Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 298
Скачиваний: 1
6
mx + ny |
≤ mn |
|||||||||||
( m |
− n )x + ( − 1)n y ≤ m − n |
|||||||||||
n |
1) |
m |
my ≤ 0 |
|||||||||
( − 1) x + ( − |
||||||||||||
Пример: |
||||||||||||
2х + у ≤ |
10 |
|||||||||||
х + |
3у ≤ |
15 |
||||||||||
х + |
у ≥ |
0. |
||||||||||
Строим прямые, являющиеся границами области: |
||||||||||||
2х + у = 10, х + 3у = 15, х + у = 0. |
||||||||||||
х 0 5 |
х 0 |
15 |
х |
0 5 |
||||||||
у 10 |
0 |
у 5 |
0 |
у |
0 -5 |
|||||||
Выделяем части плоскости (полуплоскости), которые соответст- |
||||||||||||
вуют |
знакам неравенств. |
Для этого подставляем координаты произ- |
||||||||||
вольной точки в неравенства и проверяем их знак. Так для точки О(0;0) 1-е и 2-е неравенства выполняются, поэтому все точки плоскости, лежащие по одну сторону от прямых вместе с точкой О являются решением 2-х первых неравенств. Выполнение третьего неравенства нельзя проверить координатами точки О, т.к. получаем 0=0. Выбираем другую точку, например (0;5). Для него 3-е неравенство выполняется. Поэтому соответствующая полуплоскость лежит выше 3-ей прямой. Находим пересечение полуплоскостей и получаем область, соответствующую системе неравенств (на рисунке она заштрихована).
7
Контрольная работа № 2 Введение в математический анализ Дифференциальное исчисление
1. Найти пределы [1,68-77]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
(m − |
2n)x3 + nx2 + |
(m − n) x |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
m + nx − |
(2m − |
n)x3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
lim |
x3 − |
nx2 − |
( − |
1)m mx + |
( − 1)m nm |
, |
|||||||||||||||||||||||||
x2 + ( m − n )x − mn |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
в) lim ln(1+ |
( − 1)n |
2mxn − |
nxm ) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
nxn + |
mxm |
|||||||||||||||||||||||||||||
Примеры: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
a) lim |
2x3 |
− 4x2 + 1 |
= |
∞ |
2x3 − 4x2 + 1 ~ |
2x3 , 3 |
− 2x − |
x3 ~ − x3 |
= |
|||||||||||||||||||||||
3 − |
2x − x3 |
∞ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
lim |
2x3 |
= |
− 2. |
||||||||||||||||||||||||||||
− |
x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
x2 − 4 |
0 |
lim |
( x |
− 2 )( x + 2 ) |
= lim |
x + 2 |
4. |
||||||||||||||||||||||||
б) |
= |
= |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
( x |
− 2 )( x − 1) |
x − 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
2 x2 − |
3x − 2 |
0 |
x→ |
2 |
x→ 2 |
||||||||||||||||||||||||||
в) |
lim |
ln(1 |
− |
x3 ) |
= |
0 |
= |
ln(1− x3 ) ~ − |
x3 |
= |
lim |
− |
x3 |
= |
− |
lim x = |
0. |
|||||||||||||||
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ |
0 |
0 |
x→ 0 x2 |
x→ 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
2. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж [1, c.77-81]. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(− 1)m mx2 , x ≤ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y = |
(− 1)n nx + (− 1)n + (− 1)m ,0 " x ≤ m, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
(− |
1) |
m |
/(m − x), x ! m. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 ,x ≤ 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y = |
− 2x,0 " x ≤ 4; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
− |
4,x ! 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||
8
На интервалах (–∞ ;0), (0;4), (4;+∞ ) функция непрерывна. Исследуем поведение функции в точках х=0 и х=4.
lim |
y = |
lim |
3x2 = |
0 = y( 0 ). lim |
y = |
lim − |
2x = |
0. |
||
x→ 0− 0 |
x→ 0− 0 |
x→ |
0+ 0 |
x→ |
0+ 0 |
|||||
В точке х=0 функция непрерывна. |
||||||||||
lim |
y = |
lim |
− 2x = |
− 8 = y( 4 ). |
lim |
y = |
lim |
x − |
4 = 0. |
|
x→ 4− 0 |
x→ 4− 0 |
x→ |
4+ 0 |
x→ 4+ 0 |
||||||
В точке х=4 функция имеет разрыв 1-го рода.
3.Исследуйте поведение функций и постройте их графики [1, c. 81-
100].
а) |
y = ( − 1)n xn+ 2 + ( − 1)m( n + 2 )xк / k + ( n − m ), |
||||||||||||
1 |
( − 1)m + ( − 1)n |
||||||||||||
k = |
1+ |
, |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||
б) y = ( − 1)m x2 + n . |
|||||||||||||
( − 1)n xк − |
m |
||||||||||||
Примеры: а) у=5х4-4х5+1. |
|||||||||||||
Область определения функции (–∞ ;+∞ ). |
|||||||||||||
lim y = |
lim ( 5x4 − 4x5 + 1) = |
lim ( − 4x5 ) = #∞ . |
|||||||||||
x→ |
±∞ |
x→ |
±∞ |
x→ ±∞ |
|||||||||
Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. |
|||||||||||||
Находим наклонные асимптоты у=kх+b. |
|||||||||||||
k = |
lim |
y |
= |
lim |
5x4 − |
4x5 + 1 |
= |
lim ( 5x3 − 4x4 + 1/ x ) = |
lim − |
4x4 = −∞ . |
|||
x→ ∞ |
x |
x→ ∞ |
x |
x→ ∞ |
x→ ∞ |
||||||||
Следовательно, наклонных асимптот нет. |
|||||||||||||
Устанавливаем |
области |
монотонности и находим |
экстремумы |
||||||||||
9
функции:
у′=20х3-20х4=0, х3-х4=0, х3(1-х)=0.
х1=0, х2=1 – критические точки на экстремум.
Определяем знаки производной на интервалах и соответственно области монотонности:
Т.о. ymin( 0 ) = 1, ymax(1) = 2.
Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и находим точки перегиба: y′′=(20x3–20x4)′=60x2–80x3=0,
3х2 – 4х3 = 0; х1 = 0, х2 = 3/4 – критические точки на перегиб. Определяем знаки второй производной на интервалах, а по ним -
области выпуклости и вогнутости графика: Т.о. х2 =3/4 – точка перегиба, у(3/4) = 1,6.
Составляем таблицу характерных точек функции и по ней строим ее график:
х |
-∞ |
0 |
3/4 |
1 |
+∞ |
у |
+∞ |
1 |
1,6 |
2 |
-∞ |
• |
y |
||||||
(+∞ ) |
|||||||
2 |
• |
• |
|||||
1 |
• |
||||||
(– ∞ |
) |
0 |
3/4 |
1 |
(+∞ |
) |
x |
(– ∞ |
) |
• |
|||||