Файл: Закон Архимеда. Полный ответ должен содержать.pdf

82
,
0 11 9
1 2
2 2
1




T
R
m
p
V
V
V
нас

Ответ: V
1
/V
2
≈ 9/11.
2Э. Теория: Закон Ома для полной цепи. Правила Кирхгофа.
Полный ответ должен содержать: Формулировку закона
Ома для полной цепи и правил Кирхгофа с определением входящих в них величин.
Задача:
Определите заряд, который пройдет через сопротивление R
1
после размыкания ключа K. Внутренне сопротивление источника
ЭДС
r = 10 Ом,
ε = 50 В,
R
1
= R
2
= R
3
= R
4
= 20 Ом, С = 10 мкФ.
Решение:
Так как через конденсатор постоянный ток не течет, то при замкнутом ключе К разность потенциалов на обкладках конденсатора равна падению напряжения U
2
на сопротивление R
2
. Так как R
2
и R
3
соединены между собой последовательно и оба они параллельны R
4
, то ток в ветви с источником
J
=
ε
(R
2
+ R
3
+R
4
)/(r(R
2
+ R
3
+ R
4
) + R
4
(R
2
+ R
3
))
Ток через сопротивление R
2
: J
2
=
ε
R
4
/(r(R
1
+ R
2
+ R
4
) + R
4
(R
2
+ R
3
)),
и падение напряжения на нем U
2
= J
2
R
2
=
ε
R
2
R
4
/( r(R
2
+ R
3
+ R
4
) + R
4
(R
2
+ R
3
)).
Следовательно, заряд на конденсаторе при замкнутом ключе
q
2
= CU
2
=
ε
CR
2
R
4
/(r(R
2
+ R
3
+ R
4
) + R
4
((R
2
+ R
3
))
После размыкания ключа К разность потенциалов на обкладках конденсатора будет равна падению напряжения U
3
на сопротивление R
3
. В этом случае сила тока J через R
3
: J =
ε
/(r + R
2
+R
3
), и падение напряжение на нем U
3
= JR
3
=
ε
R
3
/( r +R
2
+ R
3
). Значит, заряд на конденсаторе
q
3
= CU
3
=
ε
CR
3
/(r + R
2
+ R
3
)
Т.к. при размыкании ключа разность потенциалов между обкладками меняет знак, то заряд, проходящий через сопротивление R
1
, соединенное последовательно с конденсатором будет равен сумме зарядов q
1
и
q
3
, т.е. Δq = q
2
+ q
3
= С
ε
[ R
3
/(r +R
2
+ R
3
) +R
2
R
4
/(r(R
2
+ R
3
+ R
4
) + R
4
(R
2
+ R
3
))] ≈ 343 мкКл
Ответ: Δq = С
ε[
R
3
/(r +R
2
+ R
3
) +R
2
R
4
/(r(R
2
+ R
3
+ R
4
) + R
4
(R
2
+ R
3
))
]
≈ 343 мкКл
6О. Теория: Законы отражения света. Плоское зеркало. Полный ответ должен содержать:
Формулировку закона отражения света с определением входящих в нее понятий и величин, описание плоского зеркала и принципа построения изображений в плоском зеркале.
Задача: Человек, рост которого h = 1,75 м, находится на расстоянии l = 6 м от столба высотой H = 7 м.
На каком расстоянии от себя человек должен положить на Землю горизонтальное маленькое плоское зеркало, чтобы в нем видеть изображение верхушки столба?
Решение:
В соответствии с законом отражения света луч 1, падающий из вершины столба на зеркало, и луч 2, отраженный от зеркала и попадающий в глаз человека, лежат в одной плоскости, а угол падения i и отражения r равны: i = r. Если x – расстояние от человека до зеркала, то

tg (i) = (l − x)/H = tg (r) = x/h
⇒ x = h l / (H + h) = 1,2 м.
Ответ: x = h l / (H + h) = 1,2 м.
Вариант 4
8М. Теория: Закон сохранения механической энергии. Полный ответ должен содержать:
Определение кинетической, потенциальной и полной механической энергии, формулировку закона сохранения полной механической энергии.
Задача: Тело вращается на невесомой, нерастяжимой нити в вертикальной плоскости. При этом разность сил натяжения нити в нижней и в верхней точках траектории равна

Т = 60 Н. Определите массу тела. Ускорение свободного падения g = 10 м/с
2
. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Второй закон Ньютона для тела в верхней и нижней точках траектории в проекции на оси, направленные от тела к центру, имеют вид mv
1 2
/l = T
1
− mg, mv
2 2
/l = T
2
+ mg.
Из закона сохранения энергии получаем: mv
1 2
/2 − mv
2 2
/2 = 2 mgl, и поэтому
T
1
− T
2
=2mg + m(v
1 2
– v
2 2
)/l = 6mg = ΔT
⇒ m = ΔT/6g = 1 кг
Ответ: m = ΔT/6g = 1 кг.
9М. Теория: Первый, второй и третий законы Ньютона. Полный ответ должен содержать:
Формулировку законов Ньютона и краткое объяснение их физического содержания.
Задача: На некоторой планете может быть реализован следующий эксперимент. При плоских колебания математического маятника длиной L = 3 м, максимальная сила натяжения нити отличается от минимальной в k = 4 раза, если максимальный угол отклонения равен некоторому значению α. Такой же угол α c вертикалью образует нить маятника, если она вращается с периодом τ = 4 с вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса (конический маятник). Определите численное значение ускорения свободного падения на данной планете.
Решение:
Колебательное движение:
T
max
− mg = mv
2
/L; T
min
− mgcosα = 0; mv
2
/2 = mgL(1 − cosα); mv
2
/L = 2mg(1 − cosα) = 2mg − 2mgcosα;
T
max
= mg + 2mg − 2mgcosα = 3mg − 2mgcosα;
T
min
= mgcosα;
T
max
/T
min
= k = (3mg − 2mgcosα)/mgcosα => cosα = 3/(k + 2) = 3/6 = 1/2.
Вращательное движение — конический маятник: x: Tsinα = mω
2
Lsinα
⇒ T = mω
2
L; y: Tcosα = mg
⇒ mω
2
Lcosα = mg;
Следовательно: g = ω
2
L cosα = ω
2
L∙3/(k + 2) = (2π/τ)
2
L∙3/(k + 2) = 3,7 м/с
2
Ответ: g = (2π/τ)
2
L∙3/(k + 2) = 3,7 м/с
2
3Т. Теория: Внутренняя энергия системы. Количество теплоты и работа как меры изменения внутренней энергии. Понятие об адиабатическом процессе. Полный ответ должен содержать:
Определение внутренней энергии системы, описание связи ее изменений с количеством теплоты и работой (на основе I Начала термодинамики), определение адиабатического процесса и объяснение закономерностей этого процесса.
Задача: Сосуд с газом разделен теплопроводящей подвижной перегородкой на две части.
Первоначально температура газа в первой части была t
1
= – 73

C, а объем этой части – V
1
. Объем

второй части V
2
, а температура t
2
= 527

C. При выравнивании температур перегородка перемещается.
Когда температуры выровнялись, объем первой части стал равен V
2
. Найти температуру газа в конечном состоянии. Теплообмен с окружающей средой отсутствует. Деформациями и тепловым расширением стенок сосуда пренебречь.
Решение:
Уравнения Менделеева-Клапейрона до выравнивания температур: P
1
V
1
=

1
RT
1,
P
1
V
2
=

2
RT
2.
Из этих уравнений следует, что
1 1 2 2 1
2
T
T
V
V



(1).
После выравнивания температур: PV
2
=

1
RT,
PV
1
=

2
RT. Откуда следует
2 1
1 2
V
V



(2).
Из (1) и (2) следует, что
1 1
2 2
T
T



(3).
Поскольку по условию теплообмен с внешней средой отсутствует, а работу газы из частей сосуда совершают только друг на другом, то внутренняя энергия газа во всем сосуде не изменяется. Тогда


1 1
2 2
1 2
2 2
2
i
i
i
RT
RT
RT


 



, поэтому


1 1 2 2 1
2
T
T
T


 



Используя (3) в последнем выражении, получаем
2 1 1 2 1 2 1
2
T T
T T
T
TT
T
T




= 400 К.
Ответ:
1 2
T
TT

= 400 К.
7Э. Теория: Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Полный ответ должен содержать:
Формулировку закона электромагнитной индукции Фарадея и правила Ленца с определением входящих в них величин.
Задача: По двум медным шинам, установленным под углом

к горизонту, скользит под действием силы тяжести проводящая перемычка массой
m
и длиной
l
. Скольжение происходит в однородном магнитном поле с индукцией В. Поле перпендикулярно плоскости перемещения перемычки. Вверху шины соединены резистором сопротивлением R. Коэффициент трения скольжения между поверхностями шин и перемычки равен

(

<tg

). Пренебрегая сопротивлением шин и перемычки, найдите ее установившуюся скорость. Перемычка находится в горизонтальной плоскости и перпендикулярна шинам. Ускорение свободного падения g.
Решение:
В «установившемся» режиме величина ЭДС индукции
Bvl
t
Blvt
инд



,
R
Bvl
I

Скорость перемычки в этом режиме постоянна, поэтому сумма приложенных к ней сил равна нулю:
0
sin




mg
F
F
тр
A
, и при этом


cos
mg
F
тр

,
IBl
F
A

. Следовательно:
0
sin cos
2 2






mg
mg
R
v
l
B
⇒
⇒
2 2
)
cos
(sin
l
B
mgR
v





Ответ:
2 2
)
cos
(sin
l
B
mgR
v





1О. Теория: Тонкие линзы. Фокусное расстояние и оптическая сила линзы. Формула линзы. Полный
ответ должен содержать: Определение понятия «тонкая линза» с описанием границ применимости приближения тонкой линзы, определение точки фокуса, фокусного расстояния и оптической силы линзы, запись формулы линзы с определением входящих в нее величин.
Задача: В отверстие радиусом R = 1, 5 см в тонкой непрозрачной перегородке вставлена собирающая линза. Точечный источник света расположен на главной оптической оси линзы по одну сторону от перегородки. По другую сторону находится экран. Экран, соприкасающийся вначале с линзой, отодвигают от линзы. При этом радиус светлого пятна на экране плавно увеличивается и на расстоянии
L = 18 см от перегородки достигает значения r
1
= 3 см. Если линзу убрать, оставив экран на месте, то радиус пятна на экране станет r
2
= 4,5 см. Определите фокусное расстояние линзы.
F
А
F
тр
mg
B
R


Решение:
В соответствии с условием, преломленные в линзе лучи расходятся, то есть изображение источника мнимое (см. рис.) Пусть d - расстояние от источника до линзы, f – расстояние от мнимого изображения до линзы (по модулю). Из подобных треугольников имеем:
r
1
/R = (L +f)/f, откуда: f = LR/(r
1
– R) = 18 см;
r
2
/R = (L + d)/d, откуда: d = LR/(r
2
– R) = 9 см.
Фокусное расстояние найдем из формулы тонкой линзы (знак «минус» связан с тем, что изображение является мнимым):
1/d – 1/f = 1/F
⇒ F = df/(f – d) = LR/(r
2
– r
1
) = 18 см.
Ответ: F = LR/(r
2
– r
1
) = 18 см.
Вариант 5
4М. Теория: Гармонические колебания. Смещение, амплитуда и фаза при гармонических колебаниях.
Полный ответ должен содержать: Определение гармонических колебаний, определение перечисленных в вопросе физических величин и описание взаимосвязи между ними.
Задача: Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси X с амплитудой A = 5 см и циклической частотой ω = 5 рад/с. Найдите модуль ускорения точки в те моменты, когда ее скорость равна v
1
= 7 см/с.
Решение:
Совместим начало отсчета по оси X с положением равновесия точки. Тогда x = Asin(ωt + φ); v
x
(t) = x' = Aωcos(ωt + φ); a
x
(t) = x'' = − Aω
2
sin(ωt + φ).
Моменты времени, когда модуль скорости точки равен v
1
, найдем из равенства v
1
= |Aωcos(ωt
1
+ φ)|.
Чтобы найти ускорение в интересующие нас моменты, определим
|sin(ωt
1
+ φ)| =


2 1
1 2
/
1
)
(
cos
1
A
v
t







Таким образом, a = ω
2 1
2 2
v
A


= 1,2 м/с
2
Ответ: a = ω
2 1
2 2
v
A


= 1,2 м/с
2
14М. Теория: Закон Паскаля. Гидравлический пресс. Полный ответ должен содержать:
Формулировку закона Паскаля и определение давления, описание применения этого закона к объяснению принципа работы гидравлического пресса.
Задача: Тонкая струя воды выпущена из точки, находящейся на высоте h над землей под некоторым углом к горизонту. Найти начальную v
0
и конечную v
1
скорости струи, если отношение диаметра струи в нижней точке траектории к диаметру выходного отверстия равно n. Струя не распадается на капли и

диаметр струи много меньше дальности полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Объем воды, проходящей в единицу времени через любое сечение S струи, остается постоянным. Тогда
v
0
S
0
= v
1
S
1
(1), где v
0
– начальная скорость струи, v
1
– скорость струи у поверхности земли,
2 0
0 4
d
S


- площадь сечения выходного отверстия,
2 1
1 4
d
S


Из (1) следует, что
2 2
0 0 1 1
v d
v d

, или v
0
= v
1 n
2
(2),
Закон сохранения энергии для небольшой массы воды

m
2 2
0 1
2 2
mv
mv
mgh


 

, или
2 2
0 1
2
v
gh v


(3).
Решая совместно (2) и (3) относительно v
0
и v
1
, получаем
2 0
4 2
1
gh
v
n
n


,
1 4
2 1
gh
v
n


Ответ:
2 0
4 2
1
gh
v
n
n


,
1 4
2 1
gh
v
n


1Т. Теория: Идеальный газ. Уравнение Клапейрона – Менделеева (уравнение состояния идеального газа). Полный ответ должен содержать: Описание модели идеального газа и обсуждение возможности применения ее к реальным газам, запись уравнения Клапейрона-Менделеева и определения входящих в нее величин.
Задача: В вертикальном гладком цилиндре с площадью сечения S = 5 см
2
под поршнем массой
М = 1 кг находится некоторый газ. При увеличении абсолютной температуры газа в n = 1.5 раз поршень поднимается вверх и упирается в уступы. При этом объем газа по сравнению с первоначальным увеличивается в k = 1.2 раза. Определить силу F, с которой поршень давит на уступы.
Атмосферное давление
p
0
= 100 кПа. Ускорение свободного падения g ≈ 10 м/с
2
Решение:
Поскольку количество газа в сосуде не меняется, то
2 2
2 1
1 1
T
V
P
T
V
P

⇒
k
n
P
T
V
T
V
P
P
1 1
2 2
1 1
2


- давление в цилиндре после нагрева.
Но из условий равновесия поршня можно найти, что
S
Mg
p
P


0 1
, а
S
Mg
S
F
p
P



0 2
. Следовательно,
k
n
S
Mg
p
S
Mg
S
F
p
)
(
0 0




⇒
Н
Mg
S
p
k
n
F
15
)
)(
1
(
0




Ответ:
Н
Mg
S
p
k
n
F
15
)
)(
1
(
0




6Э. Теория: Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Полный ответ должен
содержать: Изложение представлений о магнитном поле и определение индукции поля как его силовой характеристики, описание действия магнитного поля на движущийся заряд, формулу силы
Лоренца с определением входящих в нее величин.
Задача: Отрицательно заряженная частица влетает в область однородного магнитного поля с индукцией
В = 10
-3
Тл, где движется по дуге окружности радиусом R = 0,2 м. Затем частица попадает в однородное электрическое поле, где пролетает вдоль направления силовой линии участок с разностью потенциалов
U = 10 3
B, при этом скорость частицы изменяется в 3 раза. Определите конечную скорость
v
k частицы.
Решение:
Движение по окружности в магнитном поле:
B
qv
R
mv
0 2
0

⇒
0
v
BR
q
m

, где
0
v
- скорость частицы в магнитном поле.

Пусть, например, после движения в электрическом поле
0 3
1
v
v
k

. Тогда изменение кинетической энергии
qU
mv
mv
k


2 2
2 2
0
⇒
c
м
BR
U
v
k
/
10 75 3
4 3
6



Если же
0 3v
v
k

, то
qU
mv
mv
k


2 2
2 0
2
, но ответ для конечной скорости не изменяется!
Ответ:
c
м
BR
U
v
k
/
10 75 3
4 3
6



3О. Теория: Фокусное расстояние и оптическая сила линзы. Полный ответ должен содержать:
Определение понятия «линза», описание линз и их классификацию, определение точки фокуса, фокусного расстояния и оптической силы линзы.
Задача: На экране, расположенном на расстоянии f = 60 см от собирающей линзы, получено изображение точечного источника, находящегося на главной оптической оси линзы. На какое расстояние
Х переместится изображение на экране, если при неподвижном источнике переместить линзу на

= 2 см в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси? Фокусное расстояние линзы F = 20 см.
Решение:
Ясно (например, исходя из формулы линзы), что изображение сместится вдоль экрана.
Из построения видно, что:
f
X
F


⇒
6



F
f
X
см
Ответ:
см
F
f
X
6




Х
F
экран