Файл: П241.doc

Принимая во внимание результаты расчетов по методу допус­каемых напряжений и по методу предельного равновесия, соот­ветственно (9.26) и (9.28), составим отношение:

.

Следовательно,

т.е. несущая способность рассматриваемой системы по результатам расчетов метода предельного равновесия в 1.69 раза больше, неже­ли по методу допускаемых напряжений.

9.6. Вопросы для самопроверки

1. Поясните суть метода допускаемых напряжений.

2. Поясните суть метода предельного равновесного состояния.

3. Поясните суть кинематического метода предельного равновесного состояния.

4. Поясните суть статического метода предельного равновесного состояния.

5. Дайте определение понятия пластического шарнира при изгибе конструкций.

10. Расчет конструкций на надежность

10.1.Общие положения расчета на надежность

В разделе 1 отмечалось, что при выполнении расчетов инженерная конструкция представляется в виде расчетной схемы, которая состоит из условных элементов с определенной прочностью и включает условно представленные нагрузки и воздействия. Такая расчетная схема лишь приближенно отражает фактические свойства реальной конструкции, т.к. предполагает детерминированность (т.е. полную определенность) прочностных свойств материалов, внешних воздействий и геометрических размеров.

Между тем очевидно, что все перечисленные расчетные параметры являются случайными. Так одинаковые элементы конструкции, испытываемые по строго определенной программе, показывают различную величину прочности. Большую изменчивость (т.е. неопределенность) имеют некоторые внешние воздействия, например снеговая и ветровая нагрузки, которые могут изменяться от нуля до некоторых пределов. Значительно меньшей изменчивостью, вызванной неточностью изготовления и монтажа конструкций, обладают геометрические размеры.

При проектировании инженерных конструкций вероятностный характер расчетных параметров учитывается с помощью соответствующих коэффициентов запаса по нагрузкам, по материалам и т.д., которые не имеют достаточного теоретического и экспериментального обоснования и не учитывают факторы случайной природы в явном виде. Для более объективного отражения поведения конструкций в эксплуатации их расчет должен базироваться на теории надежности, основанной на аппарате теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций. Тогда все прочностные и геометрические характеристики конструкций, а также все воздействия на них представляются в виде случайных величин или случайных процессов, если воздействие зависит от времени. В дальнейшем ограничимся рамками случайных величин.

---

В теории надежности разработана определенная система понятий и терминов. Надежностью называется способность объекта выполнять свои функции в течении установленного срока службы. Реализация состояний объекта, при которых он не может выполнять свои функции, называется отказом. За отказ в работе конструкции в зависимости от вида решаемой задачи может быть принято: появление краевой текучести, т.е. переход в наиболее опасных точек в наиболее опасных сечениях в пластическую стадию деформирования; превращение конструкции в механизм; потеря устойчивости; возникновение недопустимых перемещений и т.д. Надежность является качественной характеристикой, которая оценивается количественными показателями. Основным показателем надежности, через который могут быть определены все другие, является вероятность отказа за время эксплуатации. Часто используется величина, называемая вероятностью безотказной работыили надежностьюН, которые связаны с вероятностью отказа соотношением:

. (10.1)

Общий алгоритм расчета строительных конструкций на надежность следующий.

Все расчетные параметры, обладающие изменчивостью, можно разделить на две основные группы: первая включает характеристики, относящиеся к свойствам самой конструкции; вторая характеризует внешние воздействия. Тогда для любой заданной конструкции и любого вида отказа условие отказа может быть сформулировано в форме предельного неравенства:

, (10.2)

где и– случайные величины, характеризующие соответственно сопротивление конструкции и нагрузочный эффект, выражены через одинаковые физические величины;– случайная величина, называемая функцией работоспособности.

Вероятность выполнения условия (10.2) есть вероятность отказа .

---

---

10.2. Основные сведения из теории вероятности и математической статистики

Величина называется случайной, если в каждом отдельном случае нельзя однозначно точно предсказать ее значение. Случайная величина не может быть определена одним значением. При каждом наблюдении мы получаем одно из ее возможных значений, которое называется реализацией случайной величины и обозначается.

В качестве примера случайной величины рассмотрим предел прочности материала. Пусть в результате испытаний определенного количества образцов получена совокупность значений прочности. Эта совокупность может быть представлена гистограммой. Для этого область изменения случайной величины по оси абсцисс разбивается на равные интервалы, а по оси ординат откладывается отношение количества попаданий в каждый интервалк общему числу всех испытаний(рис.10.1).

Рис.10.1

В пределе при очень большом количестве образцов и малом интервале разбиения получаем непрерывную функцию, котораяназывается функцией плотности распределения случайной величины (в данном случае прочности) или просто плотностью распределения (рис. 10.2).

Одно из свойств плотности распределения состоит в том, что площадь под кривой равна единице:

. (10.3)

Рис.10.2

Определим вероятность того, что случайная величинав результате испытания примет значение, меньшее. Эта вероятность будет равна площади под кривой плотности распределения, лежащей левее абсциссы(рис. 10.2). Функцию(рис.10.3) можно получить интегрируя функцию плотности распределения.

---

. (10.4)

Из (10.4) следует, что

.

Рис. 10.3 Рис. 10.4

Плотность распределения, так же как и функция распределения в полном объеме характеризует случайную величину , т.е. является одной из форм закона распределения. Основными параметрами характеристики случайной величины являются: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия.

Математическое ожидание представляет собой среднее значение самой случайной величины и определяется как:

. (10.5)

Используя геометрические представления, мы можем определить математическое ожидание случайной величины как абсциссу центра тяжести площади под кривой плотности распределения (рис.10.4).

Обычно кривая плотности распределения имеет колоколообразный вид и наиболее вероятные значения случайной величины лежат в окрестности математического ожидания. Чем более пологий вид имеет кривая плотности распределения, тем больше рассеяна случайная величина, т.е. имеет большую изменчивость. В качестве меры или характеристики рассеяния относительно математического ожидания принимается величина:

, (10.6)

называемая дисперсией, которая представляет собой момент инерции площади под кривой плотности распределения относительно вертикальной центральной оси, проходящей через математическое ожидание.

Для того, чтобы привести характеристику рассеивания к размерности случайной величины, предпочитают рассматривать величину – неотрицательное значение корня квадратного из величины дисперсии:

, (10.7)

называемую средним квадратическим отклонением или стандартом.

---