ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.03.2024
Просмотров: 15
Скачиваний: 2
Замечательные пределы и эквивалентности ● Высшая математика для заочников и не только
Замечательные пределы
Наиболее часто на практике можно встретить два замечательных предела:
первый замечательный предел и второй замечательный предел.
Первый замечательный предел:
lim sin 1
0
В качестве параметра может выступать не только буква x , но и сложная функция, важно только, чтобы она стремилась к нулю.
Пример:
lim |
sin(x3 2x2 ) |
|
1, здесь всё нормально, так как x |
3 |
2x |
2 |
0 |
|||||||
x3 |
2x2 |
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А вот в этом случае: lim sin(2x 3) |
первый замечательный предел использовать |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
2x 3 |
|
|
|
|
|
||
нельзя, так как 2x 3 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следует отметить, что если поменять числитель и знаменатель местами, то от этого |
||||||||||||||
ничего не изменится: lim |
|
|
1 – тот же самый первый замечательный предел. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 sin |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Второй замечательный предел: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim 1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e – это иррациональное число: e 2,7....
Нередко можно встретить модификацию второго замечательного предела:
1
lim 1 e
0
В практических задачах для общего случая (когда «икс» стремится к произвольному числу a ) удобно использовать формулу, которая представляет собой следствие второго замечательного предела:
Неопределенность вида
limu(x)v( x) elim (u( x) 1) v( x
x a
x a
1 можно устранить с помощью формулы:
)
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Замечательные пределы и эквивалентности ● Высшая математика для заочников и не только
Намного реже встречаются другие замечательные пределы:
lim logb (1 ) |
|
1 |
, ( b 0, b 1), в частности: lim ln(1 ) |
1 |
||||||
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
ln b |
|
0 |
|
|
|
lim b 1 |
ln b , ( b 0, b 1), в частности: lim e 1 |
1 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
lim |
(1 )k 1 |
k , где k |
– любое действительное число. |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опять же: в качестве параметра может выступать не только буква x , но и сложная функция, важно только, чтобы она стремилась к нулю.
Внимание! Перестановка числителя и знаменателя в данных пределах в общем случае не обходится без последствий:
lim |
|
|
|
ln b , ( b 0, b 1) |
||||
|
|
) |
||||||
0 logb (1 |
|
|
||||||
lim |
|
|
|
1 |
|
, ( b 0, b 1) |
||
|
|
|
ln b |
|||||
0 b 1 |
|
|
||||||
lim |
|
|
|
1 , где k – любое действительное число, отличное от нуля. |
||||
(1 )k 1 |
||||||||
0 |
|
k |
||||||
НО распространенные частные случаи перестановочны числителем и знаменателем без изменения значения предела (что логично):
lim |
|
1 |
|
|
) |
||
0 ln(1 |
|
||
lim e 1 1
0
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты
Замечательные пределы и эквивалентности ● Высшая математика для заочников и не только
Замечательные эквивалентности
Если 0 , то справедливы следующие замечательные эквивалентности:
1)sin ~
2)tg ~
3)arcsin ~
4)arctg ~
5)1 cos ~ 12 2
6) logb (1 ) ~ |
|
( b 0, b 1), в частности: ln(1 ) ~ |
|
ln b |
|||
|
|
7)b 1 ~ ln b ( b 0, b 1), в частности: e 1 ~
8)(1 )k 1 ~ k , как вариант: (1 )k ~ k 1
В качестве параметра может выступать и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю.
© http://mathprofi.ru Высшая математика – просто и доступно!
Приветствуется свободное распространение данного материала, пожалуйста, не убирайте копирайты