Файл: Целые и рациональные числа.pdf

Дисциплина:
Алгебра
Дата
Третье апреля
Классная работа
Тема:
Целые и рациональные числа.
1
Ребята, сегодня мы приступаем к изучению блока темы «Действительные числа». Мы рассмотрим следующие вопросы:
1. Множество натуральных чисел
2. Множество целых чисел
3. Множество рациональных чисел
4. Конечные десятичные дроби
5. Бесконечные десятичные дроби
6. Бесконечная периодическая десятичная дробь.
2
Устная работа
(в качестве разминки попробуйте вычислить данные примеры устно)
:
Вычислите:
4 1
5
+ 2 1
2
= 6 7
10
Вычислите:
15 − 5 7
11
= 9 4
11
Вычислите:
16,2 + 3 4
5
− 25,56 = −5,56
Вычислите:
(2 3
7
− 3 4
7
) ÷ 2 = −
4 7
3
Объяснение новой темы:
Внимательно изучите предложенный материал. Основные понятия выпишите в тетрадь.
1.
Множество
натуральных чисел:
Числа, которые мы используем при счете предметов, называются натуральными. При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа.
Однако разность и
частное натуральных чисел не всегда являются натуральными числами.
2.
Множество
Дополним множество натуральных чисел, нулем и отрицательными числами(т.е. числами

целых чисел
противоположными натуральным). Мы получим множество целых чисел. Надо заметить, что при сложении, вычитании, умножении целых чисел, всегда образуются целые числа.
Однако частное
двух целых чисел, не обязятельно будет целым числом.
3.
Множество
рациональных чисел
Введение рациональных чисел, то есть чисел вида
????
????
, где
???? – целое число, ???? – натуральное число,
дает возможность находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю.
Каждое целое число
???? также является рациональным, так как его можно представить в виде
????
????
При выполнении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) над
рациональными числами всегда получаются рациональные числа.

4.
Конечные
десятичные дроби
Если рациональное число можно представить в виде дроби
????
10
????
, где ????
– целое число,
???? – натуральное число, то его можно записать
в виде конечной десятичной дроби
Например,
456 100
=
456 10 2
можно записать
4,56.
Например,
−
14 10
= −
14 10 1
= −1,4
5.
Бесконечные
десятичные дроби
Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например
1 7
, −
3 11
,
5 19
Если, например, попытаться записать число
1 3
в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель, то получится бесконечная десятичная дробь
0,333 …
Бесконечную деятичную дробь
0,333 … называют периодической, а повторяющуюся
цифру 3 - ее периодом.
Коротко записывают так:
0, (3) (ноль целых три десятых в периоде)
6.
Бесконечная
периодическая
десятичная дробь.
Определение
Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.
3
Решение ключевых
задач.
Разберите устно решения предложенных задач.
Задача 1. Записать число
27 11
в виде бесконечной десятичной дроби.
Решение:
27 ÷ 11 =
2,454545454545 = 2, (45)
Задача 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь
0,2(18) в виде
обыкновенной.
Решение:
1.Пусть
???? = 0,
????
(18) = 0,2181818 …. Так как в записи этого числа до периода
содержится
только один десятичный знак
, то, умножая на 10, получаем

???????????? = ????, ???????????????????????? … (1)
2)Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части последнего
равенства на
10 2
= 100, находим
???????????????????? = ????????????, ???????????????????????? … (2)
3)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
???????????????? = ????????????
???? =
????????????
????????????
=
????????
????????
4
Решение тренировочных упражнений из учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» на закрепление темы:
№1. Записать в виде десятичной дроби:
Решение:
2 ÷ 3 =
0,6666..
8 ÷ 7 =
1,14285714..
3 ÷ 5 =
0,5
−3 ÷ 4 =
−0,75
−8 − 2 ÷ 7 =
−8,2857142857143 13 ÷ 99 =
0,13131. .
№2. Выполнить действия и записать результат в виде десятичной дроби:
=
???????? + ????????
????????
=
????????
????????
=
????, ???????????????????????????????????? …
=
???????? + ????????
????????
=
????????
????????
=
????, ???????????????????????????????????????????????? …
=
????
????
+
????????????
????????????
=
????
????
+
????
????
=
???? + ????????
????????
=
????????
????????
=
????, ???????????????????????????? …
=
????
????
+
????????
????????????
=
???????????? + ????????????
????????????
=
????????????
????????????
=
????????????
????????????
=
????, ???????????????????? …
=
????
????????
∙
????????????
????????????
=
????????????
????????????????
=
????
????????
=
????, ????????????
=
????
????
∙
????????
????????
=
????????????
????????
=
????, ???????????????????? … ..
№4.Вычислить:
1)
????????, ???????? ⋮ ???????? = ????, ???????? 2) ???????? ⋮ ????, ???????? = ???????????? 3) ????, ???????? + ???????????? = ????????????, ???????? 4) ????????, ???????? + ????????, ???????? = ????????, ???????? 5)????????????, ???????? ⋮ ????????, ???????? =
????

1)
????
????????
∙ ???? =
????∙????
????????
=
????
????
2)
???? ∙
????????
????????
=
????∙????????
????????
=
????????
????
3)
????
????????
∙
????
????????
=
????∙????
????????∙????????
=
????
????
4)
????
????
+
????????
????
+
????
????
=
????????
????
№5.Вычислить:
5
Самостоятельная работа
Закончите предложения таким образом, чтобы высказывание стало истинным
1. Натуральное число делится на 3 если, …….
сумма цифр этого числа делится на 3
2. Натуральное число делится на 4 если, …….
две его последние цифры нули или число, кратное 4.
3. Натуральное число делится на 5 если, …….
если число оканчивается на цифру ноль или цифру 5
4. Натуральное число делится на 9 если, …….
сумма цифр этого числа делится на 9
5. Каждое натуральное число можно записать в виде бесконечной периодической дроби с периодом…..
ноль
6. Каждое целое число можно записать в виде бесконечной периодической дроби с периодом…..
ноль
Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде десятичной по образцу
1, (4) = 1 4
9
Решение:
???? = 1, (4) = 1,4444 … … .. Так как в записи нашего числа
до периода содержится
только один десятичный знак
,
то, умножая на 10, получаем
1)
10???? = 14,444 ….
Период нашей дроби состоит из одной цифры.
Поэтому, умножая обе части последнего равенства на
10 1
= 10, находим
2)
100???? = 144,444….
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
3)
90???? = 130
???? =
130 90
=
13 9
=
????
????
????
2, (8) = 2 8
9
Решение:
???? = 2, (8) = 2,8884 … … .. Так как в записи нашего числа
до периода содержится
только один десятичный знак
,
то, умножая на 10, получаем
1)
10???? = 28,888 ….
Период нашей дроби состоит из одной цифры.
Поэтому, умножая обе части последнего равенства на
10 1
= 10, находим
2)
100???? = 288,888 ….
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
3)
90???? = 260
???? =
260 90
=
26 9
= 2 8
9

0, (13) =
13 99
Решение:
???? = 0, (13) = 0,1313 … … .. Так как в записи нашего
числа до периода содержится
только один десятичный
знак
, то, умножая на 10, получаем
1)
10???? = 1,31313 ….
Период нашей дроби состоит из двух цифр. Поэтому,
умножая обе части последнего равенства на
10 2
= 100,
находим
2)
1000???? = 131,31313.….
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
3)
990???? = 130
???? =
130 990
=
????????
????????
−0, (15) = −
15 99
Решение:
???? = 0, (15) = 0,1515 … … .. Так как в записи нашего
числа до периода содержится
только один десятичный
знак
, то, умножая на 10, получаем
1)
10???? = 1,51515 ….
Период нашей дроби состоит из двух цифр. Поэтому,
умножая обе части последнего равенства на
10 2
= 100,
находим
2)
1000???? = 151,51515.….
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
3)
990???? = 150
???? =
150 990
=
????????
????????
Итак,
0, (15) =
15 99
, значит
−0, (15) = −
15 99 0,12(15) =
401 3300
6
Домашнее задание: Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь в виде десятичной
4,2(6) = 4 4
15