Файл: П16.doc

При поперечном изгибе или кручении всегда существует такая точка, относительно которой момент от касательных сил, возни­кающих в поперечном сечении, равен нулю. Эта точка называется центром изгиба или кручения. Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба или центр кручения совпадают с центром тяжести.

Положение центра изгиба (или кручения) не зависит от дейст­вующих на стержень сил, а зависит только от формы и размеров поперечного сечения тонкостенного стержня.

При стесненном кручении центр кручения, а также начало отсчета секториальной площади не могут быть выбраны произ­вольно. Эти точки должны быть выбраны так, чтобы секториально линейные моменты, а также секториально статический момент бы­ли равны нулю, т.е.:

(6.4)

Выполнение условий первых двух условий из (6.4) зависит только от выбора координат полюса. Выполнение же третьего из условий (6.4) зависит от выбора начала отсчета 0.

Эпюра w, построенная при полюсе, в качестве которого взят центр изгиба, и удовлетворяющая третьему уравнению (6.4), носит название эпюры главной сектроиальной площади.

Положение центра изгиба и секториальные характеристики се­чения на практике определяются в следующей последовательности.

Сначала выбирается положение полюса Р и строится эпюра секториальной площади w¢ относительно полюса.

Далее определяются величины иотносительно по­люсаP и вычисляются координаты центра изгиба по формулам:

и . (6.5)

Определяется секториальнаю площадь относительно центра из­гиба по формуле (6.3) и вычисляется секториaльно стaтический мо­мент поперечного сечения по формуле:

,

как площадь эпюры w₀, умноженную на d.

Далее определяется постоянная D из третьего условия (6.4) по формуле:

(6.6)

и строится эпюра главной секториальной площади:

---

. (6.7)

---

6.4. Общий случай нагружения тонкостенного стержня. Бимомент

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­костенного бруса можно представить в виде следующего выраже­ния:

, (6.8)

где w₀ , j_x и j_y характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y; g - удельный угол закручивания относительно продоль­ной оси z, w - эпюра главной секториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

. (6.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений s, при­мут вид:

(6.10)

Здесь через B_w обозначена новая силовая характеристика, назы­ваемая бимоментом, размерность которой будет кН×м².

В результате совместного рассмотрения (6.9) и (6.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

. (6.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изме­нения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Рис. 6.5

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фак­тором и по методу сечений не может быть определен. Следова­тельно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопре­делимой. Например, если на­грузить стержень двутаврово­го сечения четырьмя равны­ми силами Р (рис. 6.5), бимо­мент в торцевом сечении бу­дет равен:

, (6.12)

где w_i - значение секториаль­ной площади для точки при­ложения силы P_i, т.е.:

---

.

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты M_x , M_y равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

. (6.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Q_x, Q_y- поперечные силы, от касательных напряжений t_x, t_y ; M_x, M_y -изгибающие моменты, от нормальных напряжений s_z ; M_z - кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений t_g; B_w - бимомент от действующих нормальных напряжений s_w, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; M_w - изгиб­но-крутящий момент от дополнительных касательных напря­жений t_w .

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в табл. 6.1, где приняты следующие обозначения: u, v - перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y; - соответственно, статические моменты относитель­но координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция g(z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

. (6.14)

Подставляя в (6.10) значения M_w и M_g из табл. 6.1, получим:

. (6.15)

Дифференцируя (6.15) по z, имеем:

, (6.16)

Таблица 6.1

---

Силовой фактор	Усилие	Напряжение
Поперечная сила Qx , Qy	,	,
Изгибающий момент Mx , My		,
Крутящий момент при свободном кручении тонкостенного стержня постоянной толщины стенки d, Mz
Крутящий момент при стеснен­ном кручении тонкостенного стер­жня постоянной толщины стенки d, Mw
Бимомент Bw

Рис. 6.6

или

, (6.17)

где - изгибно-крутиль­ная характеристика поперечного сечения стержня; -распре­деленный крутящий момент.

---