Файл: В.М. Волков Эконометрика. методические указания, задания и пример выполнения контрольной работы для студентов экономических специальностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 286
Скачиваний: 0
10
дисперсий продолжается. Здесь |
||||||
F |
= (s |
n−1 |
)2 s |
2 |
, |
(24) |
n |
n |
|||||
а Fкр = F(α, k1 , k2), где α – принятый уровень значимости; k1 = N– n, k2 = N – n – 1 – степени свободы.
Для 5% уровня значимости критические значения распределения Фишера Fкр приведены в табл. 1.
Последовательность дисперсий (23) убывает с ростом n , и при некотором значении p = n – 1 выполняется неравенство Fn < Fкр. Полученное значение p и является степенью полиномиального тренда.
Дисперсия sp2 называется дисперсией случайности, а разности порядка p являются случайной компонентой временного ряда.
8. Выделение полиномиального тренда
После определения степени полиномиального тренда методом наименьших квадратов находят уравнение тренда (оценка его
коэффициентов). |
|
Для p = 1 – линейного тренда |
|
yt = at +b , |
(25) |
оценки коэффициентов находятся из системы линейных уравнений:
a∑t2 +b∑t = ∑t ut (26)a∑t +bN = ∑ut .
Для p = 2 – параболического тренда
y = at2 +bt +c , |
(27) |
||
t |
|||
соответственно из системы: |
|||
a∑t4 +b∑t3 +c∑t2 = ∑t2u ; |
|||
t |
|||
= ∑tut ; |
(28) |
||
a∑t3 +b∑t 2 +c∑t |
|||
a∑t 2 +b∑t +cN = ∑u . |
|||
t |
|||
9. Проверка адекватности трендовой модели
Для получения надежного, долговременного прогноза необходимо проверить трендовую модель на адекватность. То есть выяснить, не являются ли ошибки выбранной аппроксимации также трендовой моделью. А это означает, что случайная составляющая в выбранной
11
модели не была исключена. Поэтому рассматривают ряд остатков –
разность значений ряда и значений тренда |
|
εt = ut - yt . |
(29) |
Таким образом, проверяют следующие гипотезы:
а) о случайности ряда остатков методом поворотных точек в соответствии с формулой (11). Если гипотеза о случайности ряда остатков отвергается, то трендовую модель следует считать неадекватной;
б) о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю по статистике
t =εt n / sε , |
(30) |
где εt - среднее значение ряда остатков, sε – среднее квадратическое
ряда остатков.
На 5% уровне значимости вычисленное значение t сравнивается с критическим значением, взятым из табл.2, с n-1 степенями свободы. Если гипотеза отвергается, то модель считается неадекватной на 5% уровне значимости;
в) отсутствие автокорреляции ряда остатков; для проверки этой гипотезы используется критерий Дарбина-Уотсона со статистикой
n |
n |
2 . |
|
D= ∑(εt −εt −1 )2 |
∑εt |
(31) |
|
t =2 |
t =1 |
||
Если D [2;4], следует использовать вспомогательную статистику |
|||
D1=4–D.
Расчетное значение D или D1 сравнивается с верхним d2 и нижним d1 критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона, представленными в табл.4, для различной длины ряда N и числа определяемых параметров модели k на уровне значимости 5%.
Таблица 4
N |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
||||||
d1 |
d2 |
d1 |
d2 |
d1 |
d2 |
||||
15 |
1,08 |
1,36 |
0,95 |
1,54 |
0,82 |
1,75 |
|||
20 |
1,20 |
1,41 |
1,10 |
1,54 |
1,00 |
1,68 |
|||
30 |
1,35 |
1,49 |
1,28 |
1,57 |
1,21 |
1,65 |
|||
Если расчетное значение критерия D больше верхнего табличного значения d2, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается. Если значение D меньше нижнего табличного значения
12
d1, то эта гипотеза отвергается, и модель неадекватна. Если значение D находится между значениями d1 и d2, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод, и необходимы дальнейшие исследования, например по большему числу наблюдений.
Трендовая модель считается адекватной, если подтверждены все три гипотезы а), б), в).
10. Краткосрочный и долгосрочный прогнозы значений временного ряда
Кратковременный прогноз значений временного ряда на один шаг для t = N+1 находится с помощью метода скользящих средних по m последним значениям ряда на основе выбора наиболее достоверной модели из п. 5, 6.
Долговременное прогнозирование значений временного ряда на k
шагов вперед осуществляется~по уравнениям тренда: |
||
uN +k = a(N +k)+b , |
(32) |
|
если он линейный, и |
||
~ |
2 |
(33) |
uN +k |
= a(N + k) + b(N + k)+ c |
|
в случае параболического тренда.
11. Пример выполнения контрольного задания
Временной ряд представляет среднюю заработную плату работников угольной промышленности Кузбасса за 10 месяцев 1992
года в тыс. рублей: 32,33, 36, 41, 68, 57, 96, 113, 132,113. 1. Строим график временного ряда.
140 |
|||||||||
120 |
|||||||||
100 |
|||||||||
80 |
|||||||||
60 |
|||||||||
40 |
|||||||||
20 |
|||||||||
0 |
t |
||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 |
13
Вычисляем среднее значение
1 10
ut = 10 t∑=1ut = 72 ,
дисперсию
s2 = |
1 10∑(u |
−72)2 |
=1461,9, |
9 t =1 t |
среднее квадратическое отклонение s= s2 = 1461,9 = 38,2.
2. Проводим линейное сглаживание временного ряда по m = 5 точкам по формулам (5) и (7).
Заданные и сглаженные значения временного ряда заносим в таблицу. Строим графики этих рядов.
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
ut |
32 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
113 |
~ |
26 |
34 |
42 |
47 |
60 |
75 |
93 |
102 |
117 |
132 |
ut |
140 |
|||||||||
120 |
|||||||||
100 |
|||||||||
80 |
|||||||||
60 |
|||||||||
40 |
|||||||||
20 |
|||||||||
0 |
t |
||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 |
График сглаженного ряда показывает монотонное возрастание значений ряда во времени.
3. Проверяем гипотезу о случайности ряда на основе сравнения средних первой и второй половины ряда. Предварительно вычисляем величины:
1 |
5 |
1 |
10 |
||||||||
u |
= |
∑u |
=42 , u |
= |
∑u |
=102,2 , |
|||||
5 |
5 |
||||||||||
п |
1 |
t |
в |
6 |
t |
||||||
14
2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
1 |
10 |
2 |
|||||
s |
п |
= |
∑(u |
−42) = 223,5 , |
s |
= |
∑ |
(u |
−102,2) =800,7 . |
|||
4 |
t |
в |
4 |
6 |
t |
|||||||
1 |
Проверяем гипотезу о равенстве дисперсий первой и второй половины ряда по критерию Фишера (9):
F= sв2 = 800,7 = 3,58. sп2 223,5
Из табл.1 находим Fкр= 5,0. Так как 3,58<5,0, гипотеза о равенстве дисперсий принимается.
Вычисляем величину t по формуле (10):
t = |
42−102,2 |
5 5 (5 +5 −2) |
=− 4,21 . |
|||||
4 223,5 +4 800,7 |
5 +5 |
|||||||
По |
табл. 2 определяем tкр =t8;0,05 =2,38. Так как |
t |
> tкр, то |
|||||
различия между средними первой и второй половинами ряда значимы, ряд случаен, и временной тренд существует.
4. Проводим автокорреляционный анализ временного ряда. Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формуле (12),
предварительно составив следующие таблицы. В последнем столбце каждой таблицы вычислено среднее значение.
k = 1
ut |
32 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
68 |
|||||||
ut+1 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
113 |
77 |
|||||||
ut ut+1 |
1056 |
1188 |
1476 |
2788 |
3876 |
5472 |
10848 |
14916 |
14916 |
6282 |
|||||||
Для величины ut дисперсия |
2 |
||||||||||||||||
9 |
|||||||||||||||||
=1412,5 . |
|||||||||||||||||
s 2 = 1 ∑(u −68) |
|||||||||||||||||
Для величины ut+1 |
1 |
8 t =1 |
t |
||||||||||||||
дисперсия |
2 |
||||||||||||||||
9 |
|||||||||||||||||
s |
2 = |
−77) =1421,5 . |
|||||||||||||||
1 ∑(u |
|||||||||||||||||
2 |
8 t =1 t |
+1 |
|||||||||||||||
Коэффициент корреляции |
|||||||||||||||||
r 1 = |
6282 −68 77 |
= 0,74 . |
|||||||||||||||
1412,5 1421,5 |
|||||||||||||||||
k = 2