Файл: matem2013-04gia9fipi.pdf

Математика. 9 класс

Вариант 1 – 1

Математика. 9 класс

Вариант 1 – 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Решение.

За первые три часа пути автомобиль, выехавший из города А,

Модуль «Алгебра»

проехал 150 километров и расстояние от него до города В стало

равным 600 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей

x2 + 3x + y2 = 2,

равна 120 км/ч, значит, они

встретятся через 5 часов после

21

6.

выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль

Решите систему уравнений x2 + 3x

−

y2 =

−

Решение.

до встречи находился в пути 8 часов, и проехал за это время

400 километров.

Сложим два уравнения системы:

Ответ: 400 км.

2

2

Содержание критерия

Баллы

2x + 6x = −4;

x + 3x + 2 = 0;

(x + 1)(x + 2) = 0,

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

3

откуда получаем x = −2 или x = −1.

Ход решения правильный, все его шаги

2

Вычтем из первого уравнения системы второе:

2y2 = 8;

y2 = 4,

присутствуют, но допущена ошибка или описка

вычислительного характера

откуда получаем y = −2 или y = 2.

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

Таким образом, решения системы (−2; −2), (−2; 2), (−1; −2),

критериям

(−1; 2).

Максимальный балл

3

Ответ: (−2; −2), (−2; 2), (−1; −2), (−1; 2).

23

Постройте график функции y = x − 2| − |x + 1| + x − 2 и найдите

Содержание критерия

Баллы

www.ctegeзначения.minfo, при которых прямая|

y = m имеет с ним ровно две

Все преобразования выполнены верно, получен

2

общие точки.

верный ответ

Решение.

По ходу решения допущена одна ошибка

1

Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает

вычислительного характера или описка, с её учётом

с прямой y = x + 1 при x < −1, совпадает с прямой y = −x − 1 при

решение доведено до конца

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

−1 ≤ x ≤ 2 и совпадает с прямой y = x − 5 при x > 2.

График изображён на рисунке.

критериям

y

Максимальный балл

2

– 11 0

22 Расстояние между городами A и B равно 750 км. Из города A

1

2

x

в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а

через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со

– 3

скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от

Прямая y = m имеет с графиком данной функции ровно две

города A автомобили встретятся?

общие точки при m = −3 и m = 0.

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений

Копирование не допускается

Копирование не допускается

Ответ: m = −3, m = 0.

25

В треугольнике

ABC угол

B равен 36◦,

AB = BC,

AD —

биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

Содержание критерия

Баллы

Доказательство.

График построен верно, дан верный ответ на вопрос

4

A

Треугольник

ABC

равнобедренный,

Ход решения правильный, все его шаги

3

поэтому

ACB = BAC = 72◦.

Значит,

присутствуют, но в ходе решения допущена ошибка

BAD =

BAC

= 36◦. Таким

образом,

углы

B

D

вычислительного характера или описка;

2

C

Или: допущена ошибка или описка при записи ответа;

ABD и BAD равны, поэтому треугольник ABD —

равнобедренный.

Или: график построен правильно, ответ на вопрос

отсутствует

Содержание критерия

Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы

3

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

критериям

Доказательство в целом верное, но содержит

2

неточности

Максимальный балл

4

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

критериям

Модуль «Геометрия»

Максимальный балл

3

В треугольнике ABC угол B равен

72◦,

угол C равен 63◦,

24

26

В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD.

BC = 2√

2

. Найдите радиус описанной около этого треугольника

Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке M,

окружности.

√

46

лежащей вне окружности. При этом AM = 36, BM = 6, CD = 4

.

Решение.

www.ctege.info

Найдите OM.

Угол A треугольника ABC равен A = 180◦ − B − C = 45◦.

Решение.

Радиус описанной окружности равен

BC

= 2.

Обозначим r радиус окружности, точкой K

A

B M

Ответ: 2.

2 sin A

середину отрезка AB, а точкой L середину отрезка

K

C

L

CD. Поскольку

треугольники

AOB

и

COD

Содержание критерия

Баллы

равнобедренные, OK и OL перпендикулярны AB

O

Ход решения верный, все его шаги выполнены

2

D

и CD соответственно.

правильно, получен верный ответ

Отрезок AB равен AM − BM = 30. Четырёхугольник OKML

Ход решения верный, все его шаги выполнены

1

является прямоугольником, поэтому OL =

AB

+ BM = 21.

правильно, но даны неполные объяснения или

2

Из

прямоугольного

треугольника

ODL

находим

допущена одна вычислительная ошибка

r = √

= 25.

OL2 + DL2

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

Из

прямоугольного

треугольника

OKB

находим

критериям

√

= 20.

2

− KB

2

OK =

r

Максимальный балл

2

Из

прямоугольного

треугольника

OKM

находим

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений

Копирование не допускается

Копирование не допускается

Математика. 9 класс

Вариант 1 – 5

OM = √

= 29.

OK2 + KM2

Ответ: 29.

Содержание критерия

Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены

4

правильно, получен верный ответ

Ход решения верный, все его шаги выполнены

3

правильно, но даны неполные объяснения или

допущена одна вычислительная ошибка

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

критериям

Максимальный балл

4

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 1

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Ответ: 220 км.

Содержание критерия

Баллы

Модуль «Алгебра»

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

3

21

Решите уравнение x3 − 3x2 − 8x + 24 = 0.

Ход решения правильный, все его шаги

2

присутствуют, но допущена ошибка или описка

Решение.

вычислительного характера

Раскладывая на множители левую часть уравнения, получаем

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

(x − 3)

x2 − 8

= 0. Таким образом, корни уравнения x = −2√2,

√

2

x = 3

.

критериям

x = 2

,

Ответ: −2√2, 2√2, 3.

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

23

Постройте график функции y = |x − 1| − |x + 3| + x + 4 и найдите

Все преобразования выполнены верно, получен

2

значения m, при которых прямая y = m имеет с ним ровно две

верный ответ

общие точки.

По ходу решения допущена одна ошибка

1

Решение.

вычислительного характера или описка, с её учётом

Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает

решение доведено до конца

с прямой y = x + 8 при x < −3, совпадает с прямой y = 2 − x при

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

−3 ≤ x ≤ 1 и совпадает с прямой y = x при x > 1.

критериям

График изображён на рисунке.

y

Максимальный балл

www2 .ctege.info5

22 Расстояние между городами A и B равно 490 км. Из города A в

город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через

час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью

1

90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A

0

x

автомобили встретятся?

– 3

1

Решение.

Прямая y = m имеет с графиком данной функции ровно две

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А,

общие точки при m = 1 и m = 5.

проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало

Ответ: m = 1, m = 5.

равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей

равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после

выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль

до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время

220 километров.

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений

Копирование не допускается

Копирование не допускается

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 3

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 4

В треугольнике ABC угол

25

B равен 36◦,

AB = BC,

AD —

Содержание критерия

Баллы

биссектриса. Докажите, что треугольник ACD

— равнобедренный.

График построен верно, дан верный ответ на вопрос

4

Доказательство.

Ход решения правильный, все его шаги

3

A

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому

присутствуют, но в ходе решения допущена ошибка

ACB = BAC = 72◦. Значит,

вычислительного характера или описка;

BAC

B

Или: допущена ошибка или описка при записи ответа;

BAD =

= 36◦;

D

C

Или: график построен правильно, ответ на вопрос

2

ADC = ABD + BAD = 72◦.

отсутствует

Таким образом, углы ADC и ACD равны, поэтому треугольник

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

ACD — равнобедренный.

критериям

Максимальный балл

4

Содержание критерия

Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы

3

Доказательство в целом верное, но содержит

2

Модуль «Геометрия»

неточности

В треугольнике ABC угол B равен

56◦,

угол C равен 64◦,

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

24

критериям

BC = 3√

. Найдите радиус описанной около этого треугольника

3

Максимальный балл

3

окружности.

Решение.

окружности с центром в точке O проведены две хорды AB

www.ctege

В

.info

26

Угол A треугольника ABC равен A = 180◦ − B − C = 60◦.

и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в

Радиус описанной окружности равен

BC

= 3.

точке M, лежащей вне окружности. При этом AM = 17, BM = 3,

2 sin A

Ответ: 3.

CD = 10√

. Найдите OM.

21

Содержание критерия

Баллы

Решение.

Ход решения верный, все его шаги выполнены

2

Обозначим r радиус окружности, точкой

K

A

B M

правильно, получен верный ответ

середину отрезка AB, а точкой L середину отрезка

K

C

L

CD. Поскольку треугольники AOB и COD

Ход решения верный, все его шаги выполнены

1

равнобедренные, OK и OL перпендикулярны AB

O

правильно, но даны неполные объяснения или

D

и CD соответственно.

допущена одна вычислительная ошибка