Файл: П16.doc

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим:

отсюда имеем .

Наименьший корень этого трансцендентного уравнения прини­мает значение: bl = 1.875.

Учитывая соотношение (5.86), находим частоту основного (наи­меньшего) тона колебаний:

.

5.11. Вопросы для самоконтроля

1. Поясните основные задачи динамической теории инженерных конструкций.

2. Какие виды динамических нагрузок можете перечислить?

3. Какое явление называется резонансным?

4. Какие колебания называются свободными или собственными?

5. Какие колебания называются вынужденными?

6. Дайте определение понятий круговой и фазовой частоты соответственно.

7. Дайте определение периода собственных и вынужденных колебаний соответственно.

8. Что называется числом собственных колебаний заданной системы.

9. Перечислите основные подходы применяемые при решении задач динамики.

10.Сформулируйте понятие сила инерции и сила сопротивления по Фойгту.

11. Дайте определение понятий, что означает консервативные и неконсервативные системы.

12. Дайте определение понятия система с конечным числом степеней свободы.

13. Дайте определение понятия система с распределенными параметрами.

14.Сформулируйте условия ортогональности собственных колебаний.

15.Сформулируйте понятие собственные формы колебания.

16.Сформулируйте понятие собственные частоты колебаний.

17.Дайте определение коэффициента динамичности для системы с одной степенью свободы.

18.Поясните причины возникновения сейсмических колебаний сооружений.

19.Поясните суть спектрального метода теории сейсмостойкости.

20.Поясните понятие коэффициенты разложения и коэффициенты формы колебаний.

Раздел 6. Изгиб и кручение тонкостенных стержней

6.1. Общие положения и основные особенности расчета

В настоящее время в машиностроении, авиации, строительстве, железнодорожном транспорте все больше используются конструк­ции, выполненные из тонкостенных и штампованных профилей или просто из тонколистовой стали. Эти конструкции обеспечива­ют высокую жесткость и прочность при сравнительно небольшом весе, поэтому их применение в технике является весьма экономич­ным. На железнодорожном транспорте это элементы тележек, сте­нок локомотивов, вагонов и многих других конструкций.

---

Специфика расчета этих конструкций на прочность породила особую расчетную схему - схему тонкостенного стержня.

Основным признаком тонкостенного стержня является харак­терное отношение его геометрических размеров. В поперечном се­чении одно из измерений (толщина) существенно меньше другого- срединной длины контура s. Последняя в свою очередь намного меньше, чем длина стержня l (рис. 6.1).

Длина контура для тонкостенного стержня, представленного на рис. 6.1:

s = h + 2b.

Следовательно, характерные размеры тонкостенных стер­жней открытого профиля взаимосвязаны и меняются в преде­лах и.

Рис. 6.1

Основные положения теории тон­костенных стержней были даны С.П. Тимошенко. Полное и общее развитие эта теория получила в трудах В.З. Власова и потому обычно назы­вается теорией Власова.

Тонкостенный стержень, как рас­четная схема, сохраняет в себе основ­ные свойства обыкновенного стержня и формулы сопротивления материа­лов, связанные с растяжением (сжа­тием), изгибом и кручением бруса, остаются в основном справедливыми.

Вместе с тем, тонкостенный стержень в силу геометрических соотношений обнаруживает свойства, существенно отличающие его от стержней сплошного сечения. При некоторых видах загружения не соблюдается гипотеза плоских сечений, происходит так называе­мая депланация сечения за счет неравномерной деформации стерж­ня вдоль его оси. Иными словами, не соблюдается принцип Сен-Венана - глубина «проникновения» краевых особенностей вдоль оси существенно больше, чем в сплошном стержне.

Вообще говоря, сравнительная оценка нормальных и касатель­ных напряжений s и t в поперечных сечениях бруса при переходе от сплошного сечения к тонкостенному профилю существенно меняется, и этот вопрос требует особого изучения.

Рис. 6.2

При кручении тонкостенных стержней и вообще стержней с некруглым поперечным сплошным сечени­ем, поперечные сечения плоские до дефор­мации, искривляются по некоторой поверх­ности w(x, y, z) (рис. 6.2), что называется депланацией сечения. По характеру фор­мирования депланаций сечения по длине стержня, следует различать два типа круче­ния стержней: свободное и стесненное.

---

Если депланация во всех поперечных сечениях одинакова по длине стержня или иначе w(x, y, z) = w(x, y), т.е. она является постоянной и не зависит от z, то такое кручение называется сво­бодным. При переменных депланациях по длине стержня, кручение называется стесненным.

При свободном кручении в поперечных сечениях стержня воз­никают только касательные напряжения, а при стесненном кру­чении, наряду с касательными возникают и нормальные напряже­ния. Эффект от неравномерной депланации сечения по его длине наиболее существенен для стержней открытого профиля.

После определения полной системы внешних сил, заметим, что порядок вычисления напряжений и перемещений в тонкостенном стержне закрытого профиля при свободном кручении принципи­ально ничем не отличается от метода расчета обычных стержней[8]. Поэтому, здесь этому вопросу специальное внимание не уделяется.

---

6.2. Секториальная площадь

В дополнение к уже известным геометрическим характеристи­кам сечений (F - площадь поперечного сечения; S_x, S_v - статиче­ские моменты сечения; J_x, J_v, J_xy - осевые и центробежный момен­ты инерции) введем ряд новых. Эти характеристики свойственны только тонкостенным стержням и определяются на основе понятия секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис. 6.3). Срединная линия - это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из заданного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрезка ds. Удвоенную площадь треугольника PAB обозначают через d w.

Рис. 6.3

Очевидно, что

d w = r d s, (6.1)

где r - расстояние от полюса Р до каса­тельной к линии контура в точке А.

Интеграл

, (6.2)

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­чиваемую радиус-вектором РА при движении т. А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиус-век­тор вращается по часовой стрелке, приращение площади d w имеет знак плюс, против часовой стрелки - минус.

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом конкретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

Рис. 6.4

В качестве примера по­строим эпюру секториальной площади для контура, приве­денного на рис. 6.4, а. Выби­раем в качестве полюса точ­ку P, а за начало отсчета при­нимаем точку 0 (рис. 6.4, а).

Рассмотрим участок 0-3. На этом участке 0 £ s £ a. Век­тор r вращается по часовой стрелке, следовательно эпюра w имеет знак плюс:

---

w_0-3 = +a s;   w₀ = 0;   w₃ = a² .

На участке 3-4, 0 £ s £ a, вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

w_3-4 = a² - a s;   w₃ = a² ;   w₄ = 0.

На участке 0-2, 0 £ s £ a, вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

w_0-2 = -a s;   w₀ = 0;   w₂ = -a² .

На участке 2-1, 0 £ s £ a, вектор r вращается по часовой стрелке, то есть приращение площади будет положительным:

w_2-1 = - a² +a s;   w₂ = -a² ;   w₁ = 0.

Эпюра секториальной площади w приведена на рис. 6.4, б.

Отметим, что при переносе полюса секториальная площадь ме­няется на величины, линейно зависящие от координат x и y, т.е.:

, (6.3)

где и- секториальная площадь относительно нового Р₀ и старого полюса Р', соответственно; x_c, y_c, x₀, y₀ - координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.

6.3. Секториальные характеристики и их определение

Наряду с общепринятыми, для тонкостенных стержней вводят­ся дополнительные характеристики поперечных сечений.

Секториально статический момент поперечного сечения:

, м⁴ .

Секториально линейные моменты площади поперечного сечения:

и , м⁵ .

Секториальный момент инерции поперечного сечения:

, м⁶ .

Окончательные выражения секториальных характеристик, исхо­дя из предположения, что толщина тонкостенного сечения по все­му контуру постоянна и равна d.

---