Файл: Лекции_по_дисциплине.pdf

Тарова Инна Николаевна

Приведем для сравнения результаты расчета средних значений величин g, h и соответствующих среднеквадратичных отклонений Sg, Sh, полученные при одинаковых значениях всех параметров в пяти разных сериях испытаний по 10000 событий в серии (табл.6.2) (входной поток покупателей - процесс равновероятных событий с максимальным временем между приходами 10 мин; длительность обслуживания также распределена равновероятным образом в интервале от 0 до 5 мин).

Таблица 6.2 Сравнение результатов моделирования в разных сериях

испытаний

96

Компьютерное моделирование

Количество цифр выписано таким образом, чтобы отразить значимую разницу между данными разных серий. Оценим доверительный интервал математических

среднеквадратичное отклонение). По первой выборке получаем

0,738-0,025 < mg < 0,738+0,025 (округлим: 0,71 < mg < 0,77) 2,508-0,067 < mh < 2,508+0,067 (округлим: 2,44 < mh < 2,58)

Таким образом, различия в выборочных средних вполне укладываются в указанные доверительные интервалы. В рассмотренной задаче, как и в любой более сложной задаче об очередях, может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если люди заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), очередь начинает нарастать, и в любой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис. Приведем для иллюстрации динамику процесса распределения величин g - времени ожидания покупателем в очереди и h - времени простоя продавца в ожидании покупателя, при трех наборах параметров w1, w2, где w1 - максимальный интервал времени между приходами покупателей, w2 - максимальная длительность обслуживания покупателя (рис. 6.4-6.6).

Рис.6.4. w1=10, w2=3 (нет проблем с обслуживанием, вероятность долго простоять в очереди мала, вероятность бездеятельности продавца достаточно велика)

97

Тарова Инна Николаевна

Рис. 6.5. w1=10, w2=8 (кризис приближается)

Рис. 6.6. w1=10, w2 = 10 (кризис наступил)

В чем практическое значение задач об очередях? Прежде всего, стремление рационально построить обслуживание, потребителей. В магазине можно, к примеру, поставить второго продавца, но если при этом продавцы будут мало заняты, возникает ущерб для предприятия. Таким образом, актуальным является вопрос об отыскании оптимального решения при наличии противоречивых требований, т(е. налицо оптимизационная многокритериальная модель.

Визуально проиллюстрировать формирование очереди поможет следующая программа.

Программа. Имитационное моделирование очереди

Program Bank;

Uses Graph, Crt;

Var Gm, Gd, P, X, Qq, I, T, V: Integer; St: String(10); Begin

Qq:=0; P:=6; V:=2; Randomaze; DetectGraph(Gd,Gm); InitGraph(Gd,Gm,‟ „);

SetColor(2); RectAngle(300, 100, 500, 300); T:=0; Repeat

T:=T+1; Str(T,St); SetTextStyle(0, 0, 1);

98

Компьютерное моделирование

If X<P Then Qq:=Qq+1; SetColor(15);

For I:=0 To Qq Do Circle(490-I*30, 200, 15);

Delay (1000); SetColor(0);

For I:=0 To Qq Do Circle(490-I*30, 200, 15);

If T Mod V=0

Then Begin

Qq:=Qq-1; If Qq<0 Then Qq:=0; SetColor(15);

For I:=0 To Qq Do Circle(490-I*30, 200, 15);

End;

SetColor(0); OutTextXY(600, 50, St)

Until KeyPressed Or (Qq>15); ReadLn;

End.

6.3. РАЗЛИЧНЫЕ РИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Метод статистического моделирования имеет множество приложений. Чаще всего он заключается в том, что для решения математической задачи строится некоторая случайная величина , такая, что математическое ожидание этой случайной величины Е( ) является значением искомого решения. Проводя достаточное количество раз эксперимент со случайной величиной , можно найти приближенное решение как среднее значение результатов эксперимента.

Вычисление площадей. Найти площадь фигуры G, вписанной в прямоугольник с размерами сторон a,b. С помощью датчика равновероятно распределенных случайных чисел многократно генерируются координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Очевидно, что при большом числе испытаний площадь фигуры G приближенно равна отношению числа точек, попавших в область G, к числу всех разыгранных точек. В качестве примера приведем программу вычисления числа , находя указанным способом площадь круга, вписанного в квадрат, по 100000 испытаний.

Программа: Вычисление числа методом Монте-Карло

Program Chislo Pi;

Uses Crt; Var I, N: LongInt; X, Y: Real; Begin

Randomize; N: =0;

For I: =1 To 100000 Do Begin

X: =Random; Y: =Random;

If Sgr(X-0.5) +Sgr(Y-0.5) <0.25 Then N: =N+1 End;

WriteLn („pi=‟, (N/100000/Sgr(0.5)):8:5); Repeat Until KeyPressed

99

Тарова Инна Николаевна

End.

Задача Бюффона. На поле, разграфленное прямыми линиями, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l. Какова вероятность того, что игла, упав, пересечет хотя бы одну прямую? Ж. Бюффон (XVIII в.) подсчитал:

p 2ll . Таким образом, если L=2l, то p=1/ . Кроме того, p=Ni/N, где N – число

бросаний, Ni – число пересечений иглы с линиями. Относительная доля случаев, когда игла пересечет хотя бы одну из параллельных прямых равно p=1/ . Это был один из старинных способов определения числа . Имитационное моделирование проведем следующим образом. Примем L=1 и l= . Иглу будем бросать в квадрат размером 20 20, левый нижний угол которого будет иметь координаты (0;0). Положение концов иглы будем задавать с помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел в диапазоне от 0 до 20. В математическом отношении это сводится к следующей несложной процедуре:

Генерация координат точек ;

Поскольку расстояние между горизонтальными линиями взято равным 1, а сами линии имеют целочисленные координаты по , то определить, пересекает ли игла прямую, очень просто – да, если целые части ординат точек и различны.

Программа: Решение задачи Бюффона

Program Buffon;

Uses Crt; Var I,J,K,N,M : Integer; X1,Y1,X2,Y2,A1 : Real; Begin

Randomize; M: =30000; N: =1; For I: =1 To M Do

Begin

X1:=Random*20; Y1:=Random*20; X2:=Random*20; Y2:=Random*20; A1:=0.5/Sqrt(Sqr(X2-X1)+Sqr(Y2-Y1));

J: =Round (Y1+A1*(Y2-Y1)); If J<>K Then N: =N+1

End;

WriteLn („pi=‟, (M/N):8:5); Repeat Until KeyPressed

End.

Модель «пьяницы» (случайного блуждания)

Зададим блуждание точки (объекта) по горизонтальной линии по правилу: если случайное число из интервала [0;1] меньше 0,5, то точка делает шаг вправо x=x+h , в противном случае x=x-h.

Программа: Модель случайного блуждания

100

Компьютерное моделирование

Program Tock;

Uses Crt, Graph; Var I, J: Integer; Z, P, X, H, Y: Integer; Begin

X: =320; Y: =240; H: =10; P: =4; Detect Graph (I, J);

InitGraph (I, J,‟‟);

Set Color (15); Line (10,312,630,312); Randomize; Repeat

Z: =Random (8); If Z>=P Then X: =X+H Else X: =X-H; Set Color (Green); Circle (X, Y, 10); Delay (200);

Set Color (0); Circle (X, Y, 10)

Until KeyPressed or (X>=640) or (X<=0); Close Graph End.

В программе шаг является постоянным, но никто не мешает нам сделать его переменным, выбирая шаг из интервала [0,Hmax] случайным образом. Для этого зададим максимально возможный шаг Hmax и в цикле определим

H:=Random(Hmax).

Рассмотрим, как происходит Броуновское движение, известное из курса физики. Если след движения точки не стирать, то на экране можно будет наблюдать траекторию такого движения. Для того чтобы описать движение n частиц, необходимо завести два массива координат точек и организовать их движение.

Программа: Броуновское движение

Program Gaz; Uses Crt, Graph;

Var I, J, HxMax, HyMax, Hx, Hy, N, I: Integer;

X, Y: Array [0…500] Of Integer; P1, P2, Z1, Z2: Real;

Begin N: =100;

For I: =1 to N Do Begin X [I]:= 320; Y [I]:= 240 End; HxMax: =10; P1:=0.5; P2:=0.5; HyMax: = 10;

Detect Graph (I, J); InitGraph (I, J,‟‟); Set Color (15);

Randomize; RectAngle (100,100,540,380);

For I: =1 to N Do PutPixel (X [I], Y [I], White); Delay (200); For I: =1 to N Do PutPixel (X [I], Y [I], 0);

Repeat

For me: =1 To N Do Begin

Z1:=Random; Z2:=Random;

Hx: =Random (HxMax); Hy: =Random (HyMax);

If Z1<P1 Then X [I]:=X [I] +Hx Else X [I]:=X [I]-Hx;

If Z2<P2 Then Y [I]:=Y [I] +Hy Else Y [I]:=Y [I]-Hy; If X [I] <=110 Then X [I]:=X [I] +2*(110-X [I]);

If X [I]>=530 Then X [I]:=X [I]-2*(-530+X [I]);

If Y [I] <=110 Then Y [I]:=Y [I] +2*(110-Y [I]); If Y [I]>=530 Then Y [I]:=Y [I] +2*(Y [I]-370); PutPixel (X [I], Y [I], 15)

End: Delay (100);

101

Тарова Инна Николаевна

For I: =1 to N Do PutPixel (X [I], Y [I], 0) Until KeyPressed; Close Graph

End.

Построенная компьютерная модель в первом приближении может позволить моделировать многие явления и процессы, происходящие в газах: рассеивание облаков, диффузия газов. С ее помощью можно получить многие зависимости параметров газа друг от друга. Представляет значительный интерес имитационное моделирование явлений в сплошных средах, удовлетворяющих законам идеального газа, таких, как истечение газа в вакуум, ударная волна, волны разрежения и т.п.

При вероятностном моделировании используют различные методы, которые позволяют решать задачи из различных областей. Перечислим сферы применения вероятностных методов:

1.Метод статистического моделирования: решение краевых задач ма-

тематической физики, решение систем линейных уравнений, обращение матриц и сводящиеся к ним сеточные методы решения систем дифференциальных уравнений, вычисление кратных интегралов, решение интегральных и интегродифференциальных уравнений, задач ядерной физики, газовой динамики, фильтрации, теплотехники.

2.Метод имитационного моделирования: моделирование систем массо-

вого обслуживания, задачи АСУ, АСУП, АСУТП, задачи защиты информации, моделирование сложных игровых ситуаций и динамических систем.

3.Метод стохастической аппроксимации: рекуррентные алгоритмы решения задач статистического оценивания.

4.Метод случайного поиска: решение задач оптимизации систем, зависящих от большого числа параметров, нахождение экстремумов функции большого числа переменных.

5.Другие методы: вероятностные методы распознавания образов, модели адаптации, обучения, самообучения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие случайные события называются достоверными? невозможными? Несовместными? Противоположными?

2.Дайте классическое определение вероятности случайного события.

3.Что такое дискретная случайная величина? Непрерывная?

4.Что такое математическое ожидание и дисперсия случайной величины?

5.Сформулируйте один из методов генерации последовательности псевдослучайных чисел.

6.Как формулируются задачи теории массового обслуживания?

7.Изучите распределение длительности ожидания в очереди и длительности простоя продавца и соответственно среднее время ожидания в системе с одним прилавком при различных комбинациях распределения промежутков времени между приходами покупателей и времен обслуживания, используя распределения: а) равновероятное; б) пуассоновское; в) нормальное.

8.Придумайте модель случайного блуждания точки в заданном лабиринте.

102