ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 38
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Вариант 1.
-
Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти деталей две стандартные, если вероятность того, что каждая деталь окажется стандартной, равна 0,9.
Решение.
???? = 0,9; ???? = 1 − 0,9 = 0,1
???? = 5; ???? = 2
Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:
????
????????(????) = ????????????????????????−????.
???????? = ????!
????
???? = ???? (2) = ????2 · ????2 · ????3 = 5!
????! (???? − ????)!
· 0,92 · 0,13 = 10 · 0,92 · 0,13 = 0,0081
5 5 2! · 3!
Ответ: 0,0081.
-
Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых каждым из них при одном выстреле, являются случайными величинами и
2, которые характеризуются следующими законами распределения:
| Число очков | 3 | 4 | 5 |
| Вероятность | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
| Число очков 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Вероятность | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,5 |
Результаты стрельбы одного стрелка не влияют на результаты стрельбы второго. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых данной командой, если стрелки сделают по одному выстрелу.
Найдём закон распределения случайной величины = .
Заполним расчетную таблицу:
| ???? = X + ???? | ????ij = ????i * ????j |
| 3 + 1 = 4 | 0,2 * 0,1 = 0,02 |
| 3 + 2 = 5 | 0,2 * 0,1 = 0,02 |
| 3 + 3 = 6 | 0,2 * 0,1 = 0,02 |
| 3 + 4 = 7 | 0,2 * 0,2 = 0,04 |
| 3 + 5 = 8 | 0,2 * 0,5 = 0,10 |
| 4 + 1 = 5 | 0,3 * 0,1 = 0,03 |
| 4 + 2 = 6 | 0,3 * 0,1 = 0,03 |
| 4 + 3 = 7 | 0,3 * 0,1 = 0,03 |
| 4 + 4 = 8 | 0,3 * 0,2 = 0,06 |
| 4 + 5 = 9 | 0,3 * 0,5 = 0,15 |
| 5 + 1 = 6 | 0,5 * 0,1 = 0,05 |
| 5 + 2 = 7 | 0,5 * 0,1 = 0,05 |
| 5 + 3 = 8 | 0,5 * 0,1 = 0,05 |
| 5 + 4 = 9 | 0,5 * 0,2 = 0,10 |
| 5 + 5 = 10 | 0,5 * 0,5 = 0,25 |
В случае совпадения некоторых сумм соответствующие вероятности складываются:
????(???? = 5) = 0,02 + 0,03 = 0,05
????(???? = 6) = 0,02 + 0,03 + 0,05 = 0,10
????(???? = 7) =
0,04 + 0,03 + 0,05 = 0,12
????(???? = 8) = 0,10 + 0,06 + 0,05 = 0,21
????(???? = 9) = 0,15 + 0,10 = 0,25
Таким образом, закон распределения случайной величины ???? = X + ????
примет вид:
| ???? | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ???? | 0,02 | 0,05 | 0,10 | 0,12 | 0,21 | 0,25 | 0,25 |
Убеждаемся в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице. Действительно,
∑ ????i = 0,02 + 0,05 + 0,10 + 0,12 + 0,21 + 0,25 + 0,25 = 1
Ответ:
| ???? | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| ???? | 0,02 | 0,05 | 0,10 | 0,12 | 0,21 | 0,25 | 0,25 |
Вариант 2.
-
В магазин поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 45% и третьей – 35% изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, и для третьей – 4%. Чему равна вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на ПЕРВОЙ фабрике?
Решение.
????1 − продукция поступила с первой фабрики.
????(????1
) = 20
100= 0,2
????2 − продукция поступила со второй фабрики.
????(????2
) = 45
100= 0,45
????3 − продукция поступила с третьей фабрики.
????(????3
) = 35
100= 0,35
???? − изделие оказалось нестандартным. Условные вероятности этого события равны:
????????1 (????) = 0,03; ????????2 (????) = 0,02; ????????3 (????) = 0,04
По формуле полной вероятности имеем:
????(????) = ∑????(????i) · ????????i(????);
????(????) = 0,2 * 0,03 + 0,45 * 0,02 + 0,35 * 0,04 = 0,029
Вероятность того, что оказавшееся нестандартным изделие произведено на первой фабрике, найдем по формуле Байеса:
???? (???? ) = ????(????i) * ????????i(????)
???? i
????(????)
???? (????
) = ????(????1) * ????????1 (????) = 0,2 * 0,03 ≈ 0,2069
???? 1
????(????)
0,029
Ответ: 0,2069.
-
Найти дисперсию случайной величины X, имеющей следующий закон распределения
| Значение X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Вероятность | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Решение.
Математическое ожидание:
????(X) = ∑ ????i????i
????(X) = 1 · 0,1 + 2 · 0,2 + 3 · 0,3 + 4 · 0,3 + 5 · 0,1 = 3,1
Дисперсия:
????(X) = ????(X2) − ????2(X);
????(X) = 12 · 0,1 + 22 · 0,2 + 32 · 0,3 + 42 · 0,3 + 52 · 0,1 − (3,1)2 = 1,29
Ответ: ????(????) = 1,29
Вариант 3.
-
Завод изготовил две партии автомобилей. Первая партия в три раза больше второй. Надежность автомобилей первой партии 0,9, второй 0,8. Определить вероятность того, что наугад купленный автомобиль будет надежным.
Решение.
Пусть ???? автомобилей изготовлено второй партией, тогда первой партией изготовлено 3???? автомобилей.
???? + 3???? = 1; 4???? = 1; ???? = 14
????1 − автомобиль изготовлен первой партией. ????(????1) = 3 4 = 0,75
????2 − автомобиль изготовлен второй партией. ????(????2) = 1 4 = 0,25
???? − купленный автомобиль будет надежным.
Условные вероятности этого события равны:
????????1 (????) = 0,9; ????????2 (????) = 0,8
По формуле полной