Файл: В.А. Гоголин Финансовая математика.pdf

6

По современной величине ренты можно определить по (2)

где s(n, i) = [(1+i)n – 1] ⁄⁄ i – коэффициент наращения ренты, который показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового (за период) платежа.

Пример 6. Найти современную и наращенную величины годовой ренты постнумерандо с R = 1000, n = 5, i = 8%.

Из (10) имеем а(5, 8) = [1 – (1+ 0,08) –5] ⁄⁄ 0,08 = 3,993 и A = 3993. Из (11) находим s(5, 8) = [(1+0,08)5– 1] ⁄⁄0,08 = 5,867 и S = 5867.

Основными параметрами потока платежей являются величины R, n, i, A, S, из которых только 3 являются независимыми и определяют 2 оставшихся.

При заданных R, n, i величины A, S находятся по формулам (10,

и из (10) находим A.

Пример 7. Пусть R = 2000, i = 8%. Найти длительность ренты с современной величиной 4000.

По (12) вычисляем длительность ренты

n= – ln(1 – 4000 0,08 ⁄⁄2000) ⁄⁄ln(1+0,08) ≈ 5,

ипо (11) наращенную величину ренты

S = 4000 (1+0,08) 5 = 5876.

При большой продолжительности срока платежей, то есть при так называемой “вечной ренте”, современная величина ренты определяется по формуле

7

Пример 8. Долговременная аренда офиса составляет 10 000 в год. За какую цену следует выкупить офис при годовой процентной ставке

5%?

Стоимость офиса есть современная величина всех арендных платежей, т.е. A = 10 000⁄⁄0,05 = 200 000.

3. ДОХОДНОСТЬ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

Под финансовой операцией понимают инвестирование, затраты или использование наличного капитала. Денежная оценка операции в начале составляет величину H , а в конце – К. Расчетная доходность финансовой операции d определяется из выражения

учетом этого обстоятельства определяется эффективная доходность как

продолжительность операции t. Определим доходность как скорость роста вложенного капитала и выразим ее в величине годовых процентов i. Такая относительная к продолжительности операции доходность находится из соотношения: H (1+i)t = K и равна

Финансовые операции обычно состоят из нескольких более мелких операций как, например, приобретение акций, получение дивидендов и продажа акций. Получение дивидендов формирует текущую доходность. Полная же доходность подсчитывается после завершения операции. В рассматриваемом примере полная доходность есть сумма полученных дивидендов и стоимости проданных акций. Полная доходность может оцениваться количественно по одной из формул (17 – 20).

4.КРЕДИТНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Вкредитной операции основными исходными параметрами

8

являются величина займа D, срок его погашения n и процент по кредиту (обычно годовой) i. Следует определить поток погашающих заем платежей y1, …, yn, устраивающий кредитора и заемщика.

При выполнении финансово-кредитных операций необходимо соблюдать баланс или эквивалентность во времени взятых в кредит и возвращаемых в платежах сумм. Такая эквивалентность, выраженная формулой (7), сравнивает эти суммы на один момент времени, чаще, их современные величины.

При погашении долга одним платежом в конце срока или досрочно на момент времени n величина платежа составит

выплаты, то есть поток платежей. В самом общем случае члены потока платежей также состоят из суммы, идущей на покрытие основного долга, и суммы, выплачиваемой в виде процентов на остаток всего долга, оставшегося от предыдущей выплаты

Так, при равных процентных выплатах до последнего платежа погашается наращенный долг y1 = … = yn–1 = D i, а последний платеж

yn= D+ D i.

При равных выплатах основного долга в каждом платеже из n

весь долг с процентами за n выплат, то с учетом равенства дисконтированной суммы всех выплат начальному долгу

Пример 9. Взят кредит 10 000 денежных единиц сроком на 4 года под 10% годовых. Как можно организовать поток платежей?

9

1) При погашении долга одним платежом y4 = 10 000 (1+0,1)4 = =14 641.

2) При равных процентных выплатах до последнего платежа y1 =

=y2 = y3 = 10 000 0,1=1 000; y4 = 10 000+1000 = 11 000. 3) При равных выплатах основного долга:

y1 = 10 000 ⁄ 4+10 000 0,1= 2 500 +1000 = 3 500; y2 = 10 000 ⁄ 4+(10 000 – 2 500) 0,1= 3250;

y3 = 10 000 ⁄ 4+(10 000 – 5 000) 0,1= 3000; y4 = 10 000 ⁄ 4+(10 000 – 7 500) 0,1= 2750. 4) При выплате одной и той же суммы

При замене одного займа другим следует определять параметры нового займа исходя из равенства современных величин потоков выплат по этим займам. При объединении займов в один сначала нужно найти современные величины остатков займов. Сумма этих величин дает современную величину займа-объединения. После этого можно подобрать параметры нового займа, удовлетворяющие кредитора и заемщика.

Пример 10. Имеем два займа: с выплатой 1200 через 3 месяца при 20% годовых и с выплатой 2500 через 6 месяцев при 10% годовых. Следует объединить займы в один и определить объем и соответствующий срок выплат, удовлетворяющих заемщика и кредитора.

Для объединения займов устанавливаем их современную

величину

А1 = 1200 ⁄(1+0,2)3/12 = 1147; А2 = 2500 ⁄(1+0,1)6/12 = 2384;

А = А1 + А2 = 3531.

Такую сумму следует выплатить сейчас для погашения обоих займов.

При погашении займов через месяц их современная величина

составит

А1 = 1200 ⁄(1+0,2)2/12 =1164; А2 = 2500 ⁄(1+0,1)5/12 = 2403.

Если объединенный заем будет выплачиваться через месяц, то сумма погашения составит 1164 +2403 = 3767 и т. д.