Файл: Курс лекций по дисциплине Техническая механика для студентов заочного отделения специальности.pdf

11
Откуда m
1
a
1
= m
2
a
2
или
При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.
Четвертая аксиома (закон независимости действия сил)
Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности :
Метод кинетостатики
Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-нибудь связями, называется
свободной
. Задачи решаются с помощью основного закона динамики.
Материальные точки, движение которых ограничено связями, называются
несвободным
и.
Для несвободных точек необходимо определять реакции связей. Эти точки движутся под действием активных сил и ограничивающих движение реакций связей (пассивных сил).
Несвободные материальные точки освобождаются от связей: связи заменяются их реакциями. Далее несвободные точки можно рассматривать как свободные (принцип освобождаемости от связей).
Сила инерции
Инертность
— способность сохранять свое состояние неизменным, это внутреннее свойство всех материальных тел.
Сила инерции
— сила, возникающая при разгоне или торможении тела (материальной точки) и направленная в обратную сторону от ускорения.
Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» — телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.
Рассчитано, что сила инерции равна
F
ИH
= /та.
Таким образом, силы, действующие на материальные точки m
1
и m
2
, при разгоне платформы соответственно равны
Разгоняющееся тело (платформа с массой т) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вообще был бы невозможен.
При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального а
n и касательного a
t

12
Поэтому при рассмотрении криволинейного движения могут возникнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная.
При равномерном движении по дуге всегда возникает нормальное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги.
Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.
Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разгоняющимся телом (к связям).
Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к активно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к материальной точке, становится уравновешенной, и можно при решении задач динамики использовать уравнения статики.
Принцип Даламбера:
Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в
равновесии:
Порядок решения задач с использованием принципа Даламбера
1. Составить расчетную схему.
2. Выбрать систему координат.
3. Выяснить направление и величину ускорения.
4. Условно приложить силу инерции.
5. Составить систему уравнений равновесия.
6. Определить неизвестные величины.
Раздел 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

13
Расчет на жесткость
обеспечивает деформации конструкции нагрузкой в пределах допустимых норм.
Расчет на выносливость
обеспечивает необходимую долговечность элементов конструкции.
Расчет на устойчивость
обеспечивает сохранение необходимой формы равновесия и предотвращает внезапное искривление длинных стержней.
Для обеспечения прочности конструкций, работающих при ударных нагрузках (при ковке, штамповке и подобных случаях), проводятся
расчеты на удар
.
Основные гипотезы и допущения
Приступая к расчетам конструкции, следует решить, что в данном случае существенно, а что можно отбросить, т. к. решение технической задачи с полным учетом всех свойств реального объекта невозможно.
Допущения о свойствах материалов
Материалы
однородные
— в любой точке материалы имеют одинаковые физико-механические свойства.
Материалы представляют
сплошную среду
— кристаллическое роение и микроскопические дефекты не учитываются.
Материалы
изотропны
— механические свойства не зависят от направления нагружения.
Материалы обладают
идеальной упругостью
— полностью восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузки.
В реальных материалах эти допущения выполняются лишь отчасти, но принятие таких допущений упрощает расчет. Все упрощения принято компенсировать, введя запас прочности.
Классификация нагрузок и элементов конструкции
Статистические
нагрузки не меняются со временем или меняются очень медленно. При действии статистических нагрузок проводится расчет на прочность.
Повторно-переменные
нагрузки многократно меняют значение или значение и знак. Действие таких нагрузок вызывает усталость металла.
Динамические
нагрузки меняют свое значение в короткий промежуток времени, они вызывают большие ускоренияи силы инерции и могут привести к внезапному разрушению конструкции.
Из теоретической механики известно, что по способу приложениянагрузки могут быть
сосредоточенными
или
распределенными
поповерхности.
Реально передача нагрузки между деталями происходит не в точке, а на некоторой площадке, т. е. нагрузка является распределённой.
Однако если площадка контакта пренебрежительно мала сравнению с размерами детали, силу считают сосредоточенной.
При расчетах реальных деформируемых тел в сопротивлении материалов заменять распределенную нагрузку сосредоточенной не следует.
Аксиомы теоретической механики в сопротивлении материалов используются ограниченно.
Нельзя переносить пару сил в другую точку детали, перемещать сосредоточенную силу вдоль линии действия, нельзя систему сил заменять равнодействующей при определении перемещений. Всё вышеперечисленное меняет распределение внутренних сил в конструкции.
Формы элементов конструкции
Все многообразие форм сводится к трем видам по одному признаку.
1.
Брус
— любое тело, у которого длина значительно больше других размеров.
В зависимости от форм продольной оси и поперечных сечений различают несколько видов брусьев:
— прямой брус постоянного поперечного сечения (рис. 18.3а);
— прямой ступенчатый брус (рис. 18.3б).
— криволинейный брус (рис. 18.3в).
2.
Пластина
— любое тело, у которого толщина значительно меньше других размеров (рис. 18.4).
Рис. 18.4
3.
Массив
— тело, у которого три размера одного порядка.

14
Метод сечений
Метод сечений заключается в мысленном рассечении телаплоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных частей.
Если все тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил.
Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой
части тела.
Рассекаем тело поперек плоскостью (рис. 19.1). Рассматриваем правую часть. На нее действуют внешние силы и внутренние силы упругости распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором помещенным в центр тяжести сечения, и суммарным моментом сил
:
Рис. 19.1
Разложив главный вектор по осям, получим три составляющие:
— продольная сила;
— поперечная сила по оси х;
— поперечная сила по оси y.
Главный момент тоже принято представлять в виде моментов пар сил в трех плоскостях проекции:
Мх — момент сил относительно Ох;
Му — момент сил относительноОу;
Мz — момент сил относительно Оz.
Полученные составляющие сил упругости носят название
внутренних силовых факторов (ВСФ)
.
Каждый из внутренних силовых факторов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние сивые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу детали внешние силы.
Различают шесть внутренних силовых факторов:
Nz — продольная сила;
Qх, Qу— поперечная сила;
М
z
— крутящийся момент;
Мx, М
y
— изгибающий момент.
Метод сечений имеет второе название – «Правило «РОЗУ»»:
«Р» - рассекаем
«О» - отбрасываем
«З» - заменяем
«У» - уравновешиваем
Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего силового фактора в сечении, но не дает возможности установить закон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочности необходимо определить величину силы, приходящуюся на любую точку поперечного сечения.
Величину интенсивности внутренних сил в точке поперечного сечения называют
напряжением
.
Напряжение характеризует величину внутренней силы, приходящейся на единицу площади поперечного сечения.

15
Единицы измерения Па, МПа (1МПа=
2
мм
Н
, 1Па=
2
м
Н
)
Направление напряжения р
ср совпадает с направлением внутренней силы в этом сечении.
Вектор р
ср называют
полным напряжением
.
Его принято раскладывать на два вектора (рис. 19.3): касательное напряжение
— лежащий в площадке сечения и нормальное напряжение
— направленный перпендикулярно площадке.
Если вектор р — пространственный, то его раскладывают на три составляющие:
Нормальное напряжение характеризует сопротивление сечения растяжению или сжатию.
Касательное напряжение характеризует сопротивление сечения сдвигу.
Сила N (продольная) вызывает появление нормального напряжения
. Силы Qx и Qy вызывают появление касательных напряжений
.Моменты изгибающие М
х
и М
у
вызывают появление нормальных напряжений переменных по сечению.
Крутящий момент Мz вызывает сдвиг сечения вокруг продольной оси, поэтому появляются касательные напряжения .
Тема 2.2. Растяжение и сжатие
Многие элементы машин, сооружений, канаты, тросы, ремни, цепи и т.д., испытывают деформацию растяжения
(сжатия).
Элемент конструкции, длина которого гораздо больше его поперечных размеров, называется брусом.
Растяжением
или
сжатием
называют такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает один ВСФ – продольная сила N.
Продольная сила в любом сечении бруса равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, действующих на отсеченную часть:


ix
F
N
Правило знаков для продольных сил
: при растяжении продольная сила положительна
, при сжатии – отрицательна
Условие прочности при растяжении (сжатии):
 




A
N
, где
А – площадь поперечного сечения бруса, мм
2
;
 

- допускаемое нормальное напряжение, МПа.
Расчетное напряжение зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, допускаемое только от
материала детали и условий работы.

16
Изменение длины бруса
(удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений
(укорочений) его отдельных участков и вычисляется по формуле Гука:








i
i
i
i
A
E
l
N
l
l
, где
N
i
, l i
и А
i
– соответственно продольная сила, длина и площадь сечения в пределах каждого участка бруса;
Е – модуль продольной упругости материала (для стали Е=2·10 5
МПа);
АЕ – жесткость сечения.
Тема 2.3. Практические расчеты на срез и смятие.
Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) работают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор — поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.
Сдвиг (срез)
Сдвигом
называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — поперечная сила рис. 23.1).
При сдвиге выполняется закон Гука, который в данном случав записывается следующим образом: где
— напряжение;
G — модуль упругости сдвига;
— угол сдвига.
При отсутствии специальных испытаний G можно рассчитать по формуле, где
Е — модуль упругости при растяжении, [G] = МПа.
Расчет деталей на сдвиг носит условный характер. Для упрощения расчетов принимается ряд допущений:
— при расчете на сдвиг изгиб деталей не учитывается, хотя силы, действующие на деталь, образуют пару;
— при расчете считаем, что силы упругости распределены по сечению равномерно;
— если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считаем, что внешняя сила распределяется между ними равномерно.
Условие прочности при сдвиге (срезе)
где
[ ] — допускаемое напряжение сдвига, обычно его определяют по формуле
При разрушении деталь перерезается поперек. Разрушение детали под действием поперечной силы называют срезом
Смятие
Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия,
.

17
Расчет также носит условный характер. Допущения подобны принятым при расчете на сдвиг, однако при расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не
равномерно, поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки. Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр.
Условие прочности при смятии где
А
см
- расчетная площадь смятия
А
см
=
d— диаметр окружности сечения;
— наименьшая высота соединяемых пластин;
F — силавзаимодействия между деталями
[
]-допускаемое напряжение смятия
[
] = (0,35 + 0,4)
Тема 2.5. Кручение
Кручение
– вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент М
кр
Крутящий момент М
кр в произвольном поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов, действующих на отсеченную часть бруса.
Крутящий момент считается положительным, если кручение происходит против часовой стрелки и отрицательны – по часовой стрелке.
При расчете валов на прочность при кручении используется условие прочности
:
 
кр
кр
кр
W
М





, где

W
- полярный момент сопротивления сечения, мм
3
;
[
кр

] – допускаемое касательное напряжение.
Крутящий момент определяется по формуле:

Р
M
кр

, где
Р – мощность на валу, Вт;
ω – угловая скорость вращения вала, рад/с.
Полярный момент сопротивления сечения определяется по формулам:
- для круга
3 3
2
,
0 16
d
d
W






18
- для кольца
)
1
(
2
,
0 4
3




D
W
При кручении бруса его ось испытывает скручивание на некоторый угол φ, который называется
углом
закручивания
. Его величина определяется по формуле:
G
J
l
M
кр





, где l – длина бруса;
G – модуль сдвига, МПа (для стали G=0,8·10 5
МПа);

J
- полярный момент инерции сечения, мм
4
Полярный момент инерции сечения определяется по формулам:
- для круга
4 4
1
,
0 32
d
d
J





- для кольца
)
1
(
1
,
0 4
4




D
J
Тема 2.6. Изгиб
Многие элементы конструкций (балки, рельсы, оси всех колес и т.д.) испытывают деформацию изгиба.
Изгибом
называется деформация от момента внешних сил, действующих в плоскости, проходящей через геометрическую ось балки.
В зависимости от места приложения действующих сил различают
прямой
и
косой
изгиб.
Прямой изгиб
– внешние силы, действующие на балку, лежат в главной плоскости сечения.
Главная плоскость сечения
– плоскость, проходящая через ось балки и одну из главных центральных осей сечения.
Косой изгиб
- внешние силы, действующие на балку, не лежат в главной плоскости сечения.
В зависимости от характера ВСФ, возникающих в поперечных сечениях балки, изгиб может быть
чистым
и
поперечным
Изгиб называется
поперечным
, если в поперечном сечении балки возникают два ВСФ – изгибающий момент М
х и поперечная сила Q
y
Изгиб называется
чистым
, если в поперечном сечении балки возникает один ВСФ – изгибающий момент
М
х
Изгибающий момент в произвольном сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:


)
(
i
O
x
F
M
M
Поперечная сила Q равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих на отсеченную часть балки:


iy
y
F
Q
При определении знаков поперечных сил используют
правило «Часовой стрелки»
: поперечная сила считается положительной, если «вращение» внешних сил происходит по часовой стрелке; отрицательной – против часовой стрелки.
При определении знаков изгибающих моментов используют
правило «Сжатых волокон»
(правило
«ЧАШИ»): изгибающий момент считается положительным, если сжимаются верхние волокна балки («вода не выливается»); отрицательным, если сжимаются нижние волокна балки («вода выливается»).
Условие прочности при изгибе:
рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.
 




x
и
W
M