Файл: Учебное пособие для студентов строительных специальностей высших учебных заведений Минск 2004.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.02.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
5.8. Устойчивость плоских рам Общие положения
р сть рам. С целью упрощения расчета рам на устойчивость принимаются следующие допущения
– рассматривается только узловая нагрузка, не вызывающая поперечного изгиба стержней рамы
– предполагается, что критическое состояние рамы достигается при одновременном и пропорциональном возрастании всех узловых нагрузок
– стержни рамы принимаются несжимаемыми и нерастягиваемыми пренебрегают изменениями длин стержней, вызванными продол деформациями в этих стержнях малых перемещениях заданной системы. Такой подход в исследовани вости рам применяется при действии емы на прочность. Найденные значения продольных сил в элементах сист расчете ее на устойчивость. рама, в которой сосредоточенная нагрузка Рассмотренные выше (5.5) методы решения задач устойчивости являются общими и используются для определения критических сил как вот- дельных стержнях, таки в любых стержневых системах, в том числе в рамах. Основными являются статический и энергетический методы. Ниже ассмат- ривается применение статического метода в расчетах на устойчиво ьными
– пренебрегают сближением концов стержня при его изгибе
– не учитываются изменения продольных и поперечных сил в стержнях при их изгибе в момент потери устойчивости. Первое допущение узловая нагрузка принимается на том основании, что рассматривается потеря устойчивости первого рода, а остальные – ввиду малости деформаций в момент потери устойчивости при бесконечно и устойчи на них любых (в том числе внеузловых) нагрузок. Для определения узловых нагрузок выполняется расчет системы играют роль узловых нагрузок в На риса приведена
104
(
)
Q
H
H
B
A
=
=
y
V
=P
H
=Q
y
A
O
A
A а
B
кр
P
x
B
B
A
Q
M
M
б)
Q
B
B
-x
x
кр
B
Рис. 5.22 Изгибающий момент в произвольном сечении равен
x
x
Q
y
P
M
р
к
x
⋅
+
=
, или п условию (5.4)
I
р
к
о
y
P
y
x
Q
E
⋅
−
=
+
′′
(5.39) Разделив слагаемые уравнения (5.39) на EI , и, обозначив
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
2 2
,
l
EI
P
EI
P
l
р
к
р
к
ν
ν
,
(5.40) имеем
x
EI
Q
y
l
y
−
=
+
2
(5.4
′′
2
ν
1) Решение уравнения (5.41) имеет вид
2 2
cos sin
l
EI
x
Q
l
x
x
ν
ν
⎞
⎛
⎞
⎛
B
l
A
y
ν
−
⎟
⎠
⎜
⎝
+
⎟
⎠
⎜
⎝
=
(5.42) Для определения постоянных A и B воспользуемся граничными усло- иями
;
в
:
1) при
,
0
=
=
y
x
2) при По первому условию
0
=
B
, а по второму условию
0
sin
2 3
=
−
=
EI
l
Q
A
y
ν
ν
, откуда и уравнение изогнутой оси принимает вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎡
⎟
⎞
⎜
⎛
x
x
l
Q
ν
sin
3
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
−
⎠
⎝
⋅
=
l
l
EI
y
ν
ν
sin
2
(5.43)
1
,
−
=
=
′
=
B
z
y
l
x
(рис. 5.22). Воспользуемся условием при cos
1
sin cos
1
sin cos
2 2
3 2
3
l
x
EI
l
Q
l
x
l
EI
l
Q
l
l
x
l
EI
l
Q
y
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
ν
ν
ν
ν
ν
1
sin cos
2 При
,
1 1
sin cos
:
2
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
′
=
ν
ν
ν
ν
EI
l
Q
y
l
x
1 1
1 или Это равенство можно записать
1 1
1 2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ν
ν
ν
tg
EI
l
Q
, или
1 Из последнего равенства получаем значение поперечной силы
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅
=
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
tg
tg
l
EI
tg
tg
v
l
EI
Q
2 2
2
(5.44) В расчетах на прочность получено
l
i
Q
3
=
, где Тогда выражение (5.44) можно записать
108
( )
ν
ϕ
1
l
Q
=
,
(5.45)
3 где )
(
ν
ν
ν
ϕ
−
tg
2 При изгибающий моме емля пор
5.22
нт в защ ющей о е (рис.
) будет
( )
ν
ϕ
1 3
i
M
l
Q
B
=
=
(5.47) Пе мно в фор
.45)
) выражают соответственно пою с рвые сожители мулах (5
и (5.47
перечну илу
⎟
⎠
⎞
⎜
l
⎝
⎛ i
3
и изгибающий момент
( )
i
3
в яю
- з
и пе ее равны ице а ог сем ржня звестн чета тод мещ пос ние ьной свели опе сил защемл щей свя и пр оворот на угол й един без учет продольно изгиба жима ого сте
. Они и ы из рас рам ме ом пере ений на рочн ть. Влия продол илы начину п речной ы
( )
Q
и и
аю мен учиты функ згиб щего мота )
ν
вается цией
ϕ
1
(5.46). Об эпюры и щего таи поперечные си сс ом учетом продольного стержн аны н
.22
Выполняя аналогичные опе полу раж опр м
ите учения продольного в стержнях с опорным плени разл дини мещ зло
Единичные эп гибаю мен н
енн
- дыми стержней строя поль м мерен мен расче рочн абл пю
- бающих ов в енных нях
- н
ли има учитывается (к зан
) вв п
во ожи
В
5.2 ы эпю баю мен ачен м
то ереч на кон атых ей ным
- н за иям динич ловы ей рем о
эти ней е прив ыра оп х множите- л
чи их продольный из ого
Чи знач нкций щий вид згибаю момен лы в ра мотренн случае с изгибая показа рис. б. рации, чим вы ения п авочных нож лей для та влия изгиба другими и закре иями пр ичных е чных с ениях у в. юры из щих мотов для енагруж ых про ольн и силам тся с ис зование таблицы тода пе емещ ий, при яемой в тах на п ость (т. 4.1). Эры изги момент нагруж стерж имеют криволинейное очерта ие. В яние сж ющих сил ак пока о выше едением опра чных мн телей. таблице показан ры изги щих мотов, зн ия этих омен в и поп ных сил цах сж стержн с различи опор ыми креплен и при е ных уг хи лин ных пе ещениях пор х стерж
. Там ж едены в жения п равочны ей, у тывающ гиб сжат стержня словые ения фу типа
( )
ν
ϕ
i
и
( )
ν
η
i
приведены в таблице
5.3, которые используются при решении конкретных задач. Система однородных ий (пуска ющи ния при п
ещ
,
2
дновр равн ю, нен
) будут тождественно творя это е с тву
- формированному состоянию стержневой си отсутствует и сне ольк ешени устойчивости рассматрива
- ф
ро сост истемы ное о ьно сто в н быт ременн ми ура
(5.3
удовлетворяться при и, когд елит
- и
ны нул уравнен) до ет следу е реше
. Если нять все ерем ения
Z
n
Z
...,
,
о
Z
1
еменно ыми нул то урав ия (5.38
удовле ться, но услови оответс ет неде стемы, згиб ее терж й. Поск у при р и задач ется де орми ванное ояние с, отлич т начал го ее со яния, то се е могут ь однов о равны нулю и внение
8) будет услови а опред ель из коэффициентов при не звест х равен юте) Раскрывая определитель (5.4
учаем ени чив
- т в нутом арак чес вне н
нь ачен ожите корн ери ого- н
ол усло
.40), находим критическую у. Все п скры едели
8) получаем од нен
- с
ким вест
22 1n
12
...
r
nn
..
...
...
...
r
D
5.48 8), пол уравн е устой ости ме ода перемещений развер виде (х теристи кое ура ние). По аиме шему зн ию пол льного я характ стическ уравне ия, п ьзуясь вием (5
нагрузк общем луча осле ра тия опр теля (но урав ие сне коль и неиз ными
i
ν для енны не ютс у
ен пр пыто лью ни а целесооб- р вс загруж х стерж й. Решая такие равн ия путем обных по к. С це упроще я расчет азно е
i
ν , фигуре в ра ыраз ез рам ирующи счете, вить чер один па етр
ν
и утиное ие. Прем задаваться к бонна прос ть исход уравнен ежде ч аким-ли конкрет ым з чением
ν
пр ии уравнения устойчивости, установить ню нюю ы (усл этого тр лне п
ду пока жена конкретном примере. и решен полезно ижню и верх предел овные) параме а. Выпо ние этих роце р будет зано ни
6.1. Основные положения По характеру воздействия на сооружение различают нагрузки статические и динамические. Нагрузки считаются статическими, если их изменение протекает очень медленно (с бесконечно малым приращением во времени, без толчков, ударов. К динамическим относятся нагрузки, которые могут изменять свою величину, направление или положение в относительно короткие промежутки времени. Динамические нагрузки являются функциями времени и обозначаются
( ) ( ) ( )
t
m
t
q
t
P
,
,
, усилия, и записываются. Все параметры, зависящие от динамических нагрузок (например перемещения, напряжения) также будут функциями времени
( ) ( ) ( ) ( )
t
t
t
Q
t
M
σ
,
,
,
∆
, и т.д. Динамические нагрузки сообщают ускорения массам сооружения, вызывают появление инерционных сил и колебания сооружения. Динамика сооружений – это раздел строительной механики, в котором изучаются принципы и методы расчета сооружений на действие динамических нагрузок. Динамические расчеты выполняются с целью решения двухосновных задач определение частот колебаний системы и проверка ее на резонанс определение наибольших (амплитудных) значений внутренних сил и перемещений, вызываемых динамической нагрузкой. Приведем наиболее характерные в строительной практике виды динамических нагрузок. Гармоническая (вибрационная) нагрузка – нагрузка, изменяющаяся периодически по определенному закону. Нагрузки такого характера создаются при вращательном и вращательно-поступательном движении неуравновешенных частей машин и механизмов (электромоторы, турбины, станки. Для сооружений вибрационные нагрузки представляют особую опасность, так как вызываемые ими усилия и перемещения зависят не только от величины (амплитуды) нагрузки, но ив значительной мере от частоты ее воздействия. Ударная нагрузка (удар в определенном месте сооружения) характерна тем, что прикладывается в очень короткий промежуток времени с резким изменением скорости соударяемых тел. Она может быть неподвижной и подвижной, хаотичной (удары льдин) и периодической (механический кузнечный молот. Сейсмическая нагрузка, включающая одновременно удары, толчки, сдвиги земной коры, является большой опасностью для инженерных сооружений по сложности динамического воздействия. Подвижная нагрузка – меняющая свое положение на сооружении (поезда, автомобили) – относится, как правило, к сложным динамическим воздействиям, вызывающим колебания сооружения. Ниже рассмотрены простейшие случаи расчетов стержневых систем при действии динамической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону, как наиболее часто встречающейся в инженерной строительной практике. Колебания систем, вызываемые динамическими нагрузками, подразделяются на свободные и вынужденные. Если упругую систему какой-либо динамической нагрузкой вывести из состояния равновесия, а затем удалить воздействие, то массы системы, получив ускорения, будут совершать колебания относительно устойчивого положения равновесия. Такие колебания системы называются свободными. Частным случаем свободных колебаний являются собственные колебания, когда свободные колебания совершаются по типу стоячей волны с одной определенной частотой и формой деформации системы. В системе с одной степенью свободы свободные колебания всегда являются собственными колебаниями. Система с п степенями свободы обладает спектром п собственных колебаний. Вынужденные колебания создаются постоянно действующей на систему динамической нагрузкой, вызывающей непрерывные движения масс относительно положения равновесия. Колебания могут быть классифицированы по виду вызываемых ими в системе основных деформаций, а именно поперечные колебания (в направлении, перпендикулярном к продольной оси стержня, вызывающие его изгиб продольные (вдоль продольной оси стержня, крутильные, изгибно- крутильные, вызывающие деформации изгиба и кручения и др. Колебания могут быть линейными и нелинейными. При линейных колебаниях усилия и перемещения системы находятся в линейной зависимости от величины возмущающих нагрузок. Это условие будет выполняться, если материал системы находится в упругой стадии работы. Ниже рассматриваются поперечные колебания, как наиболее характерные для строительных конструкций. Будем также полагать, что исследуемые системы находятся в упругой стадии работы материала и совершают линейные колебания. Основными методами решения задач динамики сооружений являются статический (кинетостатический) и энергетический методы. Статический метод (точный) основан на использовании уравнений динамического равновесия, в которые дополнительно входят (согласно принципу Даламбера) силы инерции перемещающихся масс. При расчете сложных систем применение статического метода может вызвать значительные трудности ввиду громоздкости вычислений ив этих случаях часто используются приближенные методы и способы. В основу энергетического метода (приближенного) положен закон сохранения энергии, согласно которому, при отсутствии сил сопротивления, сумма потенциальной и кинетической энергий колеблющейся упругой системы в любой момент времени остается постоянной. При использовании этого метода основная задача состоит в отыскании такого деформированного состояния системы, которое наиболее близко по форме к действительному ее состоянию при колебаниях. Уравнения изогнутых осей стержней деформированной системы принимаются приближенно, ив этом состоит приближенность энергетического метода. В динамике сооружений основной характеристикой системы является число степеней ее свободы – количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс в любой момент времени при любых деформациях системы Этот показатель предопределяет ход расчета и играет в расчетах динамики такую же роль, как, например, число возможных перемещений узлов системы при расчете стержневых систем методом перемещений. Чем большим количеством перемещений обладают массы системы, тем сложнее ее расчет. С целью упрощения расчета обычно пренебрегают угловыми перемещениями сосредоточенных масс, учитывают только их линейные смещения и тогда каждая, не имеющая связей масса, как точка в плоскости, обладает двумя степенями свободы. Кроме того, пренебрегают весьма малыми перемещениями масс, вызванными неосновными видами деформаций элементов системы приданном виде колебаний. Примером может служить невесомый упругий стержень с массой т, расположенной в его вершине рис. 6.1). y
y x
m Рис. 6.1 Пренебрегая продольными деформациями стержня и обусловленным ими вертикальным смещением массы (рассматриваются поперечные колебания, деформациями сдвига и вертикальным смещением массы при изгибе стержня (как малым по сравнению с горизонтальным перемещением от изгиба стержня, получаем систему с одной степенью свободы, так как положение массы известно, если известен параметр . На рис. 6.2а,б приведена система с двумя массами, обладающая двумя степенями свободы, а на рис. 6.3 – стремя массами и четырьмя степенями свободы.
y
135
t
C
t
C
y
ω
ω
cos sin
2 1
+
=
,
(6.3) где Си С – постоянные интегрирования, определяемые изначальных условий если – начальное отклонение массы если 0
υ
υ
=
= ,
t
– начальная скорость движения массы. Из первого условия
0 Из второго условия
t
y
t
C
y
ω
ω
ω
ω
sin cos
0 При
ω
υ
1 0
,
0
C
y
t
=
=
′
=
и
ω
υ
0 Подставляя в уравнение (6.3) имеем
t
y
t
y
ω
ω
ω
υ
cos sin
0 0
+
=
(6.4) Уравнение (6.3) можно привести к виду
(
)
ϕ
ω
+
=
t
A
y
sin
,
(6.5) где
2 2
2 1
с
с
A
+
=
– амплитуда колебаний,
ϕ
– начальная фаза, определяемая выражением
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1 Если в первом условии при
0
=
t
принять
0
=
y
, то и уравнение колебаний (6.4) принимает вид
0 0
2
=
= y
C
t
y
ω
ω
υ
sin
0
=
(6.6) Уравнение (6.6) является функцией времени, график которой показан на рис. 6.6. Колебания совершаются по синусоидальному закону. На рис. 6.6 штриховой линией показан график функции равенства (6.4), из которого следует, что при значениях
ω
π
ω
π
2
,
,
0
=
=
=
t
t
t
, а будет смещена на и т.д. масса не будет находиться на линии равновесия величину
A
A
0
y y
T Рис. 6.6 Время, за которое масса совершает один полный цикл колебаний, называют периодом колебаний. По рис. 6.6
ω
π
2
=
T
(6.7) Число полных циклов колебаний в единицу времени носит название частоты колебаний. Из равенства (6.7) имеем
T
π
ω
2
=
(6.8) Частоту
ω
, равную числу полных циклов колебаний в течение
π
2 секунд, принято называть круговой частотой. Частота колебаний в одну секунду выражается в герцах и равна
π
ω
2 1 В практических расчетах часто пользуются так называемой технической частотой, выражающей число полных циклов колебаний за одну минуту. По формуле (6.8) имеем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
мин
колеб
T
n
2 60 60
ω
π
(6.9) Выше (6.2) обозначено
m
C
=
ω
, где C – сила, обеспечивающая перемещение, равное единице. По отношению к полному, вызванному силой , значение C выразится равенством
139
cm
cm
y
mg
y
P
C
=
=
, где g – ускорение свободного падения. Подставив последнее выражение в формулу (6.2), имеем
( с) Как известно
2 981
сек
см
g
=
. Приняв
( )
2 10
π
≈
g
и подставив выражение
(6.10) в формулу технической частоты (6.9), получаем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
мин
колеб
y
y
n
cm
cm
300 1
10 2
60
π
π
,
(6.11) где должно быть взято в сантиметрах. Формулу (6.2) можно преобразовать к другому виду. Из определения жесткости системы вытекает, что должно соблюдаться условие С
1 11
=
δ
C
, откуда
11 1
δ
=
C
, где
11
δ – перемещение точки расположения массы по направлению колебания вызванное силой,
1
=
P
. Тогда формула (6.2) принимает вид
11 1
δ
ω
m
m
C =
=
(6.12) Из формул (6.7), (6.8) и (6.10) видно, что для каждой конкретной системы частота и период колебаний остаются постоянными величинами и зависят только от упругих свойств этой системы и величины массы. Они не зависят от начальных условий, вызывающих движение массы и носят название основных динамических характеристик системы. Рассмотрим, как изменяется потенциальная и кинетическая энергия системы в процессе ее колебаний (рис. 6.6). При отклонении массы от положения статического равновесия ее перемещению препятствует сила упругости, замедляя движение массы. В момент наибольшего отклонения массы ее скорость равна нулю и равна нулю ее кинетическая энергия. В это время потенциальная энергия (энергия изгиба) достигает своего максимального значения и с ускорением возвращает массу к линии равновесия. К моменту расположения массы на линии равновесия потенциальная энергия убывает до нуля, нов это время скорость движения массы и ее кинетическая энергия достигает максимума и масса продолжает движение от линии равновесия, достигая максимального отклонения в обратном направлении и т.д. Таким образом, при колебаниях системы происходит переход одного вида энергии в другой. Отметим, что приведенные выше зависимости и выводы будут справедливы для любых стержневых систем с одной степенью свободы при линейных колебаниях массы.
6.3. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы
без учета сил сопротивления. Явление резонанса Этот вид колебаний рассмотрим также на примере балки, изображенной на рис. 6.7. Примем динамическую нагрузку в виде гармонической, изме- y
P sin t Рис. 6.7 няющейся по синусоидальному закону, те.
( )
t
P
t
P
θ
sin
=
, где
P и
θ
– соответственно максимальная составляющая (амплитуда) нагрузки и круговая частота возму- ющей силы. Приняв, что направление перемещения массы совпадает с направлением действия силы ща
m
( )
t
P
, составим уравнение динамического равновесия
( )
∑
=
+
−
−
=
0
;
0
S
I
t
P
Y
m
, или, сохраняя предыдущие обозначения Разделив на слагаемые последнего равенства и обозначив m
m
C
=
ω
, получаем неоднородное дифференциальное уравнение в виде
t
m
P
y
y
θ
ω
sin
2
=
+
′′
(6.13) Решение уравнения (6.13) в установившемся режиме имеет вид
(
)
(
)
t
m
P
t
A
y
θ
θ
ω
ϕ
ω
sin sin
2 2
−
+
+
=
, (6.14) Из равенства (6.14) следует, что вынужденные колебания совершаются стой же частотой, которую имеет возмущающая сила, а амплитуда вынужденных колебаний зависит от величины составляющей дин возмущающей силы и соотношения частот свободных и вынужденных колебаний. Динамический прогиб можно представить в виде
( )
t
P
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
ст
дин
y
C
P
m
C
m
P
m
P
m
P
y
, или дин,
(6.15) где
2 2
1 1
ω
θ
µ
−
=
(6.16) В выражении (6.15)
– статический прогиб, те прогиб, вызываемый статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки Отвлеченная величина
µ
(6.16) носит название динамического коэффициента ив системах с одной степенью свободы выражает отношение динамических величины (усили прогибов) к их статическим величинам. График изменения численных значений динамического коэффициента представлен на рис. 6.8. Если й,
ω
θ
> , то динамический коэффициент
µ
имеет отрицательные значения и правая кривая располагается ниже осина рис. 6.8 показана пунктирной линией. Обычно значения коэффициента
µ
принимаются по абсолютной величине и обе кривые на графике располагаются выше оси
ω
θ
(рис. 6.8).
0.75 1
0 зона резонанса
θ
ω
θ
ω
Рис. 6.8 Из формулы (6.16) видно, что с приближением частоты возмущающей силы
θ
к частоте свободных колебаний
ω
динамический коэффициент, равно как и динамический прогиб (6.15), стремительно возрастают. При равенстве частот
(
)
ω
θ
=
динамический коэффициент становится равным бесконечности. Этот случай в технике носит название явления резонанса и представляет большую опасность для сооружения, так как усилия, перемещения и напряжения в элементах системы достигают больших значений. Для ответственных сооружений недопустимы не только явления резонанса, но и условия, при которых эти сооружения находились бы в зоне резонанса (рис. 6.8). Во избежание резонанса обычно обеспечивается условие, чтобы частота свободных колебаний системы отличалась от частоты вынужденных ее колебаний на 25-30%.
6.4. Свободные колебания систем с одной степенью свободы
при учете сил сопротивления Из графика, приведенного на рис. 6.6 следует, что масса, выведенная динамическим воздействием из состояния равновесия, будет совершать колебания с постоянной амплитудой неограниченное время. В реальных условиях процесс колебаний протекает иначе, так как неизбежны силы сопротивления,
143
T
n+1
t
-k
c t
T
n y
2 2
n c
n+1
y y
t
-k
2 Рис. 6.10 Таким образом, при наличии сил сопротивления свободные колебания системы являются затухающими. Амплитуда колебаний в этом случае уменьшается до нуля. Если силы сопротивления и масса постоянны, то круговая частота и период колебаний также остаются постоянными, зависящими от упругих свойств системы. Для большинства инженерных сооружений коэффициент k мал в сравнении с частотой свободных колебаний
ω
. Поэтому в практических расчетах обычно пренебрегают силами сопротивления и определяют приближенные значения периода и частоты свободных колебаний по формулами, вместо (6.22) и (6.23). В качестве меры затухания колебаний часто используют так называемый логарифмический декремент колебаний. Он определяется так. В моменты времени и (см. рис. 6.10) амплитуды колебаний по формуле (6.21) будут
n
t
1
+
n
t
(
)
2 2
0 1
2 Отношения этих амплитуд
(
)
c
n
c
n
kT
t
T
t
k
n
n
e
e
y
y
=
=
−
+
+1
; Обозначим
c
n
n
kT
y
y
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+1
ln
γ
. (6.24)
146
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
″
+
+
″
+
″
+
″
=
+
″
+
+
″
+
″
+
″
=
+
″
+
+
″
+
″
+
″
0
;
0
;
0 3
3 3
2 2
2 1
1 1
2 2
3 3
23 2
2 22 1
1 21 1
1 3
3 13 2
2 12 1
1 11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
m
y
m
y
m
y
m
y
y
m
y
m
y
m
y
m
y
y
m
y
m
y
m
y
m
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(6.31) Уравнения (6.31) допускают следующие частные решения
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
sin
;
sin
;
sin
2 2
1 Вторые производные этих решений имеют вид
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
″
+
−
=
″
+
−
=
″
sin
;
sin
;
sin
2 2
2 2
2 Подставив выражения и их вторые производные в уравнение, сократив на
n
y
y
y
,
,
,
2 1
K
(
)
ϕ
ω
+
t
sin и сгруппировав слагаемые, получаем систему однородных уравнений в следующем виде
(6.32) Уравнения (6.32) будут справедливы, если принять все амплитуды равными нулю. Нов этом случае нет перемещений масс, система находиться в покое на линии равновесия, и колебания отсутствуют. Если полагать, что амплитуды отличны от нуля, то такое решение возможно, когда определитель из коэффициентов при амплитудах равен нулю. Это является исходным условием для определения частот собственных колебаний системы.
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
+
+
=
+
+
−
+
=
+
+
+
−
0 1
0 1
0 1
2 2
2 2
1 1
2 1
1 2
2 2
2 2
22 1
2 1
21 2
1 2
2 2
12 1
2 1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
n
А
А
A
K
,
,
2 1
150
6.8. Канонические уравнения для определения максимальных
значений инерционных сил Рассмотрим вынужденные колебания упругой системы на примере невесомой балки с массами, на которые действуют динамические нагрузки рис 6.12).
n
k
m
m
m
m
K
K
,
,
,
,
2 1
n
I
I
I
K
,
,
2 1
n
153
M
D
I
2 2
M
I
1 1
M
4,3646 0,6435 0,6435 0,6435 0,6435 0,3646 5,008
I =
2 0,2574 0,1823 1
I =
а)
б)
в)
Рис. 6.16 Правильность построения эпюры состоит в проверке равновесия узлов системы. Проверяем равновесие узлов E ирис Рис. 6.17 Равновесие узлов E и .
F
0 3646
,
4 6435
,
0 008
,
5
=
−
−
−
=
∑
E
M
0 6435
,
0 С помощью эпюры обычными приемами находятся значения поперечных сила затем из равновесия узлов находятся продольные силы в стержнях системы юры и
приведены на рис. 6.18. условий. Эп
D
Q
D
N
а)
б)
I =
1 0,1823
I =
2 0,2574 0,2574 0,2145 2,1823 1,002 1,9678 0,2145 1,2594 Рис. 6.18 Для проверки их правильности можно использовать уравнения и, рассматривая равновесие системы в целом. В эти уравнения должны быть включены опорные реакции, найденные инерционные силы с учетом их знаков и действующие динамические нагрузки. Для рассматриваемой рамы указанные проверки приведены на рис. 6.19.
∑
=
−
−
=
002
,
1 2574
,
0 2594
,
1
X
0,1823
I =
1 2
I = 0,2574 0,2574 1,002 1,2594 1,9678
P=2 кН
y x
0 2594
,
1 2594
,
1
=
−
=
;
∑
=
−
−
+
=
1823
,
0 2
2145
,
0 9678
,
1
Y
0 1823
,
2 Рис. 6.19 Расчет статически неопределимой рамы Для заданной рамы (рис. 6.20) требуется определить динамические изгибающие моменты, поперечные и продольные силы и построить их эпюры при
6
,
0
;
2
;
5
,
0
=
=
=
α
кН
Р
m
m
2м
8м
4
м
Psin t Рис. 6.20 С учетом принимаемых допущений (п. 6.1) масса может перемещаться поверти- калии в горизонтальном направлении, а рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы. Равенство (6.33) в этом случае принимает вид
m
(
)
(
)
,
0 22 21 12 откуда) В уравнении (6.43)
(
)(
)
0 2
2 12 22 11
=
−
−
−
m
m
m
δ
λ
δ
λ
δ
ik
ii
δ
δ
,
силами – перемещения массы в заданной системе, вызванные статическими, действующими по направлениям
162
M
1 2
0,6 0,6 Рис. 6.24 Кинематическая проверка правильности этой эпюры
(
)
1
M
:
0 4
,
6 4
,
6 2
6
,
0 4
,
1 8
4 2
1 2
6
,
0 3
2 4
4 2
1 1
1 1
=
+
−
=
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
∑ ∫
−
=
EI
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
4
P =1 Рис. 6.25 Эпюра изгибающих моментов в основной системе от действия горизонтальной силы приведена на рис.
6.25. Перемещение, вызываемое этой нагрузкой
1 2
=
P
∑ ∫
⋅
⋅
⋅
⋅
=
′′
=
∆ ′′
4 3
2 4
4 2
1 1
1 1
EI
EI
dx
M
M
p
p
EI
EI
EI
EI
3 160 32 3
64 4
8 4
2 1
2 1
=
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
5
,
0 320 3
3 160 По условию (6.44) Окончательная эпюра изгибающих моментов от горизонтальной нагрузки, полученная по условию
1 1
2
X
M
M
M
p
′′
+
′′
=
, приведена на рис. 6.26. Кинематическая проверка правильности этой эпюры
M
2 2
2
−
⋅
⋅
=
∑ ∫
4 3
2 4
2 2
1 1
1 2
EI
EI
dx
M
M
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
0 8
4 2
1 4
3 2
4 2
2 1
1
EI
EI
0 3
32 Рис. 6.26 Статические проверки правильности окончательных эпюр и неприводим в развернутом виде, так как легко убедиться, что они выполняются. Перемещения, вызванные единичными силами в статически неопределимой системе, будут
;
2667
,
4 2
3 2
2 2
2 1
2 1
6
,
0 3
1 4
,
1 3
2 8
2 2
1 2
1 1
2 1
11
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
p
=
⋅
⋅
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
=
′
=
=
∑ ∫
∑ ∫
δ
;
0
,
16 2
3 1
2 3
2 8
4 2
1 2
1 4
3 2
4 2
2 1
1 2
2 2
22
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
p
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
×
⋅
+
⋅
=
′′
=
=
∑∫
∑∫
δ
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
=
′
=
′′
=
⋅
=
=
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
p
p
2 1
2 1
21 12
δ
δ
6667
,
2 2
3 2
2 3
1 8
2 2
1 Подставив найденные значения перемещений в уравнение (6.43), получаем
,
0
= откуда
6667
,
2 0
,
16 2667
,
4 2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
m
EI
m
EI
m
EI
λ
λ
;
0 6667
,
2 16 2667
,
4 0
,
16 2667
,
4 2
2 2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
+
−
⋅
−
⋅
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
λ
λ
λ
( )
;
0 378
,
75 267
,
20 2
2 2
=
+
−
m
EI
m
EI
λ
λ
( )
0 845
,
18 134
,
10 Корни этого равенства
( )
;
6133
,
2 067
,
5 4
845
,
18 4
2 134
,
10 2
134
,
10 2
2 2
,
1
EI
EI
EI
EI
EI
±
=
⋅
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
λ
EI
6803
,
7 1
=
λ
и
EI
4537
,
2 Частоты собственных колебаний
( )
;
3608
,
0 6803
,
7 1
1 1
1
−
=
=
=
c
EI
EI
λ
ω
( )
63839
,
0 4537
,
2 1
1 Частота вибрационной нагрузки (при
6
,
0
=
α
):
( )
1 1
min
21648
,
0 3608
,
0 6
,
0 Эпюра изгибающих моментов от статического действия амплитудного
165
22367
,
0
,
23769
,
0 Максимальные усилия в элементах рамы при установившихся вынужденных колебаниях будут Эпюры изгибающих моментов от статического действия динамической нагрузки 2
1 ст )
р
ст
M
и фактических значений инерционных сил приведены на рис. 6.28а,б,в, а окончательная эпюра динамических моментов на рис. 6.29.
(
)
i
i
I
M
изгибающих
D
M
P
сm
M
а)
2,8 4
1
M
1
I
I
M
2 2
б)
в)
0,14261 0,14261 0,44734 0,44734 0,44538 0,33277 1,2 Рис. 6.28
M
D
0,89505 0,89527 1,7900 3,5801 Рис. 6.29 Проверки правильности построения эпюры остаются обычными статическая и кинематическая. Статическая проверка
D
M
∑
=
−
−
=
89527
,
0 5801
,
3 4754
,
4
A
M
0,89527 4,4754 3,5801 0
4754
,
4 4754
,
4
=
−
=
167
0 1
=
∑ Кинематическая проверка Эпюра
1
M изображена на рис. 6.22 и, пользуясь правилом Верещагина, имеем
0 321
,
14 321
,
14 7748
,
4 321
,
14 5467
,
9 4
3 2
4 89527
,
0 2
1 1
89505
,
0 8
4 2
1 4
3 2
4 79
,
1 2
1 Поперечные и продольные силы, вызываемые динамическими нагрузками, строятся теми же приемами, что ив расчетах на действие статических нагрузок. С помощью эпюры строится эпюра
, а затем из условия равновесия узлов находятся продольные силы в хи строится эпюра
. Указанные эпюры приведены соответственно на рис. 6.30а,б. На рис. в обозначены действующие на раму нагрузки и опорные реакции, вклю- в уравнения равновесия
D
M
D
Q
стержня
D
N
6.30, ченные
∑
= 0
X
и
0
=
∑
Y
при выполнении проверок равновесия системы в целом.
N
I =
1 0,23769
а)
2,2377
б)
в)
0,22367
I =
2
P=2
H =
B
0,22382
H =0,4475 0,67126
V =
2,909
V =
y x
0,4475 2,909 0,4475 0,22382 0,67126 Рис. 6.30
∑
=
−
=
−
+
=
0 4475
,
0 4475
,
0 4475
,
0 22382
,
0 22367
,
0
;
0
X
∑
=
−
=
−
−
−
=
0 909
,
2 909
,
2 67126
,
0 2
23769
,
0 909
,
2
;
0
Y
0 272
,
23 272
,
23 89468
,
0 20 3769
,
2 272
,
23 4
22367
,
0 10 2
10 23769
,
0 8
909
,
2
;
0
=
+
−
=
+
+
+
−
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
∑
А
М
168
частот свободных колебаний
7.1. Назначение приближенных методов Приведенные выше решения задач динамики сооружений выполнены статическим (кинетостатическим) методом, который с учетом принимаемых допущений считается точным методом. Расчет систем с большим числом степеней свободы статическим методом оказывается очень громоздкими трудным. Если в любой стержневой системе учесть собственный вес хотя бы одного из ее элементов, то получаем систему с бесконечным числом степеней свободы и решить задачу в такой постановке без замены распределенных масс сосредоточенными статическим методом невозможно. Это обстоятельство заставляет инженеров прибегать к приближенным методами способам. Один из наиболее распространенных приемов упрощения решения состоит в замене распределенных масс заданной системы сосредоточенными (точечными) массами, те. осуществляется переход к системе с конечным числом степеней свободы, и решение может быть выполнено статическим методом. Этим решением будут получены приближенные значения частот свободных колебаний. Чем большее количество принято сосредоточенных масс, тем точнее получаемый результат, нов тоже время сложнее расчет. Для однопролетной шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной по всему пролету равномерно распределенной массой (система с бесконечным числом степеней свободы) получено решение, позволяющее находить точное значение наименьшей (первой) частоты свободных колебаний системы (решение будет приведено ниже. Этим решением можно воспользоваться для определения наименьшей частоты свободных колебаний в других системах (например, в рамах, если позволяют условия заданной системы. Но это решение может быть применено для ограниченного круга задач. В общем случаев системах с числом степеней свободы, равным бесконечности, частоты свободных колебаний отыскиваются приближенными методами. Могут быть также использованы свойства симметрии системы, если это допускает заданная или преобразованная система. Большое значение имеют те приближенные методы решения задач динамики, которые позволяют более простым путем получить результат достаточной точности с практической точки зрения. Решение важной задачи динамики сооружений – нахождение частот свободных колебаний системы – существенно упрощается, если известны уравнения изгиба стержней при колебаниях системы. Уравнения изгиба стержней, как правило, неизвестны ив приближенных методах их принимают условно с учетом условий соединения между собой стержней в системе и закрепления их на опорах. Это наиболее трудный и ответственный этап вис- пользовании приближенных методов, так как он предопределяет достоверность получаемого результата. Широко используемый в расчетной практике способ замены распределенных масс сосредоточенными (точечными) массами дает удовлетворительную точность при определении первой (наименьшей) частоты свободных колебаний и может приводить к значительным погрешностям при вычислении высших частот. Основным недостатком приближенных методов является то, что неизвестна степень точности (погрешности) полученного результата. Для наиболее часто используемых приближенных методов практическими расчетами выявлены общие критерии их точности (например, для энергетического метода, а в других случаях степень приближенности результата может быть установлена после решения той же задачи точным методом.
7.2. Энергетический метод Ранее (п. 6.1) отмечалось, что в основу этого метода положен закон сохранения энергии, согласно которому в любой момент временно сума потенциальной и кинематической энергии колеблющейся системы остается постоянной) где
V
U ,
– соответственно потенциальная и кинетическая энергия системы. Рассматривая свободные колебания системы с одной степенью свободы п. 6.2), было установлено, что при колебаниях системы происходит переход одного вида энергии в другой. Поскольку
0
min min
=
= V
U
, то из условия (7.1) следует, что max max
V
U
=
(7.2) Условие (7.2) позволяет находить частоты собственных колебаний системы из условия равенства работ, выполняемых ее силами при колебаниях. Определение частоты собственных колебаний энергетическим методом y
y(
)
m( Рис. 7.1 рассмотрим на примере однопролетной упругой шарнирно опертой балки переменной жесткости с распределенной массой
( )
x
m
, которая изменяется по любому закону (рис. 7.1). Уравнение изогнутой оси балки в процессе колебаний примем по синусоидальному закону
( ) ( ) (
)
ϕ
ω
+
=
t
x
y
t
x
y
sin
,
, (7.3) где – амплитуда колебаний. Для систем, элементы которых испытывают преимущественно изгиб, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, потенциальная энергия численно равна работе изгибающих моментов, те.
( )
x
y
( )
∫
=
l
x
EI
dx
M
U
0 Так как, то последнее равенство можно записать
( )
x
M
x
y
EI
−
=
′′
( )
[
]
∫
′′
=
l
x
dx
x
y
EI
U
0 2
2 1
(7.4) Воспользовавшись условием (7.3)
171
172
( )
( ) (
)
sin
2 Тогда равенство (7.4) принимает вид
(
)
( )
[
]
dx
x
y
EI
t
U
l
x
2 0
2
sin
2 Если принять
(
)
1
sin
=
+
ϕ
ω
t
, то максимальное значение потенциальной энергии будет
( )
[
]
dx
x
y
EI
U
l
x
2 0
max
2 1
∫
′′
=
(7.5) Кинетическая энергия с учетом (7.3) будет
( )
( )
(
)
ϕ
ω
ω
+
=
=
′
t
x
y
dt
dy
t
x
y
cos
,
;
( )
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
∫
∫
∫
+
=
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
l
l
dx
x
y
x
m
t
dx
t
x
y
x
m
dx
dt
dy
x
m
V
0 2
2 2
0 2
2 2
0 2
2 1
cos cos
2 1
2 Если принять
(
)
1
cos
2
=
+
ϕ
ω
t
, максимальная кинетическая энергия
( ) ( )
∫
=
l
dx
x
y
x
m
V
0 2
2
max
2 1
ω
(7.6) Приравнивая выражения (7.5) и (7.6), находим
( )
[
]
( ) ( )
∫
∫
′′
=
l
l
x
dx
x
y
x
m
dx
x
y
EI
0 2
0 2
2
ω
(7.7) Если система содержит m стержней, то равенство (7.7) принимает вид
( )
[
]
( ) ( )
∑ ∫
∑ ∫
′′
=
m l
m l
x
dx
x
y
x
m
dx
x
y
EI
1 0 2
1 0 2
2
ω
, (7.8) где m – количество элементов системы.
174
( )
[
]
2 2
1
sin
2 1
2 1
2 0
4 4
0 2
2 0
4 4
0 2
max l
l l
l Кинетическая энергия пос учетом (7.9)
( )
2 2
1
sin
2 1
2 1
2 0
2 0
2 2
0 2
0 2
2
max l
l По формуле (7.7) имеем
,
4 4
2 0
3 2
0 4
2
l откуда
m
EI
2 2
l
π
ω
=
(7.10) Формула (7.10) дает точное решение, так как уравнение (7.9) – действительное уравнение изогнутой оси балки, полученное статическим методом при постоянных значениях m и EI . Если уравнение изогнутой оси стержня в процессе колебаний неизвестно, то оно может быть принято по уравнению изогнутой оси при статическом действии на него соответствующих нагрузок. Например, в рассматриваемом случае (рис. 7.2) примем уравнение изогнутой оси балки при колебаниях, совпадающим с уравнением изгиба ее оси при действии на балку сплошной равномерно распределенной нагрузки q
( )
(
)
4 3
3 2
24
x
x
x
EI
q
x
y
+
−
=
l Определив максимальное значение потенциальной (7.5) и кинетической
(7.6) энергии, по формуле (7.7) получаем
8767 9
2 Если принять
8696
,
9 2
=
π
, относительная погрешность в сравнении сточным решением (7.10) составляет 0.07%, те. результат практически совпадает. Определение частот собственных колебаний энергетическим методом может быть выполнено в другом виде (так называемая вторая форма энергетического метода в сравнении с первой, изложенной выше. Выразим потенциальную энергию системы через работу внешних сил. В качестве примера возьмем балку, изображенную на рис. 7.1, переменной жесткости
x
EI
и с переменной массой
( )
,
x
m
изменяющейся по длине балки. Элементарная сила, действующая на бесконечно малом элементе длиной
,
dx равна
( Приняв уравнение колебаний, как ив предыдущей задаче, по условию (7.3)
( ) ( ) (найдем потенциальную и кинематическую энергию колеблющейся системы
( ) ( )
(
) ( ) ( )
,
sin
2 1
,
2 1
0 0
dx
x
y
g
x
m
t
dx
t
x
y
g
x
m
U
∫
∫
+
=
=
l откуда
( ) ( )
dx
x
y
g
x
m
U
∫
=
l
0
max
2 Кинетическая энергия останется без изменений (принято тоже самой уравнение колебаний) и по формуле (7.6)
( ) ( )
dx
x
y
x
m
V
2 0
2
max
2 По условию (7.2) max max
V
U
=
и частота собственных колебаний
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
=
l l
0 2
0 2
dx
x
y
x
m
dx
x
y
g
x
m
ω
(7.11) Если заданная система содержит несколько стержней, то формула
(7.11) принимает вид
( ) ( )
( ) ( )
,
1 0 2
1 0 2
∑∫
∑∫
=
m
m
dx
x
y
x
m
dx
x
y
g
x
m
l l
ω
(7.12) где m – число стержней в системе. Формулы (7.8) и (7.12) справедливы для любых стержневых систем, в том числе для статически неопределимых. При использовании формул (7.8) и (7.12) необходимо отыскать близкие к действительным уравнения изогнутых осей для каждого из стержней системы и это является определенной трудностью в решениях конкретных задач. Если заданная система содержит только сосредоточенные массы, то формула (7.12) принимает вид
,
1 2
1 2
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
y
m
y
m
g
ω
(7.13) где
i
y
– полные перемещения точек расположения масс в направлении колебаний количество масс системы. При определении частоты собственных колебаний по формуле (7.13) основной трудностью является отыскание полных перемещений масс системы в направлении их колебаний. В случае линейно-деформируемой упругой системы эта задача упрощается, так как, пользуясь принципом независимости действия сил, перемещения любой точки k системы можно найти по зависимости
,
2 2
1 р (7.14) где
ki
δ – перемещения точки k по искомому направлению, вызванные силами
1
=
i
P
, прикладываемыми поочередно в местах расположения масс
n
m
m
m
,
,
,
2 1
K
. Эти перемещения
( )
ki
δ могут быть найдены, по формуле Мора. Например, для систем, сплошные элементы которых испытывают преимущественно изгиб
∑∫
=
l
0
EI
dx
M
M
i
k
ki
δ
;
n
P
P
P
,
,
,
2 1
K
– фактические значения нагрузок заданной системы в местах расположения масс. Формула (7.13) справедлива для любых стержневых (в том числе шар- нирно-стержневых) систем, как статически определимых, таки статически неопределимых. Эффективность ее использования будет показана ниже на конкретных примерах расчета стержневых систем.
177
7.3. Упрощение расчетной схемы системы
Упрощение расчетной схемы системы в динамике сооружений проводится, как правило, для того, чтобы сократить число степенной свободы системы. Это позволяет упростить решение, рассчитывая систему любым известным методом. Выше отмечалось, что один из способов упрощения решения задачи состоит в замене распределенных масс сосредоточенными массами. Проследим решение задачи с использованием этого способа на примере упругой шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной равномерно распределенной массой (риса. Как показано выше (7.10), точное значение основной частоты собственных колебаний рассматриваемой системы (риса, с бесконечным числом степеней свободы
8696
,
9 2
2 2
m
EI
m
EI
l l
=
=
π
ω
M
M
M
0.25 m д =1 1
P =1 б m в)
г)
0.25
а)
y
0.25
k
0.5 m
0.25 0.25
k
P=1
m
0.25
m=const
EI=const
1 2
k x
m
/
3
m
/
3
m
/
3
m
/
3
m
/
6
m
/
6
m
/
6
m
/
6 2 /
9
/ 3
/ 3
/ 3
/ 3
/ 3
/ Рис Заменим равномерно распределенную массу сосредоточенными массами, одну из которых l
m
5
,
0
расположим в середине пролета, а две других l
m
25
,
0
– на левой и правой опорах. Массы l
m
25 0,
не влияют на изгиб балки и на частоту свободных колебаний и их можно не учитывать (рис. б. Получим систему с одной степенью свободы, частоту свободных колебаний которой определим по формуле (6.12). Эпюра изгибающих моментов от приложенной в точке k силы
1
=
P
(месте расположения массы m ) показана на рис. в. Перемещение
EI
EI
dx
M
k
48 3
0 2
11
l l
=
=
∑∫
δ
179
( )
1 2
4 2
2 1838
,
38 1458 1
−
′
=
=
=
c
m
EI
m
EI
l Точное решение этой задачи (при сплошной равномерно распределенной массе по всему пролету балки (7.10)):
;
8696
,
9 2
2 2
1
l l
=
=
m
EI
π
ω
m
EI
m
EI
⋅
=
=
2 2
2 2
4784
,
39 4
l По полученным результатам погрешность в вычислении первой частоты составляет 0,12%, а по частоте второго тона
( )
2
ω – 3,39%, что ранее отмечалось (п. 7.1). Для сравнения найдем основную частоту свободных колебаний балки с двумя массами
3 2
1
l
m
m
m
=
=
и двумя степенями свободы (предыдущего примера) по формуле (7.13), учитывающей только сосредоточенные массы. Полные перемещения точек расположения масс
1
m
и
2
m
(
1
y
и
2
y
) с учетом приведенных выше единичных перемещений
ii
δ и
ik
δ побудут l
l Числитель формулы (7.13)
EI
g
m
EI
m
m
g
y
m
g
i
i
i
1458 10 2
1458 15 3
5 2
2 4
2 2
1
l Знаменатель формулы (7.13)
(
)
,
1458 150 2
1458 15 3
2 9
2 3
2 4
2 1
2
EI
g
m
EI
mg
m
g
y
m
i
i
i
l тогда
(
)
,
15 1458 150 1458 1458 10 4
9 2
3 2
5 2
2 2
l откуда
8590
,
9 2
m
EI
l
=
ω
р сть рам. С целью упрощения расчета рам на устойчивость принимаются следующие допущения
– рассматривается только узловая нагрузка, не вызывающая поперечного изгиба стержней рамы
– предполагается, что критическое состояние рамы достигается при одновременном и пропорциональном возрастании всех узловых нагрузок
– стержни рамы принимаются несжимаемыми и нерастягиваемыми пренебрегают изменениями длин стержней, вызванными продол деформациями в этих стержнях малых перемещениях заданной системы. Такой подход в исследовани вости рам применяется при действии емы на прочность. Найденные значения продольных сил в элементах сист расчете ее на устойчивость. рама, в которой сосредоточенная нагрузка Рассмотренные выше (5.5) методы решения задач устойчивости являются общими и используются для определения критических сил как вот- дельных стержнях, таки в любых стержневых системах, в том числе в рамах. Основными являются статический и энергетический методы. Ниже ассмат- ривается применение статического метода в расчетах на устойчиво ьными
– пренебрегают сближением концов стержня при его изгибе
– не учитываются изменения продольных и поперечных сил в стержнях при их изгибе в момент потери устойчивости. Первое допущение узловая нагрузка принимается на том основании, что рассматривается потеря устойчивости первого рода, а остальные – ввиду малости деформаций в момент потери устойчивости при бесконечно и устойчи на них любых (в том числе внеузловых) нагрузок. Для определения узловых нагрузок выполняется расчет системы играют роль узловых нагрузок в На риса приведена
104
приложена только водно нахо- м узле. Критическую нагрузку можно было бы б)
P
1
P
2
P
3
P
4
а)
P
Рис. 5.21 дить для нагруженной стойки супругой опорой. Но этот прием в данном случае неэ о
ия этой упругой опоры. Определение характеристики упругой опоры окажется более громоздким нагрузки во всех узлах рамы и условия задачи требуют исследования устойчивости системы с нагруженными сжимаемыми) элементами. Расчет на устойчивость рам чаще всего выполняется методом сил или методом перемещений. Выбор рационального метода зависит от конкретной системы и диктуется количеством основных неизвестных. В расчетной практике чаще используется метод перемещений. Метод перемещений.
ффективен. Критическая сила зависит от линейног смещен, чем исследование устойчивости системы в целом. Кроме того, в реальных конструкциях будут приложены Ход расчета на устойчивость методом перемеще- а
я асчета остается обычным. ский ний тот же, что и при расчете на прочность. Устанавливается степень кинематической неопределимости системы и приним етс основная система путем введения дополнительных связей, препятствующих возможным угловыми линейным смещениям узлов заданной системы. Содержание этого этапа р
Формируется система канонических уравнений, построение которых и их физиче смысл остаются обычными. Отличие будет в том, что основные неизвестные
i
Z
– малые перемещения, возникающие в момент потери устойчивости. Так как на раму действует узловая центрально приложенная нагрузка, тов нагруженных элементах возникают только продольные усилия и реакции в дополнительно введенных связях от внешней нагрузки (
p
i
R ) до
105
P
1
P
2
P
3
P
4
а)
P
Рис. 5.21 дить для нагруженной стойки супругой опорой. Но этот прием в данном случае неэ о
ия этой упругой опоры. Определение характеристики упругой опоры окажется более громоздким нагрузки во всех узлах рамы и условия задачи требуют исследования устойчивости системы с нагруженными сжимаемыми) элементами. Расчет на устойчивость рам чаще всего выполняется методом сил или методом перемещений. Выбор рационального метода зависит от конкретной системы и диктуется количеством основных неизвестных. В расчетной практике чаще используется метод перемещений. Метод перемещений.
ффективен. Критическая сила зависит от линейног смещен, чем исследование устойчивости системы в целом. Кроме того, в реальных конструкциях будут приложены Ход расчета на устойчивость методом перемеще- а
я асчета остается обычным. ский ний тот же, что и при расчете на прочность. Устанавливается степень кинематической неопределимости системы и приним етс основная система путем введения дополнительных связей, препятствующих возможным угловыми линейным смещениям узлов заданной системы. Содержание этого этапа р
Формируется система канонических уравнений, построение которых и их физиче смысл остаются обычными. Отличие будет в том, что основные неизвестные
i
Z
– малые перемещения, возникающие в момент потери устойчивости. Так как на раму действует узловая центрально приложенная нагрузка, тов нагруженных элементах возникают только продольные усилия и реакции в дополнительно введенных связях от внешней нагрузки (
p
i
R ) до
105
момента потери устойчивости равны н
Ка улю. нонические уравнения метода перемещений превращаются в однородные линейные уравнения вида
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
=
+
+
+
;
0 2
2 22 21 1
2 12 1
11
n
n
Z
r
Z
r
Z
r
L
L
L
L
0
;
0 2
2 1
1 1
n
n
n
n
n
n
Z
Z
r
Z
r
Z
r
Z
r
Z
r
L
(5.38) Коэффициенты при неизвест ений (5.38) выражают реакции в допол перемещении узлов системы на единицу по направлениям воз- можн ий их связей. В расчетах на прочность коэффициенты при неизвестных в обычных уравнениях метода перемещений не зависят от внешних нагруз . системе же уравнений (5.38) эти коэффициенты определяются с учетом продольных сил в стержнях, зависящих от внешних узловых то метода сил и метода перемещений) в расчетах на устойчивость Для коэффициентов системы уравнений (5.38) остается справедливо взаимности реакций
n
r
ных уравн нительно введенных связях, возникающие в основной системе при поочередном ых смещен эт
k
i
r
i
Z
ок В нагрузок. В э м заключается основная особенность использования классических методов (например, ой теорема
i
k
k
i
r
r
=
Реакции в дополнительно введенных связях основной системы с уче- ол ых сил в сжатых стержнях от единичных угловых и линейных смещ быть получены различными способами. Рассмотрим стержень постоянного сечения с одним защемленными вторым шарнирным концами в деформированном состоянии и определим опорный момент в защемлении и поперечные силы на концах стержня при повороте защемляющей опоры на угол равный единице. Для решения дачи воспользуемся статическим методом и дифференциальным уравнением изгиба (5.4) том прод ьн ений могут за
x
M
y
EI
=
′′
−
В силу принятых допущений из словия равновесия системы вертикальная реакция ь принята равной критической силе у может быт
(
)
кр
A
P
V
=
, а горизонтальные реакции на концах стержня – поперечным силам
106
Ка улю. нонические уравнения метода перемещений превращаются в однородные линейные уравнения вида
⎨
⎧
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
=
+
+
+
;
0 2
2 22 21 1
2 12 1
11
n
n
Z
r
Z
r
Z
r
L
L
L
L
0
;
0 2
2 1
1 1
n
n
n
n
n
n
Z
Z
r
Z
r
Z
r
Z
r
Z
r
L
(5.38) Коэффициенты при неизвест ений (5.38) выражают реакции в допол перемещении узлов системы на единицу по направлениям воз- можн ий их связей. В расчетах на прочность коэффициенты при неизвестных в обычных уравнениях метода перемещений не зависят от внешних нагруз . системе же уравнений (5.38) эти коэффициенты определяются с учетом продольных сил в стержнях, зависящих от внешних узловых то метода сил и метода перемещений) в расчетах на устойчивость Для коэффициентов системы уравнений (5.38) остается справедливо взаимности реакций
n
r
ных уравн нительно введенных связях, возникающие в основной системе при поочередном ых смещен эт
k
i
r
i
Z
ок В нагрузок. В э м заключается основная особенность использования классических методов (например, ой теорема
i
k
k
i
r
r
=
Реакции в дополнительно введенных связях основной системы с уче- ол ых сил в сжатых стержнях от единичных угловых и линейных смещ быть получены различными способами. Рассмотрим стержень постоянного сечения с одним защемленными вторым шарнирным концами в деформированном состоянии и определим опорный момент в защемлении и поперечные силы на концах стержня при повороте защемляющей опоры на угол равный единице. Для решения дачи воспользуемся статическим методом и дифференциальным уравнением изгиба (5.4) том прод ьн ений могут за
x
M
y
EI
=
′′
−
В силу принятых допущений из словия равновесия системы вертикальная реакция ь принята равной критической силе у может быт
(
)
кр
A
P
V
=
, а горизонтальные реакции на концах стержня – поперечным силам
106
(
)
Q
H
H
B
A
=
=
y
V
=P
H
=Q
y
A
O
A
A а
B
кр
P
x
B
B
A
Q
M
M
б)
Q
B
B
-x
x
кр
B
Рис. 5.22 Изгибающий момент в произвольном сечении равен
x
x
Q
y
P
M
р
к
x
⋅
+
=
, или п условию (5.4)
I
р
к
о
y
P
y
x
Q
E
⋅
−
=
+
′′
(5.39) Разделив слагаемые уравнения (5.39) на EI , и, обозначив
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
2 2
,
l
EI
P
EI
P
l
р
к
р
к
ν
ν
,
(5.40) имеем
x
EI
Q
y
l
y
−
=
+
2
(5.4
′′
2
ν
1) Решение уравнения (5.41) имеет вид
2 2
cos sin
l
EI
x
Q
l
x
x
ν
ν
⎞
⎛
⎞
⎛
B
l
A
y
ν
−
⎟
⎠
⎜
⎝
+
⎟
⎠
⎜
⎝
=
(5.42) Для определения постоянных A и B воспользуемся граничными усло- иями
;
в
:
1) при
,
0
=
=
y
x
2) при По первому условию
0
=
B
, а по второму условию
0
sin
2 3
=
−
=
EI
l
Q
A
y
ν
ν
, откуда и уравнение изогнутой оси принимает вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎡
⎟
⎞
⎜
⎛
x
x
l
Q
ν
sin
3
⎦
⎢
⎢
⎢
⎣
−
⎠
⎝
⋅
=
l
l
EI
y
ν
ν
sin
2
(5.43)
1
,
−
=
=
′
=
B
z
y
l
x
(рис. 5.22). Воспользуемся условием при cos
1
sin cos
1
sin cos
2 2
3 2
3
l
x
EI
l
Q
l
x
l
EI
l
Q
l
l
x
l
EI
l
Q
y
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
ν
ν
ν
ν
ν
1
sin cos
2 При
,
1 1
sin cos
:
2
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
′
=
ν
ν
ν
ν
EI
l
Q
y
l
x
1 1
1 или Это равенство можно записать
1 1
1 2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ν
ν
ν
tg
EI
l
Q
, или
1 Из последнего равенства получаем значение поперечной силы
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅
=
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
tg
tg
l
EI
tg
tg
v
l
EI
Q
2 2
2
(5.44) В расчетах на прочность получено
l
i
Q
3
=
, где Тогда выражение (5.44) можно записать
108
( )
ν
ϕ
1
l
Q
=
,
(5.45)
3 где )
(
ν
ν
ν
ϕ
−
tg
2 При изгибающий моме емля пор
5.22
нт в защ ющей о е (рис.
) будет
( )
ν
ϕ
1 3
i
M
l
Q
B
=
=
(5.47) Пе мно в фор
.45)
) выражают соответственно пою с рвые сожители мулах (5
и (5.47
перечну илу
⎟
⎠
⎞
⎜
l
⎝
⎛ i
3
и изгибающий момент
( )
i
3
в яю
- з
и пе ее равны ице а ог сем ржня звестн чета тод мещ пос ние ьной свели опе сил защемл щей свя и пр оворот на угол й един без учет продольно изгиба жима ого сте
. Они и ы из рас рам ме ом пере ений на рочн ть. Влия продол илы начину п речной ы
( )
Q
и и
аю мен учиты функ згиб щего мота )
ν
вается цией
ϕ
1
(5.46). Об эпюры и щего таи поперечные си сс ом учетом продольного стержн аны н
.22
Выполняя аналогичные опе полу раж опр м
ите учения продольного в стержнях с опорным плени разл дини мещ зло
Единичные эп гибаю мен н
енн
- дыми стержней строя поль м мерен мен расче рочн абл пю
- бающих ов в енных нях
- н
ли има учитывается (к зан
) вв п
во ожи
В
5.2 ы эпю баю мен ачен м
то ереч на кон атых ей ным
- н за иям динич ловы ей рем о
эти ней е прив ыра оп х множите- л
чи их продольный из ого
Чи знач нкций щий вид згибаю момен лы в ра мотренн случае с изгибая показа рис. б. рации, чим вы ения п авочных нож лей для та влия изгиба другими и закре иями пр ичных е чных с ениях у в. юры из щих мотов для енагруж ых про ольн и силам тся с ис зование таблицы тода пе емещ ий, при яемой в тах на п ость (т. 4.1). Эры изги момент нагруж стерж имеют криволинейное очерта ие. В яние сж ющих сил ак пока о выше едением опра чных мн телей. таблице показан ры изги щих мотов, зн ия этих омен в и поп ных сил цах сж стержн с различи опор ыми креплен и при е ных уг хи лин ных пе ещениях пор х стерж
. Там ж едены в жения п равочны ей, у тывающ гиб сжат стержня словые ения фу типа
( )
ν
ϕ
i
и
( )
ν
η
i
приведены в таблице
5.3, которые используются при решении конкретных задач. Система однородных ий (пуска ющи ния при п
ещ
,
2
дновр равн ю, нен
) будут тождественно творя это е с тву
- формированному состоянию стержневой си отсутствует и сне ольк ешени устойчивости рассматрива
- ф
ро сост истемы ное о ьно сто в н быт ременн ми ура
(5.3
удовлетворяться при и, когд елит
- и
ны нул уравнен) до ет следу е реше
. Если нять все ерем ения
Z
n
Z
...,
,
о
Z
1
еменно ыми нул то урав ия (5.38
удовле ться, но услови оответс ет неде стемы, згиб ее терж й. Поск у при р и задач ется де орми ванное ояние с, отлич т начал го ее со яния, то се е могут ь однов о равны нулю и внение
8) будет услови а опред ель из коэффициентов при не звест х равен юте) Раскрывая определитель (5.4
учаем ени чив
- т в нутом арак чес вне н
нь ачен ожите корн ери ого- н
ол усло
.40), находим критическую у. Все п скры едели
8) получаем од нен
- с
ким вест
22 1n
12
...
r
nn
..
...
...
...
r
D
5.48 8), пол уравн е устой ости ме ода перемещений развер виде (х теристи кое ура ние). По аиме шему зн ию пол льного я характ стическ уравне ия, п ьзуясь вием (5
нагрузк общем луча осле ра тия опр теля (но урав ие сне коль и неиз ными
i
ν для енны не ютс у
ен пр пыто лью ни а целесооб- р вс загруж х стерж й. Решая такие равн ия путем обных по к. С це упроще я расчет азно е
i
ν , фигуре в ра ыраз ез рам ирующи счете, вить чер один па етр
ν
и утиное ие. Прем задаваться к бонна прос ть исход уравнен ежде ч аким-ли конкрет ым з чением
ν
пр ии уравнения устойчивости, установить ню нюю ы (усл этого тр лне п
ду пока жена конкретном примере. и решен полезно ижню и верх предел овные) параме а. Выпо ние этих роце р будет зано ни
Таблица 5.2
Q
В
А
В
А
P
В
А
P
А
M
B
Схема стержня
А
А
В
P
В
P
А
Q
В
Q
M
В
А
M
Q
В
Q
А
M
А
попе ы
Из м
речные сил оменты и
P
гибающие
Q =Q =
3i
3
3( )
Q А =
l
2
2
l
= i
Q В А В =
6i
l
6i
=
M
В
А
M =
l
4
4
В
l
3i
А
M А
4
=
2
1
8tg
(
tg
)
( )
sin
)
sin
4
(
tg
(
3( )
мн
По
)
ожители правочные
tg
2
l
В
Q = АКРА =
3
2
Зд
е:
E
l
В
Q =
4i
M А Весь и ниж А
.
2
1
=
tg
=
tg
опорн ов и попел З ых момент речных си начения
3i
2
- А 1
1 1
1
Q
B
111
Q
В
А
В
А
P
В
А
P
А
M
B
Схема стержня
А
А
В
P
В
P
А
Q
В
Q
M
В
А
M
Q
В
Q
А
M
А
попе ы
Из м
речные сил оменты и
P
гибающие
Q =Q =
3i
3
3( )
Q А =
l
2
2
l
= i
Q В А В =
6i
l
6i
=
M
В
А
M =
l
4
4
В
l
3i
А
M А
4
=
2
1
8tg
(
tg
)
( )
sin
)
sin
4
(
tg
(
3( )
мн
По
)
ожители правочные
tg
2
l
В
Q = АКРА =
3
2
Зд
е:
E
l
В
Q =
4i
M А Весь и ниж А
.
2
1
=
tg
=
tg
опорн ов и попел З ых момент речных си начения
3i
2
- А 1
1 1
1
Q
B
111
ер ра
амы
йчи
Выполним рас стойч ж, ко анее
) рта дом щений льны в рам
4
бу ть р овых нагрузок (ри
Дл тва выразим шни зки в мы ну учетную с устойчивость при к пока ри
.9. Прим
счета р
на усто
вость четна у ивость той е рамы торая р (п. 4.6
ассчи на мето переме
. Продо е силы стойках ы (рис) дут игра оль узл с. я удобс расчета все вне е нагру узлах ра через од нагрузки рас хему на мем, ка азано нс. Рис. 5.23 Рис. 5.24 В этой етодо ещен по что е
ем ой елимо
2
расчете рамы мм перем ий (4.6)
казано, степень сти е кин атическ неопред
. Р устойчивость- нет рем как бон под ил асчет на выпол им м одом пе ещений, олее раци альным сравнению с мето ом с ( Л =3). Осн систем ируе ни лни с, препятствую овому ном нив ра
5.25). Та фрам
,6 обозначены порядковые тер овную у форм м введе ем допо тельных вязей щих угли линей у смеще ям узло мы (рис м же ци и 1, 2, номера с жней.
112
амы
йчи
Выполним рас стойч ж, ко анее
) рта дом щений льны в рам
4
бу ть р овых нагрузок (ри
Дл тва выразим шни зки в мы ну учетную с устойчивость при к пока ри
.9. Прим
счета р
на усто
вость четна у ивость той е рамы торая р (п. 4.6
ассчи на мето переме
. Продо е силы стойках ы (рис) дут игра оль узл с. я удобс расчета все вне е нагру узлах ра через од нагрузки рас хему на мем, ка азано нс. Рис. 5.23 Рис. 5.24 В этой етодо ещен по что е
ем ой елимо
2
расчете рамы мм перем ий (4.6)
казано, степень сти е кин атическ неопред
. Р устойчивость- нет рем как бон под ил асчет на выпол им м одом пе ещений, олее раци альным сравнению с мето ом с ( Л =3). Осн систем ируе ни лни с, препятствую овому ном нив ра
5.25). Та фрам
,6 обозначены порядковые тер овную у форм м введе ем допо тельных вязей щих угли линей у смеще ям узло мы (рис м же ци и 1, 2, номера с жней.
112
Рис. 5.25 Та рам ует уз груз еде с с
а ески ений б Пою (ем к как на у действ ловая на ка (соср оточенны илы), то истем канонич х уравн удет:
⎩
21
z
r
⎨
⎧
1 11
z
r
=
= .
0 2
;
0 2
(5.49)
+
услови
.48) име
0
=
,
22 21 12 и ас (5.50
аем
− Ко енты найд ьзуяс цей
По жест ержне лим вию
(5.50) лир крывая определитель, получи
ik
r
эффици ем, пол ь табли
5.2. гонные костист й опреде по усло
n
n
Пр
n
l
i
=
EI
EI
4
=
иняв
, имеем
;
2 2
4
;
;
1 6
5 5
4 2
2 1
=
=
=
=
=
4 6
4 6
=
⋅
4 8
4 8
=
⋅
;
5
;
1 4
=
4 2
4
=
4 2
4 4
1 6
6 4
4
=
=
3 3
3
=
2 На межд етрам
=
i
=
l
l
i
EI
i
l
EI
l
i
EI
EI
: ходим соотношения у парами 46 2
19
,
2
;
1 15 3
3 2
2 1
1 1
ν
ν
ν
=
→
→
=
⋅
=
=
⋅
=
=
EI
P
P
EI
P
EI
P
P
P
P
Эп ибаю оменто воро ой тел- денной с угол ривед ис. юра изг щих м вот пота перв дополни ьно вве вязи на пена нар. Рис. 5.26 В женн овыми ами х зни
- гибающи нты от их при е п оба с
Э
гиба омент х ст стр исп- н
таб товы ний м реме та
В ст и
аю ент кают о ота п св д
вия ьно
. Вли одол лы ает
- циями ненагру ых узл нагрузк стержня 4 и 5 во кают из е моме только изгиба поворот ервой д вленной вязи. пюры из ющих м ов в эти ержнях оятся с ользова ием лицы го х реше етода пе щений ( бл. 4.1). ержне 1
згиб щие мом ы возни т повор ервой добавленной язи и от ейст продол й силы яние пр ьной си учитыв ся функ
1
P
2
ϕ и
3
ϕ параметра . Эпю ающ ен тог- ра изгиб их мом тов для э о стержня ее криволинейное чертание. Строится она также с таблицы х реш
. Го льно ение вой единицу выз иб сте
, 3 и ра щих
- т
ив а ри
В стер пюра ющ нто пли очер т.к. он руже зко ег с
ня руженных сила, изгибающих м имеют к ейн тания.
я продольных
- в
я п ным ителям им то использованием готовы ений (табл .2). ризонта е смещ торой дополнительно введенн связи на (
1
=
z
) овет изг ржней 1 4. Эпю изгибаю момен
2
ов пр едена нс. жне 4 э изгиба их моме в имеет рямо нейное тание, не заг н нагру й вдоль о оси. В
терж х 1, 3, наг ми и эпюры оментов
3
P
1
P
риволин ые очер
Влияни сил
P
и учиты
3
P
1
и
( )
( )
аютс оправоч и множ и Вт ойка ется н орый ст рям
- но ием ющей вех т
- тальные
, ра орая ст поверн а некот угол, о аваясь п олиней ой. П д действ сжима силы е опора возникаю горизон реакции вные
2 2
2 2
2
i
l
ν
(см.
. табл. Рис. 5.27 Ре дополнительно введенных связ определим, по эпюрами акции в ях 1 и 2
льзуясь
1
M и
2
M . По эпюре
1
M :
( )
∑
=
+
−
−
−
=
,
0 4
3 3
11 1
2 1
5 4
1
r
i
i
i
M
ν
ϕ
откуда
( )
(
( )
4 18 1
4 4
3 2
3 4
3 3
1 2
1 2
1 2
1 5
4 11
ν
ϕ
)
ν
ϕ
ν
ϕ
⋅
+
=
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
i
i
i
r
115
а ески ений б Пою (ем к как на у действ ловая на ка (соср оточенны илы), то истем канонич х уравн удет:
⎩
21
z
r
⎨
⎧
1 11
z
r
=
= .
0 2
;
0 2
(5.49)
+
услови
.48) име
0
=
,
22 21 12 и ас (5.50
аем
− Ко енты найд ьзуяс цей
По жест ержне лим вию
(5.50) лир крывая определитель, получи
ik
r
эффици ем, пол ь табли
5.2. гонные костист й опреде по усло
n
n
Пр
n
l
i
=
EI
EI
4
=
иняв
, имеем
;
2 2
4
;
;
1 6
5 5
4 2
2 1
=
=
=
=
=
4 6
4 6
=
⋅
4 8
4 8
=
⋅
;
5
;
1 4
=
4 2
4
=
4 2
4 4
1 6
6 4
4
=
=
3 3
3
=
2 На межд етрам
=
i
=
l
l
i
EI
i
l
EI
l
i
EI
EI
: ходим соотношения у парами 46 2
19
,
2
;
1 15 3
3 2
2 1
1 1
ν
ν
ν
=
→
→
=
⋅
=
=
⋅
=
=
EI
P
P
EI
P
EI
P
P
P
P
Эп ибаю оменто воро ой тел- денной с угол ривед ис. юра изг щих м вот пота перв дополни ьно вве вязи на пена нар. Рис. 5.26 В женн овыми ами х зни
- гибающи нты от их при е п оба с
Э
гиба омент х ст стр исп- н
таб товы ний м реме та
В ст и
аю ент кают о ота п св д
вия ьно
. Вли одол лы ает
- циями ненагру ых узл нагрузк стержня 4 и 5 во кают из е моме только изгиба поворот ервой д вленной вязи. пюры из ющих м ов в эти ержнях оятся с ользова ием лицы го х реше етода пе щений ( бл. 4.1). ержне 1
згиб щие мом ы возни т повор ервой добавленной язи и от ейст продол й силы яние пр ьной си учитыв ся функ
1
P
2
ϕ и
3
ϕ параметра . Эпю ающ ен тог- ра изгиб их мом тов для э о стержня ее криволинейное чертание. Строится она также с таблицы х реш
. Го льно ение вой единицу выз иб сте
, 3 и ра щих
- т
ив а ри
В стер пюра ющ нто пли очер т.к. он руже зко ег с
ня руженных сила, изгибающих м имеют к ейн тания.
я продольных
- в
я п ным ителям им то использованием готовы ений (табл .2). ризонта е смещ торой дополнительно введенн связи на (
1
=
z
) овет изг ржней 1 4. Эпю изгибаю момен
2
ов пр едена нс. жне 4 э изгиба их моме в имеет рямо нейное тание, не заг н нагру й вдоль о оси. В
терж х 1, 3, наг ми и эпюры оментов
3
P
1
P
риволин ые очер
Влияни сил
P
и учиты
3
P
1
и
( )
( )
аютс оправоч и множ и Вт ойка ется н орый ст рям
- но ием ющей вех т
- тальные
, ра орая ст поверн а некот угол, о аваясь п олиней ой. П д действ сжима силы е опора возникаю горизон реакции вные
2 2
2 2
2
i
l
ν
(см.
. табл. Рис. 5.27 Ре дополнительно введенных связ определим, по эпюрами акции в ях 1 и 2
льзуясь
1
M и
2
M . По эпюре
1
M :
( )
∑
=
+
−
−
−
=
,
0 4
3 3
11 1
2 1
5 4
1
r
i
i
i
M
ν
ϕ
откуда
( )
(
( )
4 18 1
4 4
3 2
3 4
3 3
1 2
1 2
1 2
1 5
4 11
ν
ϕ
)
ν
ϕ
ν
ϕ
⋅
+
=
=
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
+
=
i
i
i
r
115
Коэффициент (реакцию в связи 2) определим из условия равновесия отсеченной части рамы (рис. 5.28) Рис. 5.28.
( )
,
0 6
3
;
0 1
4 1
1 4
4 откуда
( )
( )
( )
1 4
1 4
1 4
1 1
4 4
21 5
,
1 3
4 1
6 2
2 3
6 По эпюре
2
M :
( )
,
0 6
3
;
0 12 1
4 1
1 4
4 1
=
+
+
−
=
∑
r
l
i
l
i
M
ν
ϕ
откуда
( )
( )
( )
5
,
1 3
4 1
6 2
2 3
6 3
1 4
1 4
1 4
1 1
4 Рис. 5.29
( )
( )
,
0 3
12 3
;
0 3
1 2
3 3
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2 4
4 22
=
−
+
+
+
−
=
∑
ν
η
ν
ν
η
l
i
l
i
l
i
l
i
r
X
( )
( )
( )
(
)
(
)
8229
,
0 4
1 3
8611
,
0 4
2 4
1 12 2
2 3
3 12 3
1 1
2 2
1 2
1 2
2 2
3 1
2 3
3 2
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
4 откуда
( )
(
)
(
)
1 1
2 1
1 2
22 8229
,
0 1875
,
0 8611
,
0 125
,
0 75
,
0 Подставив значения коэффициентов ив уравнение (5.51), имеем Или )
(
)
( )
(
)
(
(
))
( )
(
)
0 5
,
1 3
8229
,
0 1875
,
0 8611
,
0 125
,
0 75
,
0 5
,
1 4
18 2
1 4
1 1
2 1
1 2
1 2
=
−
−
+
+
−
+
⋅
+
ν
ϕ
ν
η
ν
ν
η
ν
ϕ
(5.52) Для решения равенства (5.52) следует отыскать такое значение
1
ν , при
116
( )
,
0 6
3
;
0 1
4 1
1 4
4 откуда
( )
( )
( )
1 4
1 4
1 4
1 1
4 4
21 5
,
1 3
4 1
6 2
2 3
6 По эпюре
2
M :
( )
,
0 6
3
;
0 12 1
4 1
1 4
4 1
=
+
+
−
=
∑
r
l
i
l
i
M
ν
ϕ
откуда
( )
( )
( )
5
,
1 3
4 1
6 2
2 3
6 3
1 4
1 4
1 4
1 1
4 Рис. 5.29
( )
( )
,
0 3
12 3
;
0 3
1 2
3 3
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
2 4
4 22
=
−
+
+
+
−
=
∑
ν
η
ν
ν
η
l
i
l
i
l
i
l
i
r
X
( )
( )
( )
(
)
(
)
8229
,
0 4
1 3
8611
,
0 4
2 4
1 12 2
2 3
3 12 3
1 1
2 2
1 2
1 2
2 2
3 1
2 3
3 2
2 2
2 2
1 2
2 1
1 2
4 откуда
( )
(
)
(
)
1 1
2 1
1 2
22 8229
,
0 1875
,
0 8611
,
0 125
,
0 75
,
0 Подставив значения коэффициентов ив уравнение (5.51), имеем Или )
(
)
( )
(
)
(
(
))
( )
(
)
0 5
,
1 3
8229
,
0 1875
,
0 8611
,
0 125
,
0 75
,
0 5
,
1 4
18 2
1 4
1 1
2 1
1 2
1 2
=
−
−
+
+
−
+
⋅
+
ν
ϕ
ν
η
ν
ν
η
ν
ϕ
(5.52) Для решения равенства (5.52) следует отыскать такое значение
1
ν , при
116
котором это равенство удовлетворяется. Для сокращения числа попыток найдем нижнюю и верхнюю (условные) границы возможных значений
1
ν , рассматривая два случая нагружения стойки 1 (рис. 5.30). Нижняя граница риса 1
2
=
=
=
=
π
ν
ν
π
откуда
l
EI
l
EI
P
кр
Верхняя граница (рис. б
28
,
6 2
,
4 1
2 1
1 2
1 2
1 1
2
=
=
=
=
π
ν
ν
π
откуда
l
EI
l
EI
P
кр
кр
P
кр
P
а)
б)
Рис. 5.30 После ряда попыток находим. По таблице (5.3) находим
2065
,
3 1
=
ν
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
81446
,
0 2065
,
3
;
59775
,
0 2065
,
3
;
9212
,
1 639
,
2 2065
,
3 8229
,
0
;
04229
,
0 2065
,
3 4
2 1
1 Подставляя в уравнение (5.52), имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 00002
,
0 81446
,
0 5
,
1 3
9212
,
1 1875
,
0 2065
,
3 8611
,
0 125
,
0 04229
,
0 75
,
0 5
,
1 59775
,
0 4
18 Таким образом, уравнение (5.52) удовлетворяется при
2065
,
3 1
=
ν
и значения критических сил в стойках рамы будут
;
6426
,
0 4
2065
,
3 2
2 2
1 1
2 кр
(
)
;
9530
,
0 2
4 2065
,
3 8611
,
0 2
2 2
2 2
2 кр 4
2065
,
3 8229
,
0 2
2 2
3 3
2 3
3
EI
EI
l
EI
P
кр
=
⋅
=
=
ν
Для проверки найдем соотношения между найденными критическими силами
,
19
,
2 4351
,
0 9530
,
0
;
477
,
1 4351
,
0 6426
,
0 3
2 3
1
=
=
=
=
EI
EI
Р
P
EI
EI
Р
P
кр
кр
кр
кр
что соответствует условию задачи.
118
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
0,46 0,98581 0,99293 1,00355 0,99647 0,91527 0,97883 0,47 0,98518 0,99262 1,00371 0,99631 0,91155 0,97790 0,48 0,98454 0,99230 1,00387 0,99615 0,90774 0,97695 0,49 0,98388 0,99197 1,00403 0,99599 0,90385 0,97598 0,50 0,98321 0,99164 1,00420 0,99583 0,89988 0,97499 0,51 0,98253 0,99130 1,00437 0,99566 0,89583 0,97398 0,52 0,98183 0,99095 1,00454 0,99548 0,89170 0,97295 0,53 0,98112 0,99060 1,00472 0,99531 0,88749 0,97190 0,54 0,98040 0,99024 1,00490 0,99513 0,88320 0,97083 0,55 0,97966 0,98988 1,00509 0,99495 0,87882 0,96974 0,56 0,97890 0,98950 1,00528 0,99476 0,87437 096863 0,57 0,97814 0,98912 1,00547 0,99457 0,86984 0,96750 0,58 0,97735 0,98874 1,00567 0,99438 0,86522 0,96635 0,59 0,97656 0,98834 1,00586 0,99418 0,86053 0,96518 0,60 0,97575 0,98794 1,00607 0,99398 0,85575 0,96398 0,61 0,97493 0,98754 1,00627 0,99378 0,85089 0,96277 0,62 0,97409 0,98712 1,00648 0,99358 0,84595 0,96154 0,63 0,97323 0,98670 1,00670 0,99337 0,84093 0,96029 0,64 0,97237 0,98627 1,00691 0,99315 0,83583 0,95902 0,65 0,97149 0,98584 1,00713 0,99294 0,83065 0,95773 0,66 0,97059 0,98540 1,00736 0,99272 0,82539 0,95642 0,67 0,96968 0,98495 1,00759 0,99249 0,82005 0,95509 0,68 0,96876 0,98449 1,00782 0,99227 0,81462 0,95373 0,69 0,96782 0,98403 1,00805 0,99204 0,80912 0,95236 0,70 0,96687 0,98356 1,00829 0,99180 0,80353 0,95097 0,71 0,96590 0,98308 1,00853 0,99157 0,79786 0,94956 0,72 0,96492 0,98260 1,00878 0,99133 0,79212 0,94813 0,73 0,96392 0,98211 1,00903 0,99108 0,78629 0,94668 0,74 0,96291 0,98161 1,00928 0,99084 0,78037 0,94520 0,75 0,96188 0,98111 1,00954 0,99059 0,77438 0,94371 0,76 0,96084 0,98060 1,00980 0,99033 0,76831 0,94220 0,77 0,95979 0,98008 1,01007 0,99008 0,76215 0,94067 0,78 0,95872 0,97956 1,01033 0,98982 0,75592 0,93912 0,79 0,95763 0,97902 1,01061 0,98955 0,74960 0,93754 0,80 0,95653 0,97849 1,01088 0,98928 0,74320 0,93595 0,81 0,95542 0,97794 1,01116 0,98901 0,73672 0,93434 0,82 0,95429 0,97739 1,01144 0,98874 0,73015 0,93271 0,83 0,95314 0,97683 1,01173 0,98846 0,72351 0,93105 0,84 0,95198 0,97626 1,01202 0,98818 0,71678 0,92938 0,85 0,95081 0,97569 1,01232 0,98790 0,70997 0,92769 0,86 0,94962 0,97510 1,01261 0,98761 0,70308 0,92597 0,87 0,94841 0,97452 1,01292 0,98732 0,69611 0,92424 0,88 0,94719 0,97392 1,01322 0,98702 0,68906 0,92249 0,89 0,94595 0,97332 1,01353 0,98672 0,68192 0,92071 0,90 0,94470 0,97271 1,01385 0,98642 0,67470 0,91892 0,91 0,94344 0,97209 1,01416 0,98612 0,66740 0,91711 0,92 0,94216 0,97147 1,01449 0,98581 0,66002 0,91527 0,93 0,94086 0,97084 1,01481 0,98550 0,65256 0,91342 0,94 0,93955 0,97020 1,01514 0,98518 0,64501 0,91155 120
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
0,95 0,93822 0,96955 1,01547 0,98486 0,63738 0,90965 0,96 0,93687 0,96890 1,01581 0,98454 0,62967 0,90774 0,97 0,93551 0,96824 1,01615 0,98421 0,62188 0,90580 0,98 0,93414 0,96758 1,01650 0,98388 0,61400 0,90385 0,99 0,93275 0,96690 1,01684 0,98355 0,60605 0,90187 1,00 0,93134 0,96622 1,01720 0,98321 0,59801 0,89988 1,01 0,92992 0,96553 1,01755 0,98287 0,58988 0,89786 1,02 0,92848 0,96484 1,01792 0,98253 0,58168 0,89583 1,03 0,92702 0,96413 1,01828 0,98218 0,57339 0,89377 1,04 0,92555 0,96342 1,01865 0,98183 0,56502 0,89170 1,05 0,92406 0,96271 1,01902 0,98148 0,55656 0,88960 1,06 0,92256 0,96198 1,01940 0,98112 0,54803 0,88749 1,07 0,92104 0,96125 1,01978 0,98076 0,53941 0,88535 1,08 0,91951 0,96051 1,02017 0,98040 0,53071 0,88320 1,09 0,91795 0,95976 1,02056 0,98003 0,52192 0,88102 1,10 0,91639 0,95901 1,02095 0,97966 0,51305 0,87882 1,11 0,91480 0,95825 1,02135 0,97928 0,50410 0,87661 1,12 0,91320 0,95748 1,02175 0,97890 0,49506 0,87437 1,13 0,91158 0,95671 1,02215 0,97852 0,48595 0,87211 1,14 0,90994 0,95592 1,02256 0,97814 0,47674 0,86984 1,15 0,90829 0,95513 1,02298 0,97775 0,46746 0,86754 1,16 0,90662 0,95433 1,02340 0,97735 0,45809 0,86522 1,17 0,90494 0,95353 1,02382 0,97696 0,44864 0,86288 1,18 0,90324 0,95271 1,02425 0,97656 0,43910 0,86053 1,19 0,90152 0,95189 1,02468 0,97616 0,42948 0,85815 1,20 0,89978 0,95107 1,02511 0,97575 0,41978 0,85575 1,21 0,89802 0,95023 1,02556 0,97534 0,40999 0,85333 1,22 0,89625 0,94939 1,02600 0,97493 0,40012 0,85089 1,23 0,89446 0,94854 1,02645 0,97451 0,39016 0,84843 1,24 0,89266 0,94768 1,02690 0,97409 0,38012 0,84595 1,25 0,89083 0,94681 1,02736 0,97366 0,37000 0,84345 1,26 0,88899 0,94594 1,02782 0,97323 0,35979 0,84093 1,27 0,88713 0,94506 1,02829 0,97280 0,34950 0,83839 1,28 0,88526 0,94417 1,02876 0,97237 0,33912 0,83583 1,29 0,88336 0,94328 1,02923 0,97193 0,32866 0,83325 1,30 0,88145 0,94237 1,02971 0,97149 0,31812 0,83065 1,31 0,87952 0,94146 1,03020 0,97104 0,30748 0,82803 1,32 0,87757 0,94054 1,03069 0,97059 0,29677 0,82539 1,33 0,87560 0,93962 1,03118 0,97014 0,28597 0,82273 1,34 0,87362 0,93868 1,03168 0,96968 0,27508 0,82005 1,35 0,87161 0,93774 1,03218 0,96922 0,26411 0,81735 1,36 0,86959 0,93679 1,03269 0,96876 0,25306 0,81462 1,37 0,86755 0,93583 1,03320 0,96829 0,24191 0,81188 1,38 0,86549 0,93487 1,03372 0,96782 0,23069 0,80912 1,39 0,86341 0,93390 1,03424 0,96734 0,21938 0,80634 1,40 0,86131 0,93292 1,03476 0,96687 0,20798 0,80353 1,41 0,85920 0,93193 1,03529 0,96638 0,19650 0,80071 1,42 0,85706 0,93093 1,03583 0,96590 0,18493 0,79786 1,43 0,85491 0,92993 1,03637 0,96541 0,17327 0,79500 121
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
1,44 0,85273 0,92892 1,03692 0,96492 0,16153 0,79212 1,45 0,85054 0,92790 1,03747 0,96442 0,14970 0,78921 1,46 0,84832 0,92687 1,03802 0,96392 0,13779 0,78629 1,47 0,84609 0,92583 1,03858 0,96342 0,12579 0,78334 1,48 0,84384 0,92479 1,03914 0,96291 0,11371 0,78037 1,49 0,84157 0,92374 1,03971 0,96240 0,10153 0,77739 1,50 0,83928 0,92268 1,04029 0,96188 0,08928 0,77438 1,51 0,83696 0,92161 1,04087 0,96136 0,07693 0,77135 1,52 0,83463 0,92054 1,04145 0,96084 0,06450 0,76831 1,53 0,83228 0,91945 1,04204 0,96032 0,05198 0,76524 1,54 0,82991 0,91836 1,04264 0,95979 0,03937 0,76215 1,55 0,82751 0,91726 1,04323 0,95925 0,02668 0,75904 1,56 0,82510 0,91615 1,04384 0,95872 0,01390 0,75592 1,57 0,82266 0,91504 1,04445 0,95817 0,00103 0,75277 1,58 0,82021 0,91391 1,04506 0,95763 -0,01193 0,74960 1,59 0,81773 0,91278 1,04568 0,95708 -0,02497 0,74641 1,60 0,81523 0,91164 1,04631 0,95653 -0,03810 0,74320 1,61 0,81271 0,91049 1,04694 0,95597 -0,05132 0,73997 1,62 0,81017 0,90934 1,04758 0,95542 -0,06463 0,73672 1,63 0,80761 0,90817 1,04822 0,95485 -0,07803 0,73344 1,64 0,80502 0,90700 1,04886 0,95429 -0,09151 0,73015 1,65 0,80242 0,90581 1,04952 0,95372 -0,10508 0,72684 1,66 0,79979 0,90462 1,05017 0,95314 -0,11875 0,72351 1,67 0,79714 0,90343 1,05084 0,95256 -0,13250 0,72015 1,68 0,79446 0,90222 1,05150 0,95198 -0,14634 0,71678 1,69 0,79177 0,90100 1,05218 0,95140 -0,16026 0,71339 1,70 0,78905 0,89978 1,05286 0,95081 -0,17428 0,70997 1,71 0,78631 0,89855 1,05354 0,95021 -0,18839 0,70654 1,72 0,78355 0,89731 1,05423 0,94962 -0,20259 0,70308 1,73 0,78076 0,89606 1,05493 0,94902 -0,21678 0,69961 1,74 0,77795 0,89480 1,05563 0,94841 -0,23125 0,69611 1,75 0,77512 0,89354 1,05634 0,94780 -0,24572 0,69259 1,76 0,77226 0,89226 1,05705 0,94719 -0,26027 0,68906 1,77 0,76938 0,89098 1,05777 0,94657 -0,27492 0,68550 1,78 0,76647 0,88969 1,05849 0,94595 -0,28966 0,68192 1,79 0,76355 0,88839 1,05922 0,94533 -0,30449 0,67832 1,80 0,76059 0,88708 1,05996 0,94470 -0,31941 0,67470 1,81 0,75761 0,88576 1,06070 0,94407 -0,33442 0,67106 1,82 0,75461 0,88443 1,06145 0,94344 -0,34952 0,66740 1,83 0,75159 0,88310 1,06220 0,94280 -0,36471 0,66372 1,84 0,74853 0,88175 1,06296 0,94216 -0,38000 0,66002 1,85 0,74564 0,88040 1,06373 0,94151 -0,39538 0,65630 1,86 0,74235 0,87904 1,06450 0,94086 -0,41085 0,65256 1,87 0,73923 0,87767 1,06528 0,94020 -0,42641 0,64880 1,88 0,73607 0,87629 1,06606 0,93955 -0,4206 0,64501 1,89 0,73289 0,87490 1,06685 0,93888 -0,45781 0,64121 1,90 0,72969 0,87350 1,06765 0,93822 -0,47365 0,63738 1,91 0,72646 0,87210 1,06845 0,93755 -0,48958 0,63354 1,92 0,72320 0,87068 1,06926 0,93687 -0,50560 0,62967 122
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
1,93 0,71991 0,86926 1,07007 0,93619 -0,52172 0,62579 1,94 0,71660 0,86782 1,07090 0,93551 -0,53793 0,62188 1,95 0,71326 0,86638 1,07172 0,93483 -0,55424 0,61795 1,96 0,70989 0,86493 1,07256 0,93414 -0,57064 0,61400 1,97 0,70650 0,86347 1,07340 0,93344 -0,58714 0,61004 1,98 0,70307 0,86200 1,07425 0,94275 -0,60373 0,60605 1,99 0,69962 0,86052 1,07510 0,93205 -0,62041 0,60204 2,00 0,69614 0,85903 1,07596 0,93134 -0,63719 0,59801 2,01 0,69263 0,85753 1,07683 0,93063 -0,65407 0,59396 2,02 0,68910 0,85602 1,07771 0,92992 -0,67104 0,58988 2,03 0,68553 0,85451 1,07859 0,92920 -0,68810 0,58579 2,04 0,68194 0,85298 1,07947 0,92848 -0,70526 0,58168 2,05 0,67831 0,85144 1,08037 0,92775 -0,72252 0,57754 2,06 0,67466 0,84990 1,08127 0,92702 -0,73988 0,57339 2,07 0,67097 0,84834 1,08218 0,92629 -0,75733 0,56921 2,08 0,66726 0,846678 1,08309 0,92555 -0,77488 0,56502 2,09 0,66351 0,84521 1,08402 0,92481 -0,79252 0,56080 2,10 0,65973 0,84362 1,08495 0,92406 -0,81027 0,55656 2,11 0,65592 0,84203 1,08588 0,92332 -0,82811 0,55231 2,12 0,65208 0,84043 1,08683 0,92256 -0,84605 -,54803 2,13 0,64821 0,83882 1,08778 0,92180 -0,86409 0,54373 2,14 0,64431 0,83719 1,08874 0,92104 -0,88223 0,53941 2,15 0,64037 0,83556 1,08970 0,92028 -0,90046 0,53507 2,16 0,63640 0,83392 1,09068 0,91951 -0,91880 0,53071 2,17 0,63240 0,83227 1,09166 0,91873 -0,93724 0,52632 2,18 0,62836 0,83061 1,09265 0,91795 -0,95577 0,52192 2,19 0,62429 0,82894 1,09364 0,91717 -0,97441 0,51750 2,20 0,62019 0,82726 1,09465 0,91639 -0,99315 0,51305 2,21 0,61605 0,82556 1,09566 0,91559 -1,01199 0,50859 2,22 0,61187 0,82386 1,09668 0,91480 -1,03093 0,50410 2,23 0,60767 0,82215 1,09770 0,91400 -1,04997 0,49959 2,24 0,60342 0,82043 1,09874 0,91320 -1,06911 0,49506 2,25 0,59914 0,81870 1,09978 0,91239 -1,08836 0,49052 2,26 0,59483 0,81696 1,10083 0,91158 -1,10771 0,48595 2,27 0,59047 0,81520 1,10189 0,91076 -1,12716 0,48136 2,28 0,58608 0,81344 1,10295 0,90994 -1,14672 0,47674 2,29 0,58166 0,81167 1,10403 0,90912 -1,16638 0,47211 2,30 0,57719 0,80988 1,10511 0,90829 -1,18614 0,46746 2,31 0,57269 0,80809 1,10620 0,90746 -1,20601 0,46279 2,32 0,56815 0,80629 1,10730 0,90662 -1,22598 0,45809 2,33 0,56357 0,80447 1,10841 0,90578 -1,24606 0,45337 2,34 0,55895 0,80265 1,0952 0,90494 -1,26625 0,44864 2,35 0,55429 0,80081 1,11065 0,90409 -1,28654 0,44388 2,36 0,54959 0,79896 1,11178 0,90324 -1,30694 0,43910 2,37 0,54485 0,79711 1,11292 0,90238 -1,32745 0,43430 2,38 0,54007 0,79524 1,11407 0,90152 -1,34806 0,42948 2,39 0,53525 0,79336 1,11523 0,90065 -1,36879 0,42464 2,40 0,53038 0,79147 1,11640 0,89978 -1,38962 0,41978 2,41 0,52547 0,78957 1,11758 0,89890 -1,41056 0,41490 123
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
2,42 0,52052 0,78766 1,11876 0,89802 -1,43161 0,40999 2,43 0,51553 0,78573 1,11996 0,89714 -1,45277 0,40507 2,44 0,51049 0,78380 1,12116 0,89625 -1,47405 0,40012 2,45 0,50540 0,78185 1,12237 0,89536 -1,49543 0,39515 2,46 0,50028 0,77990 1,12360 0,89446 -1,51692 0,39016 2,47 0,49510 0,77793 1,12483 0,89356 -1,53853 0,38515 2,48 0,48988 0,77595 1,12607 0,89266 -1,56025 0,38012 2,49 0,48461 0,77396 1,12732 0,89175 -1,58209 0,37507 2,50 0,47930 0,77196 1,12858 0,89083 -1,60403 0,37000 2,51 0,47394 0,76995 1,12985 0,88992 -1,62610 0,36491 2,52 0,46853 0,76792 1,13113 0,88899 -1,64827 0,35979 2,53 0,46307 0,76589 1,13242 0,88806 -1,67057 0,35466 2,54 0,45756 0,76384 1,13372 0,88713 -1,69298 0,34950 2,55 0,45200 0,76178 1,13503 0,88620 -1,71550 0,34432 2,56 0,44638 0,75971 1,13634 0,88526 -1,73815 0,33912 2,57 0,44072 0,75763 1,13767 0,88431 -1,76091 0,33390 2,58 0,43500 0,75554 1,13901 0,88336 -1,78380 0,32866 2,59 0,42924 0,75343 1,14036 0,88241 -1,80680 0,32340 2,60 0,42341 0,75131 1,14172 0,88145 -1,82992 0,31812 2,61 0,41754 0,74918 1,14309 0,88049 -1,85316 0,31281 2,62 0,41160 0,74704 1,14447 0,87952 -1,87653 0,30748 2,63 0,40562 0,74489 1,14586 0,87855 -1,90002 0,30214 2,64 0,39957 0,74272 1,14727 0,87757 -1,92363 0,29677 2,65 0,39347 0,74054 1,14868 0,87659 -1,94737 0,29138 2,66 0,38731 0,73835 1,15010 0,87560 -1,97123 0,28597 2,67 0,38109 0,73615 1,15154 0,87461 -1,99521 0,28054 2,68 0,37481 0,73393 1,15298 0,87362 -2,01933 0,27508 2,69 0,36847 0,73170 1,15444 0,87262 -2,04357 0,26961 2,70 0,36206 0,72946 1,15591 0,87161 -2,06794 0,26411 2,71 0,35560 0,72721 1,15739 0,87060 -2,09244 0,25859 2,72 0,34907 0,72494 1,15888 0,86959 -2,11706 0,25306 2,73 0,34248 0,72266 1,16038 0,86857 -2,14182 0,24750 2,74 0,33582 0,72037 1,16190 0,86755 -2,16671 0,24191 2,75 0,32909 0,71807 1,16342 0,86652 -2,19174 0,23631 2,76 0,32230 0,71575 1,16496 0,86549 -2,21690 0,23069 2,77 0,31544 0,71342 1,16651 0,86445 -2,24219 0,22504 2,78 0,30851 0,71108 1,16807 0,86341 -2,26762 0,21938 2,79 0,30151 0,70872 1,16965 0,86236 -2,29319 0,21369 2,80 0,29444 0,70635 1,17123 0,86131 -2,31889 0,20798 2,81 0,28730 0,70397 1,17283 0,86026 -2,34474 0,20225 2,82 0,28008 0,70157 1,17444 0,85920 -2,37072 0,19650 2,83 0,27279 0,69916 1,17607 0,85813 -2,39685 0,19072 2,84 0,26542 0,69674 1,17771 0,85706 -2,42312 0,18493 2,85 0,25797 0,69430 1,17936 0,85599 -2,44953 0,17911 2,86 0,25045 0,69185 1,18102 0,85491 -2,47609 0,17327 2,87 0,24284 0,68938 1,18269 0,85382 -2,50279 0,16741 2,88 0,23516 0,68691 1,18438 0,85273 -2,52964 0,16153 2,89 0,22739 0,68441 1,18609 0,85164 -2,55664 0,15563 2,90 0,21954 0,68191 1,18780 0,85054 -2,58380 0,14970 124
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
2,91 0,21160 0,67939 1,18953 0,84943 -2,61110 0,14376 2,92 0,20358 0,67685 1,19127 0,84832 -2,63856 0,13779 2,93 0,19547 0,67430 1,19303 0,84721 -2,66617 0,13180 2,94 0,18726 0,67174 1,19480 0,84609 -2,69394 0,12579 2,95 0,17897 0,66916 1,19659 0,84497 -2,72186 0,11976 2,96 0,17059 0,66657 1,19839 0,84384 -2,74995 0,11371 2,97 0,16211 0,66396 1,20020 0,84271 -2,74995 0,10763 2,98 0,15353 0,66134 1,20203 0,84157 -2,77819 0,10153 2,99 0,14485 0,65870 1,20387 0,84042 -2,80660 0,09542 3,00 0,13608 0,65605 1,20573 0,83928 -2,83518 0,08928 3,01 0,12721 0,65338 1,20760 0,83812 -2,89283 0,08311 3,02 0,11823 0,65070 1,20949 0,83696 -2,92191 0,07693 3,03 0,10914 0,64800 1,21139 0,83580 -2,95116 0,07072 3,04 0,09995 0,64529 1,21331 0,83463 -2,98058 0,06450 3,05 0,09065 0,64256 1,21524 0,83346 -3,01018 0,05825 3,06 0,08124 0,63982 1,21719 0,83228 -3,03996 0,05198 3,07 0,07171 0,63706 1,21916 0,83109 -3,06992 0,04569 3,08 0,06207 0,63429 1,22114 0,82991 -3,10006 0,03937 3,09 0,05231 0,63150 1,22313 0,82871 -3,13039 0,03304 3,10 0,04243 0,62869 1,22515 0,82751 -3,16090 0,02668 3,11 0,03243 0,62587 1,22718 0,82631 -3,19160 0,02030 3,12 0,02231 0,62303 1,22922 0,82510 -3,22249 0,01390 3,13 0,01205 0,62018 1,23129 0,82388 -3,25258 0,00747 3,14 0,00167 0,61731 1,23337 0,82266 -3,28487 0,00103 3,15 -0,00885 0,61442 1,23547 0,82144 -3,31635 -0,00544 3,16 -0,01950 0,61152 1,23758 0,82021 -3,34804 -0,01193 3,17 -0,03030 0,60860 1,23971 0,81897 -3,37993 -0,01844 3,18 -0,04123 0,60566 1,24186 0,81773 -3,41203 -0,02497 3,19 -0,05231 0,60271 1,24403 0,81648 -3,44434 -0,03153 3,20 -0,06353 0,59974 1,24621 0,81523 -3,47687 -0,03810 3,21 -0,07491 0,59675 1,24842 0,81397 -3,50961 -0,04470 3,22 -0,08644 0,59375 1,25064 0,81271 -3,54257 -0,05132 3,23 -0,09813 0,59072 1,25288 0,81144 -3,57576 -0,05797 3,24 -0,10998 0,58768 1,25514 0,81017 -3,60918 -0,06463 3,25 -0,12199 0,58463 1,25742 0,80889 -3,64282 -0,07132 3,26 -0,13417 0,58155 1,25972 0,80761 -3,67670 -0,07803 3,27 -0,14652 0,57846 1,26203 0,80632 -3,71082 -0,08476 3,28 -0,15905 0,57535 1,26437 0,80502 -3,74519 -0,09151 3,29 -0,17176 0,57222 1,26673 0,80372 -3,77980 -0,09829 3,30 -0,18466 0,56907 1,26910 0,80242 -3,81466 -0,10508 3,31 -0,19774 0,56591 1,27150 0,80110 -3,84978 -0,11190 3,32 -0,21102 0,56272 1,27392 0,79979 -3,88515 -0,11875 3,33 -0,22450 0,55952 1,27635 0,79846 -3,92080 -0,12561 3,34 -0,23818 0,55630 1,27881 0,79714 -3,95671 -0,13250 3,35 -0,25206 0,55306 1,28129 0,79580 -3,99290 -0,13941 3,36 -0,26616 0,54980 1,28379 0,79446 -4,02936 -0,14634 3,37 -0,28048 0,54652 1,28632 0,79312 -4,06612 -0,15329 3,38 -0,29503 0,54322 1,28886 0,79177 -4,10316 -0,16026 3,39 -0,30980 0,53991 1,29143 0,79041 -4,14050 -0,16726 125
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
3,40 -0,32481 0,53657 1,29401 0,78905 -4,17814 -0,17428 3,41 -0,34006 0,53321 1,29662 0,78768 -4,21610 -0,18133 3,42 -0,35556 0,52984 1,29926 0,78631 -4,25436 -0,18839 3,43 -0,37132 0,52644 1,30192 0,78493 -4,29295 -0,19548 3,44 -0,38734 0,52302 1,30460 0,78355 -4,33187 -0,20259 3,45 -0,40363 0,51958 1,30730 0,78216 -4,37113 -0,20972 3,46 -0,42020 0,51613 1,31003 0,78076 -4,41073 -0,21687 3,47 -0,43705 0,51265 1,31278 0,77936 -1,45068 -0,22405 3,48 -0,45419 0,50915 1,31555 0,77795 -4,49099 -0,23125 3,49 -0,47164 0,50563 1,31835 0,77654 -4,53167 -0,23847 3,50 -0,48939 0,50209 1,32118 0,77512 -4,57273 -0,24572 3,51 -0,50747 0,49852 1,32403 0,77369 -4,61417 -0,25298 3,52 -0,52587 0,49494 1,32690 0,77226 -4,65601 -0,26027 3,53 -0,54462 0,49133 1,32980 0,77082 -4,69825 -0,26759 3,54 -0,56371 0,48770 1,33273 0,76938 -4,74091 -0,27492 3,55 -0,58316 0,48405 1,33569 0,76793 -4,78399 -0,28228 3,56 -0,60298 0,48038 1,33867 0,76647 -4,82752 -0,28966 3,57 -0,62319 0,47668 1,34167 0,76501 -4,87149 -0,29706 3,58 -0,64379 0,47296 1,34471 0,76355 -4,91592 -0,30449 3,59 -0,66480 0,46922 1,34777 0,76207 -4,96083 -0,31194 3,60 -0,68622 0,46546 1,35086 0,76059 -5,00622 -0,31941 3,61 -0,70809 0,46167 1,35398 0,75911 -5,05212 -0,32690 3,62 -0,73040 0,45786 1,35713 0,75761 -5,09853 -0,33442 3,63 -0,75317 0,45402 1,36030 0,75612 -5,14547 -0,34196 3,64 -0,77643 0,45016 1,36351 0,75461 -5,19296 -0,34952 3,65 -0,80018 0,44628 1,36674 0,75310 -5,24101 -0,35711 3,66 -0,82445 0,44237 1,37001 0,75159 -5,28965 -0,36471 3,67 -0,84924 0,43844 1,37330 0,75006 -5,33888 -0,37235 3,68 -0,87459 0,43449 1,37663 0,74853 -5,38873 -0,38000 3,69 -0,90052 0,43050 1,37999 0,74700 -5,43922 0,38768 3,70 -0,92703 0,42650 1,38338 0,74546 -5,49036 -0,39538 3,71 -0,95416 0,42247 1,38680 0,74391 -5,54219 -0,40310 3,72 -0,98193 0,41841 1,39025 0,74235 -5,59473 -0,41085 3,73 -1,01036 0,41432 1,39374 0,74079 -5,64799 -0,41861 3,74 -1,03948 0,41021 1,39725 0,73923 -5,70201 -0,42641 3,75 -1,06931 0,40608 1,40081 0,73765 -5,75681 -0,43422 3,76 -1,09989 0,40191 1,40439 0,73607 -5,81242 -0,44206 3,77 -1,13124 0,39772 1,40801 0,73449 -5,86888 -0,44992 3,78 -1,16340 0,39351 1,41167 0,73289 -5,92620 -0,45781 3,79 -1,19641 0,38926 1,41536 0,73129 -5,98444 -0,46571 3,80 -1,23028 0,38499 1,41909 0,72969 -6,04362 -0,47365 3,81 -1,26508 0,38069 1,42285 0,72807 -6,10378 -0,48160 3,82 -1,30082 0,37636 1,42665 0,72646 -6,16496 -0,48958 3,83 -1,33757 0,37200 1,43048 0,72483 -6,22720 -0,49758 3,84 -1,37535 0,36762 1,43436 0,72320 -6,29055 -0,50560 3,85 -1,41423 0,36320 1,43827 0,72156 -6,35506 -0,51365 3,86 -1,45425 0,35876 1,44222 0,71991 -6,42078 -0,52172 3,87 -1,49546 0,35428 1,44621 0,71826 -6,48776 -0,52982 3,88 -1,53793 0,34978 1,45024 0,71660 -6,55606 -0,53793 126
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
3,89 -1,58171 0,34525 1,45431 0,71493 -6,62574 -0,54608 3,90 -1,62687 0,34068 1,45842 0,71326 -6,69687 -0,55424 3,91 -1,67348 0,33608 1,46257 0,71158 -6,76951 -0,56243 3,92 -1,72161 0,33146 1,46676 0,70989 -6,84375 -0,57064 3,93 -1,77136 0,32680 1,47099 0,70820 -6,91966 -0,57888 3,94 -1,82279 0,32211 1,47527 0,70650 -6,99732 -0,58714 3,95 -1,87601 0,31739 1,47959 0,70479 -7,07684 -0,59542 3,96 -1,93111 0,31263 1,48396 0,70307 -7,15831 -0,60373 3,97 -1,98821 0,30784 1,48837 0,70135 -7,24184 -0,61206 3,98 -2,04741 0,30302 1,49282 0,69962 -7,32754 -0,62041 3,99 -2,10885 0,29817 1,49732 0,69787 -7,41555 -0,62879 4,00 -2,17265 0,29328 1,50187 0,69614 -7,50598 -0,63719 4,01 -2,23896 0,28836 1,50647 0,69439 -7,59899 -0,64562 4,02 -2,30794 0,28340 1,51111 0,69263 -7,69474 -0,65407 4,03 -2,37977 0,27840 1,51580 0,69087 -7,79340 -0,66254 4,04 -2,45462 0,27338 1,52054 0,68910 -7,89515 -0,67104 4,05 -2,53271 0,26831 1,52533 0,68732 -8,00021 -0,67956 4,06 -2,61425 0,26321 1,53017 0,68553 -8,10878 -0,66810 4,07 -2,69949 0,25807 1,53506 0,68374 -8,22113 -0,69667 4,08 -2,78870 0,25290 1,54001 0,68194 -8,33750 -0,70526 4,09 -2,88217 0,24769 1,54501 0,68013 -8,45820 -0,71388 4,10 2,98023 0,24244 1,55006 0,67831 -8,58356 -0,72252 4,11 -3,08322 0,23715 1,55516 0,67649 -8,71392 -0,73119 4,12 -3,19155 0,23182 1,56032 0,67466 -8,84968 -0,73968 4,13 -3,30566 0,22646 1,56554 0,67282 -8,99129 -0,74859 4,14 -3,42603 0,22105 1,57081 0,67097 -9,13923 -0,75733 4,15 -3,55322 0,21561 1,57614 0,66912 -9,29405 -0,76609 4,16 -3,68782 0,21012 1,58153 0,66726 -9,45635 -0,77488 4,17 -3,83054 0,20459 1,58698 0,66539 -9,62684 -0,78369 4,18 -3,98213 0,19902 1,59249 0,66351 -9,80627 -0,79252 4,19 -4,14349 0,19341 1,59806 0,66162 -9,99552 -0,80138 4,20 -4,31560 0,18775 1,60369 0,65973 -10,19560 -0,81027 4,21 -4,49961 0,18206 1,60938 0,65783 -10,40764 -0,81918 4,22 -4,69681 0,17631 1,61514 0,65592 -10,63295 -0,82811 4,23 -4,90871 0,17053 1,62096 0,65401 -10,87301 -0,83707 4,24 -5,13704 0,16470 1,62685 0,65208 -11,12958 -0,84605 4,25 -5,38383 0,15882 1,63281 0,65015 -11,40466 -0,85506 4,26 -5,65145 0,15290 1,63884 0,64821 -11,70065 -0,86409 4,27 -5,94265 0,14693 1,64493 0,64626 -12,02032 -0,87315 4,28 -6,26086 0,14091 1,65109 0,64431 -12,36699 -0,88223 4,29 -6,60994 0,13485 1,65733 0,64234 -12,74464 -0,89133 4,30 -6,99473 0,12873 1,66364 0,64037 -13,15806 -0,90046 4,31 -7,42105 0,12257 1,67002 0,63839 -13,61308 -0,90962 4,32 -7,89609 0,11636 1,67647 0,63640 -14,11689 -0,91880 4,33 -8,42879 0,11010 1,68301 0,63440 -14,67842 -0,92801 4,34 -9,03042 0,10379 1,68961 0,63240 -15,30895 -0,93724 4,35 -9,71539 0,09742 1,69630 0,63038 -16,02289 -0,94649 4,36 -10,50245 0,09100 1,70307 0,62836 -16,83899 -0,95577 4,37 -11,41641 0,08453 1,70992 0,62633 -17,78204 -0,96508 127
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
4,38 -12,49082 0,07801 1,71685 0,62429 -18,88562 -0,97441 4,39 -13,77224 0,07143 1,72386 0,62224 -20,19627 -0,98377 4,40 -15,32713 0,06480 1,73096 0,62019 -21,78046 -0,99315 4,41 -17,25385 0,05811 1,73815 0,61812 -23,73655 -1,00255 4,42 -19,70434 0,05136 1,74543 0,61605 -26,21647 -1,01199 4,43 -22,92640 0,04455 1,75279 0,61397 -29,46804 -1,02144 4,44 -27,35342 0,03769 1,76024 0,91187 -33,92462 -1,03093 4,45 -33,81810 0,03077 1,76779 0,60977 -40,41893 -1,04043 4,46 -44,15015 0,02378 1,77543 0,60767 -50,78068 -1,04997 4,47 -63,30569 0,01674 1,78317 0,60555 -69,96599 -1,05953 4,48 -111,02484 0,00963 1,79101 0,60342 -117,71497 -1,06911 4,49 -438,64008 0,00246 1,79894 0,60129 -445,36011 -1,07872 4,50 227,92925 -0,00477 1,80698 0,59914 221,17925 -1,08836 4,51 90,93972 -0,01207 1,81511 0,59699 84,15968 -1,09802 4,52 56,98304 -0,01944 1,82336 0,59483 50,17291 -1,10771 4,53 41,58421 -0,02687 1,83171 0,59265 34,74391 -1,11742 4,54 3279368 -0,03437 1,84016 0,59047 25,92314 -1,12716 4,55 27,10821 -0,04194 1,84873 0,58828 20,20738 -1,13692 4,56 23,12892 -0,04958 1,85741 0,58608 16,19772 -1,14672 4,57 20,18750 -0,05729 1,86621 0,58388 13,22587 -1,15653 4,58 17,92436 -0,06507 1,87512 0,58166 10,93223 -1,16638 4,59 16,12883 -0,07293 1,88415 0,57943 9,10613 -1,17624 4,60 14,66930 -0,08086 1,89330 0,57719 7,61596 -1,18614 4,61 13,45929 -0,08887 1,90257 0,57495 6,37526 -1,19606 4,62 12,43967 -0,09695 1,91197 0,57269 5,32487 -1,20601 4,63 11,56862 -0,10511 1,92150 0,57042 4,42299 -1,21598 4,64 10,81573 -0,11335 1,93115 0,56815 3,63920 -1,22598 4,65 10,15836 -0,12167 1,94094 0,56586 2,95086 -1,23601 4,66 9,57929 -0,13008 1,95087 0,56357 2,34076 -1,24606 4,67 9,06523 -0,13857 1,96093 0,56126 1,79560 -1,25614 4,68 8,60571 -0,14714 1,97113 0,55895 1,30491 -1,26625 4,69 8,19242 -0,15580 1,98148 0,55662 0,86038 -1,27638 4,70 7,81862 -0,16455 1,99197 0,55429 0,45529 -1,28654 4,71 7,47885 -0,17339 2,00261 0,55195 0,08415 -1,29673 4,72 7,16860 -0,18231 2,01340 0,54959 -0,25753 -1,30694 4,73 6,88413 -0,19134 2,02435 0,54723 -0,57351 -1,31718 4,74 6,62228 -0,20045 2,03545 0,54485 -0,86692 -1,32745 4,75 6,38042 -0,20966 2,04672 0,54246 -1,14041 -1,33774 4,76 6,15629 -0,21897 2,05815 0,54007 -1,39625 -1,34806 4,77 5,94796 -0,22838 2,06975 0,53766 -1,63634 -1,35841 4,78 5,75378 -0,23789 2,08152 0,53525 -1,86235 -1,36879 4,79 5,57232 -0,24751 2,09347 0,53282 -2,07572 -1,37919 4,80 5,40232 -0,25723 2,10559 0,53038 -2,27768 -1,38962 4,81 5,24269 -0,26705 2,11790 0,52793 -2,46934 -1,40008 4,82 5,09249 -0,27699 2,13039 0,52547 -2,65164 -1,41056 4,83 4,95087 -0,28704 2,14308 0,52300 -2,82543 -1,42107 4,84 4,81707 -0,29720 2,15595 0,52052 -2,99146 -1,43161 4,85 4,69045 -0,30747 2,16903 0,51803 -3,15038 -1,44218 4,86 4,57041 -0,31786 2,18231 0,51553 -3,30279 -1,45277 128
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
4,87 4,45643 -0,32838 2,19580 0,51301 -3,44921 -1,46340 4,88 4,34802 -0,33902 2,20949 0,51049 -3,59011 -1,47405 4,89 4,24478 -0,34978 2,22341 0,50795 -3,72592 -1,48472 4,90 4,14630 -0,36067 2,23754 0,50540 -3,85703 -1,49543 4,91 4,05226 -0,37168 2,25191 0,50285 -,398378 -1,50616 4,92 3,96233 -0,38284 2,26650 0,50028 -4,10647 -1,51692 4,93 3,87622 -0,39412 2,28133 0,49769 -4,22541 -1,52771 4,94 3,79369 -0,40555 2,29641 0,49510 -4,34084 -1,53853 4,95 3,71449 -0,41712 2,31173 0,49250 -4,45301 -1,54938 4,96 3,63840 -0,42883 2,32730 0,48988 -4,56213 -1,56025 4,97 3,56524 -0,44069 2,34314 0,48725 -4,66840 -1,57115 4,98 3,49480 -0,45270 2,35924 0,48461 -4,77200 -1,58209 4,99 3,42694 -0,46486 2,37561 0,48196 -4,87310 -1,59305 5,00 3,36148 -0,47718 2,39226 0,47930 -4,97185 -1,60403 5,01 3,29830 -0,48966 2,40920 0,47662 -5,06840 -1,61505 5,02 3,23726 -0,50231 2,42642 0,47394 -5,16288 -1,62610 5,03 3,17823 0,51512 2,44395 0,47124 -5,25540 -1,63717 5,04 3,12111 -0,52811 2,46179 0,46853 -5,34609 -1,64827 5,05 3,06578 -0,54127 2,47994 0,46580 -5,43505 -1,65941 5,06 3,01216 -0,55461 2,49841 0,46307 -5,52237 -1,67057 5,07 2,96015 -0,56813 2,51722 0,46032 -5,60815 -1,68176 5,08 2,90967 -0,58185 2,53636 0,45756 -5,69246 -1,69298 5,09 2,86063 -0,59575 2,55585 0,45478 -5,77540 -1,70423 5,10 2,81297 -0,60986 2,57570 0,45200 -5,85703 -1,71550 5,11 2,76661 -0,62416 2,59591 0,44920 -5,93742 -1,72681 5,12 2,72149 -0,63867 2,61650 0,44638 -6,01664 -1,73815 5,13 2,67756 -0,65340 2,63748 0,44356 -6,09474 -1,74952 5,14 2,63474 -0,66834 2,65885 0,44072 -6,17179 -1,76091 5,15 2,59300 -0,68351 2,68063 0,43787 -6,24784 -1,77234 5,16 2,55227 -0,69891 2,70283 0,43500 -6,32293 -1,78380 5,17 2,51251 -0,71454 2,72545 0,43213 -6,39712 -1,79528 5,18 2,47368 -0,73041 2,74852 0,42924 -6,47045 -1,80680 5,19 2,43574 -0,74653 2,77205 0,42633 -6,54296 -1,81834 5,20 2,39864 -0,76290 2,79604 0,42341 -6,61469 -1,82992 5,21 2,36235 -0,77953 2,82051 0,42048 -6,68568 -1,84153 5,22 2,32683 -0,79643 2,84547 0,41754 -6,75597 -1,85316 5,23 2,29205 -0,81362 2,87094 0,41458 -6,82558 -1,86483 5,24 2,25798 -0,83106 2,89694 0,41160 -6,89455 -1,87653 5,25 2,22459 -0,84881 2,92348 0,40862 -6,96291 -1,88826 5,26 2,19184 -0,86686 2,95057 0,40562 -7,03069 -1,90002 5,27 2,15971 -0,88521 2,97823 0,40260 -7,09792 -1,91181 5,28 2,12818 -0,90388 3,00648 0,39957 -7,16462 -1,92363 5,29 2,09722 -0,92288 3,03534 0,39653 -7,23081 -1,93548 5,30 2,06681 -0,94221 3,06482 0,39347 -7,29653 -1,94737 5,31 2,03692 -0,96188 3,09495 0,39039 -7,36178 -1,95928 5,32 2,00753 -0,98191 3,12575 0,38731 -7,42660 -1,97123 5,33 1,97863 -1,00231 3,15723 0,38420 7,49100 -1,98320 5,34 1,95020 -1,02308 3,18943 0,38109 -7,55500 -1,99521 5,35 1,92221 -1,04424 3,22235 0,37795 -7,61863 -2,00725 129
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
5,36 1,89464 -1,06581 3,25603 0,37481 -7,68189 -2,01933 5,37 1,86749 -1,08778 3,29250 0,37164 -7,74481 -2,03143 5,38 1,84074 -1,11019 3,32578 0,36847 -7,80739 -2,04357 5,39 1,81436 -1,13303 3,36189 0,36527 -7,86976 -2,05574 5,40 1,78835 -1,15634 3,39886 0,36206 -7,93165 -2,06794 5,41 1,76269 -1,18011 3,43673 0,35884 -7,99334 -2,08017 5,42 1,73737 -1,20437 3,47553 0,35560 -8,05476 -2,09244 5,43 1,71237 -1,22913 3,51529 0,35234 -8,11593 -2,10473 5,44 1,68769 -1,25442 3,55604 0,34907 -8,17684 -2,11706 5,45 1,66330 -1,28024 3,59782 0,34578 -8,23753 -2,12943 5,46 1,63921 -1,30662 3,64068 0,34248 -8,29799 -2,14182 5,47 1,61538 -1,33358 3,68464 0,33916 -8,35825 -2,15425 5,48 1,59183 -1,36115 3,72975 0,33582 -8,41830 -2,16671 5,49 1,56853 -1,38933 3,77605 0,33246 -8,47817 -2,17921 5,50 1,54548 -1,41816 3,82360 0,32909 -8,53785 -2,19174 5,51 1,52267 -1,44766 3,87244 0,32571 -8,59737 -2,20430 5,52 1,50008 -1,47785 3,92261 0,32230 -8,65672 -2,21690 5,53 1,47771 -1,50877 3,97419 0,31888 -8,71592 -2,22953 5,54 1,45555 -1,54044 4,02721 0,31544 -8,77498 -2,24219 5,55 1,43359 -1,57289 4,08175 0,31199 -8,83391 -2,25489 5,56 1,41183 -1,60616 4,13786 0,30851 -8,89271 -2,26762 5,57 1,39025 -1,64027 4,19561 0,30502 -8,95138 -2,28039 5,58 1,36885 -1,67527 4,25507 0,30151 -9,00995 -2,29319 5,59 1,34762 -1,71118 4,31633 0,29799 -9,06842 -2,30602 5,60 1,32655 -1,74806 4,37945 0,29444 -9,12678 -2,31889 5,61 1,30564 -1,78594 4,44452 0,29088 -9,18506 -2,33180 5,62 1,28488 -1,82487 4,51163 0,28730 -9,24325 -2,34474 5,63 1,26426 -1,86489 4,58087 0,28370 -9,30137 -2,35771 5,64 1,24378 -1,90605 4,65235 0,28008 -9,35942 -2,37072 5,65 1,22344 -1,94842 4,72617 0,27644 -9,41740 -2,38377 5,66 1,20321 -1,99204 4,80244 0,27279 -9,47532 -2,39685 5,67 1,18311 -2,03697 4,88129 0,26911 -9,53319 -2,40996 5,68 1,16312 -2,08329 4,96284 0,26542 -9,59101 -2,42312 5,69 1,14324 -2,13106 5,04723 0,26171 -9,64880 -2,43630 5,70 1,12346 -2,18035 5,13461 0,25797 -9,70654 -2,44953 5,71 1,10377 -2,23124 5,22514 0,25422 -9,76426 -2,46279 5,72 1,08418 -2,28382 5,31899 0,25045 -9,82195 -2,47609 5,73 1,06468 -2,33818 5,41633 0,24666 -9,87962 -2,48942 5,74 1,04526 -2,39441 5,51736 0,24284 -9,93727 -2,50279 5,75 1,02592 -2,45265 5,62229 0,23901 -9,99491 -2,51620 5,76 1,00665 -2,51293 5,73134 0,23516 -10,05255 -2,52964 5,77 0,98745 -2,57545 5,84475 0,23128 -10,11019 -2,54312 5,78 0,96831 -2,64031 5,96280 0,22739 -10,16782 -2,55664 5,79 0,94923 -2,70766 5,08575 0,22347 -10,22547 -2,57020 5,80 0,93021 -2,77765 6,21392 0,21954 -10,28312 -2,58380 5,81 0,91124 -2,850045 6,34763 0,21558 -10,34080 -2,59743 5,82 0,89231 -2,92623 6,48726 0,21160 -10,39849 -2,61110 5,83 0,87342 -3,00519 6,63318 0,20760 -10,45621 -2,62481 5,84 0,85458 -3,08755 6,78584 0,20358 -10,51395 -2,63856 130
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
5,85 0,83577 -3,17354 6,94568 0,19953 -10,57173 -2,65234 5,86 0,81699 -3,26342 7,11324 0,19547 -10,62955 -2,66617 5,87 0,79823 -3,35747 7,28907 0,19138 -10,68740 -2,68003 5,88 0,77950 -3,45599 7,47378 0,18726 -10,74530 -2,69394 5,89 0,76078 -3,55933 7,66806 0,18313 -10,80325 -2,70788 5,90 0,74208 -3,66787 7,87265 0,17897 -10,86125 -2,72186 5,91 0,72339 -3,78201 8,08839 0,17479 -10,91931 -2,73589 5,92 0,70471 -3,90222 8,31620 0,17059 -10,97742 -2,74995 5,93 0,68604 -4,02902 8,55711 0,16636 -11,03560 -2,76405 5,94 0,66736 -4,16298 8,81227 0,16211 -11,09384 -2,77819 5,95 0,64868 -4,30473 9,08295 0,15783 -11,15216 -2,79238 5,96 0,62999 -4,45501 9,37061 0,15353 -11,21055 -2,80660 5,97 0,61129 -4,61463 9,67687 0,14920 -11,26901 -2,82087 5,98 0,59257 -4,78451 10,00358 0,14485 -11,32756 -2,83518 5,99 0,57384 -4,96569 10,35282 0,14048 -11,38619 -2,84953 6,00 0,55509 -5,15938 10,72700 0,13608 -11,44491 -2,86392 6,01 0,53631 -5,36694 11,12885 0,13166 -11,50372 -2,87835 6,02 0,51750 -5,58995 11,56152 0,12721 -11,56263 -2,89283 6,03 0,49867 5,83025 12,02869 0,12273 -11,62163 -2,90735 6,04 0,47979 -6,08996 12,53459 0,11823 -11,68074 -2,92191 6,05 0,46088 -6,37157 13,08423 0,11370 -11,73996 -2,93651 6,06 0,44192 -6,67802 13,68347 0,10914 -11,79928 -2,95116 6,07 0,42292 -7,01282 14,33932 0,10456 -11,85872 -2,96585 6,08 0,40387 -7,38014 15,06013 0,09995 -11,91827 -2,98058 6,09 0,38476 -7,78502 15,85599 0,09531 -11,97794 -2,99536 6,10 0,36560 -8,23362 16,73920 0,09065 -12,03774 -3,01018 6,11 0,34637 -8,73351 17,72489 0,08596 -12,09766 -3,02505 6,12 0,32709 -9,29410 18,83192 0,08124 -12,15771 -3,03996 6,13 0,30773 -9,92728 20,08404 0,07649 -12,21790 -3,05492 6,14 0,28830 -10,64827 21,51167 0,07171 -12,27823 -3,06992 6,15 0,26880 -11,47682 23,15435 0,06691 -12,33870 -3,08497 6,16 0,24922 -12,43912 25,06446 0,06207 -12,39931 -3,10006 6,17 0,22955 -13,57064 27,31290 0,05721 -12,46008 -3,11520 6,18 0,20980 -14,92054 29,99802 0,05231 -12,52100 -3,13039 6,19 0,18996 -16,55913 33,26044 0,04739 -12,58207 -3,14562 6,20 0,17003 -18,59053 37,30826 0,04243 -12,64331 -3,16090 6,21 0,14999 -21,17572 42,46378 0,03745 -12,70471 -3,17623 6,22 0,12986 -24,57764 49,25258 0,03243 -12,76628 -3,19160 6,23 0,10962 -29,25696 58,59608 0,02738 -12,82802 -3,20702 6,24 0,08926 -36,10105 72,26902 0,02231 -12,88994 -3,22249 6,25 0,06880 -47,06687 94,18533 0,01719 -12,95204 -3,23801 6,26 0,04821 -67,48758 135,01132 0,01205 -13,01432 -3,25358 6,27 0,02750 -118,87545 237,77153 0,00687 -13,07680 -3,26920 6,28 0,00666 -492,88646 985,77792 0,00167 -13,13947 -3,28487 131
1
ν , рассматривая два случая нагружения стойки 1 (рис. 5.30). Нижняя граница риса 1
2
=
=
=
=
π
ν
ν
π
откуда
l
EI
l
EI
P
кр
Верхняя граница (рис. б
28
,
6 2
,
4 1
2 1
1 2
1 2
1 1
2
=
=
=
=
π
ν
ν
π
откуда
l
EI
l
EI
P
кр
кр
P
кр
P
а)
б)
Рис. 5.30 После ряда попыток находим. По таблице (5.3) находим
2065
,
3 1
=
ν
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
81446
,
0 2065
,
3
;
59775
,
0 2065
,
3
;
9212
,
1 639
,
2 2065
,
3 8229
,
0
;
04229
,
0 2065
,
3 4
2 1
1 Подставляя в уравнение (5.52), имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 00002
,
0 81446
,
0 5
,
1 3
9212
,
1 1875
,
0 2065
,
3 8611
,
0 125
,
0 04229
,
0 75
,
0 5
,
1 59775
,
0 4
18 Таким образом, уравнение (5.52) удовлетворяется при
2065
,
3 1
=
ν
и значения критических сил в стойках рамы будут
;
6426
,
0 4
2065
,
3 2
2 2
1 1
2 кр
(
)
;
9530
,
0 2
4 2065
,
3 8611
,
0 2
2 2
2 2
2 кр 4
2065
,
3 8229
,
0 2
2 2
3 3
2 3
3
EI
EI
l
EI
P
кр
=
⋅
=
=
ν
Для проверки найдем соотношения между найденными критическими силами
,
19
,
2 4351
,
0 9530
,
0
;
477
,
1 4351
,
0 6426
,
0 3
2 3
1
=
=
=
=
EI
EI
Р
P
EI
EI
Р
P
кр
кр
кр
кр
что соответствует условию задачи.
118
Таблица 5.3 Значение функций метода перемещений для сжато-изогнутых стержней
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
0,00 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 0,01 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 0,99996 0,99999 0,02 0,99997 0,99999 1,00001 0,99999 0,99984 0,99996 0,03 0,99994 0,99997 1,00001 0,99998 0,99964 0,99991 0,04 0,99989 0,99995 1,00003 0,99997 0,99936 0,99984 0,05 0,99983 0,99992 1,00004 0,99996 0,99900 0,99975 0,06 0,99976 0,99988 1,00006 0,99994 0,99856 0,99964 0,07 0,99967 0,99984 1,00008 0,99992 0,99804 0,99951 0,08 0,99957 0,99979 1,00011 0,99989 0,99744 0,99936 0,09 0,99946 0,99973 1,00014 0,99986 0,99676 0,99919 0,10 0,99933 0,99967 1,00017 0,99983 0,99600 0,99900 0,11 0,99919 0,99960 1,00020 0,99980 0,99516 0,99879 0,12 0,99904 0,99952 1,00024 0,99976 0,99424 0,99856 0,13 0,99887 0,99944 1,00028 0,99972 0,99324 0,99831 0,14 0,99869 0,99935 1,00033 0,99967 0,99216 0,99804 0,15 0,99850 0,99925 1,00038 0,00062 0,99100 0,99775 0,16 0,99829 0,99915 1,00043 0,99957 0,98976 0,99744 0,17 0,99807 0,99904 1,00048 0,99952 0,98844 0,99711 0,18 0,99784 0,99892 1,00054 0,99946 0,98704 0,99676 0,19 0,99759 0,99880 1,00060 0,99940 0,98556 0,99639 0,20 0,99733 0,99867 1,00067 0,99933 0,98400 0,99600 0,21 0,99706 0,99853 1,00074 0,99926 0,98236 0,99559 0,22 0,99677 0,99839 1,00081 0,99919 0,98064 0,99516 0,23 0,99647 0,99824 1,00088 0,99912 0,97883 0,99471 0,24 0,99615 0,99808 1,00096 0,99904 0,97695 0,99424 0,25 0,99583 0,99791 1,00104 0,99896 0,97499 0,99375 0,26 0,99548 0,99774 1,00113 0,99887 0,97295 0,99324 0,27 0,99513 0,99757 1,00122 0,99878 0,97083 0,99271 0,28 0,99476 0,99738 1,00131 0,99869 0,96863 0,99216 0,29 0,99438 0,99719 1,00141 0,99860 0,96635 0,99159 0,30 0,99398 0,99700 1,00150 0,99850 0,96398 0,99100 0,31 0,99358 0,99679 1,00161 0,99840 0,96154 0,99039 0,32 0,99315 0,99658 1,00171 0,99829 0,95902 0,98976 0,33 0,99272 0,99636 1,00182 0,99818 0,95642 0,98911 0,34 0,99227 0,99614 1,00193 0,99807 0,95373 0,98844 0,35 0,99180 0,99591 1,00205 0,99796 0,95097 0,98775 0,36 0,99133 0,99567 1,00217 0,99784 0,94813 0,98704 0,37 0,99084 0,99543 1,00229 0,99772 0,94520 0,98631 0,38 0,99034 0,99518 1,00242 0,99759 0,94220 0,98556 0,39 0,98982 0,99492 1,00255 0,99746 0,93912 0,98479 0,40 0,98928 0,99466 1,00268 0,99733 0,93595 0,98400 0,41 0,98874 0,99438 1,00282 0,99719 0,93271 0,98319 0,42 0,98818 0,99411 1,00296 0,99706 0,92938 0,98236 0,43 0,98761 0,99382 1,00310 0,99691 0,92597 0,98151 0,44 0,98702 0,99353 1,00325 0,99677 0,92249 0,98064 0,45 0,98642 0,99323 1,00340 0,99662 0,91892 0,97975 119
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
0,00 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 0,01 0,99999 1,00000 1,00000 1,00000 0,99996 0,99999 0,02 0,99997 0,99999 1,00001 0,99999 0,99984 0,99996 0,03 0,99994 0,99997 1,00001 0,99998 0,99964 0,99991 0,04 0,99989 0,99995 1,00003 0,99997 0,99936 0,99984 0,05 0,99983 0,99992 1,00004 0,99996 0,99900 0,99975 0,06 0,99976 0,99988 1,00006 0,99994 0,99856 0,99964 0,07 0,99967 0,99984 1,00008 0,99992 0,99804 0,99951 0,08 0,99957 0,99979 1,00011 0,99989 0,99744 0,99936 0,09 0,99946 0,99973 1,00014 0,99986 0,99676 0,99919 0,10 0,99933 0,99967 1,00017 0,99983 0,99600 0,99900 0,11 0,99919 0,99960 1,00020 0,99980 0,99516 0,99879 0,12 0,99904 0,99952 1,00024 0,99976 0,99424 0,99856 0,13 0,99887 0,99944 1,00028 0,99972 0,99324 0,99831 0,14 0,99869 0,99935 1,00033 0,99967 0,99216 0,99804 0,15 0,99850 0,99925 1,00038 0,00062 0,99100 0,99775 0,16 0,99829 0,99915 1,00043 0,99957 0,98976 0,99744 0,17 0,99807 0,99904 1,00048 0,99952 0,98844 0,99711 0,18 0,99784 0,99892 1,00054 0,99946 0,98704 0,99676 0,19 0,99759 0,99880 1,00060 0,99940 0,98556 0,99639 0,20 0,99733 0,99867 1,00067 0,99933 0,98400 0,99600 0,21 0,99706 0,99853 1,00074 0,99926 0,98236 0,99559 0,22 0,99677 0,99839 1,00081 0,99919 0,98064 0,99516 0,23 0,99647 0,99824 1,00088 0,99912 0,97883 0,99471 0,24 0,99615 0,99808 1,00096 0,99904 0,97695 0,99424 0,25 0,99583 0,99791 1,00104 0,99896 0,97499 0,99375 0,26 0,99548 0,99774 1,00113 0,99887 0,97295 0,99324 0,27 0,99513 0,99757 1,00122 0,99878 0,97083 0,99271 0,28 0,99476 0,99738 1,00131 0,99869 0,96863 0,99216 0,29 0,99438 0,99719 1,00141 0,99860 0,96635 0,99159 0,30 0,99398 0,99700 1,00150 0,99850 0,96398 0,99100 0,31 0,99358 0,99679 1,00161 0,99840 0,96154 0,99039 0,32 0,99315 0,99658 1,00171 0,99829 0,95902 0,98976 0,33 0,99272 0,99636 1,00182 0,99818 0,95642 0,98911 0,34 0,99227 0,99614 1,00193 0,99807 0,95373 0,98844 0,35 0,99180 0,99591 1,00205 0,99796 0,95097 0,98775 0,36 0,99133 0,99567 1,00217 0,99784 0,94813 0,98704 0,37 0,99084 0,99543 1,00229 0,99772 0,94520 0,98631 0,38 0,99034 0,99518 1,00242 0,99759 0,94220 0,98556 0,39 0,98982 0,99492 1,00255 0,99746 0,93912 0,98479 0,40 0,98928 0,99466 1,00268 0,99733 0,93595 0,98400 0,41 0,98874 0,99438 1,00282 0,99719 0,93271 0,98319 0,42 0,98818 0,99411 1,00296 0,99706 0,92938 0,98236 0,43 0,98761 0,99382 1,00310 0,99691 0,92597 0,98151 0,44 0,98702 0,99353 1,00325 0,99677 0,92249 0,98064 0,45 0,98642 0,99323 1,00340 0,99662 0,91892 0,97975 119
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
0,46 0,98581 0,99293 1,00355 0,99647 0,91527 0,97883 0,47 0,98518 0,99262 1,00371 0,99631 0,91155 0,97790 0,48 0,98454 0,99230 1,00387 0,99615 0,90774 0,97695 0,49 0,98388 0,99197 1,00403 0,99599 0,90385 0,97598 0,50 0,98321 0,99164 1,00420 0,99583 0,89988 0,97499 0,51 0,98253 0,99130 1,00437 0,99566 0,89583 0,97398 0,52 0,98183 0,99095 1,00454 0,99548 0,89170 0,97295 0,53 0,98112 0,99060 1,00472 0,99531 0,88749 0,97190 0,54 0,98040 0,99024 1,00490 0,99513 0,88320 0,97083 0,55 0,97966 0,98988 1,00509 0,99495 0,87882 0,96974 0,56 0,97890 0,98950 1,00528 0,99476 0,87437 096863 0,57 0,97814 0,98912 1,00547 0,99457 0,86984 0,96750 0,58 0,97735 0,98874 1,00567 0,99438 0,86522 0,96635 0,59 0,97656 0,98834 1,00586 0,99418 0,86053 0,96518 0,60 0,97575 0,98794 1,00607 0,99398 0,85575 0,96398 0,61 0,97493 0,98754 1,00627 0,99378 0,85089 0,96277 0,62 0,97409 0,98712 1,00648 0,99358 0,84595 0,96154 0,63 0,97323 0,98670 1,00670 0,99337 0,84093 0,96029 0,64 0,97237 0,98627 1,00691 0,99315 0,83583 0,95902 0,65 0,97149 0,98584 1,00713 0,99294 0,83065 0,95773 0,66 0,97059 0,98540 1,00736 0,99272 0,82539 0,95642 0,67 0,96968 0,98495 1,00759 0,99249 0,82005 0,95509 0,68 0,96876 0,98449 1,00782 0,99227 0,81462 0,95373 0,69 0,96782 0,98403 1,00805 0,99204 0,80912 0,95236 0,70 0,96687 0,98356 1,00829 0,99180 0,80353 0,95097 0,71 0,96590 0,98308 1,00853 0,99157 0,79786 0,94956 0,72 0,96492 0,98260 1,00878 0,99133 0,79212 0,94813 0,73 0,96392 0,98211 1,00903 0,99108 0,78629 0,94668 0,74 0,96291 0,98161 1,00928 0,99084 0,78037 0,94520 0,75 0,96188 0,98111 1,00954 0,99059 0,77438 0,94371 0,76 0,96084 0,98060 1,00980 0,99033 0,76831 0,94220 0,77 0,95979 0,98008 1,01007 0,99008 0,76215 0,94067 0,78 0,95872 0,97956 1,01033 0,98982 0,75592 0,93912 0,79 0,95763 0,97902 1,01061 0,98955 0,74960 0,93754 0,80 0,95653 0,97849 1,01088 0,98928 0,74320 0,93595 0,81 0,95542 0,97794 1,01116 0,98901 0,73672 0,93434 0,82 0,95429 0,97739 1,01144 0,98874 0,73015 0,93271 0,83 0,95314 0,97683 1,01173 0,98846 0,72351 0,93105 0,84 0,95198 0,97626 1,01202 0,98818 0,71678 0,92938 0,85 0,95081 0,97569 1,01232 0,98790 0,70997 0,92769 0,86 0,94962 0,97510 1,01261 0,98761 0,70308 0,92597 0,87 0,94841 0,97452 1,01292 0,98732 0,69611 0,92424 0,88 0,94719 0,97392 1,01322 0,98702 0,68906 0,92249 0,89 0,94595 0,97332 1,01353 0,98672 0,68192 0,92071 0,90 0,94470 0,97271 1,01385 0,98642 0,67470 0,91892 0,91 0,94344 0,97209 1,01416 0,98612 0,66740 0,91711 0,92 0,94216 0,97147 1,01449 0,98581 0,66002 0,91527 0,93 0,94086 0,97084 1,01481 0,98550 0,65256 0,91342 0,94 0,93955 0,97020 1,01514 0,98518 0,64501 0,91155 120
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
0,95 0,93822 0,96955 1,01547 0,98486 0,63738 0,90965 0,96 0,93687 0,96890 1,01581 0,98454 0,62967 0,90774 0,97 0,93551 0,96824 1,01615 0,98421 0,62188 0,90580 0,98 0,93414 0,96758 1,01650 0,98388 0,61400 0,90385 0,99 0,93275 0,96690 1,01684 0,98355 0,60605 0,90187 1,00 0,93134 0,96622 1,01720 0,98321 0,59801 0,89988 1,01 0,92992 0,96553 1,01755 0,98287 0,58988 0,89786 1,02 0,92848 0,96484 1,01792 0,98253 0,58168 0,89583 1,03 0,92702 0,96413 1,01828 0,98218 0,57339 0,89377 1,04 0,92555 0,96342 1,01865 0,98183 0,56502 0,89170 1,05 0,92406 0,96271 1,01902 0,98148 0,55656 0,88960 1,06 0,92256 0,96198 1,01940 0,98112 0,54803 0,88749 1,07 0,92104 0,96125 1,01978 0,98076 0,53941 0,88535 1,08 0,91951 0,96051 1,02017 0,98040 0,53071 0,88320 1,09 0,91795 0,95976 1,02056 0,98003 0,52192 0,88102 1,10 0,91639 0,95901 1,02095 0,97966 0,51305 0,87882 1,11 0,91480 0,95825 1,02135 0,97928 0,50410 0,87661 1,12 0,91320 0,95748 1,02175 0,97890 0,49506 0,87437 1,13 0,91158 0,95671 1,02215 0,97852 0,48595 0,87211 1,14 0,90994 0,95592 1,02256 0,97814 0,47674 0,86984 1,15 0,90829 0,95513 1,02298 0,97775 0,46746 0,86754 1,16 0,90662 0,95433 1,02340 0,97735 0,45809 0,86522 1,17 0,90494 0,95353 1,02382 0,97696 0,44864 0,86288 1,18 0,90324 0,95271 1,02425 0,97656 0,43910 0,86053 1,19 0,90152 0,95189 1,02468 0,97616 0,42948 0,85815 1,20 0,89978 0,95107 1,02511 0,97575 0,41978 0,85575 1,21 0,89802 0,95023 1,02556 0,97534 0,40999 0,85333 1,22 0,89625 0,94939 1,02600 0,97493 0,40012 0,85089 1,23 0,89446 0,94854 1,02645 0,97451 0,39016 0,84843 1,24 0,89266 0,94768 1,02690 0,97409 0,38012 0,84595 1,25 0,89083 0,94681 1,02736 0,97366 0,37000 0,84345 1,26 0,88899 0,94594 1,02782 0,97323 0,35979 0,84093 1,27 0,88713 0,94506 1,02829 0,97280 0,34950 0,83839 1,28 0,88526 0,94417 1,02876 0,97237 0,33912 0,83583 1,29 0,88336 0,94328 1,02923 0,97193 0,32866 0,83325 1,30 0,88145 0,94237 1,02971 0,97149 0,31812 0,83065 1,31 0,87952 0,94146 1,03020 0,97104 0,30748 0,82803 1,32 0,87757 0,94054 1,03069 0,97059 0,29677 0,82539 1,33 0,87560 0,93962 1,03118 0,97014 0,28597 0,82273 1,34 0,87362 0,93868 1,03168 0,96968 0,27508 0,82005 1,35 0,87161 0,93774 1,03218 0,96922 0,26411 0,81735 1,36 0,86959 0,93679 1,03269 0,96876 0,25306 0,81462 1,37 0,86755 0,93583 1,03320 0,96829 0,24191 0,81188 1,38 0,86549 0,93487 1,03372 0,96782 0,23069 0,80912 1,39 0,86341 0,93390 1,03424 0,96734 0,21938 0,80634 1,40 0,86131 0,93292 1,03476 0,96687 0,20798 0,80353 1,41 0,85920 0,93193 1,03529 0,96638 0,19650 0,80071 1,42 0,85706 0,93093 1,03583 0,96590 0,18493 0,79786 1,43 0,85491 0,92993 1,03637 0,96541 0,17327 0,79500 121
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
1,44 0,85273 0,92892 1,03692 0,96492 0,16153 0,79212 1,45 0,85054 0,92790 1,03747 0,96442 0,14970 0,78921 1,46 0,84832 0,92687 1,03802 0,96392 0,13779 0,78629 1,47 0,84609 0,92583 1,03858 0,96342 0,12579 0,78334 1,48 0,84384 0,92479 1,03914 0,96291 0,11371 0,78037 1,49 0,84157 0,92374 1,03971 0,96240 0,10153 0,77739 1,50 0,83928 0,92268 1,04029 0,96188 0,08928 0,77438 1,51 0,83696 0,92161 1,04087 0,96136 0,07693 0,77135 1,52 0,83463 0,92054 1,04145 0,96084 0,06450 0,76831 1,53 0,83228 0,91945 1,04204 0,96032 0,05198 0,76524 1,54 0,82991 0,91836 1,04264 0,95979 0,03937 0,76215 1,55 0,82751 0,91726 1,04323 0,95925 0,02668 0,75904 1,56 0,82510 0,91615 1,04384 0,95872 0,01390 0,75592 1,57 0,82266 0,91504 1,04445 0,95817 0,00103 0,75277 1,58 0,82021 0,91391 1,04506 0,95763 -0,01193 0,74960 1,59 0,81773 0,91278 1,04568 0,95708 -0,02497 0,74641 1,60 0,81523 0,91164 1,04631 0,95653 -0,03810 0,74320 1,61 0,81271 0,91049 1,04694 0,95597 -0,05132 0,73997 1,62 0,81017 0,90934 1,04758 0,95542 -0,06463 0,73672 1,63 0,80761 0,90817 1,04822 0,95485 -0,07803 0,73344 1,64 0,80502 0,90700 1,04886 0,95429 -0,09151 0,73015 1,65 0,80242 0,90581 1,04952 0,95372 -0,10508 0,72684 1,66 0,79979 0,90462 1,05017 0,95314 -0,11875 0,72351 1,67 0,79714 0,90343 1,05084 0,95256 -0,13250 0,72015 1,68 0,79446 0,90222 1,05150 0,95198 -0,14634 0,71678 1,69 0,79177 0,90100 1,05218 0,95140 -0,16026 0,71339 1,70 0,78905 0,89978 1,05286 0,95081 -0,17428 0,70997 1,71 0,78631 0,89855 1,05354 0,95021 -0,18839 0,70654 1,72 0,78355 0,89731 1,05423 0,94962 -0,20259 0,70308 1,73 0,78076 0,89606 1,05493 0,94902 -0,21678 0,69961 1,74 0,77795 0,89480 1,05563 0,94841 -0,23125 0,69611 1,75 0,77512 0,89354 1,05634 0,94780 -0,24572 0,69259 1,76 0,77226 0,89226 1,05705 0,94719 -0,26027 0,68906 1,77 0,76938 0,89098 1,05777 0,94657 -0,27492 0,68550 1,78 0,76647 0,88969 1,05849 0,94595 -0,28966 0,68192 1,79 0,76355 0,88839 1,05922 0,94533 -0,30449 0,67832 1,80 0,76059 0,88708 1,05996 0,94470 -0,31941 0,67470 1,81 0,75761 0,88576 1,06070 0,94407 -0,33442 0,67106 1,82 0,75461 0,88443 1,06145 0,94344 -0,34952 0,66740 1,83 0,75159 0,88310 1,06220 0,94280 -0,36471 0,66372 1,84 0,74853 0,88175 1,06296 0,94216 -0,38000 0,66002 1,85 0,74564 0,88040 1,06373 0,94151 -0,39538 0,65630 1,86 0,74235 0,87904 1,06450 0,94086 -0,41085 0,65256 1,87 0,73923 0,87767 1,06528 0,94020 -0,42641 0,64880 1,88 0,73607 0,87629 1,06606 0,93955 -0,4206 0,64501 1,89 0,73289 0,87490 1,06685 0,93888 -0,45781 0,64121 1,90 0,72969 0,87350 1,06765 0,93822 -0,47365 0,63738 1,91 0,72646 0,87210 1,06845 0,93755 -0,48958 0,63354 1,92 0,72320 0,87068 1,06926 0,93687 -0,50560 0,62967 122
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
1,93 0,71991 0,86926 1,07007 0,93619 -0,52172 0,62579 1,94 0,71660 0,86782 1,07090 0,93551 -0,53793 0,62188 1,95 0,71326 0,86638 1,07172 0,93483 -0,55424 0,61795 1,96 0,70989 0,86493 1,07256 0,93414 -0,57064 0,61400 1,97 0,70650 0,86347 1,07340 0,93344 -0,58714 0,61004 1,98 0,70307 0,86200 1,07425 0,94275 -0,60373 0,60605 1,99 0,69962 0,86052 1,07510 0,93205 -0,62041 0,60204 2,00 0,69614 0,85903 1,07596 0,93134 -0,63719 0,59801 2,01 0,69263 0,85753 1,07683 0,93063 -0,65407 0,59396 2,02 0,68910 0,85602 1,07771 0,92992 -0,67104 0,58988 2,03 0,68553 0,85451 1,07859 0,92920 -0,68810 0,58579 2,04 0,68194 0,85298 1,07947 0,92848 -0,70526 0,58168 2,05 0,67831 0,85144 1,08037 0,92775 -0,72252 0,57754 2,06 0,67466 0,84990 1,08127 0,92702 -0,73988 0,57339 2,07 0,67097 0,84834 1,08218 0,92629 -0,75733 0,56921 2,08 0,66726 0,846678 1,08309 0,92555 -0,77488 0,56502 2,09 0,66351 0,84521 1,08402 0,92481 -0,79252 0,56080 2,10 0,65973 0,84362 1,08495 0,92406 -0,81027 0,55656 2,11 0,65592 0,84203 1,08588 0,92332 -0,82811 0,55231 2,12 0,65208 0,84043 1,08683 0,92256 -0,84605 -,54803 2,13 0,64821 0,83882 1,08778 0,92180 -0,86409 0,54373 2,14 0,64431 0,83719 1,08874 0,92104 -0,88223 0,53941 2,15 0,64037 0,83556 1,08970 0,92028 -0,90046 0,53507 2,16 0,63640 0,83392 1,09068 0,91951 -0,91880 0,53071 2,17 0,63240 0,83227 1,09166 0,91873 -0,93724 0,52632 2,18 0,62836 0,83061 1,09265 0,91795 -0,95577 0,52192 2,19 0,62429 0,82894 1,09364 0,91717 -0,97441 0,51750 2,20 0,62019 0,82726 1,09465 0,91639 -0,99315 0,51305 2,21 0,61605 0,82556 1,09566 0,91559 -1,01199 0,50859 2,22 0,61187 0,82386 1,09668 0,91480 -1,03093 0,50410 2,23 0,60767 0,82215 1,09770 0,91400 -1,04997 0,49959 2,24 0,60342 0,82043 1,09874 0,91320 -1,06911 0,49506 2,25 0,59914 0,81870 1,09978 0,91239 -1,08836 0,49052 2,26 0,59483 0,81696 1,10083 0,91158 -1,10771 0,48595 2,27 0,59047 0,81520 1,10189 0,91076 -1,12716 0,48136 2,28 0,58608 0,81344 1,10295 0,90994 -1,14672 0,47674 2,29 0,58166 0,81167 1,10403 0,90912 -1,16638 0,47211 2,30 0,57719 0,80988 1,10511 0,90829 -1,18614 0,46746 2,31 0,57269 0,80809 1,10620 0,90746 -1,20601 0,46279 2,32 0,56815 0,80629 1,10730 0,90662 -1,22598 0,45809 2,33 0,56357 0,80447 1,10841 0,90578 -1,24606 0,45337 2,34 0,55895 0,80265 1,0952 0,90494 -1,26625 0,44864 2,35 0,55429 0,80081 1,11065 0,90409 -1,28654 0,44388 2,36 0,54959 0,79896 1,11178 0,90324 -1,30694 0,43910 2,37 0,54485 0,79711 1,11292 0,90238 -1,32745 0,43430 2,38 0,54007 0,79524 1,11407 0,90152 -1,34806 0,42948 2,39 0,53525 0,79336 1,11523 0,90065 -1,36879 0,42464 2,40 0,53038 0,79147 1,11640 0,89978 -1,38962 0,41978 2,41 0,52547 0,78957 1,11758 0,89890 -1,41056 0,41490 123
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
2,42 0,52052 0,78766 1,11876 0,89802 -1,43161 0,40999 2,43 0,51553 0,78573 1,11996 0,89714 -1,45277 0,40507 2,44 0,51049 0,78380 1,12116 0,89625 -1,47405 0,40012 2,45 0,50540 0,78185 1,12237 0,89536 -1,49543 0,39515 2,46 0,50028 0,77990 1,12360 0,89446 -1,51692 0,39016 2,47 0,49510 0,77793 1,12483 0,89356 -1,53853 0,38515 2,48 0,48988 0,77595 1,12607 0,89266 -1,56025 0,38012 2,49 0,48461 0,77396 1,12732 0,89175 -1,58209 0,37507 2,50 0,47930 0,77196 1,12858 0,89083 -1,60403 0,37000 2,51 0,47394 0,76995 1,12985 0,88992 -1,62610 0,36491 2,52 0,46853 0,76792 1,13113 0,88899 -1,64827 0,35979 2,53 0,46307 0,76589 1,13242 0,88806 -1,67057 0,35466 2,54 0,45756 0,76384 1,13372 0,88713 -1,69298 0,34950 2,55 0,45200 0,76178 1,13503 0,88620 -1,71550 0,34432 2,56 0,44638 0,75971 1,13634 0,88526 -1,73815 0,33912 2,57 0,44072 0,75763 1,13767 0,88431 -1,76091 0,33390 2,58 0,43500 0,75554 1,13901 0,88336 -1,78380 0,32866 2,59 0,42924 0,75343 1,14036 0,88241 -1,80680 0,32340 2,60 0,42341 0,75131 1,14172 0,88145 -1,82992 0,31812 2,61 0,41754 0,74918 1,14309 0,88049 -1,85316 0,31281 2,62 0,41160 0,74704 1,14447 0,87952 -1,87653 0,30748 2,63 0,40562 0,74489 1,14586 0,87855 -1,90002 0,30214 2,64 0,39957 0,74272 1,14727 0,87757 -1,92363 0,29677 2,65 0,39347 0,74054 1,14868 0,87659 -1,94737 0,29138 2,66 0,38731 0,73835 1,15010 0,87560 -1,97123 0,28597 2,67 0,38109 0,73615 1,15154 0,87461 -1,99521 0,28054 2,68 0,37481 0,73393 1,15298 0,87362 -2,01933 0,27508 2,69 0,36847 0,73170 1,15444 0,87262 -2,04357 0,26961 2,70 0,36206 0,72946 1,15591 0,87161 -2,06794 0,26411 2,71 0,35560 0,72721 1,15739 0,87060 -2,09244 0,25859 2,72 0,34907 0,72494 1,15888 0,86959 -2,11706 0,25306 2,73 0,34248 0,72266 1,16038 0,86857 -2,14182 0,24750 2,74 0,33582 0,72037 1,16190 0,86755 -2,16671 0,24191 2,75 0,32909 0,71807 1,16342 0,86652 -2,19174 0,23631 2,76 0,32230 0,71575 1,16496 0,86549 -2,21690 0,23069 2,77 0,31544 0,71342 1,16651 0,86445 -2,24219 0,22504 2,78 0,30851 0,71108 1,16807 0,86341 -2,26762 0,21938 2,79 0,30151 0,70872 1,16965 0,86236 -2,29319 0,21369 2,80 0,29444 0,70635 1,17123 0,86131 -2,31889 0,20798 2,81 0,28730 0,70397 1,17283 0,86026 -2,34474 0,20225 2,82 0,28008 0,70157 1,17444 0,85920 -2,37072 0,19650 2,83 0,27279 0,69916 1,17607 0,85813 -2,39685 0,19072 2,84 0,26542 0,69674 1,17771 0,85706 -2,42312 0,18493 2,85 0,25797 0,69430 1,17936 0,85599 -2,44953 0,17911 2,86 0,25045 0,69185 1,18102 0,85491 -2,47609 0,17327 2,87 0,24284 0,68938 1,18269 0,85382 -2,50279 0,16741 2,88 0,23516 0,68691 1,18438 0,85273 -2,52964 0,16153 2,89 0,22739 0,68441 1,18609 0,85164 -2,55664 0,15563 2,90 0,21954 0,68191 1,18780 0,85054 -2,58380 0,14970 124
v
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
3
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
2,91 0,21160 0,67939 1,18953 0,84943 -2,61110 0,14376 2,92 0,20358 0,67685 1,19127 0,84832 -2,63856 0,13779 2,93 0,19547 0,67430 1,19303 0,84721 -2,66617 0,13180 2,94 0,18726 0,67174 1,19480 0,84609 -2,69394 0,12579 2,95 0,17897 0,66916 1,19659 0,84497 -2,72186 0,11976 2,96 0,17059 0,66657 1,19839 0,84384 -2,74995 0,11371 2,97 0,16211 0,66396 1,20020 0,84271 -2,74995 0,10763 2,98 0,15353 0,66134 1,20203 0,84157 -2,77819 0,10153 2,99 0,14485 0,65870 1,20387 0,84042 -2,80660 0,09542 3,00 0,13608 0,65605 1,20573 0,83928 -2,83518 0,08928 3,01 0,12721 0,65338 1,20760 0,83812 -2,89283 0,08311 3,02 0,11823 0,65070 1,20949 0,83696 -2,92191 0,07693 3,03 0,10914 0,64800 1,21139 0,83580 -2,95116 0,07072 3,04 0,09995 0,64529 1,21331 0,83463 -2,98058 0,06450 3,05 0,09065 0,64256 1,21524 0,83346 -3,01018 0,05825 3,06 0,08124 0,63982 1,21719 0,83228 -3,03996 0,05198 3,07 0,07171 0,63706 1,21916 0,83109 -3,06992 0,04569 3,08 0,06207 0,63429 1,22114 0,82991 -3,10006 0,03937 3,09 0,05231 0,63150 1,22313 0,82871 -3,13039 0,03304 3,10 0,04243 0,62869 1,22515 0,82751 -3,16090 0,02668 3,11 0,03243 0,62587 1,22718 0,82631 -3,19160 0,02030 3,12 0,02231 0,62303 1,22922 0,82510 -3,22249 0,01390 3,13 0,01205 0,62018 1,23129 0,82388 -3,25258 0,00747 3,14 0,00167 0,61731 1,23337 0,82266 -3,28487 0,00103 3,15 -0,00885 0,61442 1,23547 0,82144 -3,31635 -0,00544 3,16 -0,01950 0,61152 1,23758 0,82021 -3,34804 -0,01193 3,17 -0,03030 0,60860 1,23971 0,81897 -3,37993 -0,01844 3,18 -0,04123 0,60566 1,24186 0,81773 -3,41203 -0,02497 3,19 -0,05231 0,60271 1,24403 0,81648 -3,44434 -0,03153 3,20 -0,06353 0,59974 1,24621 0,81523 -3,47687 -0,03810 3,21 -0,07491 0,59675 1,24842 0,81397 -3,50961 -0,04470 3,22 -0,08644 0,59375 1,25064 0,81271 -3,54257 -0,05132 3,23 -0,09813 0,59072 1,25288 0,81144 -3,57576 -0,05797 3,24 -0,10998 0,58768 1,25514 0,81017 -3,60918 -0,06463 3,25 -0,12199 0,58463 1,25742 0,80889 -3,64282 -0,07132 3,26 -0,13417 0,58155 1,25972 0,80761 -3,67670 -0,07803 3,27 -0,14652 0,57846 1,26203 0,80632 -3,71082 -0,08476 3,28 -0,15905 0,57535 1,26437 0,80502 -3,74519 -0,09151 3,29 -0,17176 0,57222 1,26673 0,80372 -3,77980 -0,09829 3,30 -0,18466 0,56907 1,26910 0,80242 -3,81466 -0,10508 3,31 -0,19774 0,56591 1,27150 0,80110 -3,84978 -0,11190 3,32 -0,21102 0,56272 1,27392 0,79979 -3,88515 -0,11875 3,33 -0,22450 0,55952 1,27635 0,79846 -3,92080 -0,12561 3,34 -0,23818 0,55630 1,27881 0,79714 -3,95671 -0,13250 3,35 -0,25206 0,55306 1,28129 0,79580 -3,99290 -0,13941 3,36 -0,26616 0,54980 1,28379 0,79446 -4,02936 -0,14634 3,37 -0,28048 0,54652 1,28632 0,79312 -4,06612 -0,15329 3,38 -0,29503 0,54322 1,28886 0,79177 -4,10316 -0,16026 3,39 -0,30980 0,53991 1,29143 0,79041 -4,14050 -0,16726 125
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
3,40 -0,32481 0,53657 1,29401 0,78905 -4,17814 -0,17428 3,41 -0,34006 0,53321 1,29662 0,78768 -4,21610 -0,18133 3,42 -0,35556 0,52984 1,29926 0,78631 -4,25436 -0,18839 3,43 -0,37132 0,52644 1,30192 0,78493 -4,29295 -0,19548 3,44 -0,38734 0,52302 1,30460 0,78355 -4,33187 -0,20259 3,45 -0,40363 0,51958 1,30730 0,78216 -4,37113 -0,20972 3,46 -0,42020 0,51613 1,31003 0,78076 -4,41073 -0,21687 3,47 -0,43705 0,51265 1,31278 0,77936 -1,45068 -0,22405 3,48 -0,45419 0,50915 1,31555 0,77795 -4,49099 -0,23125 3,49 -0,47164 0,50563 1,31835 0,77654 -4,53167 -0,23847 3,50 -0,48939 0,50209 1,32118 0,77512 -4,57273 -0,24572 3,51 -0,50747 0,49852 1,32403 0,77369 -4,61417 -0,25298 3,52 -0,52587 0,49494 1,32690 0,77226 -4,65601 -0,26027 3,53 -0,54462 0,49133 1,32980 0,77082 -4,69825 -0,26759 3,54 -0,56371 0,48770 1,33273 0,76938 -4,74091 -0,27492 3,55 -0,58316 0,48405 1,33569 0,76793 -4,78399 -0,28228 3,56 -0,60298 0,48038 1,33867 0,76647 -4,82752 -0,28966 3,57 -0,62319 0,47668 1,34167 0,76501 -4,87149 -0,29706 3,58 -0,64379 0,47296 1,34471 0,76355 -4,91592 -0,30449 3,59 -0,66480 0,46922 1,34777 0,76207 -4,96083 -0,31194 3,60 -0,68622 0,46546 1,35086 0,76059 -5,00622 -0,31941 3,61 -0,70809 0,46167 1,35398 0,75911 -5,05212 -0,32690 3,62 -0,73040 0,45786 1,35713 0,75761 -5,09853 -0,33442 3,63 -0,75317 0,45402 1,36030 0,75612 -5,14547 -0,34196 3,64 -0,77643 0,45016 1,36351 0,75461 -5,19296 -0,34952 3,65 -0,80018 0,44628 1,36674 0,75310 -5,24101 -0,35711 3,66 -0,82445 0,44237 1,37001 0,75159 -5,28965 -0,36471 3,67 -0,84924 0,43844 1,37330 0,75006 -5,33888 -0,37235 3,68 -0,87459 0,43449 1,37663 0,74853 -5,38873 -0,38000 3,69 -0,90052 0,43050 1,37999 0,74700 -5,43922 0,38768 3,70 -0,92703 0,42650 1,38338 0,74546 -5,49036 -0,39538 3,71 -0,95416 0,42247 1,38680 0,74391 -5,54219 -0,40310 3,72 -0,98193 0,41841 1,39025 0,74235 -5,59473 -0,41085 3,73 -1,01036 0,41432 1,39374 0,74079 -5,64799 -0,41861 3,74 -1,03948 0,41021 1,39725 0,73923 -5,70201 -0,42641 3,75 -1,06931 0,40608 1,40081 0,73765 -5,75681 -0,43422 3,76 -1,09989 0,40191 1,40439 0,73607 -5,81242 -0,44206 3,77 -1,13124 0,39772 1,40801 0,73449 -5,86888 -0,44992 3,78 -1,16340 0,39351 1,41167 0,73289 -5,92620 -0,45781 3,79 -1,19641 0,38926 1,41536 0,73129 -5,98444 -0,46571 3,80 -1,23028 0,38499 1,41909 0,72969 -6,04362 -0,47365 3,81 -1,26508 0,38069 1,42285 0,72807 -6,10378 -0,48160 3,82 -1,30082 0,37636 1,42665 0,72646 -6,16496 -0,48958 3,83 -1,33757 0,37200 1,43048 0,72483 -6,22720 -0,49758 3,84 -1,37535 0,36762 1,43436 0,72320 -6,29055 -0,50560 3,85 -1,41423 0,36320 1,43827 0,72156 -6,35506 -0,51365 3,86 -1,45425 0,35876 1,44222 0,71991 -6,42078 -0,52172 3,87 -1,49546 0,35428 1,44621 0,71826 -6,48776 -0,52982 3,88 -1,53793 0,34978 1,45024 0,71660 -6,55606 -0,53793 126
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
3,89 -1,58171 0,34525 1,45431 0,71493 -6,62574 -0,54608 3,90 -1,62687 0,34068 1,45842 0,71326 -6,69687 -0,55424 3,91 -1,67348 0,33608 1,46257 0,71158 -6,76951 -0,56243 3,92 -1,72161 0,33146 1,46676 0,70989 -6,84375 -0,57064 3,93 -1,77136 0,32680 1,47099 0,70820 -6,91966 -0,57888 3,94 -1,82279 0,32211 1,47527 0,70650 -6,99732 -0,58714 3,95 -1,87601 0,31739 1,47959 0,70479 -7,07684 -0,59542 3,96 -1,93111 0,31263 1,48396 0,70307 -7,15831 -0,60373 3,97 -1,98821 0,30784 1,48837 0,70135 -7,24184 -0,61206 3,98 -2,04741 0,30302 1,49282 0,69962 -7,32754 -0,62041 3,99 -2,10885 0,29817 1,49732 0,69787 -7,41555 -0,62879 4,00 -2,17265 0,29328 1,50187 0,69614 -7,50598 -0,63719 4,01 -2,23896 0,28836 1,50647 0,69439 -7,59899 -0,64562 4,02 -2,30794 0,28340 1,51111 0,69263 -7,69474 -0,65407 4,03 -2,37977 0,27840 1,51580 0,69087 -7,79340 -0,66254 4,04 -2,45462 0,27338 1,52054 0,68910 -7,89515 -0,67104 4,05 -2,53271 0,26831 1,52533 0,68732 -8,00021 -0,67956 4,06 -2,61425 0,26321 1,53017 0,68553 -8,10878 -0,66810 4,07 -2,69949 0,25807 1,53506 0,68374 -8,22113 -0,69667 4,08 -2,78870 0,25290 1,54001 0,68194 -8,33750 -0,70526 4,09 -2,88217 0,24769 1,54501 0,68013 -8,45820 -0,71388 4,10 2,98023 0,24244 1,55006 0,67831 -8,58356 -0,72252 4,11 -3,08322 0,23715 1,55516 0,67649 -8,71392 -0,73119 4,12 -3,19155 0,23182 1,56032 0,67466 -8,84968 -0,73968 4,13 -3,30566 0,22646 1,56554 0,67282 -8,99129 -0,74859 4,14 -3,42603 0,22105 1,57081 0,67097 -9,13923 -0,75733 4,15 -3,55322 0,21561 1,57614 0,66912 -9,29405 -0,76609 4,16 -3,68782 0,21012 1,58153 0,66726 -9,45635 -0,77488 4,17 -3,83054 0,20459 1,58698 0,66539 -9,62684 -0,78369 4,18 -3,98213 0,19902 1,59249 0,66351 -9,80627 -0,79252 4,19 -4,14349 0,19341 1,59806 0,66162 -9,99552 -0,80138 4,20 -4,31560 0,18775 1,60369 0,65973 -10,19560 -0,81027 4,21 -4,49961 0,18206 1,60938 0,65783 -10,40764 -0,81918 4,22 -4,69681 0,17631 1,61514 0,65592 -10,63295 -0,82811 4,23 -4,90871 0,17053 1,62096 0,65401 -10,87301 -0,83707 4,24 -5,13704 0,16470 1,62685 0,65208 -11,12958 -0,84605 4,25 -5,38383 0,15882 1,63281 0,65015 -11,40466 -0,85506 4,26 -5,65145 0,15290 1,63884 0,64821 -11,70065 -0,86409 4,27 -5,94265 0,14693 1,64493 0,64626 -12,02032 -0,87315 4,28 -6,26086 0,14091 1,65109 0,64431 -12,36699 -0,88223 4,29 -6,60994 0,13485 1,65733 0,64234 -12,74464 -0,89133 4,30 -6,99473 0,12873 1,66364 0,64037 -13,15806 -0,90046 4,31 -7,42105 0,12257 1,67002 0,63839 -13,61308 -0,90962 4,32 -7,89609 0,11636 1,67647 0,63640 -14,11689 -0,91880 4,33 -8,42879 0,11010 1,68301 0,63440 -14,67842 -0,92801 4,34 -9,03042 0,10379 1,68961 0,63240 -15,30895 -0,93724 4,35 -9,71539 0,09742 1,69630 0,63038 -16,02289 -0,94649 4,36 -10,50245 0,09100 1,70307 0,62836 -16,83899 -0,95577 4,37 -11,41641 0,08453 1,70992 0,62633 -17,78204 -0,96508 127
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
4,38 -12,49082 0,07801 1,71685 0,62429 -18,88562 -0,97441 4,39 -13,77224 0,07143 1,72386 0,62224 -20,19627 -0,98377 4,40 -15,32713 0,06480 1,73096 0,62019 -21,78046 -0,99315 4,41 -17,25385 0,05811 1,73815 0,61812 -23,73655 -1,00255 4,42 -19,70434 0,05136 1,74543 0,61605 -26,21647 -1,01199 4,43 -22,92640 0,04455 1,75279 0,61397 -29,46804 -1,02144 4,44 -27,35342 0,03769 1,76024 0,91187 -33,92462 -1,03093 4,45 -33,81810 0,03077 1,76779 0,60977 -40,41893 -1,04043 4,46 -44,15015 0,02378 1,77543 0,60767 -50,78068 -1,04997 4,47 -63,30569 0,01674 1,78317 0,60555 -69,96599 -1,05953 4,48 -111,02484 0,00963 1,79101 0,60342 -117,71497 -1,06911 4,49 -438,64008 0,00246 1,79894 0,60129 -445,36011 -1,07872 4,50 227,92925 -0,00477 1,80698 0,59914 221,17925 -1,08836 4,51 90,93972 -0,01207 1,81511 0,59699 84,15968 -1,09802 4,52 56,98304 -0,01944 1,82336 0,59483 50,17291 -1,10771 4,53 41,58421 -0,02687 1,83171 0,59265 34,74391 -1,11742 4,54 3279368 -0,03437 1,84016 0,59047 25,92314 -1,12716 4,55 27,10821 -0,04194 1,84873 0,58828 20,20738 -1,13692 4,56 23,12892 -0,04958 1,85741 0,58608 16,19772 -1,14672 4,57 20,18750 -0,05729 1,86621 0,58388 13,22587 -1,15653 4,58 17,92436 -0,06507 1,87512 0,58166 10,93223 -1,16638 4,59 16,12883 -0,07293 1,88415 0,57943 9,10613 -1,17624 4,60 14,66930 -0,08086 1,89330 0,57719 7,61596 -1,18614 4,61 13,45929 -0,08887 1,90257 0,57495 6,37526 -1,19606 4,62 12,43967 -0,09695 1,91197 0,57269 5,32487 -1,20601 4,63 11,56862 -0,10511 1,92150 0,57042 4,42299 -1,21598 4,64 10,81573 -0,11335 1,93115 0,56815 3,63920 -1,22598 4,65 10,15836 -0,12167 1,94094 0,56586 2,95086 -1,23601 4,66 9,57929 -0,13008 1,95087 0,56357 2,34076 -1,24606 4,67 9,06523 -0,13857 1,96093 0,56126 1,79560 -1,25614 4,68 8,60571 -0,14714 1,97113 0,55895 1,30491 -1,26625 4,69 8,19242 -0,15580 1,98148 0,55662 0,86038 -1,27638 4,70 7,81862 -0,16455 1,99197 0,55429 0,45529 -1,28654 4,71 7,47885 -0,17339 2,00261 0,55195 0,08415 -1,29673 4,72 7,16860 -0,18231 2,01340 0,54959 -0,25753 -1,30694 4,73 6,88413 -0,19134 2,02435 0,54723 -0,57351 -1,31718 4,74 6,62228 -0,20045 2,03545 0,54485 -0,86692 -1,32745 4,75 6,38042 -0,20966 2,04672 0,54246 -1,14041 -1,33774 4,76 6,15629 -0,21897 2,05815 0,54007 -1,39625 -1,34806 4,77 5,94796 -0,22838 2,06975 0,53766 -1,63634 -1,35841 4,78 5,75378 -0,23789 2,08152 0,53525 -1,86235 -1,36879 4,79 5,57232 -0,24751 2,09347 0,53282 -2,07572 -1,37919 4,80 5,40232 -0,25723 2,10559 0,53038 -2,27768 -1,38962 4,81 5,24269 -0,26705 2,11790 0,52793 -2,46934 -1,40008 4,82 5,09249 -0,27699 2,13039 0,52547 -2,65164 -1,41056 4,83 4,95087 -0,28704 2,14308 0,52300 -2,82543 -1,42107 4,84 4,81707 -0,29720 2,15595 0,52052 -2,99146 -1,43161 4,85 4,69045 -0,30747 2,16903 0,51803 -3,15038 -1,44218 4,86 4,57041 -0,31786 2,18231 0,51553 -3,30279 -1,45277 128
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
4,87 4,45643 -0,32838 2,19580 0,51301 -3,44921 -1,46340 4,88 4,34802 -0,33902 2,20949 0,51049 -3,59011 -1,47405 4,89 4,24478 -0,34978 2,22341 0,50795 -3,72592 -1,48472 4,90 4,14630 -0,36067 2,23754 0,50540 -3,85703 -1,49543 4,91 4,05226 -0,37168 2,25191 0,50285 -,398378 -1,50616 4,92 3,96233 -0,38284 2,26650 0,50028 -4,10647 -1,51692 4,93 3,87622 -0,39412 2,28133 0,49769 -4,22541 -1,52771 4,94 3,79369 -0,40555 2,29641 0,49510 -4,34084 -1,53853 4,95 3,71449 -0,41712 2,31173 0,49250 -4,45301 -1,54938 4,96 3,63840 -0,42883 2,32730 0,48988 -4,56213 -1,56025 4,97 3,56524 -0,44069 2,34314 0,48725 -4,66840 -1,57115 4,98 3,49480 -0,45270 2,35924 0,48461 -4,77200 -1,58209 4,99 3,42694 -0,46486 2,37561 0,48196 -4,87310 -1,59305 5,00 3,36148 -0,47718 2,39226 0,47930 -4,97185 -1,60403 5,01 3,29830 -0,48966 2,40920 0,47662 -5,06840 -1,61505 5,02 3,23726 -0,50231 2,42642 0,47394 -5,16288 -1,62610 5,03 3,17823 0,51512 2,44395 0,47124 -5,25540 -1,63717 5,04 3,12111 -0,52811 2,46179 0,46853 -5,34609 -1,64827 5,05 3,06578 -0,54127 2,47994 0,46580 -5,43505 -1,65941 5,06 3,01216 -0,55461 2,49841 0,46307 -5,52237 -1,67057 5,07 2,96015 -0,56813 2,51722 0,46032 -5,60815 -1,68176 5,08 2,90967 -0,58185 2,53636 0,45756 -5,69246 -1,69298 5,09 2,86063 -0,59575 2,55585 0,45478 -5,77540 -1,70423 5,10 2,81297 -0,60986 2,57570 0,45200 -5,85703 -1,71550 5,11 2,76661 -0,62416 2,59591 0,44920 -5,93742 -1,72681 5,12 2,72149 -0,63867 2,61650 0,44638 -6,01664 -1,73815 5,13 2,67756 -0,65340 2,63748 0,44356 -6,09474 -1,74952 5,14 2,63474 -0,66834 2,65885 0,44072 -6,17179 -1,76091 5,15 2,59300 -0,68351 2,68063 0,43787 -6,24784 -1,77234 5,16 2,55227 -0,69891 2,70283 0,43500 -6,32293 -1,78380 5,17 2,51251 -0,71454 2,72545 0,43213 -6,39712 -1,79528 5,18 2,47368 -0,73041 2,74852 0,42924 -6,47045 -1,80680 5,19 2,43574 -0,74653 2,77205 0,42633 -6,54296 -1,81834 5,20 2,39864 -0,76290 2,79604 0,42341 -6,61469 -1,82992 5,21 2,36235 -0,77953 2,82051 0,42048 -6,68568 -1,84153 5,22 2,32683 -0,79643 2,84547 0,41754 -6,75597 -1,85316 5,23 2,29205 -0,81362 2,87094 0,41458 -6,82558 -1,86483 5,24 2,25798 -0,83106 2,89694 0,41160 -6,89455 -1,87653 5,25 2,22459 -0,84881 2,92348 0,40862 -6,96291 -1,88826 5,26 2,19184 -0,86686 2,95057 0,40562 -7,03069 -1,90002 5,27 2,15971 -0,88521 2,97823 0,40260 -7,09792 -1,91181 5,28 2,12818 -0,90388 3,00648 0,39957 -7,16462 -1,92363 5,29 2,09722 -0,92288 3,03534 0,39653 -7,23081 -1,93548 5,30 2,06681 -0,94221 3,06482 0,39347 -7,29653 -1,94737 5,31 2,03692 -0,96188 3,09495 0,39039 -7,36178 -1,95928 5,32 2,00753 -0,98191 3,12575 0,38731 -7,42660 -1,97123 5,33 1,97863 -1,00231 3,15723 0,38420 7,49100 -1,98320 5,34 1,95020 -1,02308 3,18943 0,38109 -7,55500 -1,99521 5,35 1,92221 -1,04424 3,22235 0,37795 -7,61863 -2,00725 129
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
5,36 1,89464 -1,06581 3,25603 0,37481 -7,68189 -2,01933 5,37 1,86749 -1,08778 3,29250 0,37164 -7,74481 -2,03143 5,38 1,84074 -1,11019 3,32578 0,36847 -7,80739 -2,04357 5,39 1,81436 -1,13303 3,36189 0,36527 -7,86976 -2,05574 5,40 1,78835 -1,15634 3,39886 0,36206 -7,93165 -2,06794 5,41 1,76269 -1,18011 3,43673 0,35884 -7,99334 -2,08017 5,42 1,73737 -1,20437 3,47553 0,35560 -8,05476 -2,09244 5,43 1,71237 -1,22913 3,51529 0,35234 -8,11593 -2,10473 5,44 1,68769 -1,25442 3,55604 0,34907 -8,17684 -2,11706 5,45 1,66330 -1,28024 3,59782 0,34578 -8,23753 -2,12943 5,46 1,63921 -1,30662 3,64068 0,34248 -8,29799 -2,14182 5,47 1,61538 -1,33358 3,68464 0,33916 -8,35825 -2,15425 5,48 1,59183 -1,36115 3,72975 0,33582 -8,41830 -2,16671 5,49 1,56853 -1,38933 3,77605 0,33246 -8,47817 -2,17921 5,50 1,54548 -1,41816 3,82360 0,32909 -8,53785 -2,19174 5,51 1,52267 -1,44766 3,87244 0,32571 -8,59737 -2,20430 5,52 1,50008 -1,47785 3,92261 0,32230 -8,65672 -2,21690 5,53 1,47771 -1,50877 3,97419 0,31888 -8,71592 -2,22953 5,54 1,45555 -1,54044 4,02721 0,31544 -8,77498 -2,24219 5,55 1,43359 -1,57289 4,08175 0,31199 -8,83391 -2,25489 5,56 1,41183 -1,60616 4,13786 0,30851 -8,89271 -2,26762 5,57 1,39025 -1,64027 4,19561 0,30502 -8,95138 -2,28039 5,58 1,36885 -1,67527 4,25507 0,30151 -9,00995 -2,29319 5,59 1,34762 -1,71118 4,31633 0,29799 -9,06842 -2,30602 5,60 1,32655 -1,74806 4,37945 0,29444 -9,12678 -2,31889 5,61 1,30564 -1,78594 4,44452 0,29088 -9,18506 -2,33180 5,62 1,28488 -1,82487 4,51163 0,28730 -9,24325 -2,34474 5,63 1,26426 -1,86489 4,58087 0,28370 -9,30137 -2,35771 5,64 1,24378 -1,90605 4,65235 0,28008 -9,35942 -2,37072 5,65 1,22344 -1,94842 4,72617 0,27644 -9,41740 -2,38377 5,66 1,20321 -1,99204 4,80244 0,27279 -9,47532 -2,39685 5,67 1,18311 -2,03697 4,88129 0,26911 -9,53319 -2,40996 5,68 1,16312 -2,08329 4,96284 0,26542 -9,59101 -2,42312 5,69 1,14324 -2,13106 5,04723 0,26171 -9,64880 -2,43630 5,70 1,12346 -2,18035 5,13461 0,25797 -9,70654 -2,44953 5,71 1,10377 -2,23124 5,22514 0,25422 -9,76426 -2,46279 5,72 1,08418 -2,28382 5,31899 0,25045 -9,82195 -2,47609 5,73 1,06468 -2,33818 5,41633 0,24666 -9,87962 -2,48942 5,74 1,04526 -2,39441 5,51736 0,24284 -9,93727 -2,50279 5,75 1,02592 -2,45265 5,62229 0,23901 -9,99491 -2,51620 5,76 1,00665 -2,51293 5,73134 0,23516 -10,05255 -2,52964 5,77 0,98745 -2,57545 5,84475 0,23128 -10,11019 -2,54312 5,78 0,96831 -2,64031 5,96280 0,22739 -10,16782 -2,55664 5,79 0,94923 -2,70766 5,08575 0,22347 -10,22547 -2,57020 5,80 0,93021 -2,77765 6,21392 0,21954 -10,28312 -2,58380 5,81 0,91124 -2,850045 6,34763 0,21558 -10,34080 -2,59743 5,82 0,89231 -2,92623 6,48726 0,21160 -10,39849 -2,61110 5,83 0,87342 -3,00519 6,63318 0,20760 -10,45621 -2,62481 5,84 0,85458 -3,08755 6,78584 0,20358 -10,51395 -2,63856 130
( )
v
1
ϕ
( )
v
2
ϕ
( )
v
4
ϕ
( )
v
1
η
( )
v
2
η
( )
v
3
ϕ
v
5,85 0,83577 -3,17354 6,94568 0,19953 -10,57173 -2,65234 5,86 0,81699 -3,26342 7,11324 0,19547 -10,62955 -2,66617 5,87 0,79823 -3,35747 7,28907 0,19138 -10,68740 -2,68003 5,88 0,77950 -3,45599 7,47378 0,18726 -10,74530 -2,69394 5,89 0,76078 -3,55933 7,66806 0,18313 -10,80325 -2,70788 5,90 0,74208 -3,66787 7,87265 0,17897 -10,86125 -2,72186 5,91 0,72339 -3,78201 8,08839 0,17479 -10,91931 -2,73589 5,92 0,70471 -3,90222 8,31620 0,17059 -10,97742 -2,74995 5,93 0,68604 -4,02902 8,55711 0,16636 -11,03560 -2,76405 5,94 0,66736 -4,16298 8,81227 0,16211 -11,09384 -2,77819 5,95 0,64868 -4,30473 9,08295 0,15783 -11,15216 -2,79238 5,96 0,62999 -4,45501 9,37061 0,15353 -11,21055 -2,80660 5,97 0,61129 -4,61463 9,67687 0,14920 -11,26901 -2,82087 5,98 0,59257 -4,78451 10,00358 0,14485 -11,32756 -2,83518 5,99 0,57384 -4,96569 10,35282 0,14048 -11,38619 -2,84953 6,00 0,55509 -5,15938 10,72700 0,13608 -11,44491 -2,86392 6,01 0,53631 -5,36694 11,12885 0,13166 -11,50372 -2,87835 6,02 0,51750 -5,58995 11,56152 0,12721 -11,56263 -2,89283 6,03 0,49867 5,83025 12,02869 0,12273 -11,62163 -2,90735 6,04 0,47979 -6,08996 12,53459 0,11823 -11,68074 -2,92191 6,05 0,46088 -6,37157 13,08423 0,11370 -11,73996 -2,93651 6,06 0,44192 -6,67802 13,68347 0,10914 -11,79928 -2,95116 6,07 0,42292 -7,01282 14,33932 0,10456 -11,85872 -2,96585 6,08 0,40387 -7,38014 15,06013 0,09995 -11,91827 -2,98058 6,09 0,38476 -7,78502 15,85599 0,09531 -11,97794 -2,99536 6,10 0,36560 -8,23362 16,73920 0,09065 -12,03774 -3,01018 6,11 0,34637 -8,73351 17,72489 0,08596 -12,09766 -3,02505 6,12 0,32709 -9,29410 18,83192 0,08124 -12,15771 -3,03996 6,13 0,30773 -9,92728 20,08404 0,07649 -12,21790 -3,05492 6,14 0,28830 -10,64827 21,51167 0,07171 -12,27823 -3,06992 6,15 0,26880 -11,47682 23,15435 0,06691 -12,33870 -3,08497 6,16 0,24922 -12,43912 25,06446 0,06207 -12,39931 -3,10006 6,17 0,22955 -13,57064 27,31290 0,05721 -12,46008 -3,11520 6,18 0,20980 -14,92054 29,99802 0,05231 -12,52100 -3,13039 6,19 0,18996 -16,55913 33,26044 0,04739 -12,58207 -3,14562 6,20 0,17003 -18,59053 37,30826 0,04243 -12,64331 -3,16090 6,21 0,14999 -21,17572 42,46378 0,03745 -12,70471 -3,17623 6,22 0,12986 -24,57764 49,25258 0,03243 -12,76628 -3,19160 6,23 0,10962 -29,25696 58,59608 0,02738 -12,82802 -3,20702 6,24 0,08926 -36,10105 72,26902 0,02231 -12,88994 -3,22249 6,25 0,06880 -47,06687 94,18533 0,01719 -12,95204 -3,23801 6,26 0,04821 -67,48758 135,01132 0,01205 -13,01432 -3,25358 6,27 0,02750 -118,87545 237,77153 0,00687 -13,07680 -3,26920 6,28 0,00666 -492,88646 985,77792 0,00167 -13,13947 -3,28487 131
Глава 6 Основы динамики сооружений
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6.1. Основные положения По характеру воздействия на сооружение различают нагрузки статические и динамические. Нагрузки считаются статическими, если их изменение протекает очень медленно (с бесконечно малым приращением во времени, без толчков, ударов. К динамическим относятся нагрузки, которые могут изменять свою величину, направление или положение в относительно короткие промежутки времени. Динамические нагрузки являются функциями времени и обозначаются
( ) ( ) ( )
t
m
t
q
t
P
,
,
, усилия, и записываются. Все параметры, зависящие от динамических нагрузок (например перемещения, напряжения) также будут функциями времени
( ) ( ) ( ) ( )
t
t
t
Q
t
M
σ
,
,
,
∆
, и т.д. Динамические нагрузки сообщают ускорения массам сооружения, вызывают появление инерционных сил и колебания сооружения. Динамика сооружений – это раздел строительной механики, в котором изучаются принципы и методы расчета сооружений на действие динамических нагрузок. Динамические расчеты выполняются с целью решения двухосновных задач определение частот колебаний системы и проверка ее на резонанс определение наибольших (амплитудных) значений внутренних сил и перемещений, вызываемых динамической нагрузкой. Приведем наиболее характерные в строительной практике виды динамических нагрузок. Гармоническая (вибрационная) нагрузка – нагрузка, изменяющаяся периодически по определенному закону. Нагрузки такого характера создаются при вращательном и вращательно-поступательном движении неуравновешенных частей машин и механизмов (электромоторы, турбины, станки. Для сооружений вибрационные нагрузки представляют особую опасность, так как вызываемые ими усилия и перемещения зависят не только от величины (амплитуды) нагрузки, но ив значительной мере от частоты ее воздействия. Ударная нагрузка (удар в определенном месте сооружения) характерна тем, что прикладывается в очень короткий промежуток времени с резким изменением скорости соударяемых тел. Она может быть неподвижной и подвижной, хаотичной (удары льдин) и периодической (механический кузнечный молот. Сейсмическая нагрузка, включающая одновременно удары, толчки, сдвиги земной коры, является большой опасностью для инженерных сооружений по сложности динамического воздействия. Подвижная нагрузка – меняющая свое положение на сооружении (поезда, автомобили) – относится, как правило, к сложным динамическим воздействиям, вызывающим колебания сооружения. Ниже рассмотрены простейшие случаи расчетов стержневых систем при действии динамической нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону, как наиболее часто встречающейся в инженерной строительной практике. Колебания систем, вызываемые динамическими нагрузками, подразделяются на свободные и вынужденные. Если упругую систему какой-либо динамической нагрузкой вывести из состояния равновесия, а затем удалить воздействие, то массы системы, получив ускорения, будут совершать колебания относительно устойчивого положения равновесия. Такие колебания системы называются свободными. Частным случаем свободных колебаний являются собственные колебания, когда свободные колебания совершаются по типу стоячей волны с одной определенной частотой и формой деформации системы. В системе с одной степенью свободы свободные колебания всегда являются собственными колебаниями. Система с п степенями свободы обладает спектром п собственных колебаний. Вынужденные колебания создаются постоянно действующей на систему динамической нагрузкой, вызывающей непрерывные движения масс относительно положения равновесия. Колебания могут быть классифицированы по виду вызываемых ими в системе основных деформаций, а именно поперечные колебания (в направлении, перпендикулярном к продольной оси стержня, вызывающие его изгиб продольные (вдоль продольной оси стержня, крутильные, изгибно- крутильные, вызывающие деформации изгиба и кручения и др. Колебания могут быть линейными и нелинейными. При линейных колебаниях усилия и перемещения системы находятся в линейной зависимости от величины возмущающих нагрузок. Это условие будет выполняться, если материал системы находится в упругой стадии работы. Ниже рассматриваются поперечные колебания, как наиболее характерные для строительных конструкций. Будем также полагать, что исследуемые системы находятся в упругой стадии работы материала и совершают линейные колебания. Основными методами решения задач динамики сооружений являются статический (кинетостатический) и энергетический методы. Статический метод (точный) основан на использовании уравнений динамического равновесия, в которые дополнительно входят (согласно принципу Даламбера) силы инерции перемещающихся масс. При расчете сложных систем применение статического метода может вызвать значительные трудности ввиду громоздкости вычислений ив этих случаях часто используются приближенные методы и способы. В основу энергетического метода (приближенного) положен закон сохранения энергии, согласно которому, при отсутствии сил сопротивления, сумма потенциальной и кинетической энергий колеблющейся упругой системы в любой момент времени остается постоянной. При использовании этого метода основная задача состоит в отыскании такого деформированного состояния системы, которое наиболее близко по форме к действительному ее состоянию при колебаниях. Уравнения изогнутых осей стержней деформированной системы принимаются приближенно, ив этом состоит приближенность энергетического метода. В динамике сооружений основной характеристикой системы является число степеней ее свободы – количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс в любой момент времени при любых деформациях системы Этот показатель предопределяет ход расчета и играет в расчетах динамики такую же роль, как, например, число возможных перемещений узлов системы при расчете стержневых систем методом перемещений. Чем большим количеством перемещений обладают массы системы, тем сложнее ее расчет. С целью упрощения расчета обычно пренебрегают угловыми перемещениями сосредоточенных масс, учитывают только их линейные смещения и тогда каждая, не имеющая связей масса, как точка в плоскости, обладает двумя степенями свободы. Кроме того, пренебрегают весьма малыми перемещениями масс, вызванными неосновными видами деформаций элементов системы приданном виде колебаний. Примером может служить невесомый упругий стержень с массой т, расположенной в его вершине рис. 6.1). y
y x
m Рис. 6.1 Пренебрегая продольными деформациями стержня и обусловленным ими вертикальным смещением массы (рассматриваются поперечные колебания, деформациями сдвига и вертикальным смещением массы при изгибе стержня (как малым по сравнению с горизонтальным перемещением от изгиба стержня, получаем систему с одной степенью свободы, так как положение массы известно, если известен параметр . На рис. 6.2а,б приведена система с двумя массами, обладающая двумя степенями свободы, а на рис. 6.3 – стремя массами и четырьмя степенями свободы.
y
135
б m
1
m
1
y
1
y
1
m m
y
2 2
2
x x
y
2 Рис. 6.2 2
m x
1
y
1
m Рис. 6.3 При учете собственной массы стержней упругой системы число степеней ее свободы будет равно бесконечности. На риса приведена балка с постоянной по ее длине распределенной массой Даже в этом простейшем случае число параметров, характеризующих положение всех точек балки в деформированном состоянии равно бесконечности. Разбив эту балку на участки и заменив в пределах каждого участка распределенную массу сосредоточенной, получим систему с конечным числом степеней свободы (рис. б.
m .
i m
б)
а)
y y
y(x)
m(x)
x x
1
m
2
m Рис. 6.4
6.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы
без учета сил сопротивления Для лучшего уяснения процесса колебаний сначала рассмотрим их без учета сил сопротивления на примере невесомой простой балки, масса которой расположена в середине пролета этой балки (рис. 6.5). В любой момент времени перемещение массы зависит от силы упругости балки y
S (восстанавливающая сила) и силы инерции движущейся массы
Сила упругости
m
I
y y
m
I
m
S
m x
S Рис. 6.5 стремится вернуть балку на линию равновесия и при любых отклонениях массы будет направлена к линии равновесия. Для упругих систем эта сила пропорциональна величине отклонения массы от начального положения и может быть принята равной
y
C
S
⋅
=
, где C – жесткость балки, определяемая силой, необходимой для перемещения расположения массы по направлению колебаний на единицу – отклонение массы от положения равновесия. Сила инерции и выражается зависимостью точки 2
, где
– ускорение массы (знак минус указывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению. В любой момент времени уравнение динамического равновесия массы имеет вид
y ′′
(
)
∑
= 0
Y
0
=
−
m
I
S
, или
0
=
⋅
+
′′
y
C
y
m
(6.1) Разделив на слагаемые равенства (6.1) и обозначив
m
m
C
=
ω
,
(6.2) получаем уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид
0 2
=
+
′′
y
y
ω
137
1
m
1
y
1
y
1
m m
y
2 2
2
x x
y
2 Рис. 6.2 2
m x
1
y
1
m Рис. 6.3 При учете собственной массы стержней упругой системы число степеней ее свободы будет равно бесконечности. На риса приведена балка с постоянной по ее длине распределенной массой Даже в этом простейшем случае число параметров, характеризующих положение всех точек балки в деформированном состоянии равно бесконечности. Разбив эту балку на участки и заменив в пределах каждого участка распределенную массу сосредоточенной, получим систему с конечным числом степеней свободы (рис. б.
m .
i m
б)
а)
y y
y(x)
m(x)
x x
1
m
2
m Рис. 6.4
6.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы
без учета сил сопротивления Для лучшего уяснения процесса колебаний сначала рассмотрим их без учета сил сопротивления на примере невесомой простой балки, масса которой расположена в середине пролета этой балки (рис. 6.5). В любой момент времени перемещение массы зависит от силы упругости балки y
S (восстанавливающая сила) и силы инерции движущейся массы
Сила упругости
m
I
y y
m
I
m
S
m x
S Рис. 6.5 стремится вернуть балку на линию равновесия и при любых отклонениях массы будет направлена к линии равновесия. Для упругих систем эта сила пропорциональна величине отклонения массы от начального положения и может быть принята равной
y
C
S
⋅
=
, где C – жесткость балки, определяемая силой, необходимой для перемещения расположения массы по направлению колебаний на единицу – отклонение массы от положения равновесия. Сила инерции и выражается зависимостью точки 2
, где
– ускорение массы (знак минус указывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению. В любой момент времени уравнение динамического равновесия массы имеет вид
y ′′
(
)
∑
= 0
Y
0
=
−
m
I
S
, или
0
=
⋅
+
′′
y
C
y
m
(6.1) Разделив на слагаемые равенства (6.1) и обозначив
m
m
C
=
ω
,
(6.2) получаем уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид
0 2
=
+
′′
y
y
ω
137
t
C
t
C
y
ω
ω
cos sin
2 1
+
=
,
(6.3) где Си С – постоянные интегрирования, определяемые изначальных условий если – начальное отклонение массы если 0
υ
υ
=
= ,
t
– начальная скорость движения массы. Из первого условия
0 Из второго условия
t
y
t
C
y
ω
ω
ω
ω
sin cos
0 При
ω
υ
1 0
,
0
C
y
t
=
=
′
=
и
ω
υ
0 Подставляя в уравнение (6.3) имеем
t
y
t
y
ω
ω
ω
υ
cos sin
0 0
+
=
(6.4) Уравнение (6.3) можно привести к виду
(
)
ϕ
ω
+
=
t
A
y
sin
,
(6.5) где
2 2
2 1
с
с
A
+
=
– амплитуда колебаний,
ϕ
– начальная фаза, определяемая выражением
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1 Если в первом условии при
0
=
t
принять
0
=
y
, то и уравнение колебаний (6.4) принимает вид
0 0
2
=
= y
C
t
y
ω
ω
υ
sin
0
=
(6.6) Уравнение (6.6) является функцией времени, график которой показан на рис. 6.6. Колебания совершаются по синусоидальному закону. На рис. 6.6 штриховой линией показан график функции равенства (6.4), из которого следует, что при значениях
ω
π
ω
π
2
,
,
0
=
=
=
t
t
t
, а будет смещена на и т.д. масса не будет находиться на линии равновесия величину
A
A
0
y y
T Рис. 6.6 Время, за которое масса совершает один полный цикл колебаний, называют периодом колебаний. По рис. 6.6
ω
π
2
=
T
(6.7) Число полных циклов колебаний в единицу времени носит название частоты колебаний. Из равенства (6.7) имеем
T
π
ω
2
=
(6.8) Частоту
ω
, равную числу полных циклов колебаний в течение
π
2 секунд, принято называть круговой частотой. Частота колебаний в одну секунду выражается в герцах и равна
π
ω
2 1 В практических расчетах часто пользуются так называемой технической частотой, выражающей число полных циклов колебаний за одну минуту. По формуле (6.8) имеем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
мин
колеб
T
n
2 60 60
ω
π
(6.9) Выше (6.2) обозначено
m
C
=
ω
, где C – сила, обеспечивающая перемещение, равное единице. По отношению к полному, вызванному силой , значение C выразится равенством
139
cm
cm
y
mg
y
P
C
=
=
, где g – ускорение свободного падения. Подставив последнее выражение в формулу (6.2), имеем
( с) Как известно
2 981
сек
см
g
=
. Приняв
( )
2 10
π
≈
g
и подставив выражение
(6.10) в формулу технической частоты (6.9), получаем
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
мин
колеб
y
y
n
cm
cm
300 1
10 2
60
π
π
,
(6.11) где должно быть взято в сантиметрах. Формулу (6.2) можно преобразовать к другому виду. Из определения жесткости системы вытекает, что должно соблюдаться условие С
1 11
=
δ
C
, откуда
11 1
δ
=
C
, где
11
δ – перемещение точки расположения массы по направлению колебания вызванное силой,
1
=
P
. Тогда формула (6.2) принимает вид
11 1
δ
ω
m
m
C =
=
(6.12) Из формул (6.7), (6.8) и (6.10) видно, что для каждой конкретной системы частота и период колебаний остаются постоянными величинами и зависят только от упругих свойств этой системы и величины массы. Они не зависят от начальных условий, вызывающих движение массы и носят название основных динамических характеристик системы. Рассмотрим, как изменяется потенциальная и кинетическая энергия системы в процессе ее колебаний (рис. 6.6). При отклонении массы от положения статического равновесия ее перемещению препятствует сила упругости, замедляя движение массы. В момент наибольшего отклонения массы ее скорость равна нулю и равна нулю ее кинетическая энергия. В это время потенциальная энергия (энергия изгиба) достигает своего максимального значения и с ускорением возвращает массу к линии равновесия. К моменту расположения массы на линии равновесия потенциальная энергия убывает до нуля, нов это время скорость движения массы и ее кинетическая энергия достигает максимума и масса продолжает движение от линии равновесия, достигая максимального отклонения в обратном направлении и т.д. Таким образом, при колебаниях системы происходит переход одного вида энергии в другой. Отметим, что приведенные выше зависимости и выводы будут справедливы для любых стержневых систем с одной степенью свободы при линейных колебаниях массы.
6.3. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы
без учета сил сопротивления. Явление резонанса Этот вид колебаний рассмотрим также на примере балки, изображенной на рис. 6.7. Примем динамическую нагрузку в виде гармонической, изме- y
P sin t Рис. 6.7 няющейся по синусоидальному закону, те.
( )
t
P
t
P
θ
sin
=
, где
P и
θ
– соответственно максимальная составляющая (амплитуда) нагрузки и круговая частота возму- ющей силы. Приняв, что направление перемещения массы совпадает с направлением действия силы ща
m
( )
t
P
, составим уравнение динамического равновесия
( )
∑
=
+
−
−
=
0
;
0
S
I
t
P
Y
m
, или, сохраняя предыдущие обозначения Разделив на слагаемые последнего равенства и обозначив m
m
C
=
ω
, получаем неоднородное дифференциальное уравнение в виде
t
m
P
y
y
θ
ω
sin
2
=
+
′′
(6.13) Решение уравнения (6.13) в установившемся режиме имеет вид
(
)
(
)
t
m
P
t
A
y
θ
θ
ω
ϕ
ω
sin sin
2 2
−
+
+
=
, (6.14) Из равенства (6.14) следует, что вынужденные колебания совершаются стой же частотой, которую имеет возмущающая сила, а амплитуда вынужденных колебаний зависит от величины составляющей дин возмущающей силы и соотношения частот свободных и вынужденных колебаний. Динамический прогиб можно представить в виде
( )
t
P
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
θ
ω
ст
дин
y
C
P
m
C
m
P
m
P
m
P
y
, или дин,
(6.15) где
2 2
1 1
ω
θ
µ
−
=
(6.16) В выражении (6.15)
– статический прогиб, те прогиб, вызываемый статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки Отвлеченная величина
µ
(6.16) носит название динамического коэффициента ив системах с одной степенью свободы выражает отношение динамических величины (усили прогибов) к их статическим величинам. График изменения численных значений динамического коэффициента представлен на рис. 6.8. Если й,
ω
θ
> , то динамический коэффициент
µ
имеет отрицательные значения и правая кривая располагается ниже осина рис. 6.8 показана пунктирной линией. Обычно значения коэффициента
µ
принимаются по абсолютной величине и обе кривые на графике располагаются выше оси
ω
θ
(рис. 6.8).
0.75 1
0 зона резонанса
θ
ω
θ
ω
Рис. 6.8 Из формулы (6.16) видно, что с приближением частоты возмущающей силы
θ
к частоте свободных колебаний
ω
динамический коэффициент, равно как и динамический прогиб (6.15), стремительно возрастают. При равенстве частот
(
)
ω
θ
=
динамический коэффициент становится равным бесконечности. Этот случай в технике носит название явления резонанса и представляет большую опасность для сооружения, так как усилия, перемещения и напряжения в элементах системы достигают больших значений. Для ответственных сооружений недопустимы не только явления резонанса, но и условия, при которых эти сооружения находились бы в зоне резонанса (рис. 6.8). Во избежание резонанса обычно обеспечивается условие, чтобы частота свободных колебаний системы отличалась от частоты вынужденных ее колебаний на 25-30%.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6.4. Свободные колебания систем с одной степенью свободы
при учете сил сопротивления Из графика, приведенного на рис. 6.6 следует, что масса, выведенная динамическим воздействием из состояния равновесия, будет совершать колебания с постоянной амплитудой неограниченное время. В реальных условиях процесс колебаний протекает иначе, так как неизбежны силы сопротивления,
143
препятствующие колебаниям массы. Это сопротивление окружающей среды например, воздуха, трение в опорных устройствах системы, внутреннее трение частиц материала в процессе деформирования системы и др. При наличии сил сопротивления часть энергии системы расходуется (необратимо) на преодоление этих сил и свободные колебания затухают. Влияние сил сопротивления на колеблющуюся систему учитывается обычно в предположении, что эти силы пропорциональны скорости колебания системы. Затухающие колебания с принятыми начальными условиями проследим на примере упругой невесомой балки с сосредоточенной массой (рис. 6.9).
m
m
R
S
y m
m y
I
x о
Рис. 6.9 На выведенную из состояния равновесия массу действуют сила инерции
m
y
m
I
m
′′
−
=
, сила упругости и сила сопротивления
′
=
β . Уравнение динамического равновесия имеет вид
∑
=
−
+
=
0
;
0
m
I
R
S
Y
, или Разделив слагаемые последнего равенства на
, учитывая соотношение) и обозначив, получаем
(6.17) Решение уравнения (6.17) имеет вид
0 2
2
=
+
′
+
′′
y
ω
y
k
y
(
)
(
)
(
)
t
k
ω
C
t
k
ω
C
e
y
t
k
2 2
2 2
2 1
cos sin
−
+
−
=
−
,
(6.18) где и постоянные интегрирования, которые могут быть найдены изначальных условий при
;
1
C
2
C
0 0
y
y
t
=
=
0
υ
υ
=
, где и
0
y
0
υ соответственно начальные отклонение массы от положения равновесия и ее скорость. По первому условию
0 2
1
y
C
y
=
⋅
=
и
0 2
y
C
=
144
m
m
R
S
y m
m y
I
x о
Рис. 6.9 На выведенную из состояния равновесия массу действуют сила инерции
m
y
m
I
m
′′
−
=
, сила упругости и сила сопротивления
′
=
β . Уравнение динамического равновесия имеет вид
∑
=
−
+
=
0
;
0
m
I
R
S
Y
, или Разделив слагаемые последнего равенства на
, учитывая соотношение) и обозначив, получаем
(6.17) Решение уравнения (6.17) имеет вид
0 2
2
=
+
′
+
′′
y
ω
y
k
y
(
)
(
)
(
)
t
k
ω
C
t
k
ω
C
e
y
t
k
2 2
2 2
2 1
cos sin
−
+
−
=
−
,
(6.18) где и постоянные интегрирования, которые могут быть найдены изначальных условий при
;
1
C
2
C
0 0
y
y
t
=
=
0
υ
υ
=
, где и
0
y
0
υ соответственно начальные отклонение массы от положения равновесия и ее скорость. По первому условию
0 2
1
y
C
y
=
⋅
=
и
0 2
y
C
=
144
По второму условию
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
k
C
t
k
C
e
k
k
t
k
C
k
t
k
C
e
y
t
k
t
k
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
cos sin sin cos
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
′
−
−
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
)
2 2
0 0
1 0
0 2
2 Если и уравнение колебаний (6.18) принимает вид
(
)
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
+
=
−
t
k
y
t
k
k
y
k
e
y
t
k
2 2
0 2
2 2
2 0
0
cos sin
ω
ω
ω
υ
(6.19) Если (при 0
=
y
0
=
t
масса находилась на линии статического равновесия, то
(
)
t
k
ω
k
ω
υ
e
y
t
k
2 2
2 2
0
sin
−
−
=
−
(6.20) Решение уравнения (6.20) справедливо при условии
2 При
(
)
1
sin
2 2
=
−
t
k
ω
максимальные значения прогиба
2 2
0
max
k
e
y
t
k
−
=
−
ω
υ
(6.21) Функция (6.20) имеет нулевые ординаты на оси
t
, если
2 2
2 2
2
;
;
0
k
t
k
t
t
−
=
−
=
=
ω
π
ω
π
и т.д. Из уравнение (6.20) следует, что стечением времени амплитуда колебаний уменьшается до нуля и колебания затухают. График таких свободных колебаний показан на рис. 6.10. В этом случае период и круговая частота свободных колебаний определяются зависимостями
2 2
2
k
T
c
−
=
ω
π
(6.22)
2 2
k
c
−
=
ω
ω
(6.23)
145
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
t
k
C
t
k
C
e
k
k
t
k
C
k
t
k
C
e
y
t
k
t
k
2 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
cos sin sin cos
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
=
′
−
−
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
)
2 2
0 0
1 0
0 2
2 Если и уравнение колебаний (6.18) принимает вид
(
)
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
+
=
−
t
k
y
t
k
k
y
k
e
y
t
k
2 2
0 2
2 2
2 0
0
cos sin
ω
ω
ω
υ
(6.19) Если (при 0
=
y
0
=
t
масса находилась на линии статического равновесия, то
(
)
t
k
ω
k
ω
υ
e
y
t
k
2 2
2 2
0
sin
−
−
=
−
(6.20) Решение уравнения (6.20) справедливо при условии
2 При
(
)
1
sin
2 2
=
−
t
k
ω
максимальные значения прогиба
2 2
0
max
k
e
y
t
k
−
=
−
ω
υ
(6.21) Функция (6.20) имеет нулевые ординаты на оси
t
, если
2 2
2 2
2
;
;
0
k
t
k
t
t
−
=
−
=
=
ω
π
ω
π
и т.д. Из уравнение (6.20) следует, что стечением времени амплитуда колебаний уменьшается до нуля и колебания затухают. График таких свободных колебаний показан на рис. 6.10. В этом случае период и круговая частота свободных колебаний определяются зависимостями
2 2
2
k
T
c
−
=
ω
π
(6.22)
2 2
k
c
−
=
ω
ω
(6.23)
145
T
n+1
t
-k
c t
T
n y
2 2
n c
n+1
y y
t
-k
2 Рис. 6.10 Таким образом, при наличии сил сопротивления свободные колебания системы являются затухающими. Амплитуда колебаний в этом случае уменьшается до нуля. Если силы сопротивления и масса постоянны, то круговая частота и период колебаний также остаются постоянными, зависящими от упругих свойств системы. Для большинства инженерных сооружений коэффициент k мал в сравнении с частотой свободных колебаний
ω
. Поэтому в практических расчетах обычно пренебрегают силами сопротивления и определяют приближенные значения периода и частоты свободных колебаний по формулами, вместо (6.22) и (6.23). В качестве меры затухания колебаний часто используют так называемый логарифмический декремент колебаний. Он определяется так. В моменты времени и (см. рис. 6.10) амплитуды колебаний по формуле (6.21) будут
n
t
1
+
n
t
(
)
2 2
0 1
2 Отношения этих амплитуд
(
)
c
n
c
n
kT
t
T
t
k
n
n
e
e
y
y
=
=
−
+
+1
; Обозначим
c
n
n
kT
y
y
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+1
ln
γ
. (6.24)
146
Безразмерная постоянная величина носит название логарифмического декремента колебаний. Она также является динамической характеристикой системы и принимается по таблицам, имеющимся в справочной литературе.
6.5. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы
при учете сил сопротивления Для получения дифференциального уравнения этого вида колебаний воспользуемся рисунком (6.9), на котором сохранятся все силы, действующие на массу, и добавится возмущающая нагрузка, которую примем гармонической, совпадающей по направлению (вниз) с перемещением массы. Тогда уравнение динамического равновесия будет
∑
=
−
−
+
=
0
sin t
P
I
R
S
Y
m
θ
, или Сохранив принятые выше обозначения, имеем
t
m
P
y
y
k
y
θ
ω
sin
2 2
=
+
′
+
′′
(6.25) Решение уравнения (6.25) включает общее (6.18) и частное решение и имеет вид
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
sin cos
2 4
cos sin
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
t
t
k
k
m
P
t
k
C
t
k
C
e
y
kt
θ
θ
ω
θ
θ
θ
θ
ω
ω
ω
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
−
−
+
−
=
−
(6.26) где первое слагаемое выражает свободные колебания системы при наличии сил сопротивления, а второе – вынужденные колебания, причем первый сомножитель второго слагаемого – амплитуда колебаний
( )
дин
y
После преобразований, как показано выше, уравнение (6.26) принимает вид дин cos
2
sin
2 2
2 2
2 2
0
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
(6.27) Свободные колебания стечением времени затухают, и колебания системы принимают установившийся характер вынужденных колебаний, определяемых вторым слагаемым уравнения (6.27). После преобразований второе слагаемое уравнения (6.27) принимает вид дин 2
2 2
2 4
k
m
P
y
дин
θ
θ
ω
+
−
=
где
(6.28) Учитывая принятые ранее обозначения
,
2 2
;
;
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
π
γω
γ
γ
ω
T
k
kT
m
C
амплитуду вынужденных колебаний можно представить в виде
(
)
,
1 1
4 1
4 2
2 2
2 2
2 2
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 дин 1
;
2 2
2 2
2 2
2
π
γ
ω
θ
ω
θ
µ
µ
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
=
cm
дин
y
y
или
(6.29) где
µ
– динамический коэффициент, зависимость которого от параметра можно представить в виде графика, который имеется в учебной и справочной литературе. Из выражения (6.29) видно, что при совпадении частот
θ
и
ω
(случай резонанса) динамический коэффициент
µ
не обращается в бесконечность как это происходит без учета сил сопротивления, а имеет значение
(
)
0
≠
=
γ
γ
π
µ
. Для реальных конструкций абсолютная величина декремента
γ
значительно
15
,
0 меньше единицы. Например, для металлических конструкций
γ
, для деревянных –
17
,
0 15
,
0
−
=
γ
т. д. Поэтому в случае резонанса недопустимо случаи
6.6. Рассмотрим динамический коэффициент и амплитуда колебаний достигают больших значений, и сооружению грозит разрушение, те. ив этом резонанс остается большой опасностью для сооружения. Свободные колебания систем со многими степенями свободы эти колебания на примере упругой невесомой балки с сосредоточенными массами без учета сил сопротивления (рис. 6.11). Рассматриваемая система обладает степенями свободы, будет иметь частот собственных колебаний
n
-
n
n
n
ω
ω
ω
K
,
,
2 1
, которым соответствуют форм колебаний Рис. 6.11 Полные перемещения масс под действием инерционных сил можно представить в виде
(6.30) где 1
K
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
I
I
I
I
y
I
I
I
I
y
I
I
I
I
y
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
3 3
2 2
1 1
2 3
23 2
22 1
21 2
1 3
13 2
12 1
11 1
;
;
i
k
i
i
i
I
,
,
δ
δ
– соответственно перемещения точек расположения масс, вызванные силами
1
=
P
и инерционные силы этих масс. Так как силы инерции
″
−
=
i
i
i
y
m
I
, то уравнения (6.30) можно записать
149
6.5. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы
при учете сил сопротивления Для получения дифференциального уравнения этого вида колебаний воспользуемся рисунком (6.9), на котором сохранятся все силы, действующие на массу, и добавится возмущающая нагрузка, которую примем гармонической, совпадающей по направлению (вниз) с перемещением массы. Тогда уравнение динамического равновесия будет
∑
=
−
−
+
=
0
sin t
P
I
R
S
Y
m
θ
, или Сохранив принятые выше обозначения, имеем
t
m
P
y
y
k
y
θ
ω
sin
2 2
=
+
′
+
′′
(6.25) Решение уравнения (6.25) включает общее (6.18) и частное решение и имеет вид
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
sin cos
2 4
cos sin
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
t
t
k
k
m
P
t
k
C
t
k
C
e
y
kt
θ
θ
ω
θ
θ
θ
θ
ω
ω
ω
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
−
−
+
−
=
−
(6.26) где первое слагаемое выражает свободные колебания системы при наличии сил сопротивления, а второе – вынужденные колебания, причем первый сомножитель второго слагаемого – амплитуда колебаний
( )
дин
y
После преобразований, как показано выше, уравнение (6.26) принимает вид дин cos
2
sin
2 2
2 2
2 2
0
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
(6.27) Свободные колебания стечением времени затухают, и колебания системы принимают установившийся характер вынужденных колебаний, определяемых вторым слагаемым уравнения (6.27). После преобразований второе слагаемое уравнения (6.27) принимает вид дин 2
2 2
2 4
k
m
P
y
дин
θ
θ
ω
+
−
=
где
(6.28) Учитывая принятые ранее обозначения
,
2 2
;
;
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
=
π
γω
γ
γ
ω
T
k
kT
m
C
амплитуду вынужденных колебаний можно представить в виде
(
)
,
1 1
4 1
4 2
2 2
2 2
2 2
4 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 дин 1
;
2 2
2 2
2 2
2
π
γ
ω
θ
ω
θ
µ
µ
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
⋅
=
cm
дин
y
y
или
(6.29) где
µ
– динамический коэффициент, зависимость которого от параметра можно представить в виде графика, который имеется в учебной и справочной литературе. Из выражения (6.29) видно, что при совпадении частот
θ
и
ω
(случай резонанса) динамический коэффициент
µ
не обращается в бесконечность как это происходит без учета сил сопротивления, а имеет значение
(
)
0
≠
=
γ
γ
π
µ
. Для реальных конструкций абсолютная величина декремента
γ
значительно
15
,
0 меньше единицы. Например, для металлических конструкций
γ
, для деревянных –
17
,
0 15
,
0
−
=
γ
т. д. Поэтому в случае резонанса недопустимо случаи
6.6. Рассмотрим динамический коэффициент и амплитуда колебаний достигают больших значений, и сооружению грозит разрушение, те. ив этом резонанс остается большой опасностью для сооружения. Свободные колебания систем со многими степенями свободы эти колебания на примере упругой невесомой балки с сосредоточенными массами без учета сил сопротивления (рис. 6.11). Рассматриваемая система обладает степенями свободы, будет иметь частот собственных колебаний
n
-
n
n
n
ω
ω
ω
K
,
,
2 1
, которым соответствуют форм колебаний Рис. 6.11 Полные перемещения масс под действием инерционных сил можно представить в виде
(6.30) где 1
K
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
I
I
I
I
y
I
I
I
I
y
I
I
I
I
y
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
3 3
2 2
1 1
2 3
23 2
22 1
21 2
1 3
13 2
12 1
11 1
;
;
i
k
i
i
i
I
,
,
δ
δ
– соответственно перемещения точек расположения масс, вызванные силами
1
=
P
и инерционные силы этих масс. Так как силы инерции
″
−
=
i
i
i
y
m
I
, то уравнения (6.30) можно записать
149
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
″
+
+
″
+
″
+
″
=
+
″
+
+
″
+
″
+
″
=
+
″
+
+
″
+
″
+
″
0
;
0
;
0 3
3 3
2 2
2 1
1 1
2 2
3 3
23 2
2 22 1
1 21 1
1 3
3 13 2
2 12 1
1 11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
y
m
y
m
y
m
y
m
y
y
m
y
m
y
m
y
m
y
y
m
y
m
y
m
y
m
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(6.31) Уравнения (6.31) допускают следующие частные решения
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
+
=
sin
;
sin
;
sin
2 2
1 Вторые производные этих решений имеют вид
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
″
+
−
=
″
+
−
=
″
sin
;
sin
;
sin
2 2
2 2
2 Подставив выражения и их вторые производные в уравнение, сократив на
n
y
y
y
,
,
,
2 1
K
(
)
ϕ
ω
+
t
sin и сгруппировав слагаемые, получаем систему однородных уравнений в следующем виде
(6.32) Уравнения (6.32) будут справедливы, если принять все амплитуды равными нулю. Нов этом случае нет перемещений масс, система находиться в покое на линии равновесия, и колебания отсутствуют. Если полагать, что амплитуды отличны от нуля, то такое решение возможно, когда определитель из коэффициентов при амплитудах равен нулю. Это является исходным условием для определения частот собственных колебаний системы.
(
)
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
+
+
=
+
+
−
+
=
+
+
+
−
0 1
0 1
0 1
2 2
2 2
1 1
2 1
1 2
2 2
2 2
22 1
2 1
21 2
1 2
2 2
12 1
2 1
11
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
A
m
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
ω
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
n
А
А
A
K
,
,
2 1
150
Разделив все слагаемые уравнений (6.32) на
2
ω и обозначив,
λ
ω
=
2 1
, характеристическое уравнение частот, называемое вековым уравнением, получаем в виде
(
)
(
)
(
)
0 2
2 1
1 2
2 22 1
21 1
2 12 1
11
=
−
−
−
=
λ
δ
δ
δ
δ
λ
δ
δ
δ
δ
λ
δ
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
D
K
K
K
K
K
K
K
(6.33) Раскрыв равенство (6.33), получим алгебраическое уравнение ой степени относительно
λ
, а решив его найдем значение его корней
n
λ
λ
λ
K
,
,
2 По формуле
i
i
λ
ω
1
=
находим частоты колебаний
n
ω
ω
ω
K
,
,
2 Уравнение (6.33) справедливо для любых систем (балки, рамы, фермы и др) как статически определимых, таки статически неопределимых. В последнем случае эпюры изгибающих моментов (балки, рамы) для определения перемещений
ii
δ должны быть построены от сил
1
=
i
P
определени в заданной статически неопределимой системе, и поэтому при и перемещений
ik
δ эпюры вспомогательного состояния
( )
k
M
могут быть взяты в любой статически определимой основной системе метода сил. В практических расчетах обычно нужно знать наименьшую частоту собственных колебаний min
ω
(соответствует наибольшему значению корня max
λ
), которую принято называть основной частотой колебаний системы.
6.7. Определение внутренних сил и перемещений
при действии динамической нагрузки При действии на систему динамической нагрузки гармонического характера массы системы будут совершать, кроме собственных колебаний, вынужденные колебания стой же частотой, что и частота возмущающей силы. Выше (п. 6.4) на примере системы с одной степенью свободы показано, что в реальных условиях, при наличии сил сопротивления, свободные колебания стечением времени затухают. Поэтому их можно не учитывать и рассматривать систему при установившихся вынужденных колебаниях. При вынужденных колебаниях перемещения масс системы происходят под влиянием действующих на них динамических нагрузок и сил инерции, приложенных в точках расположения этих масс. Если возмущаю динамические нагрузки подчиняются одному и тому же закону, и той же частотой, то все параметры упругой системы, зависящие нагрузок, в том числе инерционные силы, достигают своего наибольшего) значения в один и тот же момент времени. В тот времени будут достигать своего максимального значения все лы и перемещения системы. Исходя из этого в линейно- системе, максимальное значение, например, изгибающего некотором ее сечении i определиться выражением
( )
t
P
n
I
I
I
K
,
,
2 1
щие обладают одной от этих амплитудного (же момент внутренние си деформируемой момента М в 2
1 1
,
(6.34) где
– изгибающий момент в сечении i , вызванный статическим действием амплитудных значений динамических нагрузок
p
i
M
n
i
i
i
M
M
M
,
,
,
2 1
K
прикладываемыми – изгибающие моменты в сечении i, вызванные поочередно в местах расположения масс статическими силами, равными единице
– максимальные значения инерционных сил. Из формулы (6.34) видно, что эпюры динамических изгибающих моментов строятся потому же принципу, что и окончательные эпюры изгибающих моментов при расчете статически неопределимых систем, например, методом перемещений. Проверки правильности эпюры динамических моментов в статически определимых и статически неопределимых системах остаются обычными. Например, для проверки правильности окончательной эпюры динамических моментов в статически неопределимой системе используются статическая и кинематическая проверки.
n
P
P
P
,
,
,
2 1
K
n
I
I
I
K
,
,
2 1
(
)
D
M
152
2
ω и обозначив,
λ
ω
=
2 1
, характеристическое уравнение частот, называемое вековым уравнением, получаем в виде
(
)
(
)
(
)
0 2
2 1
1 2
2 22 1
21 1
2 12 1
11
=
−
−
−
=
λ
δ
δ
δ
δ
λ
δ
δ
δ
δ
λ
δ
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m
m
m
m
m
m
m
m
m
D
K
K
K
K
K
K
K
(6.33) Раскрыв равенство (6.33), получим алгебраическое уравнение ой степени относительно
λ
, а решив его найдем значение его корней
n
λ
λ
λ
K
,
,
2 По формуле
i
i
λ
ω
1
=
находим частоты колебаний
n
ω
ω
ω
K
,
,
2 Уравнение (6.33) справедливо для любых систем (балки, рамы, фермы и др) как статически определимых, таки статически неопределимых. В последнем случае эпюры изгибающих моментов (балки, рамы) для определения перемещений
ii
δ должны быть построены от сил
1
=
i
P
определени в заданной статически неопределимой системе, и поэтому при и перемещений
ik
δ эпюры вспомогательного состояния
( )
k
M
могут быть взяты в любой статически определимой основной системе метода сил. В практических расчетах обычно нужно знать наименьшую частоту собственных колебаний min
ω
(соответствует наибольшему значению корня max
λ
), которую принято называть основной частотой колебаний системы.
6.7. Определение внутренних сил и перемещений
при действии динамической нагрузки При действии на систему динамической нагрузки гармонического характера массы системы будут совершать, кроме собственных колебаний, вынужденные колебания стой же частотой, что и частота возмущающей силы. Выше (п. 6.4) на примере системы с одной степенью свободы показано, что в реальных условиях, при наличии сил сопротивления, свободные колебания стечением времени затухают. Поэтому их можно не учитывать и рассматривать систему при установившихся вынужденных колебаниях. При вынужденных колебаниях перемещения масс системы происходят под влиянием действующих на них динамических нагрузок и сил инерции, приложенных в точках расположения этих масс. Если возмущаю динамические нагрузки подчиняются одному и тому же закону, и той же частотой, то все параметры упругой системы, зависящие нагрузок, в том числе инерционные силы, достигают своего наибольшего) значения в один и тот же момент времени. В тот времени будут достигать своего максимального значения все лы и перемещения системы. Исходя из этого в линейно- системе, максимальное значение, например, изгибающего некотором ее сечении i определиться выражением
( )
t
P
n
I
I
I
K
,
,
2 1
щие обладают одной от этих амплитудного (же момент внутренние си деформируемой момента М в 2
1 1
,
(6.34) где
– изгибающий момент в сечении i , вызванный статическим действием амплитудных значений динамических нагрузок
p
i
M
n
i
i
i
M
M
M
,
,
,
2 1
K
прикладываемыми – изгибающие моменты в сечении i, вызванные поочередно в местах расположения масс статическими силами, равными единице
– максимальные значения инерционных сил. Из формулы (6.34) видно, что эпюры динамических изгибающих моментов строятся потому же принципу, что и окончательные эпюры изгибающих моментов при расчете статически неопределимых систем, например, методом перемещений. Проверки правильности эпюры динамических моментов в статически определимых и статически неопределимых системах остаются обычными. Например, для проверки правильности окончательной эпюры динамических моментов в статически неопределимой системе используются статическая и кинематическая проверки.
n
P
P
P
,
,
,
2 1
K
n
I
I
I
K
,
,
2 1
(
)
D
M
152
Эпюры поперечных
( )
D
Q
и продольных
(
)
D
N
сил могут быть построены тем же приемом, что и
(6.34). В расчетной практике чаще используется другой способ. По динамических моментов обычными приемами строится эпюра поперечных сила затем, из условий равновесия узлов, – эпюра продольных сил. Проверки правильности построения этих эпюр остаются обычными. ограничиться (для систем средней сложности) проверкой равновесия стемы в целом, пользуясь уравнениями эпюре Можно си 0
к
М
∑
= 0
X
ив которые должны войти опорные реакции, инерционные силы с учетом их фактического направления и заданные динамические нагрузки. Перемещение любой точки системы
( )
D
i
∆
, вызванное динамической нагрузкой, по аналогии с формулой (6.34), можно выразить зависимостью
n
n
i
i
i
p
i
D
i
I
I
I
δ
δ
δ
+
+
+
+
∆
=
∆
K
2 2
1 1
,
(6.35) где
– перемещение точки i системы от статического действия динамических нагрузок, равных по величине амплитудным своим значениям
p
i
∆
k
i
δ
– перемещения той же точки, вызванные статическими силами
1
=
P
, поочередно прикладываемыми в местах расположения масс по направлению колебаний
– максимальные значения инерционных сил. Из выражений (6.34) и (6.35) видно, что для определения амплитудных значений динамических усилий и перемещений необходимо знать максимальные значения инерционных сил, определение которых показано ниже.
( )
D
Q
и продольных
(
)
D
N
сил могут быть построены тем же приемом, что и
(6.34). В расчетной практике чаще используется другой способ. По динамических моментов обычными приемами строится эпюра поперечных сила затем, из условий равновесия узлов, – эпюра продольных сил. Проверки правильности построения этих эпюр остаются обычными. ограничиться (для систем средней сложности) проверкой равновесия стемы в целом, пользуясь уравнениями эпюре Можно си 0
к
М
∑
= 0
X
ив которые должны войти опорные реакции, инерционные силы с учетом их фактического направления и заданные динамические нагрузки. Перемещение любой точки системы
( )
D
i
∆
, вызванное динамической нагрузкой, по аналогии с формулой (6.34), можно выразить зависимостью
n
n
i
i
i
p
i
D
i
I
I
I
δ
δ
δ
+
+
+
+
∆
=
∆
K
2 2
1 1
,
(6.35) где
– перемещение точки i системы от статического действия динамических нагрузок, равных по величине амплитудным своим значениям
p
i
∆
k
i
δ
– перемещения той же точки, вызванные статическими силами
1
=
P
, поочередно прикладываемыми в местах расположения масс по направлению колебаний
– максимальные значения инерционных сил. Из выражений (6.34) и (6.35) видно, что для определения амплитудных значений динамических усилий и перемещений необходимо знать максимальные значения инерционных сил, определение которых показано ниже.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
6.8. Канонические уравнения для определения максимальных
значений инерционных сил Рассмотрим вынужденные колебания упругой системы на примере невесомой балки с массами, на которые действуют динамические нагрузки рис 6.12).
n
k
m
m
m
m
K
K
,
,
,
,
2 1
n
I
I
I
K
,
,
2 1
n
153
Будем полагать, что все действующие на систему возмущающие силы имеют одну и туже частоту
θ
и подчиняются одному закону
( )
( )
t
P
t
P
θ
sin
=
, а силы сопротивления движению масс отсутствуют. Перемещения масс, силы инерции этих масс, усилия в системе и ее перемещения также будут функциями времени, подчиняясь закону изменения нагрузки. m
m m
m y
1 1
I (t)
P (t)
2
I (t)
1
P (t)
m m
1 2
2
I (t)
P (t)
i m
m i
i x
I (t)
n n
n
P (t)
n i
2
y (
t)
1
y (
t)
2
y (t
)
i y (Рис. 6.12 На основании принципа независимости действия сил полные перемещения точек расположения масс в любой момент времени можно записать
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
+
+
+
=
=
∆
+
+
+
+
=
=
∆
+
+
+
+
=
,
0
;
0
;
0 2
2 1
1 2
2 2
22 1
21 2
1 1
2 12 1
11 1
t
t
I
t
I
t
I
t
y
t
t
I
t
I
t
I
t
y
t
t
I
t
I
t
I
t
y
p
n
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(6.36) где и – соответственно перемещение точки расположения массы и сила инерции этой массы в некоторый момент времени
( )
t
y
i
( )
t
I
i
i
m
t
, а
( )
t
p
i
∆
– перемещение массы в это же время, вызванное статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки
i
m
( )
t
P
;
k
i
δ
– перемещение - ой массы от действия статической силы, приложенной в точке к. Перемещение можно записать
( )
t
p
i
∆
( )
t
t
P
t
P
t
P
t
p
i
n
n
i
i
i
p
i
θ
θ
δ
θ
δ
θ
δ
sin sin sin sin
2 2
1 Колебания масс будут подчиняться гармоническому закону изменения действующей нагрузки
t
P
θ
sin и поэтому перемещение массы можно записать) а вторая производная этого равенства
( Инерционная сила определяется равенством
( )
( )
t
y
m
t
I
i
i
i
″
−
=
, или С учетом (6.37),
( )
t
y
m
t
I
i
i
i
θ
θ
sin
2
=
( )
( )
t
y
m
t
I
i
i
i
2
θ
=
, откуда
( )
( )
2
θ
i
i
i
m
t
I
t
y
=
(6.38) Тогда е уравнение системы (6.36) будет
i -
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 2
2 1
1 2
=
∆
+
+
+
+
+
=
t
t
I
t
I
t
I
t
I
m
t
I
p
i
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
δ
δ
δ
δ
θ
K
, или
( )
( )
( )
( )
( )
0 1
2 2
2 На основании (6.38) имеем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 Подставив выражение
( )
t
y
i
в уравнение (6.36) и сгруппировав слагаемые, получаем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
=
∆
+
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
∆
+
+
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
0 1
;
0 1
;
0 1
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
22 1
21 1
1 2
12 1
2 1
11
t
t
I
m
t
I
t
I
t
t
I
t
I
m
t
I
t
t
I
t
I
t
I
m
p
n
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
θ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(6.39) Так как все инерционные силы в уравнениях (6.39) являются периодическими функциями
( )
t
I
t
I
i
i
θ
sin
=
и
( )
t
t
p
i
p
i
θ
sin
∆
=
∆
, то сократив эти
155
θ
и подчиняются одному закону
( )
( )
t
P
t
P
θ
sin
=
, а силы сопротивления движению масс отсутствуют. Перемещения масс, силы инерции этих масс, усилия в системе и ее перемещения также будут функциями времени, подчиняясь закону изменения нагрузки. m
m m
m y
1 1
I (t)
P (t)
2
I (t)
1
P (t)
m m
1 2
2
I (t)
P (t)
i m
m i
i x
I (t)
n n
n
P (t)
n i
2
y (
t)
1
y (
t)
2
y (t
)
i y (Рис. 6.12 На основании принципа независимости действия сил полные перемещения точек расположения масс в любой момент времени можно записать
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
+
+
+
=
=
∆
+
+
+
+
=
=
∆
+
+
+
+
=
,
0
;
0
;
0 2
2 1
1 2
2 2
22 1
21 2
1 1
2 12 1
11 1
t
t
I
t
I
t
I
t
y
t
t
I
t
I
t
I
t
y
t
t
I
t
I
t
I
t
y
p
n
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(6.36) где и – соответственно перемещение точки расположения массы и сила инерции этой массы в некоторый момент времени
( )
t
y
i
( )
t
I
i
i
m
t
, а
( )
t
p
i
∆
– перемещение массы в это же время, вызванное статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки
i
m
( )
t
P
;
k
i
δ
– перемещение - ой массы от действия статической силы, приложенной в точке к. Перемещение можно записать
( )
t
p
i
∆
( )
t
t
P
t
P
t
P
t
p
i
n
n
i
i
i
p
i
θ
θ
δ
θ
δ
θ
δ
sin sin sin sin
2 2
1 Колебания масс будут подчиняться гармоническому закону изменения действующей нагрузки
t
P
θ
sin и поэтому перемещение массы можно записать) а вторая производная этого равенства
( Инерционная сила определяется равенством
( )
( )
t
y
m
t
I
i
i
i
″
−
=
, или С учетом (6.37),
( )
t
y
m
t
I
i
i
i
θ
θ
sin
2
=
( )
( )
t
y
m
t
I
i
i
i
2
θ
=
, откуда
( )
( )
2
θ
i
i
i
m
t
I
t
y
=
(6.38) Тогда е уравнение системы (6.36) будет
i -
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 2
2 1
1 2
=
∆
+
+
+
+
+
=
t
t
I
t
I
t
I
t
I
m
t
I
p
i
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
δ
δ
δ
δ
θ
K
, или
( )
( )
( )
( )
( )
0 1
2 2
2 На основании (6.38) имеем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 Подставив выражение
( )
t
y
i
в уравнение (6.36) и сгруппировав слагаемые, получаем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
=
∆
+
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
∆
+
+
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
0 1
;
0 1
;
0 1
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
22 1
21 1
1 2
12 1
2 1
11
t
t
I
m
t
I
t
I
t
t
I
t
I
m
t
I
t
t
I
t
I
t
I
m
p
n
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
θ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
δ
δ
δ
θ
δ
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
(6.39) Так как все инерционные силы в уравнениях (6.39) являются периодическими функциями
( )
t
I
t
I
i
i
θ
sin
=
и
( )
t
t
p
i
p
i
θ
sin
∆
=
∆
, то сократив эти
155
уравнения на
t
θ
sin и обозначив o
ii
i
i
i
m
δ
θ
δ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2 1
получаем
(6.40) Решив систему уравнений (6.40), определяют максимальные значения инерционных сил, далее по зависимостями) вычисляют усилия и перемещения, вызываемые динамическими нагрузками. Из выражений коэффициентов видно, что каждой частоте вынужденных колебаний
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
+
+
+
=
∆
+
+
+
+
=
∆
+
+
+
+
0 0
0 2
2 1
1 2
2 2
22 1
21 1
1 2
12 1
11
p
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
I
I
I
I
I
I
I
I
I
o o
o
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
o
i
i
δ
θ
соответствуют свои амплитудные значения инерционных сила, следовательно, и свои амплитудные значения усилий и перемещений. Уравнения (6.40) по своей структуре аналогичны каноническим уравнениям метода сил и носят название канонических уравнений для определения максимальных значений инерционных сил. Они справедливы для любой стержневой (в том числе шарнирно-стержневой) системы, как статически определимой, таки статически неопределимой. Физический смысл коэффициентов и свободных членов уравнений
p
i
∆ тот же, что ив канонических уравнениях метода сил. В системах, элементы которых работают преимущественно на изгиб, эти перемещения могут быть найдены, например, путем перемножения эпюр. Если рассматриваемая стержневая система статически неопределима, то при определении перемещений одна из эпюр может быть взята в любой основной статически определимой системе метода сил. При определении перемещений эпюра должна быть построена в заданной (статически неопределимой) системе эпюры вспомогательного состояния
p
i
∆
p
M
, а
( )
i
M
могут быть приняты в любой основной системе метода сил. Построение эпюрным методом
Сист резонанса любой изв статически неопределимой системе выполняется любым извест-
, например, методом сил. емы со многими степенями свободы могут оказаться в состоянии при совпадении частоты возмущающей гармонической нагрузки с частот усилия при собственных колебаний системы. Однако, динамический коэффициент, и перемещения, как правило, достигают наибольших своих значений совпадении частоты
θ
с наименьшей частотой
ω
собственных колебаний системы. Поэтому в динамических расчетах конструкций наиболее важной является наименьшая частота собственных колебаний системы, независимо оттого, с одной или со многими степенями свободы эта система. В системах со многими степенями свободы самую низкую частоту собственных колебаний обычно называют основной частотой.
6.9. Примеры расчета рам на динамическую нагрузку Применение статического метода в динамике сооружений рассмотрим на примерах расчета рам, нагружаемых динамическими нагрузками. Рассматривая системы с конечным числом степеней свободы, будем находить экстремальные значения динамических изгибающих моментов
, поперечных и продольных )
D
Q
(
)
D
N
сил. В приводимых примерах расчета соотношение частот собственных и вынужденных колебаний принято таким, что явление резонанса заведомо отсутствует. Поэтому проверки систем на резонанс не проводились. Ниже приведены примеры расчета статически определимой и статически неопределимой рамы. Расчет статически определимой рамы Для рамы, изображенной на (рис. 6.13), требуется определить динамические усилия при амплитуде возмущающей силы
к
D
D
D
N
Q
M
,
,
Н
P
2
=
, частоте нагрузки вибрационной и
=
=
, где массах
кг
m
кг
m
500
,
400 2
1
min
ω
– наименьшая частота собственных колебаний
3м
3м
4м
2м мм t 3м
θ
Рис. Учитывая принимаемые допущения (п. 6.1), положение масс в любой момент времени определяется следующими параметрами масса может перемещаться по вертикали, а масса
– в горизонтальном направлении. Других перемещений эти массы не имеют и система обладает двумя степенями свободы. Определим частоты собственных колебаний На основании равенства (6.33) уравнение колебаний для системы с двумя степенями свободы имеет вид
1
m
2
m
(
)
(
)
0 2
22 1
21 2
12 Раскрыв определитель получаем
(
)(
)
,
0 2
1 2
12 2
22 1
11
=
−
−
−
m
m
m
m
δ
λ
δ
λ
δ
(
)
(
)
0 2
1 2
12 22 11 2
22 1
11 откуда
,
(6.41) где
22 21 12 11
,
,
,
δ
δ
δ
δ
– перемещения масс, вызванные статическими силами, прикладываемыми поочередно в точках расположения масс по направлению перемещений этих масс. Эпюры изгибающих моментов от сил
1 1
=
P
и приведены на рис. 6.14а,б.
1 2
=
P
2,5 2,5 2
P =1 1
H =0,4
A
H =0,5
A
V =1
A
B
V =0
A
V =0,8333
B
V =0,8333
P =1 2
2
M
M
1
а)
б)
H =0,4
H Рис. 6.14 158
t
θ
sin и обозначив o
ii
i
i
i
m
δ
θ
δ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2 1
получаем
(6.40) Решив систему уравнений (6.40), определяют максимальные значения инерционных сил, далее по зависимостями) вычисляют усилия и перемещения, вызываемые динамическими нагрузками. Из выражений коэффициентов видно, что каждой частоте вынужденных колебаний
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
+
+
+
=
∆
+
+
+
+
=
∆
+
+
+
+
0 0
0 2
2 1
1 2
2 2
22 1
21 1
1 2
12 1
11
p
n
n
n
n
n
n
p
n
n
p
n
n
I
I
I
I
I
I
I
I
I
o o
o
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
o
i
i
δ
θ
соответствуют свои амплитудные значения инерционных сила, следовательно, и свои амплитудные значения усилий и перемещений. Уравнения (6.40) по своей структуре аналогичны каноническим уравнениям метода сил и носят название канонических уравнений для определения максимальных значений инерционных сил. Они справедливы для любой стержневой (в том числе шарнирно-стержневой) системы, как статически определимой, таки статически неопределимой. Физический смысл коэффициентов и свободных членов уравнений
p
i
∆ тот же, что ив канонических уравнениях метода сил. В системах, элементы которых работают преимущественно на изгиб, эти перемещения могут быть найдены, например, путем перемножения эпюр. Если рассматриваемая стержневая система статически неопределима, то при определении перемещений одна из эпюр может быть взята в любой основной статически определимой системе метода сил. При определении перемещений эпюра должна быть построена в заданной (статически неопределимой) системе эпюры вспомогательного состояния
p
i
∆
p
M
, а
( )
i
M
могут быть приняты в любой основной системе метода сил. Построение эпюрным методом
Сист резонанса любой изв статически неопределимой системе выполняется любым извест-
, например, методом сил. емы со многими степенями свободы могут оказаться в состоянии при совпадении частоты возмущающей гармонической нагрузки с частот усилия при собственных колебаний системы. Однако, динамический коэффициент, и перемещения, как правило, достигают наибольших своих значений совпадении частоты
θ
с наименьшей частотой
ω
собственных колебаний системы. Поэтому в динамических расчетах конструкций наиболее важной является наименьшая частота собственных колебаний системы, независимо оттого, с одной или со многими степенями свободы эта система. В системах со многими степенями свободы самую низкую частоту собственных колебаний обычно называют основной частотой.
6.9. Примеры расчета рам на динамическую нагрузку Применение статического метода в динамике сооружений рассмотрим на примерах расчета рам, нагружаемых динамическими нагрузками. Рассматривая системы с конечным числом степеней свободы, будем находить экстремальные значения динамических изгибающих моментов
, поперечных и продольных )
D
Q
(
)
D
N
сил. В приводимых примерах расчета соотношение частот собственных и вынужденных колебаний принято таким, что явление резонанса заведомо отсутствует. Поэтому проверки систем на резонанс не проводились. Ниже приведены примеры расчета статически определимой и статически неопределимой рамы. Расчет статически определимой рамы Для рамы, изображенной на (рис. 6.13), требуется определить динамические усилия при амплитуде возмущающей силы
к
D
D
D
N
Q
M
,
,
Н
P
2
=
, частоте нагрузки вибрационной и
=
=
, где массах
кг
m
кг
m
500
,
400 2
1
min
ω
– наименьшая частота собственных колебаний
3м
3м
4м
2м мм t 3м
θ
Рис. Учитывая принимаемые допущения (п. 6.1), положение масс в любой момент времени определяется следующими параметрами масса может перемещаться по вертикали, а масса
– в горизонтальном направлении. Других перемещений эти массы не имеют и система обладает двумя степенями свободы. Определим частоты собственных колебаний На основании равенства (6.33) уравнение колебаний для системы с двумя степенями свободы имеет вид
1
m
2
m
(
)
(
)
0 2
22 1
21 2
12 Раскрыв определитель получаем
(
)(
)
,
0 2
1 2
12 2
22 1
11
=
−
−
−
m
m
m
m
δ
λ
δ
λ
δ
(
)
(
)
0 2
1 2
12 22 11 2
22 1
11 откуда
,
(6.41) где
22 21 12 11
,
,
,
δ
δ
δ
δ
– перемещения масс, вызванные статическими силами, прикладываемыми поочередно в точках расположения масс по направлению перемещений этих масс. Эпюры изгибающих моментов от сил
1 1
=
P
и приведены на рис. 6.14а,б.
1 2
=
P
2,5 2,5 2
P =1 1
H =0,4
A
H =0,5
A
V =1
A
B
V =0
A
V =0,8333
B
V =0,8333
P =1 2
2
M
M
1
а)
б)
H =0,4
H Рис. 6.14 158
Перемещения
k
i
i
i
δ
δ
,
найдем по формуле Мора, пользуясь правилом
Верещагина:
125
,
28 5
,
2 3
2 5
,
2 5
,
2 2
1 2
5
,
2 3
2 3
5
,
2 2
1 5
,
2 3
2 5
5
,
2 2
1 1
;
333
,
8 5
,
2 3
2 5
2 2
1 1
;
333
,
9 2
3 2
5 2
2 1
2 3
2 2
2 2
1 1
0 2
2 22 0
2 1
21 12 0
2 Подставляя значения перемещений в уравнение (6.41), имеем
,
0 333
,
8 125
,
28 333
,
9 125
,
28 333
,
9 2
1 2
2 1
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
m
m
EI
EI
EI
m
EI
m
EI
λ
λ
( )
,
0 500 400 333
,
8 125
,
28 333
,
9 500 125
,
28 400 333
,
9 2
2 или )
0 66386000 17796 откуда Корни этого равенства
( )
EI
EI
EI
EI
EI
3576 8898 2
66386000 4
17796 17796 2
2 2
,
1
±
=
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
λ
;
5322
;
12474 Частоты собственных колебаний будут
014
,
0 1
;
009
,
0 1
1 2
2 1
1 Круговая частота вибрационной нагрузки
( )
1
min
0045
,
0 009
,
0 5
,
0
−
=
⋅
=
=
с
EI
EI
αω
θ
Эпюра изгибающих моментов от статического действия вибрационной нагрузки по условию
P
M
M
р
ст
⋅
=
1
приведена на рис. 6.15.
159
k
i
i
i
δ
δ
,
найдем по формуле Мора, пользуясь правилом
Верещагина:
125
,
28 5
,
2 3
2 5
,
2 5
,
2 2
1 2
5
,
2 3
2 3
5
,
2 2
1 5
,
2 3
2 5
5
,
2 2
1 1
;
333
,
8 5
,
2 3
2 5
2 2
1 1
;
333
,
9 2
3 2
5 2
2 1
2 3
2 2
2 2
1 1
0 2
2 22 0
2 1
21 12 0
2 Подставляя значения перемещений в уравнение (6.41), имеем
,
0 333
,
8 125
,
28 333
,
9 125
,
28 333
,
9 2
1 2
2 1
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
⋅
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
m
m
EI
EI
EI
m
EI
m
EI
λ
λ
( )
,
0 500 400 333
,
8 125
,
28 333
,
9 500 125
,
28 400 333
,
9 2
2 или )
0 66386000 17796 откуда Корни этого равенства
( )
EI
EI
EI
EI
EI
3576 8898 2
66386000 4
17796 17796 2
2 2
,
1
±
=
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
λ
;
5322
;
12474 Частоты собственных колебаний будут
014
,
0 1
;
009
,
0 1
1 2
2 1
1 Круговая частота вибрационной нагрузки
( )
1
min
0045
,
0 009
,
0 5
,
0
−
=
⋅
=
=
с
EI
EI
αω
θ
Эпюра изгибающих моментов от статического действия вибрационной нагрузки по условию
P
M
M
р
ст
⋅
=
1
приведена на рис. 6.15.
159
с кН
Рис. 6.15 Максимальные значения инерционных сил находим по условию 1
11 11
EI
EI
EI
m
EI
EI
EI
m
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
=
θ
δ
δ
θ
δ
δ
o o
∑ ∫
−
=
=
=
l
EI
EI
dx
M
M
0 2
1 21 12 333
,
8
δ
δ
;
;
67
,
18 2
3 2
5 4
2 1
4 3
2 2
2 2
1 ст 4
3 2
5 5
,
2 2
1 2
2
EI
EI
dx
M
M
P
ст
P
−
=
⋅
⋅
−
=
=
∆
∑∫
Подставив в уравнение (6.42), имеем
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
=
+
−
−
,
0 67
,
16 65
,
70 333
,
8
;
0 67
,
18 333
,
8 2
,
114 2
1 откуда и 1
=
I
2574
,
0 Достоверность полученных сил инерции проверяется подстановкой их значений в исходные уравнения. Эпюру получаем по условию 2
1 1
I
M
I
M
M
M
P
ст
D
+
+
=
Эпюры и окончательная эпюра изгибающих моментов приведены на рис. (6.16).
D
M
160
Рис. 6.15 Максимальные значения инерционных сил находим по условию 1
11 11
EI
EI
EI
m
EI
EI
EI
m
−
=
⋅
−
=
−
=
−
=
⋅
−
=
−
=
θ
δ
δ
θ
δ
δ
o o
∑ ∫
−
=
=
=
l
EI
EI
dx
M
M
0 2
1 21 12 333
,
8
δ
δ
;
;
67
,
18 2
3 2
5 4
2 1
4 3
2 2
2 2
1 ст 4
3 2
5 5
,
2 2
1 2
2
EI
EI
dx
M
M
P
ст
P
−
=
⋅
⋅
−
=
=
∆
∑∫
Подставив в уравнение (6.42), имеем
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
=
+
−
−
,
0 67
,
16 65
,
70 333
,
8
;
0 67
,
18 333
,
8 2
,
114 2
1 откуда и 1
=
I
2574
,
0 Достоверность полученных сил инерции проверяется подстановкой их значений в исходные уравнения. Эпюру получаем по условию 2
1 1
I
M
I
M
M
M
P
ст
D
+
+
=
Эпюры и окончательная эпюра изгибающих моментов приведены на рис. (6.16).
D
M
160
M
D
I
2 2
M
I
1 1
M
4,3646 0,6435 0,6435 0,6435 0,6435 0,3646 5,008
I =
2 0,2574 0,1823 1
I =
а)
б)
в)
Рис. 6.16 Правильность построения эпюры состоит в проверке равновесия узлов системы. Проверяем равновесие узлов E ирис Рис. 6.17 Равновесие узлов E и .
F
0 3646
,
4 6435
,
0 008
,
5
=
−
−
−
=
∑
E
M
0 6435
,
0 С помощью эпюры обычными приемами находятся значения поперечных сила затем из равновесия узлов находятся продольные силы в стержнях системы юры и
приведены на рис. 6.18. условий. Эп
D
Q
D
N
а)
б)
I =
1 0,1823
I =
2 0,2574 0,2574 0,2145 2,1823 1,002 1,9678 0,2145 1,2594 Рис. 6.18 Для проверки их правильности можно использовать уравнения и, рассматривая равновесие системы в целом. В эти уравнения должны быть включены опорные реакции, найденные инерционные силы с учетом их знаков и действующие динамические нагрузки. Для рассматриваемой рамы указанные проверки приведены на рис. 6.19.
∑
=
−
−
=
002
,
1 2574
,
0 2594
,
1
X
0,1823
I =
1 2
I = 0,2574 0,2574 1,002 1,2594 1,9678
P=2 кН
y x
0 2594
,
1 2594
,
1
=
−
=
;
∑
=
−
−
+
=
1823
,
0 2
2145
,
0 9678
,
1
Y
0 1823
,
2 Рис. 6.19 Расчет статически неопределимой рамы Для заданной рамы (рис. 6.20) требуется определить динамические изгибающие моменты, поперечные и продольные силы и построить их эпюры при
6
,
0
;
2
;
5
,
0
=
=
=
α
кН
Р
m
m
2м
8м
4
м
Psin t Рис. 6.20 С учетом принимаемых допущений (п. 6.1) масса может перемещаться поверти- калии в горизонтальном направлении, а рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы. Равенство (6.33) в этом случае принимает вид
m
(
)
(
)
,
0 22 21 12 откуда) В уравнении (6.43)
(
)(
)
0 2
2 12 22 11
=
−
−
−
m
m
m
δ
λ
δ
λ
δ
ik
ii
δ
δ
,
силами – перемещения массы в заданной системе, вызванные статическими, действующими по направлениям
162
возможных перемещений этой массы. Так как заданная система статически неопределима, то указанные перемещения и Каноническое должны быть найдены после раскрытия ее статической неопределимости Воспользуемся методом сил (основная система приведена на рис. 6.21). уравнение и выражение неизвестного
1
X
∗
∗
∆
−
=
⇒
=
∆
+
11 1
1 1
1 11
;
0
δ
δ
p
p
X
X
(6.44)
O.C.
m Рис. 6.21 Эпюра изгибающих моментов от действия силы
1 вертикальной приведена на риса от силы
1 1
=
P
– на рис 6.23.
1
x =1
M
1 4
4
M
P
2
P =1 Рис. 6.22 Рис. 6.23 2
4 3
2 4
4 2
1 1
2 1
11
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∑∫
∗
EI
EI
dx
M
δ
3 320 64 3
128 4
8 4
2 1
EI
EI
EI
EI
=
+
=
⋅
⋅
+
∑∫
=
⋅
⋅
=
′
=
∆
EI
EI
EI
dx
M
M
p
p
16 4
8 2
2 1
2 1
1 По формуле (6.44) имеем
15
,
0 320 3
16 Окончательная эпюра изгибающих моментов
(
)
1
M
, полученная по условию
1 1
1
X
M
M
M
p
′
+
′
=
, приведена на рис. 6.24.
163
1
X
∗
∗
∆
−
=
⇒
=
∆
+
11 1
1 1
1 11
;
0
δ
δ
p
p
X
X
(6.44)
O.C.
m Рис. 6.21 Эпюра изгибающих моментов от действия силы
1 вертикальной приведена на риса от силы
1 1
=
P
– на рис 6.23.
1
x =1
M
1 4
4
M
P
2
P =1 Рис. 6.22 Рис. 6.23 2
4 3
2 4
4 2
1 1
2 1
11
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∑∫
∗
EI
EI
dx
M
δ
3 320 64 3
128 4
8 4
2 1
EI
EI
EI
EI
=
+
=
⋅
⋅
+
∑∫
=
⋅
⋅
=
′
=
∆
EI
EI
EI
dx
M
M
p
p
16 4
8 2
2 1
2 1
1 По формуле (6.44) имеем
15
,
0 320 3
16 Окончательная эпюра изгибающих моментов
(
)
1
M
, полученная по условию
1 1
1
X
M
M
M
p
′
+
′
=
, приведена на рис. 6.24.
163
M
1 2
0,6 0,6 Рис. 6.24 Кинематическая проверка правильности этой эпюры
(
)
1
M
:
0 4
,
6 4
,
6 2
6
,
0 4
,
1 8
4 2
1 2
6
,
0 3
2 4
4 2
1 1
1 1
=
+
−
=
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
∑ ∫
−
=
EI
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
4
P =1 Рис. 6.25 Эпюра изгибающих моментов в основной системе от действия горизонтальной силы приведена на рис.
6.25. Перемещение, вызываемое этой нагрузкой
1 2
=
P
∑ ∫
⋅
⋅
⋅
⋅
=
′′
=
∆ ′′
4 3
2 4
4 2
1 1
1 1
EI
EI
dx
M
M
p
p
EI
EI
EI
EI
3 160 32 3
64 4
8 4
2 1
2 1
=
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
5
,
0 320 3
3 160 По условию (6.44) Окончательная эпюра изгибающих моментов от горизонтальной нагрузки, полученная по условию
1 1
2
X
M
M
M
p
′′
+
′′
=
, приведена на рис. 6.26. Кинематическая проверка правильности этой эпюры
M
2 2
2
−
⋅
⋅
=
∑ ∫
4 3
2 4
2 2
1 1
1 2
EI
EI
dx
M
M
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
0 8
4 2
1 4
3 2
4 2
2 1
1
EI
EI
0 3
32 Рис. 6.26 Статические проверки правильности окончательных эпюр и неприводим в развернутом виде, так как легко убедиться, что они выполняются. Перемещения, вызванные единичными силами в статически неопределимой системе, будут
;
2667
,
4 2
3 2
2 2
2 1
2 1
6
,
0 3
1 4
,
1 3
2 8
2 2
1 2
1 1
2 1
11
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
p
=
⋅
⋅
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
=
′
=
=
∑ ∫
∑ ∫
δ
;
0
,
16 2
3 1
2 3
2 8
4 2
1 2
1 4
3 2
4 2
2 1
1 2
2 2
22
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
p
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
×
⋅
+
⋅
=
′′
=
=
∑∫
∑∫
δ
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
=
′
=
′′
=
⋅
=
=
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
p
p
2 1
2 1
21 12
δ
δ
6667
,
2 2
3 2
2 3
1 8
2 2
1 Подставив найденные значения перемещений в уравнение (6.43), получаем
,
0
= откуда
6667
,
2 0
,
16 2667
,
4 2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
m
EI
m
EI
m
EI
λ
λ
;
0 6667
,
2 16 2667
,
4 0
,
16 2667
,
4 2
2 2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
+
−
⋅
−
⋅
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
m
EI
λ
λ
λ
( )
;
0 378
,
75 267
,
20 2
2 2
=
+
−
m
EI
m
EI
λ
λ
( )
0 845
,
18 134
,
10 Корни этого равенства
( )
;
6133
,
2 067
,
5 4
845
,
18 4
2 134
,
10 2
134
,
10 2
2 2
,
1
EI
EI
EI
EI
EI
±
=
⋅
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
λ
EI
6803
,
7 1
=
λ
и
EI
4537
,
2 Частоты собственных колебаний
( )
;
3608
,
0 6803
,
7 1
1 1
1
−
=
=
=
c
EI
EI
λ
ω
( )
63839
,
0 4537
,
2 1
1 Частота вибрационной нагрузки (при
6
,
0
=
α
):
( )
1 1
min
21648
,
0 3608
,
0 6
,
0 Эпюра изгибающих моментов от статического действия амплитудного
165
значения вибрационной нагрузки при
2
=
P
кН, получаемая по условию
, приведена на рис. 6.27. ст 2 кН
4 1,2 1,2
сm
Рис. 6.27 Максимальные значения инерционных сил найдем, пользуясь уравнениями. В нашем случае эти уравнения имеют вид
(6.45) где
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
+
=
∆
+
+
,
0
;
0 2
2 0
22 1
21 1
2 12 1
0 11
P
P
I
I
I
I
δ
δ
δ
δ
(
)
;
410
,
38 21648
,
0 5
,
0 1
2667
,
4 1
2 2
11 0
11
EI
EI
EI
m
−
=
−
=
−
=
θ
δ
δ
(
)
;
677
,
26 21648
,
0 5
,
0 1
16 1
2 2
22 0
22
EI
EI
EI
m
−
=
−
=
−
=
θ
δ
δ
;
6667
,
2 21 12
EI
−
=
=
δ
δ
;
5333
,
8 2
,
1 3
1 8
,
2 3
2 8
2 2
1 2
1 4
3 2
2 2
2 1
2 1
1 1
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
P
ст
P
P
ст
P
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
′
=
⋅
=
∆
∑∫
∑∫
3333
,
5 2
,
1 3
2 8
,
2 3
1 8
4 2
1 2
1 4
3 2
4 2
,
1 2
1 1
2 2
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
P
ст
P
P
ст
P
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
×
+
⋅
⋅
−
=
⋅
′′
=
⋅
=
∆
∑∫
∑∫
Подставив значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов в уравнения (6.45) имеем
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
=
+
−
−
,
0 3333
,
5 677
,
26 6667
,
2
;
0 5333
,
8 6667
,
2 410
,
38 2
1 откуда
166
2
=
P
кН, получаемая по условию
, приведена на рис. 6.27. ст 2 кН
4 1,2 1,2
сm
Рис. 6.27 Максимальные значения инерционных сил найдем, пользуясь уравнениями. В нашем случае эти уравнения имеют вид
(6.45) где
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∆
+
+
=
∆
+
+
,
0
;
0 2
2 0
22 1
21 1
2 12 1
0 11
P
P
I
I
I
I
δ
δ
δ
δ
(
)
;
410
,
38 21648
,
0 5
,
0 1
2667
,
4 1
2 2
11 0
11
EI
EI
EI
m
−
=
−
=
−
=
θ
δ
δ
(
)
;
677
,
26 21648
,
0 5
,
0 1
16 1
2 2
22 0
22
EI
EI
EI
m
−
=
−
=
−
=
θ
δ
δ
;
6667
,
2 21 12
EI
−
=
=
δ
δ
;
5333
,
8 2
,
1 3
1 8
,
2 3
2 8
2 2
1 2
1 4
3 2
2 2
2 1
2 1
1 1
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
P
ст
P
P
ст
P
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
′
=
⋅
=
∆
∑∫
∑∫
3333
,
5 2
,
1 3
2 8
,
2 3
1 8
4 2
1 2
1 4
3 2
4 2
,
1 2
1 1
2 2
EI
EI
EI
EI
dx
M
M
EI
dx
M
M
P
ст
P
P
ст
P
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
×
×
+
⋅
⋅
−
=
⋅
′′
=
⋅
=
∆
∑∫
∑∫
Подставив значения коэффициентов при неизвестных и свободных членов в уравнения (6.45) имеем
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
−
−
=
+
−
−
,
0 3333
,
5 677
,
26 6667
,
2
;
0 5333
,
8 6667
,
2 410
,
38 2
1 откуда
166
22367
,
0
,
23769
,
0 Максимальные усилия в элементах рамы при установившихся вынужденных колебаниях будут Эпюры изгибающих моментов от статического действия динамической нагрузки 2
1 ст )
р
ст
M
и фактических значений инерционных сил приведены на рис. 6.28а,б,в, а окончательная эпюра динамических моментов на рис. 6.29.
(
)
i
i
I
M
изгибающих
D
M
P
сm
M
а)
2,8 4
1
M
1
I
I
M
2 2
б)
в)
0,14261 0,14261 0,44734 0,44734 0,44538 0,33277 1,2 Рис. 6.28
M
D
0,89505 0,89527 1,7900 3,5801 Рис. 6.29 Проверки правильности построения эпюры остаются обычными статическая и кинематическая. Статическая проверка
D
M
∑
=
−
−
=
89527
,
0 5801
,
3 4754
,
4
A
M
0,89527 4,4754 3,5801 0
4754
,
4 4754
,
4
=
−
=
167
0 1
=
∑ Кинематическая проверка Эпюра
1
M изображена на рис. 6.22 и, пользуясь правилом Верещагина, имеем
0 321
,
14 321
,
14 7748
,
4 321
,
14 5467
,
9 4
3 2
4 89527
,
0 2
1 1
89505
,
0 8
4 2
1 4
3 2
4 79
,
1 2
1 Поперечные и продольные силы, вызываемые динамическими нагрузками, строятся теми же приемами, что ив расчетах на действие статических нагрузок. С помощью эпюры строится эпюра
, а затем из условия равновесия узлов находятся продольные силы в хи строится эпюра
. Указанные эпюры приведены соответственно на рис. 6.30а,б. На рис. в обозначены действующие на раму нагрузки и опорные реакции, вклю- в уравнения равновесия
D
M
D
Q
стержня
D
N
6.30, ченные
∑
= 0
X
и
0
=
∑
Y
при выполнении проверок равновесия системы в целом.
N
I =
1 0,23769
а)
2,2377
б)
в)
0,22367
I =
2
P=2
H =
B
0,22382
H =0,4475 0,67126
V =
2,909
V =
y x
0,4475 2,909 0,4475 0,22382 0,67126 Рис. 6.30
∑
=
−
=
−
+
=
0 4475
,
0 4475
,
0 4475
,
0 22382
,
0 22367
,
0
;
0
X
∑
=
−
=
−
−
−
=
0 909
,
2 909
,
2 67126
,
0 2
23769
,
0 909
,
2
;
0
Y
0 272
,
23 272
,
23 89468
,
0 20 3769
,
2 272
,
23 4
22367
,
0 10 2
10 23769
,
0 8
909
,
2
;
0
=
+
−
=
+
+
+
−
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
=
∑
А
М
168
Глава 7 Приближенные методы и способы определения
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13
частот свободных колебаний
7.1. Назначение приближенных методов Приведенные выше решения задач динамики сооружений выполнены статическим (кинетостатическим) методом, который с учетом принимаемых допущений считается точным методом. Расчет систем с большим числом степеней свободы статическим методом оказывается очень громоздкими трудным. Если в любой стержневой системе учесть собственный вес хотя бы одного из ее элементов, то получаем систему с бесконечным числом степеней свободы и решить задачу в такой постановке без замены распределенных масс сосредоточенными статическим методом невозможно. Это обстоятельство заставляет инженеров прибегать к приближенным методами способам. Один из наиболее распространенных приемов упрощения решения состоит в замене распределенных масс заданной системы сосредоточенными (точечными) массами, те. осуществляется переход к системе с конечным числом степеней свободы, и решение может быть выполнено статическим методом. Этим решением будут получены приближенные значения частот свободных колебаний. Чем большее количество принято сосредоточенных масс, тем точнее получаемый результат, нов тоже время сложнее расчет. Для однопролетной шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной по всему пролету равномерно распределенной массой (система с бесконечным числом степеней свободы) получено решение, позволяющее находить точное значение наименьшей (первой) частоты свободных колебаний системы (решение будет приведено ниже. Этим решением можно воспользоваться для определения наименьшей частоты свободных колебаний в других системах (например, в рамах, если позволяют условия заданной системы. Но это решение может быть применено для ограниченного круга задач. В общем случаев системах с числом степеней свободы, равным бесконечности, частоты свободных колебаний отыскиваются приближенными методами. Могут быть также использованы свойства симметрии системы, если это допускает заданная или преобразованная система. Большое значение имеют те приближенные методы решения задач динамики, которые позволяют более простым путем получить результат достаточной точности с практической точки зрения. Решение важной задачи динамики сооружений – нахождение частот свободных колебаний системы – существенно упрощается, если известны уравнения изгиба стержней при колебаниях системы. Уравнения изгиба стержней, как правило, неизвестны ив приближенных методах их принимают условно с учетом условий соединения между собой стержней в системе и закрепления их на опорах. Это наиболее трудный и ответственный этап вис- пользовании приближенных методов, так как он предопределяет достоверность получаемого результата. Широко используемый в расчетной практике способ замены распределенных масс сосредоточенными (точечными) массами дает удовлетворительную точность при определении первой (наименьшей) частоты свободных колебаний и может приводить к значительным погрешностям при вычислении высших частот. Основным недостатком приближенных методов является то, что неизвестна степень точности (погрешности) полученного результата. Для наиболее часто используемых приближенных методов практическими расчетами выявлены общие критерии их точности (например, для энергетического метода, а в других случаях степень приближенности результата может быть установлена после решения той же задачи точным методом.
7.2. Энергетический метод Ранее (п. 6.1) отмечалось, что в основу этого метода положен закон сохранения энергии, согласно которому в любой момент временно сума потенциальной и кинематической энергии колеблющейся системы остается постоянной) где
V
U ,
– соответственно потенциальная и кинетическая энергия системы. Рассматривая свободные колебания системы с одной степенью свободы п. 6.2), было установлено, что при колебаниях системы происходит переход одного вида энергии в другой. Поскольку
0
min min
=
= V
U
, то из условия (7.1) следует, что max max
V
U
=
(7.2) Условие (7.2) позволяет находить частоты собственных колебаний системы из условия равенства работ, выполняемых ее силами при колебаниях. Определение частоты собственных колебаний энергетическим методом y
y(
)
m( Рис. 7.1 рассмотрим на примере однопролетной упругой шарнирно опертой балки переменной жесткости с распределенной массой
( )
x
m
, которая изменяется по любому закону (рис. 7.1). Уравнение изогнутой оси балки в процессе колебаний примем по синусоидальному закону
( ) ( ) (
)
ϕ
ω
+
=
t
x
y
t
x
y
sin
,
, (7.3) где – амплитуда колебаний. Для систем, элементы которых испытывают преимущественно изгиб, пренебрегая влиянием поперечных и продольных сил, потенциальная энергия численно равна работе изгибающих моментов, те.
( )
x
y
( )
∫
=
l
x
EI
dx
M
U
0 Так как, то последнее равенство можно записать
( )
x
M
x
y
EI
−
=
′′
( )
[
]
∫
′′
=
l
x
dx
x
y
EI
U
0 2
2 1
(7.4) Воспользовавшись условием (7.3)
171
172
( )
( ) (
)
sin
2 Тогда равенство (7.4) принимает вид
(
)
( )
[
]
dx
x
y
EI
t
U
l
x
2 0
2
sin
2 Если принять
(
)
1
sin
=
+
ϕ
ω
t
, то максимальное значение потенциальной энергии будет
( )
[
]
dx
x
y
EI
U
l
x
2 0
max
2 1
∫
′′
=
(7.5) Кинетическая энергия с учетом (7.3) будет
( )
( )
(
)
ϕ
ω
ω
+
=
=
′
t
x
y
dt
dy
t
x
y
cos
,
;
( )
( )
( )
(
)
(
)
( ) ( )
∫
∫
∫
+
=
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
l
l
dx
x
y
x
m
t
dx
t
x
y
x
m
dx
dt
dy
x
m
V
0 2
2 2
0 2
2 2
0 2
2 1
cos cos
2 1
2 Если принять
(
)
1
cos
2
=
+
ϕ
ω
t
, максимальная кинетическая энергия
( ) ( )
∫
=
l
dx
x
y
x
m
V
0 2
2
max
2 1
ω
(7.6) Приравнивая выражения (7.5) и (7.6), находим
( )
[
]
( ) ( )
∫
∫
′′
=
l
l
x
dx
x
y
x
m
dx
x
y
EI
0 2
0 2
2
ω
(7.7) Если система содержит m стержней, то равенство (7.7) принимает вид
( )
[
]
( ) ( )
∑ ∫
∑ ∫
′′
=
m l
m l
x
dx
x
y
x
m
dx
x
y
EI
1 0 2
1 0 2
2
ω
, (7.8) где m – количество элементов системы.
Из формулы (7.8) видно, что частоты собственных колебаний системы могут быть найдены энергетическим методом, если известны уравнения изогнутых осей стержней в процессе колебания. Эти уравнения, как правило, неизвестны и ими задаются с учетом характера соединения стержней между собой и типа опорных закреплений, что и предопределяет приближенность получаемого результата. Если известна действительная форма изогнутой оси стержня в процессе колебаний, то энергетическим методом получается точное решение. Применение энергетического метода проследим на примере упругой однопролетной шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной по всему пролету равномерно распределенной массой (рис. 7.2). x
m=const
EI=const m
y Рис. 7.2 Уравнение изогнутой оси балки при колебаниях примем в виде
( )
l
x
y
x
y
π
sin
0
=
,
(7.9) где
0
y
– максимальное отклонение балки в середине пролета от линии статического равновесия (амплитуда. Нетрудно заметить, что (7.9) удовлетворяет всем граничным условиям рассматриваемой задачи. Частоту собственных колебаний определим по формуле (7.7). Вторая производная уравнения (7.9)
( )
sin
0 2
2
l Так как
const
EI
=
, то потенциальная энергия по (7.5)
m=const
EI=const m
y Рис. 7.2 Уравнение изогнутой оси балки при колебаниях примем в виде
( )
l
x
y
x
y
π
sin
0
=
,
(7.9) где
0
y
– максимальное отклонение балки в середине пролета от линии статического равновесия (амплитуда. Нетрудно заметить, что (7.9) удовлетворяет всем граничным условиям рассматриваемой задачи. Частоту собственных колебаний определим по формуле (7.7). Вторая производная уравнения (7.9)
( )
sin
0 2
2
l Так как
const
EI
=
, то потенциальная энергия по (7.5)
174
( )
[
]
2 2
1
sin
2 1
2 1
2 0
4 4
0 2
2 0
4 4
0 2
max l
l l
l Кинетическая энергия пос учетом (7.9)
( )
2 2
1
sin
2 1
2 1
2 0
2 0
2 2
0 2
0 2
2
max l
l По формуле (7.7) имеем
,
4 4
2 0
3 2
0 4
2
l откуда
m
EI
2 2
l
π
ω
=
(7.10) Формула (7.10) дает точное решение, так как уравнение (7.9) – действительное уравнение изогнутой оси балки, полученное статическим методом при постоянных значениях m и EI . Если уравнение изогнутой оси стержня в процессе колебаний неизвестно, то оно может быть принято по уравнению изогнутой оси при статическом действии на него соответствующих нагрузок. Например, в рассматриваемом случае (рис. 7.2) примем уравнение изогнутой оси балки при колебаниях, совпадающим с уравнением изгиба ее оси при действии на балку сплошной равномерно распределенной нагрузки q
( )
(
)
4 3
3 2
24
x
x
x
EI
q
x
y
+
−
=
l Определив максимальное значение потенциальной (7.5) и кинетической
(7.6) энергии, по формуле (7.7) получаем
8767 9
2 Если принять
8696
,
9 2
=
π
, относительная погрешность в сравнении сточным решением (7.10) составляет 0.07%, те. результат практически совпадает. Определение частот собственных колебаний энергетическим методом может быть выполнено в другом виде (так называемая вторая форма энергетического метода в сравнении с первой, изложенной выше. Выразим потенциальную энергию системы через работу внешних сил. В качестве примера возьмем балку, изображенную на рис. 7.1, переменной жесткости
x
EI
и с переменной массой
( )
,
x
m
изменяющейся по длине балки. Элементарная сила, действующая на бесконечно малом элементе длиной
,
dx равна
( Приняв уравнение колебаний, как ив предыдущей задаче, по условию (7.3)
( ) ( ) (найдем потенциальную и кинематическую энергию колеблющейся системы
( ) ( )
(
) ( ) ( )
,
sin
2 1
,
2 1
0 0
dx
x
y
g
x
m
t
dx
t
x
y
g
x
m
U
∫
∫
+
=
=
l откуда
( ) ( )
dx
x
y
g
x
m
U
∫
=
l
0
max
2 Кинетическая энергия останется без изменений (принято тоже самой уравнение колебаний) и по формуле (7.6)
( ) ( )
dx
x
y
x
m
V
2 0
2
max
2 По условию (7.2) max max
V
U
=
и частота собственных колебаний
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫
=
l l
0 2
0 2
dx
x
y
x
m
dx
x
y
g
x
m
ω
(7.11) Если заданная система содержит несколько стержней, то формула
(7.11) принимает вид
( ) ( )
( ) ( )
,
1 0 2
1 0 2
∑∫
∑∫
=
m
m
dx
x
y
x
m
dx
x
y
g
x
m
l l
ω
(7.12) где m – число стержней в системе. Формулы (7.8) и (7.12) справедливы для любых стержневых систем, в том числе для статически неопределимых. При использовании формул (7.8) и (7.12) необходимо отыскать близкие к действительным уравнения изогнутых осей для каждого из стержней системы и это является определенной трудностью в решениях конкретных задач. Если заданная система содержит только сосредоточенные массы, то формула (7.12) принимает вид
,
1 2
1 2
∑
∑
=
=
=
n
i
i
i
n
i
i
i
y
m
y
m
g
ω
(7.13) где
i
y
– полные перемещения точек расположения масс в направлении колебаний количество масс системы. При определении частоты собственных колебаний по формуле (7.13) основной трудностью является отыскание полных перемещений масс системы в направлении их колебаний. В случае линейно-деформируемой упругой системы эта задача упрощается, так как, пользуясь принципом независимости действия сил, перемещения любой точки k системы можно найти по зависимости
,
2 2
1 р (7.14) где
ki
δ – перемещения точки k по искомому направлению, вызванные силами
1
=
i
P
, прикладываемыми поочередно в местах расположения масс
n
m
m
m
,
,
,
2 1
K
. Эти перемещения
( )
ki
δ могут быть найдены, по формуле Мора. Например, для систем, сплошные элементы которых испытывают преимущественно изгиб
∑∫
=
l
0
EI
dx
M
M
i
k
ki
δ
;
n
P
P
P
,
,
,
2 1
K
– фактические значения нагрузок заданной системы в местах расположения масс. Формула (7.13) справедлива для любых стержневых (в том числе шар- нирно-стержневых) систем, как статически определимых, таки статически неопределимых. Эффективность ее использования будет показана ниже на конкретных примерах расчета стержневых систем.
177
7.3. Упрощение расчетной схемы системы
Упрощение расчетной схемы системы в динамике сооружений проводится, как правило, для того, чтобы сократить число степенной свободы системы. Это позволяет упростить решение, рассчитывая систему любым известным методом. Выше отмечалось, что один из способов упрощения решения задачи состоит в замене распределенных масс сосредоточенными массами. Проследим решение задачи с использованием этого способа на примере упругой шарнирно опертой балки постоянного сечения со сплошной равномерно распределенной массой (риса. Как показано выше (7.10), точное значение основной частоты собственных колебаний рассматриваемой системы (риса, с бесконечным числом степеней свободы
8696
,
9 2
2 2
m
EI
m
EI
l l
=
=
π
ω
M
M
M
0.25 m д =1 1
P =1 б m в)
г)
0.25
а)
y
0.25
k
0.5 m
0.25 0.25
k
P=1
m
0.25
m=const
EI=const
1 2
k x
m
/
3
m
/
3
m
/
3
m
/
3
m
/
6
m
/
6
m
/
6
m
/
6 2 /
9
/ 3
/ 3
/ 3
/ 3
/ 3
/ Рис Заменим равномерно распределенную массу сосредоточенными массами, одну из которых l
m
5
,
0
расположим в середине пролета, а две других l
m
25
,
0
– на левой и правой опорах. Массы l
m
25 0,
не влияют на изгиб балки и на частоту свободных колебаний и их можно не учитывать (рис. б. Получим систему с одной степенью свободы, частоту свободных колебаний которой определим по формуле (6.12). Эпюра изгибающих моментов от приложенной в точке k силы
1
=
P
(месте расположения массы m ) показана на рис. в. Перемещение
EI
EI
dx
M
k
48 3
0 2
11
l l
=
=
∑∫
δ
и частота свободных колебаний
m
EI
m
EI
m
2 3
11 7980
,
9 48 2
1
l l
l
=
⋅
⋅
=
=
δ
ω
, ошибка составляет 0,73% в сравнении сточным решением по формуле (7.10) и допустима в практических расчетах. Рассмотрим туже балку с двумя массами
3 2
1
l
m
m
m
=
=
, расположенными в третях ее пролета (рис. г. Частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы найдем статическим методом без учета сил сопротивления перемещению масс, используя вековое уравнение (6.33). Эпюры изгибающих моментов
1
M и
2
M
от сил
,
1
=
P
приложенных поочередно в местах расположения масс
1
m
и
2
m
приведены на рис. д. Характеристическое уравнение получим, раскрыв определитель
(
)
(
)
0 2
22 1
21 2
12 1
11
=
λ
−
δ
δ
δ
λ
−
δ
=
m
m
m
m
D
(7.15) По формуле Мора (путем перемножения эпюр) имеем
;
243 4
3 0
2 1
11
EI
EI
dx
M
l l
=
=
∑∫
δ
;
243 4
3 11 22
EI
l
=
=
δ
δ
EI
EI
dx
M
M
486 7
3 0
2 1
21 12
l Раскрывая определитель (7.15), с учетом
2 1
m
m
=
и
22 11
δ
δ
=
, имеем
(
)
,
0 2
2 2
11 2
12 11 откуда
(
)
12 11 2
,
1
δ
δ
λ
±
= Подставляя значение
12 11
,
δ
δ
и
3
l
m
m
=
,
EI
m
486 5
4 и
1458 Из условия
i
i
λ
ω
1
=
получаем
( )
1 2
4 1
1 8590
,
9 5
486 1
−
′
=
=
=
c
m
EI
m
EI
l l
λ
ω
,
m
EI
m
EI
m
2 3
11 7980
,
9 48 2
1
l l
l
=
⋅
⋅
=
=
δ
ω
, ошибка составляет 0,73% в сравнении сточным решением по формуле (7.10) и допустима в практических расчетах. Рассмотрим туже балку с двумя массами
3 2
1
l
m
m
m
=
=
, расположенными в третях ее пролета (рис. г. Частоты собственных колебаний системы с двумя степенями свободы найдем статическим методом без учета сил сопротивления перемещению масс, используя вековое уравнение (6.33). Эпюры изгибающих моментов
1
M и
2
M
от сил
,
1
=
P
приложенных поочередно в местах расположения масс
1
m
и
2
m
приведены на рис. д. Характеристическое уравнение получим, раскрыв определитель
(
)
(
)
0 2
22 1
21 2
12 1
11
=
λ
−
δ
δ
δ
λ
−
δ
=
m
m
m
m
D
(7.15) По формуле Мора (путем перемножения эпюр) имеем
;
243 4
3 0
2 1
11
EI
EI
dx
M
l l
=
=
∑∫
δ
;
243 4
3 11 22
EI
l
=
=
δ
δ
EI
EI
dx
M
M
486 7
3 0
2 1
21 12
l Раскрывая определитель (7.15), с учетом
2 1
m
m
=
и
22 11
δ
δ
=
, имеем
(
)
,
0 2
2 2
11 2
12 11 откуда
(
)
12 11 2
,
1
δ
δ
λ
±
= Подставляя значение
12 11
,
δ
δ
и
3
l
m
m
=
,
EI
m
486 5
4 и
1458 Из условия
i
i
λ
ω
1
=
получаем
( )
1 2
4 1
1 8590
,
9 5
486 1
−
′
=
=
=
c
m
EI
m
EI
l l
λ
ω
,
179
( )
1 2
4 2
2 1838
,
38 1458 1
−
′
=
=
=
c
m
EI
m
EI
l Точное решение этой задачи (при сплошной равномерно распределенной массе по всему пролету балки (7.10)):
;
8696
,
9 2
2 2
1
l l
=
=
m
EI
π
ω
m
EI
m
EI
⋅
=
=
2 2
2 2
4784
,
39 4
l По полученным результатам погрешность в вычислении первой частоты составляет 0,12%, а по частоте второго тона
( )
2
ω – 3,39%, что ранее отмечалось (п. 7.1). Для сравнения найдем основную частоту свободных колебаний балки с двумя массами
3 2
1
l
m
m
m
=
=
и двумя степенями свободы (предыдущего примера) по формуле (7.13), учитывающей только сосредоточенные массы. Полные перемещения точек расположения масс
1
m
и
2
m
(
1
y
и
2
y
) с учетом приведенных выше единичных перемещений
ii
δ и
ik
δ побудут l
l Числитель формулы (7.13)
EI
g
m
EI
m
m
g
y
m
g
i
i
i
1458 10 2
1458 15 3
5 2
2 4
2 2
1
l Знаменатель формулы (7.13)
(
)
,
1458 150 2
1458 15 3
2 9
2 3
2 4
2 1
2
EI
g
m
EI
mg
m
g
y
m
i
i
i
l тогда
(
)
,
15 1458 150 1458 1458 10 4
9 2
3 2
5 2
2 2
l откуда
8590
,
9 2
m
EI
l
=
ω
Этот результат полностью совпадает с основной частотой
( )
1
ω в приведенном выше решении этой же задачи статическим методом, как системы с двумя степенями свободы и свидетельствует об эффективности формулы
(7.13) энергетического метода, пользуясь, которой исключаются процедура вычисления определителей и решения алгебраических уравнений высоких порядков.
( )
1
ω в приведенном выше решении этой же задачи статическим методом, как системы с двумя степенями свободы и свидетельствует об эффективности формулы
(7.13) энергетического метода, пользуясь, которой исключаются процедура вычисления определителей и решения алгебраических уравнений высоких порядков.
1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13