ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Математика
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 14548
Скачиваний: 146
10.4. Геометрические и физические задачи
51
Пример 2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(1; 1), если для любого отрезка [1; ]
x площадь криволинейной тра-
пеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, в два
раза больше произведения координат точки
( , )
M x y кривой
(
0,
0)
x
y
.
По условию задачи,
1
( )
2
( )
x
y t dt
x y x
. Дифференцируя это ра-
венство по x, получаем дифференциальное уравнение
2(
)
y
y xy
,
или
2
y
y
x
. Интегрируя его, с учетом начального условия
(1) 1
y
, получаем уравнение искомой кривой:
1
y
x
. #
2
. Задачи с физическим содержанием. При составлении
дифференциальных уравнений первого порядка в физических зада-
чах используют метод дифференциалов, по которому приближен-
ные соотношения между малыми приращениями величин заменяют-
ся соотношениями между их дифференциалами. В конкретных зада-
чах используется тот или иной физический закон (некоторые из них
приведены ниже при формулировании условий задач), а также фи-
зическое истолкование производной как скорости протекания физи-
ческого процесса.
Пример 3. В резервуаре первоначально содержится A кг веще-
ства, растворенного в В литрах воды. Затем в резервуар начинает
равномерно поступать вода со скоростью M литров в минуту и од-
новременно начинает вытекать раствор со скоростью N литров в
минуту (M > N), причем однородность раствора достигается путем
перемешивания. Найти массу вещества в резервуаре через T минут
после начала процесса.
Обозначим через ( )
x t массу вещества в резервуаре через
t минут после начала процесса и через
x
x
– в момент
t
t
. За-
метим, что
0
x
при
0
t
, т.е. раствор обедняется.
Пусть ( )
V t – объем смеси в момент : ( )
t V t
B
Mt
Nt
. Кон-
центрация вещества в момент t равняется, очевидно, /
x V
. За беско-
нечно малый промежуток времени [ ,
]
t t
t
масса вещества изме-
няется на бесконечно малую величину
x
(так как процесс непре-
рывен), для которой справедливо приближенное равенство
.
(
)
x
Nx
x
N t
t
V
B
M
N t
(10.40)
Заменяя в (10.40) приращения
x
и
t
дифференциалами dx и dt,
получаем дифференциальное уравнение
(
)
Nx
dx
dt
B
M
N t
–
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
52
уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя и считая
M > N, запишем общее решение:
( )
[
(
) ]
N
M N
x t
C B
M
N t
. Ис-
пользуя начальное условие: (0)
x
A
, находим частное решение:
( )
(
)
N
M N
B
x t
A
B
M
N t
. Решение задачи получается из него
при t = T. #
З а м е ч а н и е. Случай
M
N
требует отдельного рассмот-
рения.
Задачи для самостоятельного решения
66. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
( 2; 0)
,
если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведе-
нию координат точки касания.
67. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2) ,
если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.
68. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
( 1 / 2 ; 1)
,
если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной,
равна квадрату абсциссы точки касания.
69. Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка норма-
ли постоянна и равна a.
70. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет по-
стоянную длину а.
71. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2),
если площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой
кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.
72. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1/2),
если для любого отрезка [1; x] площадь криволинейной трапеции,
ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна отноше-
нию абсциссы x концевой точки к ординате.
73. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 3),
если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки ка-
сания и расстояния от начала координат до точки касания (ограни-
читься рассмотрением случая /
0
y
y
).
74. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0),
если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью, на 2 ед.
больше абсциссы точки касания.
75. Найти уравнение кривой, проходящей через начало коор-
динат, если для любого отрезка [ , ]
a x площадь криволинейной тра-
пеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна
кубу ординаты концевой точки дуги.
10.4. Геометрические и физические задачи
53
76. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с поляр-
ными координатами
2,
0
, если угол
между ее касатель-
ной и радиусом-вектором точки касания есть постоянная величина:
tg
a
.
77. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1),
если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной,
равна длине этой касательной.
78. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1),
если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси орди-
нат, равна поднормали.
79. Найти уравнение кривой, проходящей через начало коор-
динат, если середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до
оси Ox лежит на параболе
2
2
x
y
.
80. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0),
если площадь трапеции, образованной касательной, осями коорди-
нат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2.
81. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1),
если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной
и радиусом-вектором точки касания, постоянна и равна 1.
82. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2),
если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пере-
сечения нормали с осью Ox равно удвоенному квадрату расстояния
от начала координат до точки касания.
83. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с поляр-
ными координатами
,
/2
, если площадь сектора, ограни-
ченного этой кривой, полярной осью и переменным полярным ра-
диусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса.
84. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности тем-
ператур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти за-
висимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до
0
T
градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и
равна а градусам.
85. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100
С, понизится до 25
С, если температура помещения равна
20
С и за первые 10 мин тело охладилось до 60
С?
86. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в
жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти за-
висимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух
минут вращается со скоростью 3 об/с. Через сколько времени он бу-
дет иметь угловую скорость 1 об/мин ?
87. Скорость распада радия пропорциональна наличному его
количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается
0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося коли-
чества радия?
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
54
88. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие оп-
ределяется формулой
0, 6 2
v
gh
, где h – высота уровня воды над
отверстием, g – ускорение свободного падения (принять g = 10 м/с
2
).
За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диамет-
ром 2
1 м
R
и высотой H = 1,5 м через отверстие в дне диаметром
2
0, 05
r
м ?
89. Количество света, поглощаемого при прохождении через
тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и
толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2 м
поглощается 1/3 первоначального светового потока, найти, какая
часть его дойдет до глубины 12 м.
90. Лодка замедляет свое движение под действием сопротив-
ления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная
скорость лодки равна 1,5 м/с, скорость ее через 4 с – 1 м/с. Когда
скорость уменьшится до 1 см/с ? Какой путь пройдет лодка до ос-
тановки ?
91. Пуля, двигаясь со скоростью
0
400
V
км/с, пробивает сте-
ну толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. Полагая
силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости
движения пули, найти время прохождения пули через стену.
92. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли.
В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин и смесь вытекает из него
с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем пе-
ремешивания. Сколько соли останется в баке через час?
93. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со
скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества.
Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по
истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале
процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется
лишь 1 % первоначальной массы исходного вещества ?
94. В помещении цеха вместимостью 10800 м
3
воздух содер-
жит 0,12 % углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух,
содержащий 0,04 % углекислоты, со скоростью 1500 м/мин. Пред-
полагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно
в каждый момент времени, найти объемную долю углекислоты че-
рез 10 мин после начала работы вентиляторов.
95. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и
напряжением u удовлетворяет уравнению
di
L
Ri
u
dt
. Найти силу
тока i в момент времени t, если
sin
u
E
t
и i = 0 при t = 0 (L, R,
E,
– постоянные).
10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков
55
10.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
10.5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАДАЧА КОШИ
Задачей Коши для дифференциального уравнения (10.1) или
(10.2) называется задача определения решения
( )
y
x
, удовлетво-
ряющего заданным начальным условиям:
(
1)
(
1)
0
0
0
0
0
0
(
)
,
(
)
, ...
(
)
n
n
y x
y
y x
y
y
x
y
. (10.41)
Общим решением уравнений (10.1) или (10.2) в области D пе-
ременных
(
1)
( , , ,...,
)
n
x y y
y
, в каждой точке которой имеет место
существование и единственность решения, называется такая функ-
ция
1
( ,
, ...,
)
n
y
x C
C
, которая при любых допустимых значениях
параметров
1
2
,
, ...,
n
С C
C
является решением этого уравнения на ин-
тервале оси Ox, для которого точки
(
1)
( , , ,...,
)
n
x
D
, и для ко-
торой при рассмотрении любой задачи Коши с условиями (10.41)
1
(
, ...,
)
n
C
C
, определяемые из системы уравнений:
0
1
0
0
1
0
(
1)
(
1)
0
1
0
(
,
, ...,
)
;
(
,
, ...,
)
;
..............................
(
,
, ...,
)
.
n
n
n
n
n
x C
C
y
x C
C
y
x C
C
y
(10.42)
Уравнение
1
( , ,
, ...,
)
0
n
x y C
C
, (10.43)
определяющее общее решение как неявную функцию, называется
общим интегралом дифференциального уравнения.
Теорема существования и единственности решения задачи
Коши [(10.2); (10.41)]. Если дифференциальное уравнение (10.2)
таково, что функция
(
1)
( , ,
, ...,
)
n
f x y y
y
в некоторой области D из-
менения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные част-
ные производные
(
1)
,
, ...,
n
f
f
f
y
y
y
, то для любой точки
(
1)
0
0
0
0
( ,
,
, ...,
)
n
x
y
y
y
D
существует такой интервал
0
0
x
h x x
h
,
на котором существует и притом единственное решение этого урав-
нения, удовлетворяющее начальным условиям (10.41).
Решение уравнения (10.2) называется частным решением, ес-
ли в каждой точке его сохраняется единственность решения задачи
Коши.
З а м е ч а н и е. Если
1
( ,
, ...,
)
n
y
x C
C
есть общее решение
уравнения (10.2) в области D, то всякое решение, содержащееся в
этой формуле при конкретных допустимых числовых значениях
произвольных постоянных
1
, ...,
n
С
C
, является частным решением.