дорог со второй половины IX столетия потребовало возведения железнодорожных мостов, путепроводов с использованием стальных конструкций с более гибкими элементами, чем в применявшихся до этого времени конструкциях. В процессе возведения в и надежности сооружения. Если расчетом на прочность установлено, что напряж сечениях элементов не превышают допускаемых нор диться в ых инженерных сооружений (например, мостов) часто происходили при напряжениях в сечениях элементов меньше допускаемых. Аварии сооружений во многих случаях происходили вследствие потери устойчивости сжатых элементов системы или же потери уст ения. В 1744 году Л. Эйлер впервые получил формулу критической нагрузки для центрально сжатого гибкого стержня. Почти 100 лет формула Л. Эйлера не находила практическо применения, так как в эксплуатируемых сооружениях того времени вопросы устойчивости небыли определяющими. В то время не строились большепролетные конструкции, высотные сооружения и принятых из р и
5.1. К истории вопроса Впервой и второй частя курса строительной механики изучаются методы определения усилий и перемещений в статически определимых и неопределимых стержневых системах. Практика эксплуатации сооружений, имеющих в своей структуре сжатые элементы определенной гибкости, показала, что во многих случаях расчетов н ха прочность недостаточно для полной оценк ения в мами расчетных сопротивлений материала, то это еще не значит, что конструкция в период эксплуатации будет нахо безопасном состоянии. Крушения крупн ойчивости сооружением своего полож го асчета на прочность сечений в массивных каменных и деревянных конструкциях было достаточно для обеспечения устойчивости их элементов. Интенсивное строительство железных дорог со второй половины IX столетия потребовало возведения железнодорожных мостов, путепроводов с использованием стальных конструкций с более гибкими элементами, чем в применявшихся до этого времени конструкциях. В процессе возведения в и надежности сооружения. Если расчетом на прочность установлено, что напряж сечениях элементов не превышают допускаемых нор диться в ых инженерных сооружений (например, мостов) часто происходили при напряжениях в сечениях элементов меньше допускаемых. Аварии сооружений во многих случаях происходили вследствие потери устойчивости сжатых элементов системы или же потери уст ения. В 1744 году Л. Эйлер впервые получил формулу критической нагрузки для центрально сжатого гибкого стержня. Почти 100 лет формула Л. Эйлера не находила практическо применения, так как в эксплуатируемых сооружениях того времени вопросы устойчивости небыли определяющими. В то время не строились большепролетные конструкции, высотные сооружения и принятых из р и
период эксплуатации произошли крушения значитель а железнодорожных металлических мостов с основ циями. Одной ных причин этих разр ш асчетов. В конструкциях были заложе устойчивости сжатых стальных элементов. Практика эксплуатации строительных кие сжатые элементы, показала, что бега- ранти
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
Критическая нагрузка
рму равновесия при любых малых внешних или внутренних дополнительных возмущениях. Это означает, что если ка- ким-то малым возмущением на систему будет нарушено ее равновесное состояние, то после удаления причины возмущения система должна вернуться в первоначальное положение, те. сохранить свою первоначальную форму равновесия. В период возведения и эксплуатации сооружений возмущающие воздействия всегда имеют место. Это непредвиденные толчки сооружения внешние возмущения, дефекты п влении конструкции (внутренние возму ного числ ными несущими стальными конструк- у ений было несовершенство ны предпосылки потери конструкций, включающих гиб- з расчетов на устойчивость нельзя из основ р
ровать безопасное состояние этих конструкций. Была востребована и получила дальнейшее развитие теория Л. Эйлера. Выделилась в самостоятельную науку и начала интенсивно развиваться теория расчета сооружений на устойчивость.
5.2. Формы потери устойчивости. Системы под действием нагрузок должны находиться в состоянии устойчивого равновесия. Каждому виду загружения сооружения нагрузками соответствует своя особая форма деформаций его элементов, соответствующие этим нагрузкам форма равновесия и положение системы. Устойчивостью называют способность сооружения сохранять в деформированном состоянии соответствующие заданной нагрузке первоначальное положение и первоначальную фо ри изгото щения). Понятие устойчивость охватывает две разновидности этого явления потерю устойчивости сооружением своего положения и потерю устойчивости формы его равновесия (деформаций. В первом случае система переходит в новое положение, сохраняя неизменной свою структуру по геометрическим параметрам, а во втором изменение формы равновесия сопровождается количественным, а в определенных случаях и качественным изменением деформаций в элементах системы. Эти формы потери устойчивости могут происходить одновременно или в отдельности в зависимости от типа сооружения и характера действующих на него нагрузок. Ниже рассматривается потеря системой устойчивости формы равновесия в деформированном состоянии. Возможность системы сохранять устойчивое положение в деформированном состоянии зависит от величины действующей на нее нагрузки. С увеличением нагрузки может наступать такое положение системы, которое становится неустойчивым состоянием равновесия. При наличии какого-либо сколь угодно малого возмущения происходит нарушение формы равновесия и система переходит в новое равновесное деформированное состояние. Переход системы в качественно новое деформированное состояние принято называть потерей устойчивости ее равновесия или потерей устойчивости предыдущей формы деформаций. При этом деформации могут существенно возрастать при незначительном увеличении внешней нагрузки иди даже без ее увеличения. Рассматриваемый вид потери устойчивости обычно характеризуется деформациями системы, но это явление неразрывно связано с нарушением равновесия между внешними нагрузками и внутренними силами системы. Равновесие между внешними и внутренними силами упругой системы может быть устойчивым или неустойчивым. Граничное состояние системы между устойчивыми неустойчивым ее положением принято называть безразличным состоянием системы. Проследим это явление на примере центрально сжатого идеально упругого стержня (риса. Если при некотором значении монотонно возрастающей нагрузки Р дать свободному концу стержня весьма малое отклонение от вертикального положения и убрать возмущающее воздействие, внешняя нагрузка будет стремиться удержать стержень в
71
деформированно его вис- ходно м изогнутом состоянии, а внутренние силы – вернуть е прямолинейное положение. а)
а)
P
P
б)
P
P
в)
г)
I
P
P
P
I
P
II
P
P
II
тельно вертикального своего положения, вернется в первоначальное состояние деформации центрального сжатия (рис. б. На рис. в по без-
Рис. 5.1 При устойчивом равновесии стержень, совершая колебания относи- казано различное состояние стержня, когда нагрузка возросла до
P
P
I
новесия стержня не изменяется. Упругие внутренние силы уже неспособны вернуть стержень в исходное прямолинейное положение, а внешняя нагрузка еще не достигла такого значения при котором происходил бы дальнейший его изгиб. Дальнейшее увеличение нагрузки до некоторого значения
I
II
>
. Под действием некоторого возмущения стержень перешел в новое равновесное деформированное состояние. При удалении постороннего возмущения форма рав-
P
P
>
создает условие неустойчивого равновесия стержня. Любое сколь угодно малое возму произойдет положении, щение или увеличение нагрузки вызовет переход стержня в новое состояние, характеризуемое интенсивным ростом деформаций изгиба и дальнейшим отклонением его от начального положения (рис. г. Таким образом, потеря устойчивости первоначальной формы равновесия центрально сжатого стержня. Наибольшую нагрузку, при которой деформированная система еще находится в устойчивом принято называть критической нагрузкой
( )
кр
Р
, а состояние системы под действием критической нагрузки – критические состоянием. м е
а)
P
P
б)
P
P
в)
г)
I
P
P
P
I
P
II
P
P
II
тельно вертикального своего положения, вернется в первоначальное состояние деформации центрального сжатия (рис. б. На рис. в по без-
Рис. 5.1 При устойчивом равновесии стержень, совершая колебания относи- казано различное состояние стержня, когда нагрузка возросла до
P
P
I
новесия стержня не изменяется. Упругие внутренние силы уже неспособны вернуть стержень в исходное прямолинейное положение, а внешняя нагрузка еще не достигла такого значения при котором происходил бы дальнейший его изгиб. Дальнейшее увеличение нагрузки до некоторого значения
I
II
>
. Под действием некоторого возмущения стержень перешел в новое равновесное деформированное состояние. При удалении постороннего возмущения форма рав-
P
P
>
создает условие неустойчивого равновесия стержня. Любое сколь угодно малое возму произойдет положении, щение или увеличение нагрузки вызовет переход стержня в новое состояние, характеризуемое интенсивным ростом деформаций изгиба и дальнейшим отклонением его от начального положения (рис. г. Таким образом, потеря устойчивости первоначальной формы равновесия центрально сжатого стержня. Наибольшую нагрузку, при которой деформированная система еще находится в устойчивом принято называть критической нагрузкой
( )
кр
Р
, а состояние системы под действием критической нагрузки – критические состоянием. м е
При потере устойчивости переход системы в новое деформированное состояние происходит практически мгновенно с резким нарастанием деформаций Существуют и высшие формы потери устойчивости, когда каждому значению критической нагрузки соответствует своя форма изогнутой оси сжимаемого элемента. Для одного итого же упругого стержня теоретически может быть найдено множество значений критических сил, каждой из которых соответствует своя форма изогнутой оси этого стержня. На рис. 5.2а-в показано, как с увеличением нагрузки изменяются формы потери устойчивости шарнирно опертой центрально сжатой стойки. и перераспределением усилий в элементах системы. В результате, как правило, конструкция переходит в аварийное состояние.
π КР =
а)
КР
P
P
P
P
P б 2
4π ΕΙ
КР
КР
2 2
9π ΕΙ
P =
КР
2
КР
в)
P
P
/3
/2
/3
/3
;
;
и т.д.
Рис. 5.2 Второй и третьей критическим силам (рис. 5.2б,в) соответствуют более сложные (высшие) формы изогнутой оси можны теоретически, не являются устойчивыми простейшей форме деформации стержня
При решении практических задач нагрузок, которым соответствуют наиболее простые формы потери устойчивости. Ниже рас наиболее часто используемые в расчетной практике метод ных стойках и рамах при самой простой форме деформации сжимаемых элементов. сжимаемой стойки, которые вози мгновенно переходят к (риса. отыскиваются значения критических смотрены ы определения критических сил в отдель
В зависимости от вида начальных деформаций и деформаций в момент
73
π КР =
а)
КР
P
P
P
P
P б 2
4π ΕΙ
КР
КР
2 2
9π ΕΙ
P =
КР
2
КР
в)
P
P
/3
/2
/3
/3
;
;
и т.д.
Рис. 5.2 Второй и третьей критическим силам (рис. 5.2б,в) соответствуют более сложные (высшие) формы изогнутой оси можны теоретически, не являются устойчивыми простейшей форме деформации стержня
При решении практических задач нагрузок, которым соответствуют наиболее простые формы потери устойчивости. Ниже рас наиболее часто используемые в расчетной практике метод ных стойках и рамах при самой простой форме деформации сжимаемых элементов. сжимаемой стойки, которые вози мгновенно переходят к (риса. отыскиваются значения критических смотрены ы определения критических сил в отдель
В зависимости от вида начальных деформаций и деформаций в момент
73
потерю устойчивости первого и второго. Потер первого рода характерна тем, что в момент потери устойчивости появляются и сильно развиваются новые деформации ф рмации качественно отличаются от тех, которые воз- вости иначе называют потерей устойчивости по Эйлеру. К потере устойчивости первого рода относятся формации. Приведем примеры потери устойчивости ервого рода. Наиболее пром рально- сжато тся в состоянии центрального сжатия, в ее сечениях возникают продольные деформации. Если нагрузка дости- своего значения ия иволинейное, которое будет для н раст ать деформации центрального сжатия. и устойчивости различают (условно) потер рода я устойчивости. Эти новые де о никают вначале загружения. Указанный вид потери устойчи
– потеря устойчивости центрального сжатия
– потеря устойчивости плоской формы изгиба
– потеря устойчивости симметричной формы деп стым случаем этого явления ожет быть потеря устойчивости цент й стойки (рис. 5.1). Если нагрузка меньше ее критического значения, стойка остается прямолинейной, находи гает равного кр , то прямолинейная форма равновес стойки становится неустойчивой и малейшее возмущение может вызвать переход стойки в новое деформированное состояние – кр ее устойчивым. При этом возникают и интенсивно на ают деформации нового вида – деформации изгиба. На рис. 5.3 изображена ферма, элементы верхнего пояса которой при нагрузках кр будут испытыв
P
КР
КР
P
Рис. 5.3 При возрастании значений нагрузок, становится возможной потеря устойчивости первоначальной формы равновесия системы, элементы верхнего пояса могут выпучиться, их новая форма равновесия будет криволинейной с
74
– потеря устойчивости центрального сжатия
– потеря устойчивости плоской формы изгиба
– потеря устойчивости симметричной формы деп стым случаем этого явления ожет быть потеря устойчивости цент й стойки (рис. 5.1). Если нагрузка меньше ее критического значения, стойка остается прямолинейной, находи гает равного кр , то прямолинейная форма равновес стойки становится неустойчивой и малейшее возмущение может вызвать переход стойки в новое деформированное состояние – кр ее устойчивым. При этом возникают и интенсивно на ают деформации нового вида – деформации изгиба. На рис. 5.3 изображена ферма, элементы верхнего пояса которой при нагрузках кр будут испытыв
P
КР
КР
P
Рис. 5.3 При возрастании значений нагрузок, становится возможной потеря устойчивости первоначальной формы равновесия системы, элементы верхнего пояса могут выпучиться, их новая форма равновесия будет криволинейной с
74
появлением и развитием деформаций изгиба. В трехшарнир араболического очертания под действием сплошной равномерно распреде ной арке пленной нагрузки, меньшей критической, все сечения будут испытывать деформации центрального сжатия (рис. 5.4). При увеличении нагрузки устойчивыми любое до кр , состояние системы становится немалое возмущение может спровоцировать переход системы в новое деформированное состояние с появлением деформаций нового вида – деформаций изгиба. q
P
P
P
КР
КР
P
А
С
КР
B
Рис. 5.4 Рис. 5.5
P
КР
P
Рис. 5.6 Стойки рамы (рис. 5.5) при нагрузках кр испытывают только центральное сжатие. При нагрузках кр потеря устойчивости стоек рамы будет характеризоваться появлением нового вида деформаций (изгиба. Защемленная тонкая полоса при определенном значении внешней нагрузки отклонится от вертикального положения, произойдет дополнительный ее изгиб в горизонтальной плоскости и закручивание (рис. 5.6). До потери ус- тойчи тся качественно новые деформации – деформации кручения. При потере устойчивости второго рода деформации качественно остаются теми же, что ив начале загружения, но они интенсивно развиваются. вости балка испытывала только изгиб в вертикальной плоскости действия нагрузки. При потере устойчивости возникают и развиваю
P
P
P
КР
КР
P
А
С
КР
B
Рис. 5.4 Рис. 5.5
P
КР
P
Рис. 5.6 Стойки рамы (рис. 5.5) при нагрузках кр испытывают только центральное сжатие. При нагрузках кр потеря устойчивости стоек рамы будет характеризоваться появлением нового вида деформаций (изгиба. Защемленная тонкая полоса при определенном значении внешней нагрузки отклонится от вертикального положения, произойдет дополнительный ее изгиб в горизонтальной плоскости и закручивание (рис. 5.6). До потери ус- тойчи тся качественно новые деформации – деформации кручения. При потере устойчивости второго рода деформации качественно остаются теми же, что ив начале загружения, но они интенсивно развиваются. вости балка испытывала только изгиб в вертикальной плоскости действия нагрузки. При потере устойчивости возникают и развиваю
Примерами могут служить внецентре трехшарнирная аркана которую дейс
5.7б). В обоих случаях, вначале загруж сечения элементов системы испытываю ое ции качественно не изменяются. нно загруженная стойка (риса твует сосредоточенная нагрузка (рис. ения ив момент потери устойчивости, т внецентренн сжатие, и деформа- а)
P
P
КР
P
КР
б)
P
Рис. 5.7 кот проектного положения (эксцентриситеты), неоднородности ма риала и др. В результате сжим х потери устойчивости испытывают внецентренное сжатие. Выход из типа ентов вследствие потери ими несущей способности (потери устойчивости второго рода) при нагрузках, численно меньших критических нагрузок первого рода. Тем не менее, при определении несущей способности сжа- то-изогнутых элементов сооружений необходимо знать их расчетные длины ью критических сил первого рода. П устойчивости первого рода имеет не только теоретическое, но и большое практическое о- пласт ала ти первого рода плоских упругих стерж стем. В реальных конструкциях преобладает, как правило, потеря устойчивости второго рода ввиду неизбежного отклонения нагрузо те аемые элементы стержневы систем еще до строя такого элем обычно происходит и гибкости, которые определяются с помощ оэтому изучение потери значение. Потеря устойчивости может происходить как в упругой, таки в упруг ической стадии работы матери конструкции. Ниже рассмотрены некоторые простые задачи потери устойчивос невых си
5.3. Число степеней свободы и формы равновесия й частях курса строитель й механики ол тся понят б
рое позволяет выявить пригодно ения и принадлежность ее к определенному классу сооружений
В первой и второ но исп ьзуе ие число степеней сво оды системы, кото сть системы в качестве инженерного сооруж
(
)
оп
С
Ш
Д
W
−
−
=
2 3
. При этом полагается, что все диски, составляющие систему, являются абсо недеформируемыми. я
т а степеней свободы любой стержневой системы (балка, рама и т.д.) равно бесконечности.
Колич весия и соответствующих этим формам критических сил характеризуется числом степене свободы системы. Реаль- о- нечны мации эл
С целью упрощения расчета упругая система может быть заменена более простой, имеющей конечное число заданная система, а также удовлетворя тату. Это позволяет дифференциальны раическими и упростить решение задач ной на риса жесткость нагруженног лютно жесткими и В теории устойчивости рассматриваютс системы в деформированном состоянии. Число степеней свободы характеризуе (отраж ет) это состояние, а именно числом степеней свободы называют количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех точек системы в деформированном ее состоянии Из этого следует, что число ество возможных форм равной ная упругая система обладает бесконечным числом степеней свободы, беск м множеством форм равновесия и соответствующих этим формам критических нагрузок. В практических расчетах отыскивается наименьшее (неравное нулю) значение критической нагрузки. Этой нагрузке будет соответствовать наиболее простая форма дефор ементов системы. степеней свободы, если это допускает ются требования к конечному резуль- е уравнения изгиба заменить алгеб- и. Например, если в раме, изображено стержня AB на изгиб
( )
EI велика, а жесткость стержня на изгиб
CD
( )
1
EI
мала, то расчетную схему системы б. Пренебрегая изгибом нагруженно можно принять, как показано на рис. й стойки AB, горизонтальные перемещения всех ее чек можн выразить через параметр то о
,
ϕ
d
те.
( )
ϕ
d
tg
x
x
y
=
и мы получаем систему с одной степенью
77
5.7б). В обоих случаях, вначале загруж сечения элементов системы испытываю ое ции качественно не изменяются. нно загруженная стойка (риса твует сосредоточенная нагрузка (рис. ения ив момент потери устойчивости, т внецентренн сжатие, и деформа- а)
P
P
КР
P
КР
б)
P
Рис. 5.7 кот проектного положения (эксцентриситеты), неоднородности ма риала и др. В результате сжим х потери устойчивости испытывают внецентренное сжатие. Выход из типа ентов вследствие потери ими несущей способности (потери устойчивости второго рода) при нагрузках, численно меньших критических нагрузок первого рода. Тем не менее, при определении несущей способности сжа- то-изогнутых элементов сооружений необходимо знать их расчетные длины ью критических сил первого рода. П устойчивости первого рода имеет не только теоретическое, но и большое практическое о- пласт ала ти первого рода плоских упругих стерж стем. В реальных конструкциях преобладает, как правило, потеря устойчивости второго рода ввиду неизбежного отклонения нагрузо те аемые элементы стержневы систем еще до строя такого элем обычно происходит и гибкости, которые определяются с помощ оэтому изучение потери значение. Потеря устойчивости может происходить как в упругой, таки в упруг ической стадии работы матери конструкции. Ниже рассмотрены некоторые простые задачи потери устойчивос невых си
5.3. Число степеней свободы и формы равновесия й частях курса строитель й механики ол тся понят б
рое позволяет выявить пригодно ения и принадлежность ее к определенному классу сооружений
В первой и второ но исп ьзуе ие число степеней сво оды системы, кото сть системы в качестве инженерного сооруж
(
)
оп
С
Ш
Д
W
−
−
=
2 3
. При этом полагается, что все диски, составляющие систему, являются абсо недеформируемыми. я
т а степеней свободы любой стержневой системы (балка, рама и т.д.) равно бесконечности.
Колич весия и соответствующих этим формам критических сил характеризуется числом степене свободы системы. Реаль- о- нечны мации эл
С целью упрощения расчета упругая система может быть заменена более простой, имеющей конечное число заданная система, а также удовлетворя тату. Это позволяет дифференциальны раическими и упростить решение задач ной на риса жесткость нагруженног лютно жесткими и В теории устойчивости рассматриваютс системы в деформированном состоянии. Число степеней свободы характеризуе (отраж ет) это состояние, а именно числом степеней свободы называют количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех точек системы в деформированном ее состоянии Из этого следует, что число ество возможных форм равной ная упругая система обладает бесконечным числом степеней свободы, беск м множеством форм равновесия и соответствующих этим формам критических нагрузок. В практических расчетах отыскивается наименьшее (неравное нулю) значение критической нагрузки. Этой нагрузке будет соответствовать наиболее простая форма дефор ементов системы. степеней свободы, если это допускает ются требования к конечному резуль- е уравнения изгиба заменить алгеб- и. Например, если в раме, изображено стержня AB на изгиб
( )
EI велика, а жесткость стержня на изгиб
CD
( )
1
EI
мала, то расчетную схему системы б. Пренебрегая изгибом нагруженно можно принять, как показано на рис. й стойки AB, горизонтальные перемещения всех ее чек можн выразить через параметр то о
,
ϕ
d
те.
( )
ϕ
d
tg
x
x
y
=
и мы получаем систему с одной степенью
77
свободы. Величина кр будет зависеть от линейного перемещения упругой опоры (конкретное такой задачи буд ием чис ность решения задач устойчивости существенно возрастает. решение ет показано ниже. Отметим, что с увеличен ла степеней свободы системы слож-
x
А
P
а)
EI
B
d y
D
А
б)
EI
I
C
КР
P
P
y(x)
P
B
ω
x
xx
f
Рис. 5.8
5.4. Уравнение устойчивости упругого сжато-изогнутого стержня Рассмотрим некоторое поперечное се ь от нагрузки, приложенной выше ра чение упругого сжато-изогнутого стержня, защемленного одним концом. Пуст ссматриваемого сечения, будут вертикальная P и горизонтальная составляющие (рис. 5.9). Опре л делим поперечную в этом сечении из ус- овия силу y
d
ω
P
90°
x k
n
Q
Q
оперечная сила в указанном сече- ка малости (прогибов и их производ-
П
нии с учетом величин первого порядных по длине стрежня) будет
ϕ
ϕ
d
P
d
Q
Q
sin Рис. 5.9 Ввиду малости перемещениям имеете (а)
78
x
А
P
а)
EI
B
d y
D
А
б)
EI
I
C
КР
P
P
y(x)
P
B
ω
x
xx
f
Рис. 5.8
5.4. Уравнение устойчивости упругого сжато-изогнутого стержня Рассмотрим некоторое поперечное се ь от нагрузки, приложенной выше ра чение упругого сжато-изогнутого стержня, защемленного одним концом. Пуст ссматриваемого сечения, будут вертикальная P и горизонтальная составляющие (рис. 5.9). Опре л делим поперечную в этом сечении из ус- овия силу y
d
ω
P
90°
x k
n
Q
Q
оперечная сила в указанном сече- ка малости (прогибов и их производ-
П
нии с учетом величин первого порядных по длине стрежня) будет
ϕ
ϕ
d
P
d
Q
Q
sin Рис. 5.9 Ввиду малости перемещениям имеете (а)
78
Как известно из сопротивления материалов
,
x
M
EIy
=
″
−
а Тогда Подставляя последнее выражение в уравнение (а, получаем
(
)
Q
y
P
y
EI
=
′
−
′
′′
−
по
Дифференцируя еще рази учитывая, что
q
Q
−
=
′
(где – попе- речна авнение равновесного с я нагрузка на стержень, получаем окончательное ур остояния упругого сжато-изогнутого стержня
(
) ( )
q
y
P
y
EI
=
′
′
+
″
′′
, те.
q
Py
EIy
II
IV
=
+
(5.1) Полное решение линейного дифференциального уравнения (5.1) с постоянными коэффициентами имеет вид
( )
( )
,
cos sin
0 4
3 где кр 2
1
,
,
C
C
C
и
4
C
– произвольные постоянные интегрирования, а
0
y
– частное решение, которое может быть найдено, например, методом неопределенных коэффициентов или другими приемами. Для определения постоянных интегрирования
3 2
1
,
,
C
C
C
и
4
C
используются граничные условия (нужно иметь четыре независимых друг от друга условия. Практическое использование граничных условий будет показано ниже при решении конкретных задач. При отсутствии внешней поперечной нагрузки уравнение (5.1) превращается в однородное дифференциальное уравнение
q
0
=
+
II
IV
Py
EIy
(5.2) Решение уравнения (5.2) ан приведенному выше общему ре- шени алогичною уравнения (5.1) стем отличием, что отсутствует частное решение
0
y .
79
,
x
M
EIy
=
″
−
а Тогда Подставляя последнее выражение в уравнение (а, получаем
(
)
Q
y
P
y
EI
=
′
−
′
′′
−
по
Дифференцируя еще рази учитывая, что
q
Q
−
=
′
(где – попе- речна авнение равновесного с я нагрузка на стержень, получаем окончательное ур остояния упругого сжато-изогнутого стержня
(
) ( )
q
y
P
y
EI
=
′
′
+
″
′′
, те.
q
Py
EIy
II
IV
=
+
(5.1) Полное решение линейного дифференциального уравнения (5.1) с постоянными коэффициентами имеет вид
( )
( )
,
cos sin
0 4
3 где кр 2
1
,
,
C
C
C
и
4
C
– произвольные постоянные интегрирования, а
0
y
– частное решение, которое может быть найдено, например, методом неопределенных коэффициентов или другими приемами. Для определения постоянных интегрирования
3 2
1
,
,
C
C
C
и
4
C
используются граничные условия (нужно иметь четыре независимых друг от друга условия. Практическое использование граничных условий будет показано ниже при решении конкретных задач. При отсутствии внешней поперечной нагрузки уравнение (5.1) превращается в однородное дифференциальное уравнение
q
0
=
+
II
IV
Py
EIy
(5.2) Решение уравнения (5.2) ан приведенному выше общему ре- шени алогичною уравнения (5.1) стем отличием, что отсутствует частное решение
0
y .
79
При решении многих задач устойчивости отдельных стержней и стержневых систем (в случае малых деформаций в момент потери устойчивости) можно воспользоваться более простым дифференциальным уравнением второго порядка
,
x
M
y
EI
=
′′
±
применение которого будет показано также ниже на конкретных примерах.
5.5. Методы решения задач устойчивости Решения задач устойчивости может выполняться точными (с учетом принимаемых допущений, или же приближенными методами мы рассмотрим те методы, которые наиболее часто исп. Ниже ользуются в расчетной практике. Статический метод При использовании этого метода упругую систему рассматривают в таком деформированном состоянии, которое отличается от заданного бесконечно малыми перемещени точного ями, обеспечивающими появление деформаций нового вида, качественно ают решение. Ис- пользу иметь системе однородных новременно неравны нулю. В этом случае определитель, составленный из коэф- нулю отличающихся от начальных. Для элементов системы в деформированном состоянии составляют дифференциальные уравнения равновесия и путем их интегрирования отыскив я граничные условия, формируют систему однородных линейных уравнений, количество которых равно числу неизвестных постоянных после интегрирования уравнений равновесия. Новое деформированное состояние системы будет место, если все постоянные в линейных уравнений од- фициентов при постоянных, должен быть равным, те.
( )
0
=
n
D
(5.3) Равенство (5.3) называется характеристическим уравнением (уравнением устойчивости, решая которое, находят критические силы или же критические пар лы. рассм центр аметры, через которые затем отыскивают критические си
Применение статического метода отрим на примере упругого ально сжатого стержня постоянного сечения (рис. 5.10).
80
,
x
M
y
EI
=
′′
±
применение которого будет показано также ниже на конкретных примерах.
5.5. Методы решения задач устойчивости Решения задач устойчивости может выполняться точными (с учетом принимаемых допущений, или же приближенными методами мы рассмотрим те методы, которые наиболее часто исп. Ниже ользуются в расчетной практике. Статический метод При использовании этого метода упругую систему рассматривают в таком деформированном состоянии, которое отличается от заданного бесконечно малыми перемещени точного ями, обеспечивающими появление деформаций нового вида, качественно ают решение. Ис- пользу иметь системе однородных новременно неравны нулю. В этом случае определитель, составленный из коэф- нулю отличающихся от начальных. Для элементов системы в деформированном состоянии составляют дифференциальные уравнения равновесия и путем их интегрирования отыскив я граничные условия, формируют систему однородных линейных уравнений, количество которых равно числу неизвестных постоянных после интегрирования уравнений равновесия. Новое деформированное состояние системы будет место, если все постоянные в линейных уравнений од- фициентов при постоянных, должен быть равным, те.
( )
0
=
n
D
(5.3) Равенство (5.3) называется характеристическим уравнением (уравнением устойчивости, решая которое, находят критические силы или же критические пар лы. рассм центр аметры, через которые затем отыскивают критические си
Применение статического метода отрим на примере упругого ально сжатого стержня постоянного сечения (рис. 5.10).
80
При бесконечно малых перемещения описывается лиженно дифференциальным
А
0
y
-x
y(x)
КР
B
P
P
R
в x
x
B
ях можно принять, что положение изогнутой оси стержн приб уравнением Рис. 5.10 вместо точного
−
( )
[
]
x
M
y
y
EI
=
′
+
′′
−
2 3
2 1
оизвольном сечении стержня а) Изгибающий момент в пр
(
)
x
R
y
P
M
B
кр
x
−
−
=
l
С учетом принятого направления координатных осей дифференциальное уравнение изгиба по условию (5.4) получаем в виде
(
)
x
R
y
P
y
EI
B
кр
=
+
′′
−
l
Разделив все слагаемые на
EI
и обозначив кр,
(а) получаем Решение этого неоднородного дифференциального уравнения будет
( )
( )
(
)
,
cos
x
C
nx
B
sin
nx
A
y
−
+
l
(5.5) где A, B и C – постоянные интегриров
Так как по условию (а)
n
P
=
(5.6) то критическая нагрузка может быть найдена, если известен параметр « ». Для определения постоянных ания.
,
EI крив уравнении (5.5) воспользуемся кин
: При ематическими граничными условиями 2) При
;
0
,
0
=
′
=
y
x
3) При
0
,
=
=
y
x
l
81
А
0
y
-x
y(x)
КР
B
P
P
R
в x
x
B
ях можно принять, что положение изогнутой оси стержн приб уравнением Рис. 5.10 вместо точного
−
( )
[
]
x
M
y
y
EI
=
′
+
′′
−
2 3
2 1
оизвольном сечении стержня а) Изгибающий момент в пр
(
)
x
R
y
P
M
B
кр
x
−
−
=
l
С учетом принятого направления координатных осей дифференциальное уравнение изгиба по условию (5.4) получаем в виде
(
)
x
R
y
P
y
EI
B
кр
=
+
′′
−
l
Разделив все слагаемые на
EI
и обозначив кр,
(а) получаем Решение этого неоднородного дифференциального уравнения будет
( )
( )
(
)
,
cos
x
C
nx
B
sin
nx
A
y
−
+
l
(5.5) где A, B и C – постоянные интегриров
Так как по условию (а)
n
P
=
(5.6) то критическая нагрузка может быть найдена, если известен параметр « ». Для определения постоянных ания.
,
EI крив уравнении (5.5) воспользуемся кин
: При ематическими граничными условиями 2) При
;
0
,
0
=
′
=
y
x
3) При
0
,
=
=
y
x
l
81
По первому условию
0 1
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
l
C
B
A
y
(1) По второму условию
( )
( При
0
=
x
0 1
0 1
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
=
′
C
B
n
A
y
(2) По третьему условию
( )
( )
0
cos sin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
C
nl
B
nl
A
y
0
(3) Система однородных уравнений имеет вид
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
0 0
cos sin
;
0 1
0
;
0 1
0
C
nl
B
nl
A
C
B
n
A
l
C
B
A
(5.7) довлетворяются, ес
Уравнения (5.7) у ли
0
=
=
=
C
B
A
, но это условие системы. Если
A, B и C соответствует недеформированному состоянию отличны ствую от нуля, то должно выполняться условие (5.3). Этому случаю соответ- т неопределенные значения постоянных, что характеризует безразличное состояние системы. Таким образом, уравнение устойчивости имеет вид
( )
( )
0 0
cos sin
1 0
1 Раскрыв определитель, имеем
( )
( )
0
sin
1
cos
=
⋅
−
⋅
nl
nl
nl
, или
( )
nl
nl
tg
=
(5.8) ля) значение критической силы, н уравнения (5.8). В общем случае такого типа уравнения решаются способом последовательных прибл
Чтобы найти наименьшее (отличное от ну ужно отыскать наименьший положительный корень ижений. Путем подбора находим
493
,
4
=
nl
и по формуле (5.6)
2 кр
1 2
sin
2
sin
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
=
A
A
l
l
A
y
π
π
, те. ого его положения в середине пролета стойки.
0
y
=
– максимальное отклонение стержня от начальн Изогнутую ось стержня в деформированном состоянии можно представить в виде
l
x
y
y
π
sin
0
=
(5.13) Полученное выше (по второму граничному условию) равенство sin nl
( )
0
= удовлетворяется, если
π
=
nl
,
π
2
=
nl
,
π
3
=
nl
и т.д., что подтверждает зависимость формы деформации элемента (рис. 5.2) от значений критических сил. и малых деформациях.
С
ости от способа нахождения уравнения устойчивости (5.3):
– метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения и е уравнений в конечных разностях
– приближенные способы, основанные пр ремещений. Заметим, что приведенные выше решения статическим методом будут справедливы при малых перемещениях (потеря устойчивости в малом, так как использовалось приближенное дифференциальное уравнение изгиба
(5.4), справедливое пр татический метод имеет разновидности в зависим зогнутой оси стержня
– использование метода сил и метода перемещений
– интегрировани еимущественно на методе пе-
Энергетический метод. Этот метод используется в расчетной практике для пру олная потенциальная энергия системы иближенного определения критических нагрузок для стоек сложного ив том числе переменного сечения, атак же для плоских и пространственных рам, ферм, комбинированных систем. В основу его положен энергетический признак равновесия, согласно котором п П в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение, в
84
0 1
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
l
C
B
A
y
(1) По второму условию
( )
( При
0
=
x
0 1
0 1
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
=
′
C
B
n
A
y
(2) По третьему условию
( )
( )
0
cos sin
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
C
nl
B
nl
A
y
0
(3) Система однородных уравнений имеет вид
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
⋅
−
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
0 0
cos sin
;
0 1
0
;
0 1
0
C
nl
B
nl
A
C
B
n
A
l
C
B
A
(5.7) довлетворяются, ес
Уравнения (5.7) у ли
0
=
=
=
C
B
A
, но это условие системы. Если
A, B и C соответствует недеформированному состоянию отличны ствую от нуля, то должно выполняться условие (5.3). Этому случаю соответ- т неопределенные значения постоянных, что характеризует безразличное состояние системы. Таким образом, уравнение устойчивости имеет вид
( )
( )
0 0
cos sin
1 0
1 Раскрыв определитель, имеем
( )
( )
0
sin
1
cos
=
⋅
−
⋅
nl
nl
nl
, или
( )
nl
nl
tg
=
(5.8) ля) значение критической силы, н уравнения (5.8). В общем случае такого типа уравнения решаются способом последовательных прибл
Чтобы найти наименьшее (отличное от ну ужно отыскать наименьший положительный корень ижений. Путем подбора находим
493
,
4
=
nl
и по формуле (5.6)
2 кр
Для упругой центрально нагружен- ой шарнирно опертой стойки постоянного сечения (рис. 5.11) определение критической нагрузки статическим методом повторит предыдущий Приняв дифференциальное равнение по зависимости (5.4), КР н расчету Рис. 5.11
,
y
P
M
кр
x
=
0
=
+
′′
y
P
y
EI
кр
и однородное дифференциальное уравнение изгиба получаем в виде
0 2
=
+
′′
y
n
y
,
(5.9) где кр) Решение уравнения (5.9) имеет вид
( )
( )
nx
B
nx
A
y
cos sin
⋅
+
⋅
=
, где
B
A, – постоянные интегрирования, определяемые по кинематическим граничным условиям при
0
=
x
, 0
=
y
; при
l
x
= , По первому условию
0
=
B
и изогнутая ось стержня является синусоидой, определяемой уравнением
( )
nx
A
y
sin
⋅
=
(5.11) По второму условию
( )
0
sin
=
⋅
nl
A
, итак как
0
≠
A
, то
( Наименьшее значение положительного корня (отличного от нуля) этого уравнения
π
=
nl
и по
(5.6) формуле кр,
(5.12) те. получена известная формула Л. Эйлера. Установим физический смысл постоянной A в формуле (5.11), так как она осталась неопределенной. Подставив в уравнение (5.11) значение
l
n
π
= и
2
l
x
= , имеем
83
,
y
P
M
кр
x
=
0
=
+
′′
y
P
y
EI
кр
и однородное дифференциальное уравнение изгиба получаем в виде
0 2
=
+
′′
y
n
y
,
(5.9) где кр) Решение уравнения (5.9) имеет вид
( )
( )
nx
B
nx
A
y
cos sin
⋅
+
⋅
=
, где
B
A, – постоянные интегрирования, определяемые по кинематическим граничным условиям при
0
=
x
, 0
=
y
; при
l
x
= , По первому условию
0
=
B
и изогнутая ось стержня является синусоидой, определяемой уравнением
( )
nx
A
y
sin
⋅
=
(5.11) По второму условию
( )
0
sin
=
⋅
nl
A
, итак как
0
≠
A
, то
( Наименьшее значение положительного корня (отличного от нуля) этого уравнения
π
=
nl
и по
(5.6) формуле кр,
(5.12) те. получена известная формула Л. Эйлера. Установим физический смысл постоянной A в формуле (5.11), так как она осталась неопределенной. Подставив в уравнение (5.11) значение
l
n
π
= и
2
l
x
= , имеем
83
1 2
sin
2
sin
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
⋅
=
A
A
l
l
A
y
π
π
, те. ого его положения в середине пролета стойки.
0
y
=
– максимальное отклонение стержня от начальн Изогнутую ось стержня в деформированном состоянии можно представить в виде
l
x
y
y
π
sin
0
=
(5.13) Полученное выше (по второму граничному условию) равенство sin nl
( )
0
= удовлетворяется, если
π
=
nl
,
π
2
=
nl
,
π
3
=
nl
и т.д., что подтверждает зависимость формы деформации элемента (рис. 5.2) от значений критических сил. и малых деформациях.
С
ости от способа нахождения уравнения устойчивости (5.3):
– метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения и е уравнений в конечных разностях
– приближенные способы, основанные пр ремещений. Заметим, что приведенные выше решения статическим методом будут справедливы при малых перемещениях (потеря устойчивости в малом, так как использовалось приближенное дифференциальное уравнение изгиба
(5.4), справедливое пр татический метод имеет разновидности в зависим зогнутой оси стержня
– использование метода сил и метода перемещений
– интегрировани еимущественно на методе пе-
Энергетический метод. Этот метод используется в расчетной практике для пру олная потенциальная энергия системы иближенного определения критических нагрузок для стоек сложного ив том числе переменного сечения, атак же для плоских и пространственных рам, ферм, комбинированных систем. В основу его положен энергетический признак равновесия, согласно котором п П в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение, в
84
состо злич- ного состояния системы приращение отенциальной энергии янии неустойчивого равновесия – максимальное, а в случае безра
П
∆ п
должно быть рано нулю. Этот принцип наглядно прослеживается на примере абсолютно твердого шарика, помещаемого на различных поверхностях (рис 5.12). а)
П=min
П=max б)
∆П=0
в)
Q
Q
Q
Рис. 5.12 Шарик, находящийся на вог рической поверхности, располагается ке ус (рис. плоскости рис. нутой сфе в самой низкой ее точ
(рис. аи при любом отклонении его от этого положения он под действием собственного веса Q , будет возвращаться в начальное положение. Располагаясь в самой низкой точке сферы, шарик обладает минимальной потенциальной энергией и находится в состоянии тойчивого равновесия. Находясь в верхней точке выпуклой сферической поверхности б, шарик находится в состоянии неустойчивого равновесия и обладает максимальной потенциальной энергией. При любом на него воздействии он будет перемещаться в более низкие точки сферы, занимая устойчивое положение. Если шарик находится на горизонтальной в, то при любых горизонтальных перемещениях его потенциальная энергия не изменяется. Приращение потенциальной энергии П, что соответствует безразличному состоянию системы. Полная потенциальная энергия упругой системы численно равна работе внешних и внутренних сил, совершаемой ими при переводе системы из деформированного состояния в начальное, недеформированное. Изменение потенциальной энергии определяется равенством П,
(5.14) где
T
U ,
– изменения работы соответственно внутренних и внешних сил системы при небольшом отклонении ее от состояния равновесия.
85
П
∆ п
должно быть рано нулю. Этот принцип наглядно прослеживается на примере абсолютно твердого шарика, помещаемого на различных поверхностях (рис 5.12). а)
П=min
П=max б)
∆П=0
в)
Q
Q
Q
Рис. 5.12 Шарик, находящийся на вог рической поверхности, располагается ке ус (рис. плоскости рис. нутой сфе в самой низкой ее точ
(рис. аи при любом отклонении его от этого положения он под действием собственного веса Q , будет возвращаться в начальное положение. Располагаясь в самой низкой точке сферы, шарик обладает минимальной потенциальной энергией и находится в состоянии тойчивого равновесия. Находясь в верхней точке выпуклой сферической поверхности б, шарик находится в состоянии неустойчивого равновесия и обладает максимальной потенциальной энергией. При любом на него воздействии он будет перемещаться в более низкие точки сферы, занимая устойчивое положение. Если шарик находится на горизонтальной в, то при любых горизонтальных перемещениях его потенциальная энергия не изменяется. Приращение потенциальной энергии П, что соответствует безразличному состоянию системы. Полная потенциальная энергия упругой системы численно равна работе внешних и внутренних сил, совершаемой ими при переводе системы из деформированного состояния в начальное, недеформированное. Изменение потенциальной энергии определяется равенством П,
(5.14) где
T
U ,
– изменения работы соответственно внутренних и внешних сил системы при небольшом отклонении ее от состояния равновесия.
85
Расчет систем на устойчивость энергетическим методом состоит в следующем. При бесконечно малом отклонении системы от начальной формы равновесия в ее элементах возникнут дополнительные внутренние силы
Q
M ,
и N . Эти внутренние силы M Q
,
и N и внешние нагрузки
( )
P
q,
совершат некоторую работу. Если окажется, что П, то система устойчива, а если П – система неустойчива. Равенство дает значения нагрузок, при которых станови возможной потеря устойчивости первоначальной формы равновесия системы. В случае безразличного состояния системы будем иметь тся
П
∆
0
=
−
=
T
U
, откуда
T
U
= .
(5.15) Как известно, потенциальная энергия внутренних сил определяется выражением) где
Q
M ,
и N – дополнительные усилия в элементах системы, возникаю- при щие отклонении ее от начального положения равновесия
m – количество элементов в системе
µ
– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в сечениях элементов. Для систем из элементов сплошного сечения, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, имеем
∑ ∫
=
m l
EI
0
dx
M
U
1 2
2
,
(5.17) или, учитывая зависимость
x
M
y
EI
=
′′
−
:
( )
[
]
∑ ∫
′′
=
m l
dx
x
y
EI
U
1 0 2
2 1
(5.18) Работу вертикально приложенных узловых нагрузок можно определить
i
n
i
i
P
T
δ
∑
=
=
1
,
(15.19)
86
Q
M ,
и N . Эти внутренние силы M Q
,
и N и внешние нагрузки
( )
P
q,
совершат некоторую работу. Если окажется, что П, то система устойчива, а если П – система неустойчива. Равенство дает значения нагрузок, при которых станови возможной потеря устойчивости первоначальной формы равновесия системы. В случае безразличного состояния системы будем иметь тся
П
∆
0
=
−
=
T
U
, откуда
T
U
= .
(5.15) Как известно, потенциальная энергия внутренних сил определяется выражением) где
Q
M ,
и N – дополнительные усилия в элементах системы, возникаю- при щие отклонении ее от начального положения равновесия
m – количество элементов в системе
µ
– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений в сечениях элементов. Для систем из элементов сплошного сечения, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, имеем
∑ ∫
=
m l
EI
0
dx
M
U
1 2
2
,
(5.17) или, учитывая зависимость
x
M
y
EI
=
′′
−
:
( )
[
]
∑ ∫
′′
=
m l
dx
x
y
EI
U
1 0 2
2 1
(5.18) Работу вертикально приложенных узловых нагрузок можно определить
i
n
i
i
P
T
δ
∑
=
=
1
,
(15.19)
86
где
i
δ – перемещение точки приложения внешней силы по ее направлению, вызванное изгибом сжимаемого стержня.
dx
а)
КР
P
P
P
P
δ
dx cosd
ω
d
ω
б)
∆∆
ω
ω
δδ
∆
δ
ω
ω
dx
Рис. 5.13 Например направлению при изгибе стержня, им, перемещение силы Р по ее изображенного на риса, пр ме равным
δ
. Для определения
δ
выделим из стержня бесконечн малый лемент и определим вертикаль- ещение его конца при повороте некоторый о
dx э
ное см элемента dx на малый угол
ϕ
d (рис. б
(
)
dx
d
dx
dx
dx
2
sin
2
cos
1
cos
2
ϕ
ϕ
ϕ
δ
=
−
=
−
=
∆
ма
ϕ
d можно принять Ввиду лости угла
2 2
4 1
2 2
sin
tg
d
d
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ϕ
ϕ
( )
2 2
4 1
y
d
′
=
ϕ
( )
( )
y
dx
2 2
1
′
=
∆
δ
dx
y
2 4
1 2
′
=
и полное перемещение при изгибе стержня Тогда
( )
∫
′ dx
y
0 2
δ
(5.20)
=
l
2 Работа внешн й силы для рассмат е
риваемого стержня
( )
∫
l
dx
y
0 2
2
(5.21) тв (5.18) и (5.21), из полученного
′
=
=
кр
кр
P
P
T
1
δ
Приравнивая правые части равенс уравнения имеем
[
( )
[
]
( кр 5.22) и любых закреплениях концов стержня. Для системы с несколькими сжатыми стержнями критические нагрузки Формула (5.22) справедлива пр
i
δ – перемещение точки приложения внешней силы по ее направлению, вызванное изгибом сжимаемого стержня.
dx
а)
КР
P
P
P
P
δ
dx cosd
ω
d
ω
б)
∆∆
ω
ω
δδ
∆
δ
ω
ω
dx
Рис. 5.13 Например направлению при изгибе стержня, им, перемещение силы Р по ее изображенного на риса, пр ме равным
δ
. Для определения
δ
выделим из стержня бесконечн малый лемент и определим вертикаль- ещение его конца при повороте некоторый о
dx э
ное см элемента dx на малый угол
ϕ
d (рис. б
(
)
dx
d
dx
dx
dx
2
sin
2
cos
1
cos
2
ϕ
ϕ
ϕ
δ
=
−
=
−
=
∆
ма
ϕ
d можно принять Ввиду лости угла
2 2
4 1
2 2
sin
tg
d
d
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ϕ
ϕ
( )
2 2
4 1
y
d
′
=
ϕ
( )
( )
y
dx
2 2
1
′
=
∆
δ
dx
y
2 4
1 2
′
=
и полное перемещение при изгибе стержня Тогда
( )
∫
′ dx
y
0 2
δ
(5.20)
=
l
2 Работа внешн й силы для рассмат е
риваемого стержня
( )
∫
l
dx
y
0 2
2
(5.21) тв (5.18) и (5.21), из полученного
′
=
=
кр
кр
P
P
T
1
δ
Приравнивая правые части равенс уравнения имеем
[
( )
[
]
( кр 5.22) и любых закреплениях концов стержня. Для системы с несколькими сжатыми стержнями критические нагрузки Формула (5.22) справедлива пр
для них находятся приравниванием авых частей раве
При этом внешние узловые нагрузки целесообразно выразить через одну из них спр нств (5.18) и (5.19). поправочными множителями
i
k
и формула (5.22) примет вид
( )
[
]
( )
[
]
∑ ∫
∑
∑ ∫
′
−
=
i
m l
k
dx
y
EI
1 1 0 2
,
(5.23)
′
′
=
n кр 0 где n – число загруженных стержней системы. Критические нагрузки получаем по условию
( )
кр
i
i
кр
P
k
P
=
Применение энергетического метода рассмотрим на примере упругого шарнирно опертого стержня постоянного сечения (рис. 5.11), приняв уравнение упругой линии в деформированно его состоянии по формуле (5.13), тем, где
0
y
– прогиб стержня в середине пролета. В случае нашем и
′
l
x
l
y
y
π
π
sin
2 Числитель в выражении (5.22)
( )
[
]
′′
3 4
4 2
0 4
2 2
l
x
EI
l
l
π
π
π
π
=
=
′′
∫
∫
2 0
4 0
0 4
0 Знаменатель в выражении (5.22)
( )
[
]
l
y
l
l
y
dx
l
x
l
y
dx
x
y
l
l
2 2
cos
2 2
0 2
2 2
0 0
0 2
2 2
2 Критическая нагрузка по формуле (5.22)
2 2
2 2
0 3
4 2
0 2
2
l
EI
y
l
l
y
EI
P
кр
π
π
π
=
⋅
=
Получено точное решение, так как изогнутая ось стойки принята по той кривой, которая соответствует действительному изгибу стойки в момент потери ею устойчивости (5.13).
88
При этом внешние узловые нагрузки целесообразно выразить через одну из них спр нств (5.18) и (5.19). поправочными множителями
i
k
и формула (5.22) примет вид
( )
[
]
( )
[
]
∑ ∫
∑
∑ ∫
′
−
=
i
m l
k
dx
y
EI
1 1 0 2
,
(5.23)
′
′
=
n кр 0 где n – число загруженных стержней системы. Критические нагрузки получаем по условию
( )
кр
i
i
кр
P
k
P
=
Применение энергетического метода рассмотрим на примере упругого шарнирно опертого стержня постоянного сечения (рис. 5.11), приняв уравнение упругой линии в деформированно его состоянии по формуле (5.13), тем, где
0
y
– прогиб стержня в середине пролета. В случае нашем и
′
l
x
l
y
y
π
π
sin
2 Числитель в выражении (5.22)
( )
[
]
′′
3 4
4 2
0 4
2 2
l
x
EI
l
l
π
π
π
π
=
=
′′
∫
∫
2 0
4 0
0 4
0 Знаменатель в выражении (5.22)
( )
[
]
l
y
l
l
y
dx
l
x
l
y
dx
x
y
l
l
2 2
cos
2 2
0 2
2 2
0 0
0 2
2 2
2 Критическая нагрузка по формуле (5.22)
2 2
2 2
0 3
4 2
0 2
2
l
EI
y
l
l
y
EI
P
кр
π
π
π
=
⋅
=
Получено точное решение, так как изогнутая ось стойки принята по той кривой, которая соответствует действительному изгибу стойки в момент потери ею устойчивости (5.13).
88
Недостатком энергетического метода является то, что необходимо задаваться уравнениями упругих линий изогнутых стержней в момент потери устойчивости. Отсюд и приближенность получаемого решения этим методом. Чем ближе принятые уравнения изогнутых осей стержней к действительной их форме деформации в момент потери устойчивости, тем точнее получаемый результат. Кроме того, для вычисленной критической нагрузки неизвестна степень точности ее чения. В общем случае энергетический метод дает завышенные значения критических ила зна с
Динамический метод. В общем случае решение динамическим методом своди и определению частот собственных колебаний этих масс. Равновеси системы будет устойчивым л ания ее масс будут затухающими или просто восстанавли- состояние системы. Значение критической нагрузки находят по частотам собственных колебаний. Если эта частота положительна, то итическом безразличном) состоянии, а мнимое зна ствует неустойчивому состоянию системы. тойчивости упругих стержневых систем выполняется, как правило, татическим или энергетическим методам мся в дальнейшем.
Динамический метод. В общем случае решение динамическим методом своди и определению частот собственных колебаний этих масс. Равновеси системы будет устойчивым л ания ее масс будут затухающими или просто восстанавли- состояние системы. Значение критической нагрузки находят по частотам собственных колебаний. Если эта частота положительна, то итическом безразличном) состоянии, а мнимое зна ствует неустойчивому состоянию системы. тойчивости упругих стержневых систем выполняется, как правило, татическим или энергетическим методам мся в дальнейшем.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13
ос
я
наименьшей критической сжимающей нагрузки, действующей на упругий стержень постоянного сечения с шарни еет ид (5.12): тся к отыскиванию уравнений движения масс системы е
, если ко еб вается первоначальное равновесие устойчиво если она равна нулю – система в кр чение наименьшей частоты соответ-
В расчетной практике решение задач ус си, которыми мы воспользуе
5.6. Устойчив
ть стержней постоянного сечени
с жесткими опорами Формула Л.Эйлера для определения рно опертыми концами, им в 2
l
EI
P
кр
π
=
Для стержней постоянного сечения с различными опорными закрепле-
89
ниями узка может быть определена по щей формуле критическая нагр об )
2 кр,
2 2
EI
EI
π
π
(5.24) где – приведенная (расчетная) длина сжатого стержня (это понятие впервые введено Ф.С. Ясинским в конце XIX века и лежит в основе практических методов расчета сжатых и сжато-изогнутых элементов конструкций согласно действующих норм
0
l
µ
– коэффициент расчетной длины, определяемый
l
l
0
=
µ
,
(5.25)
l – геометрическая длина сжатого стержня. Из равенства (5.24) получаем формулу для определения расчетной длины сжатого стержня кр,
(5.26) где кр – значение критической нагрузки для данного стержня. В таблице 5.1 приведены формулы для определения критических сил для центрально нагруженных упругих стержней личны э
ци та расчетной длины постоянного сечения с раз- ми опорными закреплениями, расчетные длины этих стержней и значения ко ффи ен
µ
90
2 кр,
2 2
EI
EI
π
π
(5.24) где – приведенная (расчетная) длина сжатого стержня (это понятие впервые введено Ф.С. Ясинским в конце XIX века и лежит в основе практических методов расчета сжатых и сжато-изогнутых элементов конструкций согласно действующих норм
0
l
µ
– коэффициент расчетной длины, определяемый
l
l
0
=
µ
,
(5.25)
l – геометрическая длина сжатого стержня. Из равенства (5.24) получаем формулу для определения расчетной длины сжатого стержня кр,
(5.26) где кр – значение критической нагрузки для данного стержня. В таблице 5.1 приведены формулы для определения критических сил для центрально нагруженных упругих стержней личны э
ци та расчетной длины постоянного сечения с раз- ми опорными закреплениями, расчетные длины этих стержней и значения ко ффи ен
µ
90
Таблица 5.1 4 EI
Р
кр o
Р
кр а
ня
Схем стерж
1 2
2 2
2
EI
4
Р
кр
Р
кр
0.7 20.19
EI
0.7 1
0.5 0.5
Р
кр
Р
кр
2 2
2 Все формулы критических нагрузок, приведенные в таблице 5.1, получены статическим методом и позволяю ских сил.
5.7. Устойчивость стержней постоя
На риса приведена стержнев стойка АВ с обоими шарнирными конца енная силой т получить точные значения критиче-
нного сечения с упругими опорами
ая система, в состав которой входит ми, нагруж
P .
EI =
A
EI
Р
а)
B
2
C
EI
1
Расчетная
схема
A
EI
б)
D
B
Р
в)
EI
EI
A
A
d
Р
кр
B
I
г)
B
Р
кр c
f Рис. 5.14 Нижняя опора стойки AB шарнирно неподвижная, а верхним шарниром вона соединена с остальной системой. Верхняя опора этой стойки может перемещаться в горизонтальном направлении ввиду податливости системы целом. Если пренебречь продольными деформациями стержня BD ввиду их малости в сравнении с деформациями изгиба стержня (условно принято CD
∞
=
2
EI
), то перемещение верхней опоры
B будет определяться упругим изгибом стержня. Опорные закрепления такого характера принято называть упруго
, и обозначаются они условно в виде пружины рис. б, обеспечивающей упругое смещение опоры. изгибе податливыми линейное
В рассматриваемом случае мы имеем упругую линейно податливую опору и возможная форма потери устойчивости, соответствующая меньшему значению критической нагрузки, зависит от жесткости при
EI нагруженного стержня AB и жесткости упругой опоры, роль которой играет стержень. При решении конкретных задач отыскивается наименьшее значение критической нагрузки, которое принимается в качестве расчетного. ны) и малой жесткости сжимаемого стержня
При большой жесткости упругой опоры (пружи
AB , потеря устойчивости произойти в форме изгиба этого стержня без горизонтального перемещения его верхней опоры рис. уле Л.
Э
тливости) упругой опоры и большой жесткости нагруженного стержня может в. В этом случае критическая сила определяется по форм йлера (При малой жесткости (большой пода он может по повор терять устойчивость, ачиваясь на некоторый угол
ϕ
d , оставаясь прямолинейным (рис. г. Рассмотрим эту форму потери и для определения критической е
потере устой- ти устойчивости нагрузки воспользуемся энергетическим м тодом. Пусть при чивос стержень AB повернулся на некоторый угол
, как показано на рис. г и опора B перемет с илась по горизонтали на величину. Определим ре них сил, выполненную ими при переходе системы состояние. Обозначим аботу внутренних и вн ш
C
в новое деформированное – жес ь упругой опоры, определяемая силой, необходимой для перемещения этой опоры ткост
92
Р
кр o
Р
кр а
ня
Схем стерж
1 2
2 2
2
EI
4
Р
кр
Р
кр
0.7 20.19
EI
0.7 1
0.5 0.5
Р
кр
Р
кр
2 2
2 Все формулы критических нагрузок, приведенные в таблице 5.1, получены статическим методом и позволяю ских сил.
5.7. Устойчивость стержней постоя
На риса приведена стержнев стойка АВ с обоими шарнирными конца енная силой т получить точные значения критиче-
нного сечения с упругими опорами
ая система, в состав которой входит ми, нагруж
P .
EI =
A
EI
Р
а)
B
2
C
EI
1
Расчетная
схема
A
EI
б)
D
B
Р
в)
EI
EI
A
A
d
Р
кр
B
I
г)
B
Р
кр c
f Рис. 5.14 Нижняя опора стойки AB шарнирно неподвижная, а верхним шарниром вона соединена с остальной системой. Верхняя опора этой стойки может перемещаться в горизонтальном направлении ввиду податливости системы целом. Если пренебречь продольными деформациями стержня BD ввиду их малости в сравнении с деформациями изгиба стержня (условно принято CD
∞
=
2
EI
), то перемещение верхней опоры
B будет определяться упругим изгибом стержня. Опорные закрепления такого характера принято называть упруго
, и обозначаются они условно в виде пружины рис. б, обеспечивающей упругое смещение опоры. изгибе податливыми линейное
В рассматриваемом случае мы имеем упругую линейно податливую опору и возможная форма потери устойчивости, соответствующая меньшему значению критической нагрузки, зависит от жесткости при
EI нагруженного стержня AB и жесткости упругой опоры, роль которой играет стержень. При решении конкретных задач отыскивается наименьшее значение критической нагрузки, которое принимается в качестве расчетного. ны) и малой жесткости сжимаемого стержня
При большой жесткости упругой опоры (пружи
AB , потеря устойчивости произойти в форме изгиба этого стержня без горизонтального перемещения его верхней опоры рис. уле Л.
Э
тливости) упругой опоры и большой жесткости нагруженного стержня может в. В этом случае критическая сила определяется по форм йлера (При малой жесткости (большой пода он может по повор терять устойчивость, ачиваясь на некоторый угол
ϕ
d , оставаясь прямолинейным (рис. г. Рассмотрим эту форму потери и для определения критической е
потере устой- ти устойчивости нагрузки воспользуемся энергетическим м тодом. Пусть при чивос стержень AB повернулся на некоторый угол
, как показано на рис. г и опора B перемет с илась по горизонтали на величину. Определим ре них сил, выполненную ими при переходе системы состояние. Обозначим аботу внутренних и вн ш
C
в новое деформированное – жес ь упругой опоры, определяемая силой, необходимой для перемещения этой опоры ткост
92
B приложены две силы
– по вертикали и
кр
P
f
C
⋅
на единицу. К шарниру – по горизонтали. хил Работа внутренни с 2
1 2
1
f
C
f
f
C
U
⋅
=
⋅
⋅
=
, где
f
C
⋅ – сила, необходимая для смещения опоры на личину f .
ве
Работа, выполненная внешней нагрузкой (формула 5.21),
δ
кр
P
T
=
На основании зависимости (5.20)
( )
l
f
f
f
l
l
l
1 1
1 1
2 2
2 2
2
⎞
⎛
l
l
dx
l
dx
d
tg
dx
y
2 2
2 2
2 2
0 0
0
=
=
⎟
⎠
⎜
⎝
=
′
=
∫
∫
∫
ϕ
δ
гда
=
l
f
P
T
кр
2 То о условию, откуда
f
кр
2 2
2 П (5.15)
Сl
P
=
(5.27)
кр
Поскольку действительная форма потери устойчивости заранее неизвестна, то для стержней с расчетной схемой крити и по формуле (5.27) необходимо отыск ач
, изображенной на (рис. б, ческие силы определяют по формулами, а в качестве расчетного принимают меньшее значение из этих нагрузок. Для определения критической нагрузк ать жесткость упругой опоры, зн ение силы C , при которой переме- щени ой ы будет равное п
ожет быть найдено по формуле Мора, а именное эт опор динице. Это еремещение м наш) Например, в ем случае эпюры изгибающих моментов от силы C в заданном состоянии и от
1
=
P
во вспомогательном состоянии показаны со- ответственн на риса об а)
б)
c
P=1
C
D
M
C
EI
1
c
C
M
D
EI
1
D
1 1
1 Рис. 5.15 Перемещение шарнира D , и такое же будет перемещение шарнира B ,
) в горизонтальном направлении
(
∞
=
2
EI
∑ ∫
=
=
=
1 3
1 1
1 1
1 1
3 3
2 2
1 Из условия
1 3
1 3
1
=
EI
Cl
получаем
3 1
1 3
l
EI
C
=
и по формуле (5.27) находим кр 1
1
(5.29) ной задаче конкретизировать решение и принять, например, а l
1
=l, то Если в рассмотрен 1
EI
EI
=
2 2
2 86
,
9 6
2 3
2 кр (по формуле (5.12)). При принятых значениях и l
1
расчетной будет критическая нагруз-
1
EI
EI
B
P
КР
A
Р
2
EI
=
2EI
C
D
d можно записать ка, найденная по формуле (5.27), а возможная форма потери устойчивости показана на рис. 5.16. Формулу
(5.27) можно представить вином виде. Если учесть принятое определение жесткости упругой опоры, то Рис. 5.16 94
11
=
δ
C
1
,
(5.30) где
11
δ – перемещение упруго податливой опоры в горизонтальном направлении илой
1
=
P
, вызванное с. Тогда
11 и
11
δ
l
l
С
P
кр
=
=
(5.31) При определении критической силы по формуле (5.31) достаточно построить эпюру от силы
1
=
P
, приложенной в направлении возможного перемещения упругой и определить перемещение по формуле опоры
∑ ∫
=
EI
dx
M
2 1
11
δ
, что упрощает расчет. Упругой опорой может быть один стержень, несколько взаимосвязан- те жней или же часть статически определимой или неопределим к котор кает нагруженный стержень. В последнем случае при определении жесткости упругой опоры эпюра грузового состояния должна быть построена в заданной статически неопределимой системе вспомогательного состояния может быть взята в любой статически определимой основной системе сил. Если используется фор- ных одиночных срой системы, ой примы. Эпюра метода мула (5.31), то эпюру изгибающих моментов от силы
1
=
P
необходимо по- строи ведена стержневая система, в которой нагруженная стойк ть в заданной статически неопределимой системе. На риса при а AB постоянного вторая опора лин ая упругое перемещение в горизонтальном направлении. Расчетная схема нагруженной стойки сечения имеет одну защемленную опору, а ейно податливая, допускающ
AB показана на рис. б.
95
б)
A
B
EI
а)
EI
C
EI
=
1
Р
EI
D
EI
E
kEI
в)
A
B
EI
Р
y
A
A
B
Р
B
y
г) Р
кр o
c Рис. 5.17 В этом случае стержень AB не может перейти в новое деформированное состояние (новое положение равновесия, оставаясь прямолинейным, так как защемляющая опора не допускает свободного угла поворота. При линейном перемещении опоры B стержень будет изгибаться (рис. в. Рассмотрим деформированное состояние стержня под действием критической нагрузки и определим эту нагрузку статическим методом, пользуясь дифференциальным уравнением равновесия
y
EI
=
′′
−
x
M
(5.4). В деформированном состоянии на стерж чивать деформации ень действует критическая нагрузка кр , стремящаяся увели его изгиба и сила со стороны упругой опоры
f
C
⋅ , препятствующая его отклонению от начального положения равновесия (рис. г. Изгибающий момент в произвольном сечении стержня
(
)
(
)
x
l
f
C
y
f
P
M
кр
x
−
⋅
+
−
−
=
Тогда кр, или
(
)
x
l
f
C
f
P
y
P
y
EI
кр
кр
−
⋅
−
=
+
′′
Разделив слагаемые последнего равенства на EI и обозначив
EI
P
n
=
,
(5.32) дифференциальное уравнени
кр
е принимает вид
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
+
′′
x
l
EI
C
n
f
y
n
y
2 Решение этого уравнения
96
A
B
EI
а)
EI
C
EI
=
1
Р
EI
D
EI
E
kEI
в)
A
B
EI
Р
y
A
A
B
Р
B
y
г) Р
кр o
c Рис. 5.17 В этом случае стержень AB не может перейти в новое деформированное состояние (новое положение равновесия, оставаясь прямолинейным, так как защемляющая опора не допускает свободного угла поворота. При линейном перемещении опоры B стержень будет изгибаться (рис. в. Рассмотрим деформированное состояние стержня под действием критической нагрузки и определим эту нагрузку статическим методом, пользуясь дифференциальным уравнением равновесия
y
EI
=
′′
−
x
M
(5.4). В деформированном состоянии на стерж чивать деформации ень действует критическая нагрузка кр , стремящаяся увели его изгиба и сила со стороны упругой опоры
f
C
⋅ , препятствующая его отклонению от начального положения равновесия (рис. г. Изгибающий момент в произвольном сечении стержня
(
)
(
)
x
l
f
C
y
f
P
M
кр
x
−
⋅
+
−
−
=
Тогда кр, или
(
)
x
l
f
C
f
P
y
P
y
EI
кр
кр
−
⋅
−
=
+
′′
Разделив слагаемые последнего равенства на EI и обозначив
EI
P
n
=
,
(5.32) дифференциальное уравнени
кр
е принимает вид
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
=
+
′′
x
l
EI
C
n
f
y
n
y
2 Решение этого уравнения
96
( )
( )
(
)
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
+
+
=
x
l
EI
n
C
f
nx
B
nx
A
y
2 1
cos Для определения и f используем граничные условия
1) при
0
,
0
=
=
y
x
; 2) при
f
y
l
x
=
= ,
;
3) при По первому условию
0 1
1 2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
EI
n
l
C
f
B
0
+
⋅
= По второму условию
( )
( )
f
f
nl
B
nl
A
y
=
+
⋅
+
⋅
=
cos По третьему условию
( )
( )
EI
n
C
f
nx
n
B
nx
n
A
y
2
sin При
0
=
x
0 0
1 Система однородных линейных уравнений имеет вид
( )
( )
⎪
⎞
⎛
l
C
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⎟
⎠
⎜
⎝
−
⋅
+
⋅
+
⋅
0 0
;
0 0
cos sin
;
0 1
1 0
2 По условию (5.3) получаем характеристическое уравнение
( )
( )
0 0
0
cos Раскрыв определитель, имеем
2
⎟
⎞
l
C
1 1
0
⎜
⎛ −
( )
( )
0
sin
1
cos
2 2
=
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Разделив слагаемые последнего равенства на
( )
nl
cos
, раскрыв скобки и преобразовав, получаем уравнение устойчивости в следующем виде
( )
( )
3 3
l
C
EI
nl
nl
nl
tg
−
=
(5.33) Уравнение (5.33) решается путем подбора такого значения параметра
97
nl , при котором выполняется равенство. Если такое значение nl найдено, то по условию (5.32) кр) Выявим границы, в пределах которых могут находиться значения параметра икр. Если
( )
2
,
,
0
π
−
=
−∞
=
=
nl
nl
tg
C
икр (случай, когда нижний конец стойки защемлена верхний свободный. Если
( )
493
,
4
,
,
=
=
∞
=
nl
nl
nl
tg
C
икр, что соответствует условию, когда нижний конец стойки защемлена верхний шарнирно оперт. Оба эти граничные значения критических сил соответствуют формулам Л. Эйлера (табл. 5.1). В рассматриваемом примере предельные значения параметра nl и критической нагрузки определяются условиями
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
19
,
20 4
;
493
,
4 57
,
1 2
2 2
l
EI
P
l
EI
l
n
кр
π
5.34а Проследим ход решения такого типа задач на примере рассмотренной выше системы (а. Роль упругой опоры играет рама СЕ. Расчетная схема нагруженной стойки приведена на рис. б. Построив эпюру изгибающих моментов при действии силы
1
=
P
(рис. 5.18), горизонтальное перемещение узла C (такое же перемещение дети опоры В) найдем по формуле бу
∑ ∫
=
EI
dx
M
2 1
11
способом перемножения эпюр. Пользуясь зависимостью, определим характеристику упругой опоры
δ
11 1
=
C
δ
98
Р=1
D
C
M
1
E
/2
/2
/2
/2
Рис. 5.18 Подставив выражение характеристики упругой льзуясь а) значение опоры (Св уравнение
(5.33), отыскиваем (по nl , при котором удовлетворяется уравнение муле (5.34) находим значение критической стержень с верхним свободными нижним упруго защемленными концами. Предполагается, что в упруго-защемляющей опоре средний узел, а затем по фор- силы. На риса изображен центрально нагруженный остается л в тов инейно неподвижным, ремя как узлы A и C могут перемещаться в вертикальном направлении, ввиду упругой податливости опорных частей этих узлов. kEI
A
kEI
B
EI
C
A
y kEI
y
EI
а)
Р
б)
кр
Р
kEI
o
B
C
x d
f d
x
=
k
∞
с
Рассмотрим этот стержень в деформированном состоянии под действием критической нагрузки. Решение задачи выполним статическим методом. Обозначим через
Ри . 5.19
C жесткость упруго защемленной опоры В , определяемую моментом, необходимым для поворота той опоры на угол, равный единице. Дифференциальное уравнение равновесия примем в виде э
x
M
y
EI
=
′′
−
г бающий момент в произвольном сечении Из икр и
f
P
y
P
y
EI
кр
кр
=
+
′′
Разделив все слагаемы последнего равенства на EI и обозначив
99
кр, получаем имеет вид
f
n
y
n
y
2 Решение этого уравнения
( )
( )
f
x
n
B
x
n
A
y
+
⋅
+
⋅
=
cos sin
(5.35) Для определения постоянных в уравнении (5.35) воспользуемся граничными условиями
1) при
0
,
0
=
=
y
x
; 2) при
f
y
l
x
=
= ,
;
3) при
C
M
y
x
3
,
0
=
′
=
, где
– момент в защемляющ е, равный
f
P
кр
⋅
ей опор
=
3
M
По первому условию
0 0
1 По второму условию
( )
( )
f
f
l
n
B
l
n
A
y
=
+
⋅
+
⋅
=
cos По третьему условию
( )
( )
x
n
n
B
x
n
sin При
0
=
x
,
C
B
n
A
y
=
⋅
−
⋅
⋅
=
′
0 1
,
f
P
кр
или
⎟
⎠
⎜
⎝
=
=
−
⋅
−
⋅
=
′
EI
n
C
f
B
n
A
y
,
0 Линейные уравнения
( )
( кр 0
;
0 0
cos sin
;
0 1
1 По условию (5.3) получаем характеристическое уравнение в виде
( )
( )
0 0
0
cos sin
1 1
0 2
=
−
=
C
EI
n
n
nl
nl
D
, откуда
( )
( )
0
sin cos
2
=
+
−
C
EI
n
nl
nl
n
,
100
f
n
y
n
y
2 Решение этого уравнения
( )
( )
f
x
n
B
x
n
A
y
+
⋅
+
⋅
=
cos sin
(5.35) Для определения постоянных в уравнении (5.35) воспользуемся граничными условиями
1) при
0
,
0
=
=
y
x
; 2) при
f
y
l
x
=
= ,
;
3) при
C
M
y
x
3
,
0
=
′
=
, где
– момент в защемляющ е, равный
f
P
кр
⋅
ей опор
=
3
M
По первому условию
0 0
1 По второму условию
( )
( )
f
f
l
n
B
l
n
A
y
=
+
⋅
+
⋅
=
cos По третьему условию
( )
( )
x
n
n
B
x
n
sin При
0
=
x
,
C
B
n
A
y
=
⋅
−
⋅
⋅
=
′
0 1
,
f
P
кр
или
⎟
⎠
⎜
⎝
=
=
−
⋅
−
⋅
=
′
EI
n
C
f
B
n
A
y
,
0 Линейные уравнения
( )
( кр 0
;
0 0
cos sin
;
0 1
1 По условию (5.3) получаем характеристическое уравнение в виде
( )
( )
0 0
0
cos sin
1 1
0 2
=
−
=
C
EI
n
n
nl
nl
D
, откуда
( )
( )
0
sin cos
2
=
+
−
C
EI
n
nl
nl
n
,
100
или
( )
0 1
=
−
nl
tg
C
nEI
и
( Умножая числитель и знаменатель правой части последнего равенства на l , имеем
( ) ( )
EI
nl
l
C
nl
tg
=
(5.36) Как ив предыдущем случае, уравнение (5.36) решается подбором такого значения nl , при котором удовлетворяется равенство, а затем по формуле
(5.34)
находят значение критической силы
Установим предельные значения nl икр для решаемой задачи. При
( )
0
,
0
=
=
nl
tg
C
и значения n
( l ) могут ыть: б и т.д. В рассматриваемом случае все значения
0
>
nl
не могут быть реализованы, так как значение
0
=
C
соответствует наличию шарнира в упруго защемленной опоре и заданная система становится геометрически изменяемой. Поэтому, приняв
0
=
nl
, получаем
l
n
0
= икр) При
( )
∞
=
∞
=
nl
tg
C
,
. Этому условию соответствует наименьший корень равный
2 2
4 l
EI
2
π
=
nl
икр и наличие защемления в точке
 . Итак, предельные значения nl икр 0
0 2
2
l
EI
P
кр
π
На риса приведен пример центрально нагруженной стойки, верхняя шарнирная опора которой не может смещаться по горизонтали, а нижняя опора упруго защемленная. Решение этой задачи статическим методом с использованием зависимости
x
M
y
EI
=
′′
−
аналогично предыдущему (рис б
( кр
0 По условию (5.3) уравнение устойчивости будет
n
( )
( )
0 1
0 0
cos sin
1 0
2 2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
C
l
EI
n
n
nl
nl
EI
n
l
D
, откуда
( )
( )
0 1
sin cos
2 Разделив на, имеем
( )
nl
cos
( )
0 1
2 Тогда
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
C
l
EI
n
EI
n
nl
C
l
EI
n
nEI
l
nl
tg
2 2
2 1
1 1
, или
( )
( )
Cl
EI
nl
nl
nl
tg
2 1
+
=
(5.37) Уравнение (5.37) решается путем подбора. Предельные значения
( )
nl и находим из условий
1) наименьший отличный от нуля корень
кр
P
( )
;
0
,
0
=
=
nl
tg
C
( )
π
=
nl
икр (шарнирно опертая стойка.
2)
( )
493
,
4
;
,
=
=
∞
=
nl
nl
nl
tg
C
(путем подбора) и
2 19
,
20
l
EI
P
кр
=
(стойка с верхним шарнирно опертыми нижним защемленным концами. Тогда граничные значения
( )
nl и будут кр
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
19
,
20
;
493
,
4 14
,
3 2
2 кр
( )
0 1
=
−
nl
tg
C
nEI
и
( Умножая числитель и знаменатель правой части последнего равенства на l , имеем
( ) ( )
EI
nl
l
C
nl
tg
=
(5.36) Как ив предыдущем случае, уравнение (5.36) решается подбором такого значения nl , при котором удовлетворяется равенство, а затем по формуле
(5.34)
находят значение критической силы
Установим предельные значения nl икр для решаемой задачи. При
( )
0
,
0
=
=
nl
tg
C
и значения n
( l ) могут ыть: б и т.д. В рассматриваемом случае все значения
0
>
nl
не могут быть реализованы, так как значение
0
=
C
соответствует наличию шарнира в упруго защемленной опоре и заданная система становится геометрически изменяемой. Поэтому, приняв
0
=
nl
, получаем
l
n
0
= икр) При
( )
∞
=
∞
=
nl
tg
C
,
. Этому условию соответствует наименьший корень равный
2 2
4 l
EI
2
π
=
nl
икр и наличие защемления в точке
 . Итак, предельные значения nl икр 0
0 2
2
l
EI
P
кр
π
На риса приведен пример центрально нагруженной стойки, верхняя шарнирная опора которой не может смещаться по горизонтали, а нижняя опора упруго защемленная. Решение этой задачи статическим методом с использованием зависимости
x
M
y
EI
=
′′
−
аналогично предыдущему (рис б
( кр
kEI
A
а)
D
Р
y kEI
B
C
A
kEI
o
D
EI
Р
б)
y
EI
x
C
kEI
B
кр
R
A
d Рис. 5.20. Тогда кр, или
(
)
x
l
R
y
P
y
EI
кр
−
−
=
+
′′
Разделив слагаемые последнего равенства на EI и обозначив кр, имеем Решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
( )
( )
(
)
x
l
EI
n
R
nx
B
nx
A
y
−
−
⋅
+
⋅
=
2
cos Приграничных условиях получаем три линейных уравнения, а именно по первому условию
0 1
0 2
=
−
⋅
+
⋅
=
EI
n
l
R
B
A
y
; по второму условию
( )
( )
0 0
cos sin
=
−
⋅
+
⋅
=
nl
B
nl
A
y
; по третьему условию
( )
( )
EI
n
R
nx
n
B
nx
n
A
y
2
sin При
0
=
x
C
M
EI
n
R
n
B
n
A
y
=
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
′
2 При принятых исходных данных
l
R
M
⋅
−
=
и последнее равенство можно записать
102
A
а)
D
Р
y kEI
B
C
A
kEI
o
D
EI
Р
б)
y
EI
x
C
kEI
B
кр
R
A
d Рис. 5.20. Тогда кр, или
(
)
x
l
R
y
P
y
EI
кр
−
−
=
+
′′
Разделив слагаемые последнего равенства на EI и обозначив кр, имеем Решение этого неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
( )
( )
(
)
x
l
EI
n
R
nx
B
nx
A
y
−
−
⋅
+
⋅
=
2
cos Приграничных условиях получаем три линейных уравнения, а именно по первому условию
0 1
0 2
=
−
⋅
+
⋅
=
EI
n
l
R
B
A
y
; по второму условию
( )
( )
0 0
cos sin
=
−
⋅
+
⋅
=
nl
B
nl
A
y
; по третьему условию
( )
( )
EI
n
R
nx
n
B
nx
n
A
y
2
sin При
0
=
x
C
M
EI
n
R
n
B
n
A
y
=
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
′
2 При принятых исходных данных
l
R
M
⋅
−
=
и последнее равенство можно записать
102
0 По условию (5.3) уравнение устойчивости будет
n
( )
( )
0 1
0 0
cos sin
1 0
2 2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
C
l
EI
n
n
nl
nl
EI
n
l
D
, откуда
( )
( )
0 1
sin cos
2 Разделив на, имеем
( )
nl
cos
( )
0 1
2 Тогда
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
C
l
EI
n
EI
n
nl
C
l
EI
n
nEI
l
nl
tg
2 2
2 1
1 1
, или
( )
( )
Cl
EI
nl
nl
nl
tg
2 1
+
=
(5.37) Уравнение (5.37) решается путем подбора. Предельные значения
( )
nl и находим из условий
1) наименьший отличный от нуля корень
кр
P
( )
;
0
,
0
=
=
nl
tg
C
( )
π
=
nl
икр (шарнирно опертая стойка.
2)
( )
493
,
4
;
,
=
=
∞
=
nl
nl
nl
tg
C
(путем подбора) и
2 19
,
20
l
EI
P
кр
=
(стойка с верхним шарнирно опертыми нижним защемленным концами. Тогда граничные значения
( )
nl и будут кр
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
19
,
20
;
493
,
4 14
,
3 2
2 кр
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 13