Файл: П11-3.doc

. (4.14)

Раскрыв определитель (4.14) и приравняв его нулю, получим трансцендентное уравнение относительно параметра критической нагрузки v. Решив это уравнение относительно v и по минималь­ному значению корня v = v_min определяют критическое значение внешних сил.

4.7. Пример расчета рамы на устойчивость (задача 12)

Для заданной рамы, изображенной на рис. 4.8, а, предполагая, что EI_p = 2EI_c ; l = 4 м; EI_c  = 4000 кН×м², требуется:

Рис. 4.8

1. Показать возможные формы потери устойчивости рассматри­ваемой системы;

2. Определить критические значения силы Р₁ и Р₂ для случаев:

а) Р₁ = Р; Р₂ =0 ; б) Р₁ = Р₂ = Р; в) Р₁ = 0; Р₂ = Р.

Решение

1. Показать возможные формы потери устойчивости рассматриваемой рамы

Рассматриваемая система является дважды кинематически не­определимой. Возможные формы потери устойчивости системы определяются угловыми перемещениями узлов 1 и 2. Следователь­но, для установления искривленной формы рамы необходимо определить углы поворотов Z₁ и Z₂ двух смежных узлов 1 и 2.

В критическом состоянии возможные формы потери устойчи­вости изображены на рис. 4.8, б, в.

2. Определить критические значения силы Р₁ и Р₂ для случаев: а) Р₁ = Р; Р₂ =0 ; б) Р₁ = Р₂ = Р; в) Р₁ = 0; Р₂ = Р.

Приступая к решению поставленной задачи, в качестве базовой принимаем стойку 0-1 с изгибной жесткостью Е_c = 4000 кНм² и длиной l = 4 м.

Вычисляем погонные изгибные жесткости элементов рассмат­риваемой рамы:

кН×м; кН×м.

Введем обозначения: i₀₁ = i = 1000 кНм; i₂₃ =i; i₁₂ = i₂₄ = 2 i.

Случай: а) Р₁ = Р; Р₂ =0 .

---

Последовательно задавая перемещения Z₁ = 1, Z₂ = 1 и поль­зуясь табл. 4.2, строим единичные эпюры М₁ и М₂, выражая орди­наты эпюры моментов М₁ и М₂ через величину i (рис. 4.9, а, б).

Рис. 4.9

В соответствии с методом сечений вырезаются узлы 1 и 2 (рис. 4.9) и из условий их равновесия определяются выражения реактивных моментов:

Уравнение устойчивости (4.14) принимает вид:

, откуда ,

или .

Из решения последнего уравнения получим:

Применяя принцип линейного интерполирования, с помощью табл. 4.1 вычисляем значение параметра :

= 5.6 + 0.006 = 5.606.

Критическая сила P_1,кр будет

кН.

Рис. 4.10

Случай б) Р₁ = Р₂ = Р;

Эпюры моментов М₁ и М₂ в данном случае принимают вид (рис. 4.10).

В соответствии с методом сечений вырезаются узлы 1 и 2  (рис. 4.10) и из условий их равновесия определяются выражения реактивных моментов r_ik (i,k = 1,2):

Подставляя выражения r_ik (i,k = 1,2) в (4.14), получим:

.

Из решения последнего уравнения получим:

или

Применяя принцип линейного интерполирования, по заданным значениям j₁(v) (табл. 4.1) определяем минимальное значение параметра критической нагрузки:

---

5.4 + 0.115 = 5.515.

Следовательно,

кН.

Случай в) Р₁ = 0; Р₂ = Р

В этом случае эпюры моментов М₁ и М₂ имеют вид, изобра­женный на рис.4.11.

Рис. 4.11

Выражения реактивных моментов в данном случае имеют вид:

Из уравнений устойчивости получим

.

Из решения последнего уравнения получим: = 3.1667. Из табл. 4.1 применяя принцип линейной интерполяции вычисляем значение параметра v:

.

Критическая сила P_2,кр будет

P_2,кр =кН.

Обобщая результаты расчетов величин критических сил в зависимости от вида нагружения рамы, имеем:

а) Р₂ = 0; P_1,кр = 7856.1 кН;

б) P_1,кр = P_2,кр = 7604 кН;

в) P₁ = 0; P_2,кр = 8505.9 кН.

180

---