Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные задания и методические указания.pdf

10

б)

у =

х2 +

2

.

3 −

х

;3)

Область определения функции (-∞

(3;+∞

).

lim

x2

+

2

=

lim

x

2

= #∞ .

3 − x

−

x

x→

±∞

x→

±∞

В точке x=3 функция терпит разрыв.

lim

x2 +

2

11

#∞ ,

то есть разрыв 2-го рода и x=3 – урав-

=

=

− x

x→

3± 0 3

# 0

нение вертикальной асимптоты.

Находим наклонные асимптоты:

k =

lim

x2

+ 2

lim

x2 +

2

∞

lim

x2

− 1,

=

=

=

=

(3 −

x) x

3x −

x2

∞

x2

x→

∞

x→ ∞

x→ ∞ −

x

2

+

2

(−

1)

2 +

3x

3x

b =

lim

−

x =

lim

=

lim

=

− 3.

x→

∞

3 − x

x→ ∞

3 − x

x→ ∞

− x

y = - x -3 – уравнение наклонной асимптоты.

Исследуем функцию на экстремум:

x2

+ 2

′

2 + 6x − x2

2

y′

=

= 0, 2 + 6x –x = 0

=

3 −

x

(3 −

x)

2

y′

–

•

+

ο

+

•

–

y

убыв.

- 0,3 возр.

3 возр.

6,3 убыв.

ymin(-0,3)≈

0,6; ymax(6,3)≈

- 12,6.

(Исследование графика данной функции на выпуклость и вогну-

тость можно не проводить).

Составляем таблицу характерных значений функции и строим ее

график с учетом асимптот.

x

- ∞

- 0,3

3-0

3+0

6,3

+∞

y

+∞

0,6

+∞

- ∞

- 12,6

- ∞

а) z =

(− 1)n mx3 ym− n +

(n − 2m)x2n− m y3 + nxy,

б) z =

mxn− 5 + nym + х.

Пример:

z = 2x3/y + 4x2y3 + x – 1.

z'x

=

y =

const

=

2 3x2 / y + 4 2xy3 = 6x2 / y + 8xy3 + 1,

z'y

=

x =

const

=

− 2x3 y−

2 +

4x2 3y2 ,

z''

=

( 6x2 / y +

8xy3 + 1)'

= 12x / y + 8y3 ,

xx

x

z''

=

( − 2x3 y− 2 +

12x2 y2 )'

= − 2x3 ( − 2 )y− 3 + 12x2 2 y =

yy

y

= 4x3 / y3 + 24x2 y,

z'xy' = z'yx'

= ( z'x )'y = ( 6x2 y− 1 + 8xy3 + 1)'y = − 6x2 y− 2 + 24xy2 .

12

б)

z = (− 1)n mx2 +

(− 1)m ny2 −

2mnxy +

m.

Пример: z =

3x2 +

y2 + 12x −

2 y + 2.

Находим частные производные и критические точки на экстре-

мум:

'

= 6x +

12y

6x +

12 = 0

x = − 2

zx

,

,

- критическая точка.

z'

= 2 y

− 2

2 y −

2 = 0

y = 1.

y

Находим вторые частные производные и их значения в критиче-

ской точке:

z'xx' = 6 = A,z'yy' = 2 = C,z'xy' = 0 = B.

Вычисляем значение ∆

=AC –B2 = 12.

Т.к. ∆ >0, то в критической точке существует экстремум. С учетом

того, что А, В>0, то это минимум.

Вычисляем значение минимума функции zmin =

− 11.

Нетрудно проверить,

что

функция

z =

3x2 − y2 +

12x −

2 y + 2

не

имеет экстремумов, т.к. в этом случае ∆

< 0.

направлению

вектора

$

3. Найдите градиент и производную

по

а

функции z в точке М .

z =

(m − 2n)x2 y + (n − 2m)xy2 + (n − m)xy + m,

$

a = {m − 4, n − 3} , M (5 − m, n − 6).

Пример: z =

3x2 y − 2xy2 +

3xy +

$

{− 1;2} ,M ( −

3;1).

1,a =

Находим частные производные и их значения в точке М:

z'x = 6xy − 2y2 + 3y, z'y = 3x2 − 4xy + 3x.

z'x( − 3;1) = − 17,

z'y ( − 3;1) = 30.

Полученные значения являются координатами градиента функции

в заданной точке, т.е. grad z =

{− 17;30} .

Вычисляем производную функции в точке М по

направлению

вектора

$

:

$

а

−

1

2

77

z'a$

=

a

− 17

+

30

=

≈ 34,4.

grad( z ) $ =

12

+ 22

+ 22

5

a

12

13

а) ∫

[ mx3 + ( m − n )x + ( − 1)m n ]dx

,

( − 1)n x + ( 2m − 3n )

б) ∫

[ nx2 + ( n −

5 )x + ( − 1)n m ]dx

.

x

2 − ( n + 1)x + n

Пример: ∫

( 3x3

+ 4 )dx

.

x2 −

x − 2

Выделяем целую и дробную части функции:

3х3+4

I x2-x-2

-( 3x3-3x2-6x)

I 3x+3

3x2+6x+4

-(3x2-3x-6)

9x+10,

т.о.

3х3 +

4

= (3х+3) +

9

х + 10

.

х2 − х − 2

х2

− х −

2

9х + 10

=

А

+

В

=

А( х − 2 ) + В( х + 1)

=

х2 − х −

2

х +

1

х −

2

х2 − х − 2

=

( А + В )х + ( − 2А + В )

,

А +

В =

9

А = − 1

/ 3

.

х2 − х − 2

2А +

В =

10,

В = 28

/ 3

−

Интегрируем целую часть и простейшие дроби:

∫

( 3x3

+ 4 )dx

= ∫( 3х + 3

+

− 1

/ 3

+

28

/ 3

)dx =

x2 − x − 2

х + 1

х −

2

=

3

х

2

+ 3х

-

1

Ln

x + 1

+

28

Ln

x − 2

+ С.

2

3

3

(х+3)4 = 8(х+3), х1 = -3;

(х+3)3 = 8, х2 = -1.

Вычисляем площадь фигуры, ограниченной графиками заданных

функций:

2

3

− 1

S = ∫[ 8( x +

3 ) − ( x +

3 )2

]dx = [8

( x + 3 )

−

( x + 3 )

]

−− 13 =

− 3

2

3

= 8

22

−

23

= 16 −

8

=

40

≈ 13,33.

2

3

3

3

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения [2,

c.62-66].

y′ = mxm− 2n ym / n.

Пример: у′

= 4х3у3/2.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-

ными.

Записываем производную как отношение дифференциалов

dy

= 4х3у3/2, разделяем переменные

dy

= 4x3 dx

и интегрируем

dx

y3 / 2

∫ у− 3 / 2dy = 4∫x3dx .

Имеем у-1/2/(-1/2) = 4х4/4 + С.

Окончательно получаем

у = 1/(х3+С)2.

4. Решите задачу Коши [2, c.67-71].

′

m y

n− 2m

y

+ (− 1) x = nx

+ m, y(1) = 2m − 3n.