Файл: П241.doc

Следует отметить, что существует бесконечное множество законов распределения, но на практике используются лишь некоторые из них. Особое положение занимает нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса), который характеризуется соответственно плотностью вероятности и функцией распределения:

, (10.8)

, (10.9)

где и– математическое ожидание и дисперсия нормального распределения.

Коэффициент перед экспонентой в (10.8) вводится в соответствии со свойством (10.3) для того, чтобы площадь под кривой плотности распределения была равна единице (рис.10.2).

Широкое использование нормального закона основано на центральной предельной теореме теории вероятностей. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, подчиненных любым законам распределения, приближается к нормальному закону с увеличением количества суммируемых величин.

Если ввести новую переменную , называемойхарактеристикой безопасности, то выражение (10.9) можно привести к удобному для табуляции виду:

(10.10)

где – независимая переменная, изменяющаяся в пределах;– интеграл вероятностей Гаусса или функция Лапласа (табл.10.1).

Таблица 10.1

z		z		z	F(z)
0.00 0.01 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10	0.0000 0.0040 0.0199 0.0398 0.0596 0.0793 0.0987 0.1179 0.1368 0.1554 0.1736 0.1915 0.2088 0.2257 0.2422 0.2580 0.2734 0.2881 0.3023 0.3159 0.3285 0.3413 0.3531 0.3643	1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30	0.3749 0.3849 0.3944 0.4032 0.4115 0.4192 0.4265 0.4332 0.4394 0.4452 0.4505 0.4554 0.4599 0.4641 0.4678 0.4713 0.4744 0.4772 0.4798 0.4821 0.4842 0.4861 0.4878 0.4893	2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10. 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.50 5.00	0.4906 0.4918 0.4929 0.4934 0.4947 0.4953 0.4960 0.4965 0.4970 0.4974 0.4978 0.4981 0.4985 0.49865 0.49932 0.49966 0.49931 0.49966 0.499841 0.4999968 0.499968 0.499997 0.49999997

---

3. Функции случайных величин и методы оценки надежности

При оценке надежности (определении вероятности отказа) задача вероятностного расчета сводится к построению функции случайных величин. В общем случае это весьма сложная задача. На этапе проектирования, обычно ограничиваются определением только числовых характеристик функций случайных величин, основными из которых являются математическое ожидание и дисперсия (или стандарт). Для этого используют несколько методов. Рассмотрим некоторые из них.

Метод двух моментов. Этот метод применяется в простейшем случае, когда определяются числовые характеристики линейной функции случайных аргументов, распределенных по нормальному закону.

Рассмотрим статически определимую стальную балку постоянного поперечного сечения, свободно лежащую на двух опорах и нагруженную вертикальной сосредоточенной силой в середине пролета (рис.10.5).

Рис. 10.5

Условие прочности при изгибе имеет вид:

(10.11)

где M_x – максимальный изгибающий момент; W_x – момент сопротивления сечения; s_Т – предел текучести стали.

В нашем случае максимальное напряжение возникает в точке приложения силы в середине пролета и равно:

(10.12)

Момент сопротивления сечения.:

(10.13)

С учетом (10.12) и (10.13) условие прочности стальной балки будет иметь вид:

, (10.14)

За отказ в работе конструкции примем появление краевой текучести. С учетом (10.14) функция работоспособности (10.2) примет вид:

. (10.15)

В данном случае сопротивление конструкции равно:

---

, (10.16)

а нагрузочный эффект равен:

. (10.17)

Наибольшей изменчивостью, как правило, обладает внешняя нагрузка P и предел текучести стали s_Т , поэтому примем их случайными. В качестве закона распределения этих величин принимаем нормальный закон с соответствующими параметрами распределения (математическим ожиданием и стандартом): для нагрузки – и; для предела текучести –и. Остальные параметры, а именно геометрические размеры, в выражении (10.15) обладают значительно меньшей изменчивостью по сравнению сP и s_т и их случайностью можно пренебречь и принять детерминированными.

Итак, имеем функцию работоспособности , линейно зависящую от случайных величинP и s_Т . Величина также является случайной и в данном случае из курса теории вероятностей следует, что ее распределение подчиняется нормальному закону. Определим математическое ожиданиеи стандартслучайной величины. Для этого воспользуемся основными свойствами числовых характеристик функций случайных величин, которые приведены в таблице 10.2.

Таблица 10.2

	Свойства математического ожидания	Свойства стандарта
1		;
2
3
4
5*
6*	-----

---

Примечание: – константа; для свойств * -X , Y - независимые случаные величины.

С учетом приведенных соотношения (табл.10.2), получим:

, (10.18)

. (10.19)

Зная характеристики распределения случайной величины , с помощью таблицы 10.1 можем определить вероятность безотказной работы:

. (10.20)

Соответствующая вероятность отказа:

. (10.21)

Пусть для рассмотренной балки даны следующие исходные данные: длина балки l = 2 м; ширина сечения b = 0.05 м; высота сечения h = 0.1 м.

Внешняя случайная нагрузка P, распределенная по нормальному закону, имеет следующие параметры распределения: математическое ожидание: m_P = 26 кН; стандарт распределения: S_P = 2,6 кН.

Случайный предел текучести s_т имеет параметры: математическое ожидание: m_s = 2.4×10⁵ кН/м²; стандарт распределения: S_s = =2.4×10⁴ кН/м².

Тогда

кН/м²;

Вероятность безотказной работы:

вероятность отказа:

.

Метод статистической линеаризации. Этот метод применяется в случае, когда определяются числовые характеристики нелинейной функции случайных аргументов. Наиболее эффективен метод статистической линеаризации при вероятностях отказа . Данный метод основан на разложении функции работоспособности в ряд Тейлора.

Пусть имеется нелинейная функция нескольких переменных непрерывная и дифференцируемая в точке с координатами:

---