Файл: П11-3.doc

4.5. Выражения изгибающих моментов и поперечных сил в концевых сечениях стержней

Следуя статическому критерию, при решении задач устойчи­вости рамных систем, метод перемещений, наряду с другими клас­сическими методами, является наиболее эффективным методом.

При применении метода перемещений для решения задач ус­тойчивости статически неопределимых рамных стержневых систем, важным этапом является определение выражения внутренних уси­лий узловых сечениях элементов основной системы, с учетом нали­чия продольной силы при единичном угловом или линейном сме­щении узлов основной системы.

В связи с этим для расчета рам на устойчивость необходимо предварительно определить выражение изгибающих моментов и поперечных сил в концевых сечениях стержней при различных концевых условиях их закрепления и одновременном действии продольной сжимающей силы и единичном линейном или угловом смещении одного из концов рассматриваемого стержня.

С этой целью постоянные С₁, С₂, С₃, С₄ в выражениях (4.8) и (4.9) выразим через начальные параметры y₀ , , M₀ , Q₀ стержня, изображенного на рис. 4.4. С учетом начальных условий, т.е. y = = y₀ , y¢ =, M_x = M₀ , Q_y = Q₀ при z = 0 из (4.8) и (4.9) получим

Откуда, определяя выражения постоянных и подставляя в выражения (4.8) и (4.9), получим:

(4.10)

Для дальнейшего нужно будет иметь выражения изгибающих моментов и поперечных сил на концевых сечениях стержня при

двух вариантах закрепления - жестко защемленного с двумя концами, жестко защем­ленного на одном конце и шарнирно опертого на другом.

Рис. 4.6

Подробно рас­смотрим стержень, изображенный на рис. 4.6 при  = 1. Для деформирован­ного состояния (2) имеем следующие граничные условия:

---

С учетом последних условий из первых двух уравнений (4.10) получим

(4.11)

Вводя обозначения: ; ; ; ; .

Решение систем уравнений (4.11) можно записать в следующем виде (значения специальных функций приведены в табл. 4.1):

,     .

Опорные реакции Q_l и M_l на противоположном конце стержня определяются из условия ее равновесия, т.е. Из первого уравнения получим Q₀ = - Q_l , а из второго

Теперь предположим, что продольная сжимающая сила Р = 0. В этом случае все расчетные зависимости сильно упрощаются и принимают вид:

j₁ = j₂ = j₃ = 1;    M₀ = 4 i;    M_l = 2 i;    ;    .

Таблица 4.1

v	j1(v)	j2(v)	j3(v)	j4(v)	j7(v)	j8(v)
0.0	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
0.2	0.9986	1.0009	0.9992	0.9959	0.9973	0.9840
0.4	0.9945	1.0026	0.9973	0.9840	0.9893	0.9350
0.6	0.9881	1.0061	0.9941	0.9641	0.9758	0.8558
0.8	0.9787	1.0111	0.9895	0.9362	0.9565	0.7432
1.0	0.9662	1.0172	0.9832	0.8999	0.9313	0.5980
1.2	0.9511	1.0251	0.9756	0.8566	0.8998	0.4198
1.4	0.9329	1.0348	0.9669	0.8025	0.8613	0.2080
1.6	0.9116	1.0463	0.9567	0.7431	0.8152	-0.0381
1.8	0.8871	1.0600	0.9449	0.6749	0.7606	-0.3194
2.0	0.8590	1.0760	0.9313	0.5980	0.6961	-0.6372
2.2	0.8273	1.0946	0.9164	0.5131	0.6202	-0.9932
2.4	0.7915	1.1164	0.8998	0.4198	0.5304	-1.3896
2.6	0.7513	1.1417	0.8814	0.3181	0.4234	-1.8299
2.8	0.7064	1.1712	0.8613	0.2080	0.2944	-2.3189
3.0	0.6560	1.2057	0.8393	0.0983	0.1361	-2.8639
3.2	0.5997	1.2463	0.8153	-0.0380	-0.0635	-3.4769
3.4	0.5366	1.2940	0.7891	-0.1742	-0.3248	-4.1781
3.6	0.4656	1.3508	0.7609	-0.3191	-0.6862	-5.0062
3.8	0.3850	1.4191	0.7297	-0.4736	-1.2303	-7.0436
4.0	0.2933	1.5018	0.6961	-0.6372	-2.1717	-7.5060
4.2	0.1877	1.6036	0.6597	-0.8103	-4.3156	-10.1956
4.4	0.0648	1.7310	0.6202	-0.9931	-15.3271	-21.7815
4.5	-0.0050	1.8070	0.5990	-1.0880	227.9292	222.1820
4.6	-0.0807	1.8933	0.5772	-1.1861	14.6693	7.6160
4.8	-0.2572	2.1056	0.5305	-1.3896	5.4023	-2.2777
5.0	-0.4772	2.3924	0.4793	-1.6040	3.3615	-4.9719
5.2	-0.7630	2.7961	0.4234	-1.8299	2.3986	-6.6147
5.4	-1.1563	3.3989	0.3621	-2.0679	1.7884	-7.9317
5.6	-1.7481	4.3794	0.2944	-2.3189	1.3266	-9.1268
5.8	-2.7777	6.2140	0.2195	-2.5838	0.9302	-10.2831
6.0	-5.1589	10.7270	0.1361	-2.8639	0.5551	-11.4449
6.2	-18.5940	37.3080	0.0424	-3.1609	0.1700	-12.6433

---

Выражения изгибающих моментов и поперечных сил из (4.10) также сильно упрощаются, учитывая, что при P ® 0 и , а в этом случае последние два выражения (4.10) принимают общеизвестный вид и записы­ваются следующим образом: M_x = M₀ + Q₀ z; Q_y = Q₀ .

Таблица 4.2

Вид смещения и эпюра М	M0	Ml	Q0 = Ql
	4 i j1 (v)	2 i j2 (v)
	3 i j7 (v)	0
		0
Аналитические выражения специальных функций:                  .

---

Следовательно, при P ® 0 и эпюры внутренних силовых фак­торов существенно трансформируются. Характер трансформации эпюры M_x при P ® 0 изображен на рис. 4.7.

Рис. 4.7

Результаты аналогичных примеров расчета, т.е. выражения из­гибающих моментов и поперечных сил, возникающих в концевых сечениях стержней с различными граничными условиями их за­крепления от соответствующих единичных перемещений, приведе­ны в табл. 4.2.

Численные значения специальных функций j_r (r = 1,2,3,4,7,8), входящих в выражение изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в концевых сечениях стержней, приведены в табли­це 4.1.

---

4.6. Устойчивость рам при действии узловых нагрузок. Метод перемещений

Предположим, что все элементы заданной системы изначально имеют прямолинейную форму и сопряжены между собой под пря­мым углом. В данном случае при действии узловых нагрузок на­чальная форма равновесного состояния системы соответствует до­критической стадии работы конструкций, в поперечных сечениях элементов системы возникают только продольные силы и они ра­ботают либо на сжатие, либо на растяжение.

Как и для обычных стержней, продольными деформациями оси элементов заданной системы пренебрегаем.

Принимая, что рассматриваемая рамная система с произволь­ным n раз кинематически неопределимой системой (n = 1,2,3,...), канонические уравнения метода перемещений для нового равно­весного, т.е. критическом состоянии, как и в классическом методе перемещений записывается в форме:

(4.12)

При расчетах на устойчивость система (4.12) преобразуется. Так как мы рассматриваем только случай действия узловых нагрузок, то во введенных связях они никакой реакции не вызывают. То есть в данном случае следует принимать

R_1P = R_2P = ... = R_nP = 0.

Так как единичные реакции r_ik (i,k = 1,2,3,...,n), как и при рас­чете обычных статических задач определяются из условия равнове­сия узлов или отдельных частей основной системы при заданных единичных смещениях, и так как показали результаты решения за­дач, изложенных в п. 4.5 в узловых сечениях элементов значения моментов и поперечных сил в общем случае являются функциями от параметра внешних продольных сил v. Следовательно, и единич­ные реактивные усилия во введенных связях r_ik в общем случае являются функциями от параметра n и обозначаются r_ik (v).

С учетом выше изложенного система (4.12) преобразуется и запи­сывается следующим образом:

(4.13)

Так как в новом равновесном (критическом) состоянии, состав­ные элементы искривляются, следовательно, все неизвестные Z_i за­ведомо не могут быть равны нулю. Поэтому определитель одно­родной системы алгебраических уравнений (4.13), составленный из коэффициентов при неизвестных, должен быть равен нулю:

---