Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf

20

При решении задач на равномерное движение удобно рассматривать график в

системе координат Sot, где S – путь,

t – время. При этом v – скорость движения

v=S/t- есть величина тангенса угла наклона прямой к оси Ot.

39. Скорый поезд был задержан у семафора на 16

S

мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 80 км,

идя со скоростью на 10 км/час больше, чем по рас-

писанию. Определить скорость поезда по расписа-

80

нию.

Строим график (рис. 45). Введем обозначе-

ния: v1 – скорость поезда по расписанию; v2 – ско-

рость поезда после задержки у семафора. v2=v1+10;

16

Рис. 45

t

t1 – время прохождения всего пути по расписанию;

t1=80/v1; t2 – действительное время прохождения

пути, t2=t1–4/15; (4/15 часа=16 мин); t2=80/(v1+10). Тогда 80/v1=80/(v1+10)+4/15 –

уравнение относительно v1.

15×20 (v1+10)=20×15v1+v12+10v1; v12+10v1–3000=0;

(v1)1.2=-5±√25+3000=-5±55=50, –60, т.к. v1>0.

Ответ: v1=50 км/ч.

40. Если велосипедист и мотоциклист выедут одновременно из двух пунктов на-

встречу друг другу, то они встретятся через 1 ч 20 мин. Если они выедут одновре-

менно в одном направлении, то мотоциклист догонит

S

велосипедиста через 4 ч. Найти отношение скорости

мотоциклиста к скорости велосипедиста.

Введем обозначения: vв – скорость велосипеди-

ста; vм – скорость мотоциклиста. Строим график (рис.

46). 1 час 20 мин = 4/3 часа. S – путь между двумя

пунктами.

S=vм× 4/3+vв×4/3=4/3(vм +vв); (S+vв×4)/vм =4 (ч).

(4/3vм+4/3vв+4 vв)/vм=4;

16/3vв=4vм–4/3vм;

16/3vв

=

4/3ч

4ч

t

8/3vм; vм/ vв = 2.

Ответ: 2.

Рис. 46

Рассмотрим другой тип задачи:

41. В школе 220 учеников: 163 играют в баскетбол, 175 –

в футбол, 24 – ни во что не играют. Сколько учеников од-

24

новременно играют в футбол и баскетбол?

21

?

33

Графически играющих учеников можно изобразить

некоторыми множествами (рис.47).

Множество

учени-

ков, играющих в баскетбол обозначено штрихами, мно-

жество учеников, играющих в футбол – точками. Найти

Рис. 47

При каких значениях параметра а уравнение

9x −4 3x + 3 = 3x −a имеет

решения? Найдем решение.

Введем новую переменную t=3х; t>0, перепишем

y

у1

уравнение:

t2 −4t +3 = t −a .

Так как левая часть неотрицательна, t-a≥0. Обо-

значим y =

t2 −4t + 3

; y

2

= t −a ; у1≥0; у2≥0,

по-

1

строим эти функции в плоскости tOY.

-у0

3

График

y1 – гипербола с центром (2, 0), полу-

у2

осями по t и Y1, так как после возведения обеих частей

в квадрат и выделения полного квадрата поt , получаем

Рис. 48.

(t-2)2-у12=1, причем только ветви, расположенные в

первой четверти (t>0, y1≥0). График y2 – прямая, смещенная

по OY на а, угловой

коэффициент - 1 (рис. 48.)

условия t=0: у12=3; у0=√3.

Точку пересечения ищем, возводя первое уравнение в квадрат: -4t+3=-2at+a2,

откуда t=(a2-3)/2(a-2), или

х=log3(а2-3)/[2(а-2)].

Ответ: 2<a≤3; -√3<a≤1; х= log3{(а2-3)/2(а-2)}.

2) При каких значениях параметра а уравнение

lg(1/ 2

x +3

) −lg(1− x) −lg lg a = 0 имеет

три

у

решения?

у1

Область определения a > 0 ; x <1. Перепи-

шем уравнение в виде:

у2

lg1/ 2

x +3

(1− x) =lglg a ,

1/ 2

x +3

(1− x) =lg a .

Обозначим y1 =1/ 2

x +3

(1− x);

Рис. 49.

y2 = lg a = const . Построим график y1 .

При x = −3, x =1,

y

= 0. x > −3, y = (−x2 −2x +3) / 2 = −1/ 2(x +1)2

+2 .

1

1

x < −3 y =1/ 2(x +1)2

+2 . Это параболы с вершинами (-1; 2) при x > −3, (-1, -2)

1

при x < −3; y1 ≥ 0 .

y1 пересекает y2 = const в трех точках при 0 < y2 < 2.