Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 74

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

7

Решить уравнения.

14. x2 + 2x + x2 + x = 5 .

Перепишем уравнение:

х2+2х+1-1 =-(х2+х+1/4-1/4)+5; (х+1)2-1 =-(х+1/2)2+21/4.

y1 =

( x +1 )2 −1

.

у2=-(х+1/2)2+21/4.

Решением являются

точки пересечения графиков у1

и y2

(рис. 15.), т.е. решим

аналитически: x2 + 2x = −x2 − x −5 . 2x2 + 3x + 5 =0 .

x1,2 = (−3 ± 9 +40 )= (−3 ±7)

= −5

; 1.

4

 

4

2

 

Ответ: х1 = -5/2, х2 = 1.

у

5

х

Рис. 15

15.

x +6

x −9 +

x −6

x −9 = 6.

 

 

 

 

Область допустимых значений: х≥9. Введем пере-

 

менную

x −9 =t ;

x −9 = t2 ; x = t2 + 9 х=t2+9; t≥0.

 

Тогда имеем:

 

t 2 +9 +6t

+

 

t 2 +9 −6t

= 6;

 

(t +32 )+

 

(t −32 )

= 6 или t+3 =6- t-3 .

у

Последнее уравнение решим графически (рис.16).

 

3≤t≤3, т.к. на этом участке y1 совпадает с

y2 с уче-

 

том, что t ≥ 0 , x −9 ≤3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим неравенство графически:

 

 

 

y1 =

x −9 ;

y2 =3 (рис. 17), y1 = y2 ;

x −9 = 9 ;

 

x =18 .

 

9 ≤ x ≤18 .

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

у

 

у1

 

у2

 

t

Рис. 16.

9

18

х

 

Рис. 17

 

16. Решить неравенство:

 

x −7 ≤3 − x −4 .

 

 

 

 

у

 

 

 

у1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим графически. Область допустимых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значений: x

≤ 4 . Введем функции:

 

 

 

 

 

 

 

у2

 

 

 

y2 =3 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у1= х-7 ;

 

 

x −4

 

 

(рис.

18). у2≥0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х1

 

 

х2

х

x1 ≤ x ≤ x2 .

 

x1

находим

из

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 18

 

 

7 − x =3 −

 

x −4 ; 4 − x = −

x −4 ; 16-8х+х2=х-4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

9 ±

 

 

 

=5; 4 .

 

 

 

 

 

х2-9х+20=0;

 

 

 

x

81−80

x

2

находим

из

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x −7 =3 −

 

 

 

;

x −10 = −

x −4 ; х<10,

т.к. левая часть отрицательна, имеем

 

 

x −4

после

возведения

 

обеих

частей в

квадрат: x2 − 20x +100 = x −4 ;

x2 − 21x +104 =0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

21±

 

 

441−416

 

=

21±5

=13; 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

2≤ x ≤8 .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 5

 

 

 

 

 

 

 

 

17. 3 x +1 −3 ≥ x2 −2x −3 .

Решение начинаем с области допустимых значений:

1)х+1≥ 3 – решаем неравенство графически (рис. 19). x ≤ −4, x ≥ 2 ;

2)x −2x −3 ≥ 0; (x −1)2 −4 ≥ 0 , (рис. 20) x ≥3; x ≤ −1.

 

 

у

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

3

х

-4

 

2

-4

-1

2

х

-3

 

 

-1

3

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 21.

 

Таким образом, имеем область допустимых значений Возвращаемся к основному неравенству. Возведем

обе части в квадрат, получаем: 9( х+1 -3) ≥ х2-2х-3. Решим это неравенство графически (рис. 22.):

у1=9 х+1 -27;

y2 =(х-1)2–4,

т.е. у1 пересекает y2 в

одной точке, которую находим из уравнения:

9 (х+1) –27=х2-2х-3; х2-11х+15=0;

x =11±

 

=

11±

 

 

 

;

11±

 

 

<3.

121−60

61

61

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 3 ≤ x ≤( 11 + 61 ) / 2 .

x ≥ 3 ; x ≤ −4 (рис. 21).

х

22

Рис. 22.

Рассмотрим график дробно-линейной функции. 18. у= (2х-3)/(х+2) .

Перепишем функцию:

у= (2х-3)/(х+2) = {2(х-3/2+2-2)} /(x+2) = {2(x+2)-(7/2)·2}/(x+2) = 2-7/(x+2) .

9

График этой функции получаем, смещая центр гиперболы в точку (-2, 2) с учетом, что коэффициент сжатия (-7), т.е. график располагается во второй и четвертой четвертях, причем часть гиперболы, лежащая ниже оси ОХ, отображается в верхнюю плоскость

(рис. 23).

19. (3х+1)/(х-3) <3.

ОДЗ: x ≠ 3. Умножим обе части неравенства на положительное число х-3 , будем иметь:

3х+1 <3 х-3 ; 3 х+1/3 <3 х-3 .

Знак неравенства не меняется. Построим графики у1= х+1/3 и у2= х-3 . Очевидно, что у1< y2 при x < x0 , x0 найдем из пересечения прямых:

x +1 / 3 = −x + 3 ; 2x = 3 −1 / 3; x

=

8

=

4

2 3

3

(рис. 24).

0

 

 

4 .

 

 

 

 

Ответ: x <

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

у

х

Рис. 23

у

х0 х

Рис. 24.

Графический метод используют при решении уравнений, содержащих параметр. Рассмотрим следующие примеры:

20. При каких значениях

a уравнение:

 

ax −4

 

= x −3 имеет два решения?

 

 

Введем обозначения

y1 =

 

ax −4

 

;

 

y2 = x −3. Построим график функции y2

 

 

 

(рис.25). График у1>0 получаем отображением прямой у=ах-4, лежащей ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость, a – угловой коэффициент;

a=tgα, где α - угол наклона прямой. Очевидно, что вершина графика ах-4 должна лежать между

точками (3, 0)

и (4, 0), левая ветвь проходит через

точку (0, 4),

a >0, т.к. если a <0, то решений нет;

при a =1 – одно решение, т.к. отображенный угол у1 параллелен графику у2; при a =4/3 – множество

решений, т.к. луч у1 совпадает с y2 .

Ответ: 1<a<4/3.

у

 

у1

 

у2

х

Рис. 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. При каких значениях a уравнение

 

 

2x −4

 

= ax −1

 

 

у

 

 

 

 

 

имеет два решения?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения у1=2 х-2 ; у2=ах–1. По-

 

 

 

у1

строим график функции y1 (рис.

26). Очевидно, что

 

 

 

 

 

 

график функции у2 должен располагаться в растворе

 

 

 

 

 

 

угла. Полагая, что график у2 совпадает с одним из лу-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

чей угла; при a =1/2 и a =2 имеем одну точку пересе-

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 26

чения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1/2<a<2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. При каких значениях a уравнение

 

x2 −5x +6

 

= ax имеет три решения?

 

 

 

 

Введем

обозначения:

y

 

=

 

x2 −5x +6

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 = ax .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

рис.27

представлен

график

функции:

 

 

 

у2

 

y =

 

(x −5 / 2)2

−1 / 4

 

2). График функции

 

 

y

 

= ax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

– прямая с угловым коэффициентом

 

 

a >0 (т.к. при

 

Рис. 27.

a <0 –

решений

нет), проходящая через

начало

 

 

 

 

 

 

координат, с графиком функции y2 имеет три точки пересечения лишь в том случае, когда касается участка графика, заключенного в промежутке (2, 3), т.е. имеет одну точку пересечения с параболой y3 = −(x −5 / 2)2 +1 / 4 . Решаем уравнение

 

y

2

= y ; ax = −x2

+5x −6 ;

квадратное

уравнение x2

−5x + ax +6 =0

имеет

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0=(а-5)2–24;

одно

 

 

 

 

 

 

решение,

 

если

дискриминант

равен

 

нулю:

a2 −10a + 25 −24 =0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 −10a +1 =0 ;

a1,2

= 5 ±

 

25 −1 = 5 ± 24 = 5 +

 

;

5 −

 

.

 

 

 

 

 

 

24

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При a1 = 5 +

 

 

>1;

y2 = ax пересечет y1 в двух точках,

 

 

 

 

 

 

 

 

24

следовательно,

это значение а не подходит.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: a = 5 − 2 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

 

 

 

 

При

 

каких

 

значениях

k

уравнение:

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

E

 

 

x

 

−3

 

= k(x −9) имеет 1, 2, 3, 4 решения?

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 =

 

x

 

−3

 

; y2 = k(x −9).Построим график функции

 

-3

 

3

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 (рис. 28). График функции y2 – прямая, смещенная

 

 

Рис. 28

 

 

Смотрите также файлы