Файл: Закон Архимеда. Полный ответ должен содержать.pdf

Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» по ФИЗИКЕ
Финальный (очный) тур
Ответы и возможные решения
Вариант 1
6М. Теория: Закон Архимеда. Полный ответ должен содержать: формулировку закона с определением всех входящих в него величин. Важно обратить внимание, что для полного описания силы Архимеда должны быть указаны ее физическая природа, величина, направление и точка приложения.
Задача: На поверхности воды плавает в вертикальном положении цилиндр массой 120 г с площадью основания 75 см
2
. С какой циклической частотой будут происходить вертикальные гармонические колебания цилиндра, если его слегка сместить из положения равновесия? Ускорение свободного падения
g = 10 м/с
2
, сопротивлением среды пренебречь.
Решение:
В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. При вертикальном смещении цилиндра на x возникает возвращающая сила, равная изменению силы Архимеда F = ΔF
A
=
=ρΔVg = ρSxg. Видно, что сила пропорциональна смещению, следовательно
m
S
g
m
k




= 25 рад/сек.
Ответ:
m
S
g
m
k




= 25 рад/сек.
13М. Теория: Силы упругости. Понятие о деформациях. Закон Гука. Модуль Юнга. Полный ответ
должен содержать: описание природы сил упругости и смысла понятия «деформация» с указанием типов деформаций, описанных в школьной программе, формулировку закона Гука с определением всех входящих в него величин, выражение для коэффициента упругости однородного тела заданной длины и площади поперечного сечения, определение модуля Юнга.
Задача: На конце невесомого стержня, прикрепленного с помощью трех одинаковых пружин к потолку, находится груз массой
m
. Расстояние между пружинами и от крайней пружины до груза одинаковы. Пружины вертикальны.
Определите силы упругости F
1
, F
2
,
F
3
, в пружинах.
Решение.
0 3
2 1




mg
F
F
F
- условие равновесия сил, приложенных к стержню, в проекции на вертикаль.
0 3
2 3
2



mgl
l
F
l
F
- уравнение моментов относительно точки О.
Обозначим растяжения пружин
1
x

,
2
x

,
3
x

, коэффициент жесткости –
k
1 1
x
k
F


,
2 2
x
k
F


,
3 3
x
k
F


, и, поскольку из геометрии
2 1
1 3
1 2







x
x
x
x

2 1
3 2 x
x
x






2 1
3 2F
F
F


, то из этого условия и условий равновесия получаем выражения для сил:
















2 1
3 3
2 3
2 1
2 3
2
F
F
F
mg
F
F
mg
F
F
F
mg
F
mg
F
mg
F
3 4
,
3 1
,
3 2
3 2
1




Знак «минус» показывает, что первая пружина сжата.
Ответ: величины сил упругости
mg
F
mg
F
mg
F
3 4
|
|
,
3 1
|
|
,
3 2
|
|
3 2
1



5Т. Теория: Теплоемкость тела. Теплоемкость одноатомного идеального газа при изохорном и изобарном процессах. Полный ответ должен содержать: Определение теплоемкости тела и примеры выражений для ее вычисления, описание модели идеального газа и выражения для теплоемкости одноатомного идеального газа при изохорном и изобарном процессах.
1 2
3
О

Задача: С одним молем идеального одноатомного газа осуществляется цикл, состоящий из двух изохор
(1-2), (3-x) и двух изобар (2-3), (x-1). Определите КПД η цикла. Температуры в точках обозначенных цифрами 1, 2, 3, считать соответственно равными T
1
, T
2
, T
3
Решение:
По определению: η = А/Q
H
;
Работу газа можно вычислить как площадь цикла в координатах P-V:
A = (P
1
− P
2
)(V
3
− V
1
) = P
2
V
3
− P
2
V
1
− P
1
V
3
+ P
1
V
1
= RT
3
− RT
2
− RT
x
+ RT
1
;
P
1
/P
2
= T
1
/T
2
= P
1
/P
3
= T
x
/T
3
=>T
x
= T
1
T
3
/T
2
;
Газ получает тепло в процессах 1-2 и 2-3, поэтому:
Q
H
= Q
12
+ Q
23
= 3/2R(T
2
− T
1
) + 5/2R(T
3
− T
2
) = 3/2RT
2
− 3/2RT
1
+ 5/2RT
3
− 5/2RT
2
=
= 5/2RT
3
− 3/2RT
1
− 2/2RT
2
= 1/2R(5T
3
− 3T
1
− 2T
2
);
η = 2(T
3
− T
2
− T
1
T
3
/T
2
+ T
1
)/(5T
3
− 3T
1
− 2T
2
) = 2/T
2
×(T
3
T
2
− T
2 2
− T
1
T
3
+ T
1
T
2
)/(5T
3
− 3T
1
− 2T
2
)=
2/T
2
×(T
3
(T
2
− T
1
) − T
2
(T
2
− T
1
))/(5T
3
− 3T
1
− 2T
2
) = (2(T
2
− T
1
)(T
3
− T
2
))/T
2
(5T
3
− 3T
1
− 2T
2
) =
= 2(T
2
− T
1
)(T
3
− T
2
)/T
2
(5T
3
− 3T
1
− 2T
2
).
Ответ:





2 1
3 2
2 3
1 2
2 3
5 2
T
T
T
T
T
T
T
T






5Э. Теория: Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Полный ответ должен содержать:
Определение работы и мощности тока, формулировку закона Джоуля-Ленца с определением всех содержащихся в ней величин и описание причин существования тепловых потерь при протекании тока в проводнике.
Задача: От генератора с ЭДС
ε
= 250 В и внутренним сопротивлением r = 0,1 Ом необходимо протянуть к потребителю двухпроводную линию длинной l = 100 м. Какая масса алюминия пойдет на изготовление линии, если мощность потребителя P = 22 кВт, и он рассчитан на напряжение U = 220 В? Удельное сопротивление алюминия ρ = 2,8×10
-8
Ом×м, плотность алюминия d = 2,7 г/см
3
Решение.
Ток через сопротивление нагрузки R равен J =
ε
/(r + R + R
X
), где R
X
– сопротивление линии.
Мощность, выделяемая на нагрузке P = JU =
ε
U/(r + R + R
X
); отсюда, учитывая, что P = U
2
/R, находим
R
X
= (
ε
U – U
2
)/P – r . С другой стороны, R
X
= ρ×L/S , L = 2l
X
R
l
S
/
2



, где S - площадь поперечного сечения. Следовательно, m = dV = dLS =


r
P
U
U
P
l
d
R
l
d
X






2 2
4 4
≈ 15,1 кг.
Ответ: m =


r
P
U
U
P
l
d




2 4
≈ 15,1 кг.

5О. Теория:Законы преломления света. Явление полного (внутреннего) отражения. Полный ответ
должен содержать: Формулировку закона преломления света с определением входящих в нее понятий и величин, описание явления полного внутреннего отражения и формулу для угла полного внутреннего отражения.
Задача: В дно водоема глубиной a = 2 м вбита свая, которая на b = 0,75 м выступает из воды. Найти длину тени от сваи на дне водоема, если высота Солнца над горизонтом в данный момент

= 45

Показатель преломления воды n = 1,33.
Решение.
Длина тени от сваи на дне водоема l = l
1
+ l
2
= b ctg(φ) + a tg(r). Поскольку
n = sin(i’)/sin(r) = cos(φ)/sin(r), то, выражая tg(r) через φ, находим, что



2 2
cos cos




n
a
ctg
b
l
≈ 2м.
Ответ:



2 2
cos cos




n
a
ctg
b
l
≈ 2 м.
Вариант 2
5М. Теория: Свободные колебания. Превращение энергии при гармонических колебаниях. Затухающие колебания. Полный ответ должен содержать: Определение свободных и гармонических колебаний, описание превращений энергии при гармонических колебаниях, описание затухающих колебаний и примеры таких колебаний с указанием причины затухания.
Задача: Шарик, подвешенный на пружине, отвели от положения равновесия вертикально вниз на 3 см и сообщили ему начальную скорость 1 м/с, после чего шарик стал совершать вертикальные гармонические колебания с циклической частотой 25 рад/с. Найдите амплитуду этих колебаний.
Решение:
Запишем для шарика закон сохранения механической энергии: ½kx
0 2
+ ½mv
0 2
= ½kA
2

A
2
= x
0 2
+ v
0 2
/(k/m) = x
0 2
+ v
0 2
/ω
2
. Значит, A =
2 2
0 2
0
/ω
v x

= 5 см.
Ответ: A =
2 2
0 2
0
/ω
v x

= 5 см.
12М. Теория: Условия равновесия тела. Устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесии тел.
Полный ответ должен содержать: Запись условий равновесия тела и описание типов равновесия.
Задача: Правый конец доски, наполовину погруженной в воду, опирается о шероховатый уступ А.
Масса доски
m
. Определите величину силы реакции R
А
с которой уступ действует на доску.
А

Решение:
Обозначим F
A
силу Архимеда, тогда уравнение моментов относительно точки А:
g
m
F
l
F
l
mg
A
A
3 2
0 4
3 2




Так как сила Архимеда и сила тяжести направлены вдоль вертикали, то и полная сила реакции
(сумма сил нормальной реакции и трения) тоже направлена вдоль нее – вверх, поэтому:
mg
F
mg
R
R
mg
F
A
A
A
A
3 1
0







Ответ:
mg
R
A
3 1

7Т. Теория: Первый закон термодинамики. Понятие об адиабатическом процессе. Полный ответ
должен содержать: Формулировку I Начала термодинамики с определением входящих в него величин и объяснением их взаимосвязи, определение адиабатического процесса и объяснение закономерностей этого процесса.
Задача: С одним молем идеального одноатомного газа осуществляется цикл, состоящий из двух изохор
(1-2), (3-4) и двух адиабат (2-3), (4-1). При адиабатном расширении объем увеличивается в n раз.
Определите КПД цикла. Уравнение адиабаты можно представить в виде PV
γ
=const, где γ = const – показатель адиабаты.
Решение:
η = (Q
H
-Q
X
)/Q
H
, причем
Q
H
= Q
12
= 3/2R(T
2
-T
1
)
Q
X
= - Q
34
= 3/2R(T
3
-T
4
)
Запишем уравнение адиабаты и уравнение
Менделеева-Клапейрона:
const
V
T
RT
pV
const
V
p











1


Следовательно:
T
2
V
1
γ-1
= T
3
(nV
1
)
γ-1

T
2
= n
γ-1
T
3
T
1
V
1
γ-1
= T
4
(nV
1
)
γ-1

T
1
= n
γ-1
T
4
Таким образом, КПД цикла
η = 1 – (T
3
−T
4
)/(T
2
– T
1
) = 1 – (T
3
−T
4
)/(n
γ-1
T
3
−n
γ-1
T
4
) = 1 − n
1 − γ
.
Ответ: η = 1 − n
1 − γ
.
4Э. Теория: Электрический ток. Сила тока. Условия существования тока в цепи. Электродвижущая сила.
Полный ответ должен содержать: Определение понятия «электрический ток» и определение силы тока, формулировку условий существования тока, определение ЭДС и пояснение физического смысла этой величины.
Задача: В изображенной на рисунке схеме конденсатор имеет заряд q
1
= 10 мкКл. Определите заряд q
2
на конденсаторе, после замыкания ключа К. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Решение:
Если ключ разомкнут, то
J
1
=
ε
/2R, U
1
= J
1
R
=
ε
/2,
q
1
= CU
1
= C
ε
/2, =>
ε
= 2q
1
/C

Если ключ замкнут, воспользуемся правилами Кирхгофа и учтем симметрию ветвей с ЭДС:
I
+ I
=
I
2
I
2
R + IR =
ε
3 2
2

R
I
ε

C
q
U
3 4
1 2

q
2
= CU
2
= 4/3q
1
≈ 13 мкКл
Ответ: q
2
= 4/3 q
1
≈ 13 мкКл.
2О. Теория: Законы преломления света. Абсолютный и относительный показатели преломления.
Явление полного (внутреннего) отражения. Полный ответ должен содержать: Формулировку закона преломления света с определением входящих в нее понятий и величин, определение абсолютного и относительного показателей преломления и описание его физического смысла, описание явления полного внутреннего отражения и формулу для угла полного внутреннего отражения.
Задача: В плоской ванне с жидкостью на глубине h
0
=3 см помещен точечный источник света. Источник начинает смещаться по вертикали со скоростью V = 10
-3
м/c. На дне ванны находится плоское зеркало, а на поверхности, на высоте H=4 см от дна плавает непрозрачный диск радиусом R = 6 см. Центр диска расположен на одной вертикали с источником света. Через какое время t источник света станет виден для внешнего наблюдателя? Показатель преломления жидкости n =
2
Решение:
Пусть S, S
1
– источник света и его отражение в зеркале. Чтобы источник стал виден, угол

должен быть равен или меньше угла полного внутреннего отажения. В «пограничном» положении
n
1
sin


n
R
h
H
R
1
)
2
(
sin
2 2





Из этого уравнения определяем h:
1 2
2



n
R
H
h
м
см
h
2 10 2
2




Как видно, источник должен двигаться вверх, причем
c
V
H
n
R
h
V
h
h
t
10 2
1 2
0 0







Ответ: t = 10 с, если источник движется вверх. При движении вниз источник не станет виден даже при опускании на дно ванны.
Вариант 3
1М. Теория: Система отсчета. Траектория. Вектор перемещения. Путь. Скорость. Ускорение. Полный
ответ должен содержать: Определение всех перечисленных понятий и физических величин, описание их взаимосвязей.
Задача: Из одной точки над поверхностью земли одновременно вылетают две частицы с горизонтальными противоположно направленными скоростями v
1
= 4 м/с и v
2
= 9 м/с. Через какое время τ угол между направлениями скоростей этих частиц станет равным
90°?
Ускорение свободного падения
g ≈ 10 м/с.
S
1
S

*
R
H
*
*
h
h
0

Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
По условию α
1
+ α
2
= 90°; Заметим, что sinα
1
=
2 2
2 1
/


g
v
g

, cosα
2
=
2 2
2 2
2
/

g
v
v

= cos(90° − α
1
) = sinα
1
; таким образом:
2 2
2 2
2
/

g
v
v

=
2 2
2 1
/


g
v
g

⇒ (gτ)
2
(v
2
2
+ (gτ)
2
) = v
2
2
(v
1
2
+ (gτ)
2
)
⇒ v
1
v
2
= (gτ)
2
;
Следовательно, τ =
2 1
v
v
/g ≈ 0,6 с.
Ответ: τ =
2 1
v
v
/g ≈ 0,6 с.
10М. Теория:Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Полный ответ
должен содержать: Определение криволинейного движения, определение скорости и ускорения тела и описание разбиения ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты, формулы для их вычисления.
Задача: Пушечное ядро, выпушенное под углом

к горизонту с начальной скоростью v
0
, движется по некоторой траектории. Если по этой траектории полетит воробей с постоянной скоростью v
0
, то каким будет его ускорение на высоте, равной высоте наибольшего подъема ядра? Сопротивление воздуха при движении ядра не учитывать. Ускорение свободного падения равно g.
Решение:
Радиус кривизны траектории (общей для ядра и воробья) в верхней точке вычислим по величине ускорения ядра (оно равно g и направлено вниз, то есть перпендикулярно скорости ядра в этой точке):
g
v
g
v
R

2 2
0 2
cos


Ускорение воробья совпадает с его центростремительным ускорением (так как его скорость неизменна по модулю), и поэтому

2 2
0
cos
g
R
v
a


Ответ: ускорение воробья в верхней точке траектории

2
cos
g
a

4Т. Теория:Зависимость давления и плотности насыщенного пара от температуры. Зависимость температуры кипения от давления. Полный ответ должен содержать: Определение насыщенного пара и описание зависимости его давления и плотности от температуры с указанием характерных точек графика этой зависимости, описание зависимости температуры кипения от давления.
Задача: В закрытом с обоих концов цилиндре объемом V = 2 л свободно ходит невесомый тонкий поршень. В пространстве с одной стороны поршня вводится m
1
= 2 г воды; с другой стороны поршня m
2
= 1 г азота. Найти отношение объемов частей цилиндра при t = 100 °С. Молярная масса азота
μ
2
= 28∙10
-3
кг/моль, молярная масса воды μ
1
= 18∙10
-3
кг/моль.
Решение:
Установившееся давление не может быть больше давления насыщенных паров воды (p нас
≈ 101 кПа, при t = 100 °С). Если вся вода испарилась, то p < p нас
, тогда
pV
1
= m
1
RT/μ
1
;
p(V-V
1
) = m
2
RT/μ
2
;
p = (m
1
RT/μ
1
+ m
2
RT/μ
2
)/V = RT(m
1
/μ
1
+ m
2
/μ
2
)/V = 8,31∙373(2/18 + 1/28)/(2∙10
-3
) = 2,28∙10 5
Па;
p > p
нас
, то есть наше предположение неверно; следовательно не вся вода испарилась, и p = p
нас
p
нас
(V-V
1
) = m
2
RT/μ
2
;
(V-V
1
) = m
2
RT/(μ
2
p
нас
)
⇒ V
2
/V=(V-V
1
)/V = m
2
RT/(V μ
2
p
нас
)
⇒ V
1
/V = 1 – m
2
RT/(V μ
2
p
нас
);