Файл: Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 263
Скачиваний: 0
16
бивается на четыре области: верхняя: а>х–4; а>2–х; в |
а |
|||||
этой области уравнение: а–2+х–х+а+4=9; |
2а=7; |
|||||
а=7/2, нижняя: а<х–4; а<2–х здесь имеем уравнение: |
||||||
2–а–х+х–а–4=9; -2а=11; а=-11/2. |
||||||
Чтобы найти, как меняется при этом х, найдем |
||||||
точки пересечения диагоналей квадрата с а=7/2, т.е. |
х |
|||||
х1=7/2+4; х2=2–7/2=-3/2. |
||||||
Ответ: а=-11/2; а=7/2; -3/2≤х≤15/2; -11/2<a<7/2; |
||||||
х=-3/2, х=15/2. |
Рис. 38 |
|||||
33. В зависимости от значений параметра a определить число корней уравнения:
х2+4х-2 х-а +2-а=0.
На плоскости (х; а) строим прямую х-а=0, которая разобьет плоскость на две области. В I области уравнение принимает вид: а1=-(х+1)2-1 – парабола с вершиной (-1, -1). Во второй области уравнение принимает вид: а2=1/3(х2+6х+2)=1/3(х+3)2-7/3-парабола с вершиной в (-3, -7/3). Точки пересечения парабол лежат на прямой а=х, т.е. х=-1, -2.
Ответ:
если а (-∞; -7/3) (-2; +∞) два корня, если a = 73 и a = −2 три корня,
если a ( 73 ;−2 ) четыре корня,
если а<-7/3; а>-2 уравнение имеет два корня, если а=-7/3; а=-2 – три корня,
если –7/3<a<-2 – четыре корня.
34. При каких значениях p площадь фигуры:2х+у + х–у+3≤р будет равна 24?
Очевидно, р≥0. Построение линии:
2x + y |
+ |
x − y + 3 |
= p аналогично №5: ли- |
||||||||
нии |
y = −2x ; y = x + 3 (рис. 39), плоскость |
||||||||||
ХОУ |
разбивают |
на |
четыре |
области: |
|||||||
y > x + 3 ; |
y > −2x верхняя, в этой области |
||||||||||
запишем |
уравнение 2х+у–х+у–3=р; х+2у– |
||||||||||
3=р; нижняя y < x + 3 ; |
y < −2x , уравнение |
||||||||||
в |
этой |
области: |
-2х+у+х–у+3=р; |
||||||||
− x −2 y +3 = p . Эти |
прямые параллельны. |
||||||||||
Левая область |
задается неравенствами |
||||||||||
y < x + 3 ; |
y < −2x , |
уравнение |
в этой |
||||||||
а |
II |
а=х |
I |
||
а2 |
х |
|
а1 |
||
Рис. 39 |
17
области имеет вид: 2x + y + x − y + 3 = p ; 3x + 3 = p ;
у
x = 3p −1, эти линии параллельны оси ОУ. Таким обра-
зом, полученная фигура параллелограмм. Площадь параллелограмма находится как произведение основания на вы-
соту. Высота – это расстояние между прямыми x = |
p |
−1, |
х |
|
3 |
||||
х=-р/3–1, симметрично расположенными относительно |
Рис. 40 |
|
прямой х=-1, т.е. расстояние между ними 2р/3. |
||
Чтобы найти длину основания, найдем точки пересечения прямой х=р/3–1 с |
||
прямыми у=х+3; к=-2х, т.е. у1=р/3–1+3=р/3+2; у2=-2р/3+2. Расстояние между этими точками d = у1–у2 =р/3+2+2/3р–2=р. Тогда из условия, площадь фигуры равна 24, 2/3р2=24; р2 = (24× 3)/2=36, с учетом, что р≥0.
Ответ: р=6.
35. Решить неравенство log(а2+ х2) / 2 х ≥ 1. Область допустимых значений х>0. Рассмотрим два случая:
a2 |
+ x2 |
<1; |
||
2 |
||||
a ) |
||||
a2 + x2 |
||||
x ≤ |
; |
|||
2 |
||||
Выделяя полный квадрат по х получим:
a2 |
+ x2 |
>1; |
||
2 |
||||
б) |
||||
a2 + x2 |
||||
x ≥ |
. |
|||
2 |
||||
2 |
+ a |
2 |
< 2; |
2 |
+ a |
2 |
> 2; |
||
x |
x |
||||||||
a ) |
2 |
б) |
2 |
||||||
+ a ≥1; |
+ a ≤1. |
||||||||
( x −1 ) |
( x −1 ) |
||||||||
Построим эти множества на плоскости ХОА с учетом того, что х>0 соответственно (рис. 41, а) и (рис. 41, б).
у |
у |
||
а=const |
a=const |
||
х1 |
х |
х2 |
х3 х |
Рис. 41, а |
Рис. 41, б |
18
Чтобы найти область изменения х для различных а, положим а=const и
найдем x |
= − 1 −a2 +1, x = |
2 −a2 |
, x = 1 −a2 |
+1. |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
|||||||||||||
Ответ: |
1< a <2, |
0 < x < |
2 − a2 |
; |
a <1, 0 < x <1 − |
1 −a2 |
или |
||||||||
у |
|||||||||||||||
2 − a2 < x <1 + |
1 − a2 , a≥2 решений нет. |
||||||||||||||
36. При каких значениях a уравнение 32х3+ах+1=0 имеет три действительных корня?
Введем обозначение: у1=32х3+1; у2=-ах. График функции у1 представлен на рис. 42, а.
Очевидно, что прямая у2=-ах проходит через точку (0, 0), в первой и третьей четверти, т.е.
–а>0, (а<0).
Рассмотрим случай, когда прямая у2 касается кубической параболы в первой четверти, т.е. имеем две точки пересечения, тогда: 32х3+ах+1=32(х-х1)2(х–х2). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
32(х3–2х2х1+2хх1х2+хх12–х12х2–х2х2)=32х3+ах+1
у
х
Рис. 42, а.
−2x1 − x2 =0; |
x2 = 2x1; |
||||
32( 2x x |
+ x 2 ) = a; |
32x |
2 × x =1; |
||
1 2 |
1 |
1 |
1 |
||
=1; |
= |
3 1 / 64 =1 / 4; x2 = −1 / 2. |
|||
−32x12 x2 |
x1 |
||||
a = 32 ( −2 1 / 4 1 / 2 +1 / 16 ) = −8 + 2 = −6 .
Поскольку (-а) = tgα, где α - угол наклона прямой у2 к оси ОХ. |
|||||||||
Ответ: -∞<a<-6. |
у |
||||||||
Предлагаем второй способ решения этого |
|||||||||
примера. |
1 |
||||||||
С учетом того, что коэффициент при х3: 32>0, |
|||||||||
изобразим |
схематично, |
кубическую параболу |
|||||||
у=32х3+ах+1 (рис. 42, б), парабола пересекает ось ОХ |
х |
||||||||
в трех точках, ось ОY в точке (0; 1). |
|||||||||
Найдем |
критические |
точки |
функции |
у: |
Рис. 42, б |
||||
у'=96х2+а; 96х2+а=0; x = ± |
. |
Очевидно, |
что |
||||||
−a / 96 |
|||||||||
a <0 . При x = −−a / 96 y принимает максимальное значение: y( − −a / 96 ) = −31 −a3 / 96 −a −a / 96 +1, т.к. уmax>0, а<0,
19 |
|||||||||||||||||||
получаем неравенство: |
|||||||||||||||||||
1 |
−a3 / 96 + −a3 / 96 > −1; |
2 |
−a3 / 96 > −1; введем замену: t = −a3 / 96 ; |
||||||||||||||||
3 |
9 |
3 |
|||||||||||||||||
t > −3 ;t > |
; -а3/96>9/4; a3 |
< −216 . |
|||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||
Ответ: а<-6. |
|||||||||||||||||||
37. При каких значениях a система |
|||||||||||||||||||
( x +3 y ) /( x − y ) ≥0; |
имеет хотя бы |
у |
|||||||||||||||||
y( y −8 ) + x2 ≤( a −4 )( a |
у=-1/3х |
||||||||||||||||||
+4 ); |
|||||||||||||||||||
у=х |
|||||||||||||||||||
одно решение? |
|||||||||||||||||||
На рис. 43 заштрихованная область соответству- |
|||||||||||||||||||
ет множеству точек первого неравенства, т.к. взяв точ- |
х |
||||||||||||||||||
ку (1; 0) и |
подставив в неравенство, констатируем, |
||||||||||||||||||
что оно справедливо, далее области |
чередуются. Точ- |
||||||||||||||||||
Рис. 43 |
|||||||||||||||||||
ки, удовлетворяющие неравенству – это точки, лежа- |
|||||||||||||||||||
щие внутри окружности: |
|||||||||||||||||||
(у-4)2+х2=а2 с центром в точке (0, 4), радиуса а. Если окружность касается прямой у=-1/3х, то решение существует: у2–8у+16+9у2=а2; 10у2–8у+16–а2=0. Дискриминант
Д приравняем к нулю: Д=16–10×16+10а2=0; 10a2 =9 16; a = |
9 16 |
=6 |
2 . |
10 |
5 |
Ответ: а≥6√2/5.
38. Найти значение а, при которых уравнения
log1/4х2+log1/4 (х+3)=а и log1/4х+log1/10 (х+3)=а/2 равно-
сильны. Найдем область допустимых значений: первого уравнения х>-3, второго х>0, перепишем урав-
нение в тождественной форме: log1/4 х2 (х+3) = а, т.е. (1/4)а=х2(х+3).
Учитывая область допустимых значений, построим график (рис. 44) у1=х2(х+3)–это кубическая парабола, пересекающая ось ОХ в точках (0, -3).
Найдем экстремумы у1: х(2х+6+х)=0; х=0; x = −2 ; у1 (-2)=4. Поскольку у2 – прямая, то эти уравнения равносильны, если прямая лежит выше
у=4, т.е. (1/4)а>4; 4−a > 4 .
Ответ: a < −1.
у
х
Рис. 44