ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14555
Скачиваний: 146
10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков
61
т.е.
1
p
C
и
1
2
y
C x C
), получим
2
0
dq
dp
q
p
, откуда
2
1
ln
ln
ln
q
p
C
или
2
1
dp
q
C p
dy
. Интегрируя последнее урав-
нение, находим
1
2
1
C y C
p
, или
1
2
dx
C y C
dy
. Окончательно
получим
2
1
2
3
x
C y
C y C
, где
1
1
,
2
C
C
2
2
C
C
. Заметим, что
в общее решение входят решения вида
,
y
C
1
2
y
C x C
. #
З а м е ч а н и е. Может случиться, что уравнение принадлежит
и к типу (10.50), и к типу (10.51); например, это уравнение
2
1 (
)
y
y
. При их интегрировании предпочтение отдают мето-
ду, с помощью которого решение определяется проще; в данном
примере следует считать, что это уравнение типа (10.50).
Задачи для самостоятельного решения
Найти область существования и единственности решения
уравнения.
96.
2
y
x
x
y
. 97.
ln
y
y
y
.
Показать, что данные выражения при любых действительных
значениях входящих в них параметров определяют решения соот-
ветствующих дифференциальных уравнений.
98.
1
2
0
sin
cos
;
sin
x
t
y
x
dt
x C x C
xy
x
t
.
99.
2
2
1
2
3
ln
,
2
y
x
x C x
C x C
xy
.
100.
2
1
1
2
С
sin(
),
1
y
C x C
yy
y
.
Показать, что данные функции являются общими решениями
соответствующих уравнений.
101.
1
2
sin
cos ,
0.
y
C
x C
x y
y
102.
2
1
2
1,
3
2
2
x
x
y
C e
C e
y
y
y
.
Найти общие решения (интегралы) уравнений; там, где указано,
найти частные решения уравнений при заданных начальных условиях.
103.
sin .
y
x
x
104.
arctg .
y
x
105.
cos 2
y
x
.
106.
2
3
xy
x
. 107.
,
(0) 1,
(0)
0.
x
y
xe
y
y
108.
2
2
(1
)
1 0,
(0)
(0) 1
x
y
y
y
y
.
109.
2
2
.
x y
y
110.
2
2
1
xy y
y
.
111.
2
, (2) 0,
(2) 4.
y
x
y
y
y
x
y
112.
tg
sin 2 .
y
y
x
x
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
62
113. xy
y
xy
. 114.
V
IV
xy
y
. 115.
2
2
1
yy
y
.
116.
2
2
3
,
(2) 1,
(2)
1
y
y
y
y
.
117.
2
cos
sin
0,
y
y
y
y
y
( 1)
/ 6
y
,
( 1)
2
y
.
118.
2
2
ln
yy
yy
y
y
. 119.
2
(3
2 )
y
y
y y
.
120.
2
3
y
y
y
. 121.
2
yy
y
y
.
122.
2
2
2
0,
(0)
(0) 1
yy
y
y
y
y
. 123.
0
yy
y y
.
10.6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
10.6.1. ВВЕДЕНИЕ
Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
( )
(
1)
1
1
( )
...
( )
( )
( )
n
n
n
n
y
p x y
p
x y
p x y
f x
; (10.53)
( ) (
1, )
i
p x
i
n
называются коэффициентами уравнения,
( )
f x – его
правой частью.
Если при всех рассматриваемых значениях x функция
( )
0
f x
, то уравнение (10.53) называется линейным однородным;
в противном случае оно называется линейным неоднородным.
Теорема 1. Если коэффициенты
1
2
( ),
( ), ...,
( )
n
p x
p x
p x и
( )
f x
непрерывны в интервале (a, b), то при
0
( , )
x
a b
для любых началь-
ных условий (10.41) задача Коши имеет решение и оно единственно.
Всякое решение уравнения (10.53) является частным решени-
ем, так что особых решений оно не имеет.
1
. Однородное уравнение (ОЛДУ). Однородное линейное
уравнение (ОЛДУ)
( )
(
1)
1
( )
...
( )
0
n
n
n
y
p x y
p x y
(10.54)
(всегда) имеет нулевое решение
0
y
, удовлетворяющее нулевым
начальным условиям
(
1)
...
0
n
y
y
y
при
0
x
x
и оно единст-
венно (здесь
0
x
– любая точка непрерывности коэффициентов
1
( ),...,
( )
n
p x
p x ).
Фундаментальной системой решений (ФСР) уравнения (10.54)
называется n его любых линейно независимых частных решений
1
2
,
, ...,
n
y
y
y
.
З а м е ч а н и е. Для любого ОЛДУ существует бесконечное
число фундаментальных систем решений.
Приведем теорему о структуре общего решения ОЛДУ.
10.6. Линейные уравнения высших порядков
63
Теорема 2. Общее решение ОЛДУ есть линейная комбинация
решений
1
2
,
, ...,
n
y
y
y
фундаментальной системы:
1 2
2 2
...
n n
y
C y
C y
C y
. (10.55)
Напомним определение линейно независимой системы функ-
ций и приведем критерий линейной независимости решений ОЛДУ.
Система из n функций
1
2
,
, ...,
n
y
y
y
называется линейно неза-
висимой (на (a, b)) системой, если тождество
1 1
2 2
...
0
x
n n
y
y
y
(10.56)
выполняется лишь в случае
1
2
...
0
n
.
Теорема 3. Для того чтобы система решений
1
2
,
, ...,
n
y
y
y
ОЛДУ (10.54) с непрерывными коэффициентами на интервале (a,b)
была ФСР, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Врон-
ского
1
2
1
2
1
(
1)
(
1)
(
1)
1
2
...
...
[ , ...,
]
............................
...
n
n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
W y
y
y
y
y
(10.57)
был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала ( , )
a b .
Ниже (п. 10.6.2) показывается, что построить ФСР в элементарных
функциях удается всегда для уравнений с постоянными коэффици-
ентами – для этих уравнений легко находится общее решение. Для
уравнений с переменными коэффициентами общего (точного) мето-
да построения ФСР не существует.
Пример 1. Показать, что система функций
2
3
1, ,
,
x x
x
линейно
независима на интервале ( (
,
)
.
Равенство (10.56) может выполняться
(
,
)
x
лишь при
условии, что
1
2
3
4
0
; иначе в левой части будем иметь
многочлен степени не выше третьей, который может обратиться в
нуль не более чем при трех значениях x из данного интервала. #
Пример 2. Показать, что система функций
3
1
2
,
,
k x
k x
k x
e
e
e
, где
1
2
3
,
,
k k
k
попарно различны, линейно независима на интервале
(
;
)
.
Предположим противное; тогда в тождестве (10.56)
0
i
.
Пусть это
3
0
. Деля обе части тождества (10.56) на
1
k x
e
, полу-
чаем:
3
1
2
1
(
)
(
)
1
2
3
0
k
k
x
k
k
x
e
e
. Дифференцируя это тожде-
ство и деля обе части его на
2
1
(
)
k
k x
e
, приходим к тождеству
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
64
3
2
(
)
2
2
1
3
3
1
(
)
(
)
0
k
k
x
k
k
k
k e
. Дифференцируя, получаем
3
2
(
)
3
3
1
3
2
(
)(
)
0
k
k
x
k
k
k
k e
, что невозможно, так как
3
0
по
предположению,
3
2
3
1
,
k
k
k
k
по условию и
3
2
(
)
0
k
k
x
e
. #
З а м е ч а н и е. Для случая двух функций
1
( )
y x и
2
( )
y x кри-
терием
их
линейной
зависимости
является
равенство
1
2
( )
( )
y x
C y x
при некотором
C
R
,
const
C
.
Пример 3. Функции tgx и ctgx линейно независимы в интерва-
ле
0
/ 2
x
, так как их отношение
2
tg
tg
ctg
x
x
const
x
в этом
интервале. Функции
1
( )
sin 2
y x
x
и
2
( )
sin cos
y x
x
x
линейно за-
висимы в интервале
x
, так как
1
2
( )
2
( )
y x
y x
.
Пример 4. Найти определитель Вронского для функций
( )
(
1, 2, 3)
i
k x
i
y x
e
i
.
Имеем
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
(
)
1
2
3
1
2
3
2
1
3
1
3
2
2
2
2
1
2
3
[ ,
,
]
(
)(
)(
)
.
k x
k x
k x
k x
k
k
k
x
k x
k x
k x
k x
k x
e
e
e
W y
y
y
k e
k e
k e
k
k
k
k
k
k e
k e
k e
k e
#
Пусть
1
2
( ),
( ), ...,
( )
n
y x
y x
y x есть система из n линейно незави-
симых на интервале (a, b) функций, имеющих все производные до
n-го порядка включительно и пусть
1
[ ,...,
]
0
n
W y
y
на (a, b). Тогда
уравнение
1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
1
2
( )
( ) ...
( )
( )
( )
( ) ...
( )
( )
0
..................................................
( )
( ) ...
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y
x
y
x
y
x
y
x
, (10.58)
где ( )
y x – неизвестная функция, определяет ОЛДУ, для которого
функции
1
2
( ),
( ), ...,
( )
n
y x
y x
y x составляют ФСР на интервале (a, b).
Пример 5. Составить ОЛДУ, для которого функции
2
1
( )
,
x
y x
e
2
2
( )
x
y x
e
образуют ФСР.
Составим уравнение (10.58):
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
(2 4
)
(4
2)
x
x
x
x
x
x
e
e
y
xe
xe
y
x e
x
e
y
, или
2
2
1
1
2
2
0
2 4
4
2
y
x
x
y
x
x
y
.
10.6. Линейные уравнения высших порядков
65
Раскрывая последний определитель по элементам третьего столбца,
получаем искомое уравнение:
3
4
0
xy
y
x y
. #
З а м е ч а н и е. В данном примере определитель Вронского
1
2
[ ,
]
4
W y
y
x
обращается в ноль при
0
x
, что не противоречит
общей теории, так как, записав уравнение в виде
2
1
4
0
y
y
x y
x
,
обнаружим, что коэффициент при y
терпит разрыв в точке
0
x
.
Если известно какое-либо частное решение
1
( )
y x уравнения
(10.54), то подстановка
1
( )
( ) ( )
y x
y x z x
приводит это уравнение к
линейному уравнению относительно функции ( )
z x , не содержаще-
му (явно) этой функции и, следовательно, подстановка ( )
( )
u x
z x
понижает порядок этого уравнения на единицу.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
2
(
1)
2
2
0
x
y
xy
y
,
если функция
1
( )
y x
x
есть его частное решение.
Подставив
1
1
1
,
1,
0
y
x y
y
в уравнение, убеждаемся в
том, что
1
y
x
действительно является его частным решением. По-
ложим
y
xz
, найдем
;
2
y
xz
z y
xz
z
. Подставив , ,
y y y
в уравнение, после преобразования придем к уравнению
2
(
1)
2
0
x x
z
z
. Полагая здесь
,
z
u z
u
, приходим к уравне-
нию первого порядка относительно функции
2
: (
1)
2
0
u x x
u
u
,
общее решение которого имеет вид
2
1
2
1
x
u
C
x
. Учитывая, что
u
z
, придем к уравнению
1
2
1
1
dz
C
dx
x
, интегрируя кото-
рое, найдем:
1
2
1
z
C
x
C
x
. Заменяя z по формуле
y
xz
, по-
лучаем общее решение исходного уравнения:
2
1
2
(
1)
y
C x
C x
. #
З а м е ч а н и е 1. Изложенный метод обобщается на случай,
когда известны k частных линейно независимых решений уравнения
(10.54).
З а м е ч а н и е 2. Для построения общего решения ОЛДУ
( )
( )
0
y
p x y
q x y
достаточно знать только одно ненулевое ча-
стное решение его. При этом второе частное решение
2
y можно
найти по формуле
( )
2
1
2
1
p x dx
e
y
y
dx
y
.
Пример 7. Найти общее решение уравнения
2
(ln
1)
0
x
x
y
xy
y
,
если известно его частное решение
1
y
x
.