ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.03.2024
Просмотров: 59
Скачиваний: 2
Горячие тригонометрические формулы ● Математика для заочников и не только
Горячие тригонометрические формулы
В данный обзор я включу ходовые тригонометрические формулы, которые наиболее часто используются в ходе решения задач по высшей математике.
Знать обязательно или держать под рукой необходимо:
Основное тригонометрическое тождество:
sin2 cos2 1
и некоторые вещи, которые из него следуют: cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
sin2 1 cos2 (1 cos )(1 cos )
Простейшие манипуляции с тангенсом и котангенсом, как от них избавиться (или, наоборот – «собрать» из синуса и косинуса):
tg sin , ctg cos cos sin
Формулы двойного угла:
sin 2 2sin cos
cos 2 cos2 sin2
Есть еще тангенс двойного угла, но я не припомню, чтобы в практических заданиях он где-то требовался, экзотика, одним словом.
! Очень важные следствия из данных формул:
1 cos 2 2sin2
1 cos 2 2cos2
или, то же самое, в другом виде:
sin2 |
1 cos 2 |
, cos2 |
1 cos 2 |
|
2 |
|
2 |
Запомните их, или держите под рукой, натыкаться в вышке на данные формулы будете на каждом шагу!
Данные преобразования часто выполняются при вычислении пределов, производных, интегралов
Пожалуйста, обратите также внимание, на тот факт, что параметр может быть не только буковкой x , но и сложной функцией, например:
sin2 (x2 4x 10) cos2 (x2 4x 10) 1
|
2 |
3x |
2sin |
3x |
cos |
3x |
|
sin 3x sin |
2 |
|
2 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|||
tg(ln x 3) sin(ln x 3) cos(ln x 3)
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Горячие тригонометрические формулы ● Математика для заочников и не только
А теперь рассмотрим формулы, которые используются реже:
Полезно знать о взаимосвязи тангенса и котангенса:
tg ctg 1, tg |
1 |
, ctg |
1 |
|
|
|
|
ctg |
tg |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
а то, иногда, хитрый преподаватель подсунет что-нибудь вроде |
1 |
, и потом |
|||||
ctg |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
сидишь, не знаешь, что с этим делать.
Упомянем также экзотический секанс и косеканс:
1 |
1 |
|
||
sec |
|
, cosec |
|
…и всего-то лишь… |
cos |
sin |
|||
Студентов-заочников, обычно секансами не пугают, а у очников, нет-нет, да и проскакивает.
Иногда (обычно в интегралах), приходится использовать формулы:
2 |
1 |
2 |
1 |
||
tg 1 |
|
|
, ctg 1 |
|
|
cos2 |
sin2 |
||||
На самом деле, это не самостоятельные формулы, а следствия основного тригонометрического тождества
Ну и еще куча похожих друг на друга формул:
Сразу скажу, что у данной группы формул есть одно замечательное свойство – упорно не запоминаться. Я сотни раз искал их в справочнике, так и не запомнилась ни одна.
Раз:
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
Два:
sin cos sin( ) sin( )
2
cos cos cos( ) cos( )
2
sin sin cos( ) cos( )
2
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Горячие тригонометрические формулы ● Математика для заочников и не только
Три:
|
|
|
|
||
sin sin 2sin |
2 |
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
sin sin 2sin |
2 |
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
cos cos 2cos |
2 |
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
cos cos 2sin |
2 |
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
||
Есть еще аналогичные формулы для тангенсов и котангенсов, но о них не будем, в 99,99% случаях – не встретите.
Что-нибудь из перечисленных формул Раз, Два, Три иногда требуется применить для преобразований в пределах и подынтегральных выражениях.
ИНОГДА требуются. Но требуются.
О гиперболических синусах, косинусах умолчим… По-крайне мере, пока. Ими запугивают еще реже, чем секансами, да и то, только зазнавшихся отличников
Еще раз подчеркиваю, что во ВСЕХ тригонометрических формулах параметры и могут быть не только буковками x и y , но и сложными выражениями, функциями.
Успехов!
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта