Файл: Лекции_по_дисциплине.pdf

Компьютерное моделирование

темпов их замены на возобновимые и темпов развития новых технологий для обеспечения смены ресурсов для того, чтобы после исчезновения, к примеру, нефти был обеспечен приток энергии от нового ресурса.

3. Для загрязняющих веществ предельная интенсивность выбросов не должна превышать темпов, с которыми эти вещества перерабатываются или теряют вредные для окружающей среды свойства.

Внастоящее время человечество отнюдь не руководствуется этими правилами. Если в прошлые века это не представляло опасности для вида в целом, то в наши дни ситуация изменилась. Достаточно сказать, что если бы при сегодняшней численности населения Земли каждый человек потреблял бы столько энергии и других ресурсов, сколько их сегодня потребляет в среднем гражданин США, это привело бы к немедленной вселенской катастрофе. Модель WORLD-3 (МИР-3). Модель состоит из пяти секторов:

•стойкие загрязнения;

•невозобновимые ресурсы;

•население;

•сельское хозяйство (производство продуктов питания, плодородие земель, освоение земель);

•экономика (промышленное производство, производство услуг, рабочие места). Исходными являются первичные взаимосвязи, такие как

•численность населения и запасы промышленного капитала;

•численность населения и площадь возделываемых земель;

•площадь возделываемых земель и объем промышленного капитала;

•численность населения и капитал сектора услуг;

•капитал сектора услуг и промышленный капитал и т.д.

Вкаждом секторе прослеживаются все первичные взаимосвязи и выражаются математическими соотношениями. По мере необходимости учитываются процессы материального и информационного запаздывания, так как реакция, скажем, численности населения на улучшение питания является не мгновенной, а запаздывающей. Это типично для большинства рассматриваемых процессов. Модель WORLD-3 (МИР-3) по приведенной классификации носит черты дескриптивные и оптимизационные. Ее основное назначение - представить возможные пути достижения экономикой такой численности населения планеты, которая может поддерживаться окружающей средой неопределенно долгое время. Она не предсказывает нечто отдельное для России или Египта, не решает никаких локальных вопросов. Модель исходит из того, что на Земле существует глобальное сообщество. Динамика численности населения - интегральная характеристика, которая вбирает в себя все факторы. Чисто умозрительно возможны два типа устойчивых динамик (непрерывный рост и «сигмоидное» приближение к равновесию) и три типа неустойчивых, связанных с выходом за пределы допустимого (колебания с последующим выходом на стационар, хаотические колебания и коллапс, т.е. исчезновение

85

Тарова Инна Николаевна

вида). Непрерывный рост представляется совершенно нереалистическим, последняя из неустойчивых динамик - трагедией для человечества, а за резкими колебаниями, как нетрудно догадаться, стоят войны, эпидемии, голод - то, что мы и без всяких моделей видим в реальности. Понятия положительной и отрицательной обратной связи взяты из теории автоматического регулирования. Причинноследственная связь между двумя элементами называется отрицательной, если изменение одного элемента передается второму, возвращается от него к первому и изменяет его в направлении, противоположном первоначальному (подавляет), и положительной, если это изменение, возвращаясь к первому, усиливает его. Если элементов не два, а больше, то, говорят о контуре обратной связи, через которую сигнал проходит по кругу, возвращаясь к источнику и влияя на него. Количество взаимосвязанных переменных в модели WORLD -3 (МИР-3) равно 225, параметров - еще больше

Результаты глобального моделирования Опубликованные «сценарии» развития человечества, следующие из моделей WORLD, охватывают промежуток времени от 1900 до 2100 гг. Первые 90 лет, уже прошедшие, позволяют «настраивать» модель, понять степень ее достоверности. Первый из сценариев основан на гипотезе, что все будет развиваться без серьезных изменений, глобальных политических катаклизмов, без особых усилий по сохранению ресурсов и уменьшению загрязнения окружающей среды. Разумеется, временные шкалы здесь весьма расплывчаты. Что будет, если на Земле обнаружатся и окажутся доступными (например, в океанах) дополнительные залежи нефти и газа, других ресурсов? Моделирование безжалостно утверждает, что это не изменит качественно характер эволюции, а лишь сдвинет вправо точки экстремумов кривых. Вместе с тем модель позволяет нащупать пути регулируемого развития, которое ведет к плавному («сигмоидному») поведению основных переменных. Этот путь связан с самоограничениями и переходом на усовершенствованные промышленные и сельскохозяйственные технологии. Итак, математическое компьютерное моделирование вторгается даже в такую сверхзадачу, как самосохранение человека как вида.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие проблемы рассматривает глобальное моделирование?

2.Расскажите о результатах глобальных моделей МИР-1, МИР-2, МИР-3.

3.Что такое экспоненциальный рост показателей?

4.Чем глобальные процессы отличаются от других?

5.Перечислите правила, соблюдение которых необходимо для глобальной устойчивости.

6.Из каких секторов состоит модель МИР-3?

7.Расскажите о положительных и отрицательных обратных связях.

8.Опишите сценарии развития человечества, полученные путем моделирования.

86

Компьютерное моделирование

ЛЕКЦИЯ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

6.1. ТЕХНИКА СТОХАСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Понятие «случайный» - одно из самых фундаментальных как в математике, так и в повседневной жизни. Моделирование случайных процессов - мощнейшее направление в современном математическом моделировании.

Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. Случайность окружает наш мир и чаще всего играет отрицательную роль в нашей жизни. Однако есть обстоятельства, в которых случайность может оказаться полезной.

Всложных вычислениях, когда искомый результат зависит от результатов многих факторов, моделей и измерений, можно сократить объем вычислений за счет случайных значений значащих цифр. Из теории эволюции следует, что случайность проявляет себя как конструктивный, позитивный фактор. В частности, естественный отбор реализует как бы метод проб и ошибок, отбирая в процессе развития особи с наиболее целесообразными свойствами организма. Далее случайность проявляется в множественности ее результатов, обеспечивая гибкость реакции популяции на изменения внешней среды.

Всилу сказанного имеет смысл положить случайность в основу методов получения решения посредством проб и ошибок, путем случайного поиска.

Итак, пусть в функционале модели значения некоторых входных параметров определены лишь в вероятностном смысле. В этом случае значительно меняется сам стиль работы с моделью.

При серьезном рассмотрении в обиходе появляются слова «распределение вероятностей», «достоверность», «статистическая выборка», «случайный процесс» и т.д.

При компьютерном математическом моделировании случайных процессов нельзя обойтись без наборов, так называемых, случайных чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. На самом деле эти числа генерирует компьютер по определенному алгоритму, т.е. они не являются вполне случайными хотя бы потому, что при повторном запуске программы с теми же параметрами последовательность повторится; такие числа называют «псевдослучайными».

Рассмотрим вначале генерацию чисел равновероятно распределенных на некотором отрезке. Большинство программ - генераторов случайных чисел - выдают последовательность, в которой предыдущее число используется для нахождения последующего. Первое из них - начальное значение, Все генераторы случайных чисел дают последовательности, повторяющиеся после некоторого количества членов, называемого периодом, что связано с конечной длиной машинного слова. Самый простой и наиболее распространенный метод - метод вычетов, или линей-

ный конгруэнтный метод, в котором очередное случайное число xn определяется «отображением»

Хn = (ахn-1+с) тоd т (6.1)

87

Тарова Инна Николаевна

где а, с, т - натуральные числа, mod - так называемая, функция деления по модулю (остаток от деления одного числа на другое по модулю). Наибольший возможный период датчика (6.1) равен т; однако, он зависит от а и с. Ясно, что чем больше период, тем лучше; однако реально наибольшее т ограничено разрядной сеткой ЭВМ. В любом случае используемая в конкретной задаче выборка случайных чисел должна быть короче периода, иначе задача будет решена неверно. Заметим, что обычно генераторы выдают отношение xn/m, которое всегда меньше 1, т.е. генерируют последовательность псевдослучайных чисел на отрезке 0,1]

Вопрос о случайности конечной последовательности чисел гораздо сложнее, чем выглядит на первый взгляд. Существует несколько статистических критериев случайности, но все они не дают исчерпывающего ответа. Так, последовательно генерируемые псевдослучайные числа могут появляться не идеально равномерно, а проявлять тенденцию к образованию групп (т.е. коррелировать). Один из тестов на равномерность сострит в делении отрезка [0,1] на М равных частей - «корзин», и помещения каждого нового случайного числа в соответствующую «корзину». В итоге получается гистограмма, в которой высота каждого столбика пропорциональна количеству попавших в «корзину» случайных чисел (рис. 6.1).

Понятно, что при большом числе испытаний высоты столбиков должны быть почти одинаковыми. Однако этот критерий является необходимым, но не достаточным; например, он «не замечает» даже очень короткой периодичности. Для не слишком требовательного пользователя обычно достаточны возможности датчика (генератора) случайных чисел, встроенного в большинство языков программирования, Так, в РАSСАL есть функция random, значения которой - случайные числа из диапазона [0,1). Ее использованию обычно предшествует использование процедуры randomize, служащей для начальной «настройки» датчика, т.е. получения при каждом из обращений к датчику разных последовательностей случайных чисел. Для задач, решение которых требует очень длинных некоррелированных последовательностей, вопрос осложняется и требует нестандартных решений. Равномерно распределенные случайные числа - простейший случай. Располагая датчиком случайных чисел, генерирующим числа г [0,1], легко получить числа из произ-

вольного интервала [а,b]: X

88

Компьютерное моделирование

Более сложные распределения часто строятся с помощью распределения равномерного. Упомянем здесь лишь один достаточно универсальный метод Неймана (часто называемый также методом отбора-отказа) в основе которого лежит простое геометрическое соображение. Допустим, что необходимо генерировать случайные числа с некоторой нормированной функцией распределения F(х) на интервале [а,b]. Введем положительно определенную функцию сравнения W(х) такую, что W(х) = соnst и W(х) >F(х) на [а,b] (обычно W(х) равно максимальному значению F(x) на [а,b]). Поскольку площадь под кривой F(x) равна для интервала [х, х + dх] вероятности попадания x в этот интервал, можно следовать процедуре проб и ошибок. Генерируем два случайных числа, определяющих равновероятные координаты в прямоугольнике АВСD с помощью датчика равномерно распределенных случайных чисел: х = а + (b-а)r, у = wr,

и если точка М (х, у) не попадает под кривую F(х), мы ее отбрасываем, а если попадает - оставляем (рис. 6.2). При этом множество координат х оставленных точек оказывается распределенным в соответствии с плотностью вероятности F(х).

Этот метод для ряда распределений не самый эффективный, но он универсален, прост и понятен. Эффективен он тогда, когда функция сравнения w(х) близка к F(х). Заметим, что никто не заставляет нас брать w(х)= соnst на всем промежутке [а,b], Если f(x) имеет быстро спадающие «крылья», то разумнее взять w(х) в виде ступенчатой функции.

Рис. 6.2

6.2. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ)

Теория массового обслуживания и метод статистических испытаний (Мо-

нете-Карло), так же как и теория вероятностей и математическая статистика, применяются в тех экономических задачах, в которых решение определяется случайными факторами и обстоятельствами. Теория массового обслуживания дает возможность учесть эти случайности в процессах, связанных с потоками требований (заказов) на обслуживание. Метод Монте-Карло позволяет искусственно моделировать случайные процессы в тех случаях, когда установление

89

Тарова Инна Николаевна

аналитических моделей невозможно или затруднительно. Многие экономические ситуации связаны с процессами массового обслуживания покупателейпотребителей. Обслуживаемые объекты называют каналами или аппаратами обслуживания. Требования (заказы) на обслуживание называют заявками. Если при поступлении очередной заявки все имеющиеся каналы оказываются занятыми, происходит сбой в обслуживании и начинает образовываться очередь. Поэтому теорию массового обслуживания называют так же теорией очередей.

Теория массового обслуживания ставит своей задачей организовать обслу-

живание таким образом, чтобы длина очереди была минимальной, а время прохождения заявки – оптимальным. При этом должно обеспечиваться мини-

мальное время простоя помещений, оборудования и персонала системы обслу-

живания и ее максимальная нагрузка.

Для решения задачи необходимо уметь рассчитывать следующие показатели системы обслуживания:

1. вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся

число каналов обслуживания, a= t0, - средне ожидаемое количество заявок на обслуживание в единицу времени (плотность потока заявок), t0 – среднее время обслуживания одной заявки.

n 1

2. средне ожидаемое число свободных каналов: Nc (n k )Pn , где Pn –

k 1

вероятность того, что все каналы будут заняты: Pn Pc * a n . n!

3. вероятность того, что в любой момент времени все каналы окажутся за-

нятыми: P3 Pc * a n . n!

n

4. средне ожидаемое число занятых каналов: Nз kPk .

k 1

5. доля загрузки каналов (за время обслуживания): Kз Nnз .

90