Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 313

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

20

Продолжение табл. 6.1

33

2,7

13,71

4,85

147

3,86

2,52

30

76

34

1,8

19,5

6,73

187

3,79

2,47

29

72,1

35

2,1

15,33

4,76

133

3,43

2,26

29

78,3

36

2,2

16,8

6,11

182

3,98

2,59

27

84,7

37

2,7

13,71

5,82

156

4,14

2,68

29

79,2

38

2,5

14,25

5,29

139

4,16

2,69

31

70,7

39

2,3

14,79

6,26

174

3,91

2,80

41

60,7

40

2,7

13,71

4,6

124

3,74

2,45

28

77,6

41

2,4

14,52

5,53

154

4,25

2,75

25

80

42

2

14,5

5,59

168

4,08

2,65

43

68,6

43

2,6

13,98

5,13

143

4,41

2,85

36

71,2

44

3

11,4

6,09

179

4,33

2,80

34

72,8

45

2,3

14,79

6,67

203

3,93

2,56

30

76

46

2

15,6

5,22

146

3,58

2,35

33

73,6

47

2,2

15,06

5,77

161

3,87

2,52

35

72

48

2,2

15,06

5,61

160

3,68

2,60

26

79,2

49

2,7

13,71

5,23

146

4,23

3,10

34

72,8

50

2,2

15,06

6,15

171

3,66

2,39

35

74,2

Пример. На угольных предприятиях исследовали производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина Х). Результаты наблюдений приведены в табл.6.2.

Таблица 6.2

№

Х

№

Х

№

Х

№

Х

№

Х

1

0,32

11

0,19

21

0,16

31

0,15

41

0,15

2

0,16

12

0,16

22

0,33

32

0,18

42

0,19

3

0,27

13

0,14

23

0,23

33

0,21

43

0,31

4

0,25

14

0,27

24

0,35

34

0,26

44

0,22

5

0,29

15

0,18

25

0,20

35

0,27

45

0,23

6

0,17

16

0,24

26

0,17

36

0,22

46

0,36

7

0,18

17

0,12

27

0,25

37

0,23

47

0,31

8

0,22

18

0,24

28

0,20

38

0,16

48

0,21

9

0,29

19

0,21

29

0,18

39

0,18

49

0,16

10

0,25

20

0,23

30

0,17

40

0,17

50

0,28

Задание 1. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг)

21

h =

xmax − xmin

,

1+ 3,2lg n

где

xmax ,

xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения

признака Х;

n - объем выборки. Из табл. 6.2

находим xmax = 0,36 ;

xmin

= 0,12 ;

n = 50. Тогда

h =

0,36 − 0,12

=

0,24

≈ 0,037

≈

0,04.

1+ 3,2lg 50

6,44

При этом шаг рассчитываем с той же точностью, с которой заданы исходные данные.

Определим

границы

интервалов [l0 ,l1),[l1,l2 ),...,[lk − 1,lk ],

где

l0 =

xmin = 0,12;

l1 =

l0 + h =

0,12 + 0,04 = 0,16;...,

lk

= lk − 1 + h и так

до

тех пор, пока xmax =

0,36 не попадет в последний интервал.

Составим интервальный вариационный ряд (табл.6. 3).

Таблица 6.3

№

Интервалы

Частота mi

Относительная

Накопленная

относительная час-

частота pi

тота Fi

1

2

3

4

5

1

0,12 - 0,16

4

0,08

0,08

2

0,16 - 0,20

16

0,32

0,40

3

0,20 - 0,24

14

0,28

0,68

4

0,24 - 0,28

8

0,16

0,84

5

0,28 - 0,32

5

0,10

0,94

6

0,32 - 0,36

3

0.06

1,00

50

1

Частота mi - число значений признака Х, попадающих в i − й

ин-

тервал [li− 1,li )

(столбец 3). При этом сумма частот должна равняться

объему выборки, ∑ mi = n.

i

mi

Относительная частота

p =

попадания в

i −

й интервал служит

i

n

оценкой вероятности того, что признак Х примет значение, принадлежащее i − му интервалу (столбец 4). Их сумма должна быть равна еди-

нице: ∑ pi = 1.

i

22

Накопленная относительная частота Fi (столбец 5) определяется как сумма относительных частот i − го и всех предшествующих ему интервалов.

Для вычисления выборочных характеристик составим расчетную таблицу.

Таблица 6.4

x

m

i

xi mi

xi − x

(x

i

− x)2

(x

i

− x)2 m

i

№

i

2

3

4

5

6

7

1

0,14

4

0,56

-0,08

0,0064

0,0256

2

0,18

16

2,88

-0,04

0,0016

0,0256

3

0,22

14

3,08

0

0

0

4

0,26

8

2,08

0,04

0,0016

0,0128

5

0,30

5

1,50

0,08

0,0064

0,0320

6

0,34

3

1,01

0,12

0,0144

0,0432

50

11,11

0,1392

Во

2-м столбце

таблицы

записаны середины интервалов

x

=

li − 1 +

li

. Например,

x1 =

1

(0,12 + 0,16) = 0,14 – середина первого

i

2

2

интервала.

Рассчитаем числовые характеристики интервального ряда. Выбо-

6

∑ ximi

11,11

рочное среднее равно:

x =

i = 1

=

≈

0,22.

50

n

6

x)2 mi

Sx2 =

∑ (xi

−

0,1392

Выборочная дисперсия

i = 1

=

≈ 0,0028 .

n

50

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Sx =

Sx2 =

0,0028 ≈

0,053.

По данным интервального ряда (табл. 6.3) построим гистограмму

(рис.6.1). По оси OX откладываем интервалы, по оси OY соответствующие им частоты.

23

mi

16

12

8

4

0

0,16

0,20

0,24

0,28

0,32

X

0,12

0,36

Рис.6.1. Распределение производительности труда рабочих

Задание 2. По виду гистограммы предполагаем, что производительность труда Х распределена по нормальному закону. Кроме того, проверим, удовлетворяют ли выборочные числовые характеристики особенностям этого распределения. Имеем, во-первых,

xmax +

xmin

=

0,12 +

0,36

=

0,24,

2

2

что близко к x ≈ 0,22; и, во-вторых,

xmax −

xmin

=

0,36 −

0,12

=

0,04

6

6

близко к Sx ≈ 0,053, что не противоречит сделанному предположению

о характере распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет два параметра, a и σ , которые оценены как a = x ≈ 0,22 , σ = Sx ≈ 0,053.

Итак, функция плотности вероятности теоретического закона распределения имеет вид

1

−

(x− 0,22)2

2

f (x) =

e 2(0,053)

0,053

2π

Для проверки согласованности теоретического и наблюдаемого распределений рассчитаем теоретические частоты, округляя их значения до целых. Результаты вычислений приведены в табл. 6.5.

Смотрите также файлы