Файл: Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 550

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Контрольные работы № 4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

Составители: Е.Н. Грибанов В.А. Похилько З.П. Бадяева Э.Ф. Золотарёва В.И. Немов

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 2 от 29.02.00 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 060400 Протокол № 5 от 10.03.2000 Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2001

- 1 -

ВВЕДЕНИЕ

Данные контрольные работы составлены в соответствии с методическими указаниями по высшей математике, разработанными учебнометодическим управлением по высшему образованию, с учетом особенностей учебных программ специальностей, по которым обучаются в Кузбасском государственном техническом университете. Контрольные работы № 4, 5, 6 выполняют во втором семестре. Номера задач контрольной работы определяют по таблице. В первом столбце студент находит первую букву своей фамилии, в первой строке таблицы - последнюю цифру номера зачётной книжки и берёт номера, находящиеся на пересечении строки (с первой буквой фамилии) и столбца (с последней цифрой шифра). Например, студент А. И. Петров, имеет номер зачётной книжки 98438. Буква «П» находится в шестой строке, последняя цифра «8» попадает в девятый столбец, на их пересечении записаны номера 29; 39; 78; 106; 136. Студент А.И. Петров в каждой контрольной работе выполняет задания под данными номерами.

ПРОГРАММА КУРСА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной.

2.Производная суммы функций, произведения и частного.

3.Производная сложной функции, производная обратной функ-

ции.

4.Производные основных элементарных функций.

5.Нахождение производной от неявной функции и с помощью предварительного логарифмирования.

6.Производные высших порядков.

7.Дифференциал функции и его применение.

8.Производная от параметрически заданной функции. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

9.Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимое условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функций непрерывных на замкнутом промежутке или на открытом интервале.

- 2 -

10. Исследование функции на экстремум с помощью производной второго порядка. Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графика функции.

ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11. Векторная функция скалярного аргумента. Первая и вторая

производная, их механический смысл.

12. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 13. Функции нескольких переменных. Область определения. Пре-

дел функции, непрерывность.

14. Частные производные. Полный дифференциал и его геометрический смысл.

15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

16. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

17. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Достаточные условия.

18. Наибольшее и наименьшие значения функции двух переменных в замкнутой области. Условный экстремум.

- 3 -

Выбор номеров задач контрольных работ

Началь-

Последняя цифра шифра зачётной книжки

ная бук-

ва фами-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

лии

1, 31, 80,

2, 32, 79,

3, 33,78,

4, 34, 76,

5, 35, 76,

6, 36, 75,

7, 37, 74,

8, 38, 73,

9, 39, 72,

10,40,71,

А, В, Д

110, 130.

100, 150.

101, 131.

120, 130.

91, 141.

110, 140.

111, 121.

100, 150.

101, 131.

120, 130.

11,41,70,

12,42,69,

13,43,68,

14,44,67,

15,45,66,

16,46,65,

17,47,64,

18,48,63,

19,49,62,

20,50,61,

Б, Е, З

109, 129.

99, 149.

102, 132.

119,129.

92, 142.

109, 139.

112, 122.

99, 149.

102, 132.

119, 129.

21,51,80,

22,52,79,

23,53,78,

24,54,77,

25,55,76,

26,56,75,

27,57,74,

28,58,73,

29,59,72,

30,60,71,

Г, Ж, И, Л

108, 128.

98, 148.

103, 133.

118, 128.

93, 143.

108, 138.

113, 123.

98, 148.

103, 133.

118, 128.

1, 60, 90,

2, 59, 89,

3, 58, 88,

4, 57, 87,

5, 56, 89,

6, 55, 85,

7, 54, 84,

8, 53, 83,

9, 52, 82,

10,51,81,

К

107, 127.

97, 147.

104, 134.

117, 127.

94, 144.

107, 137.

114, 124.

97, 147.

104, 144.

117, 127.

11,49,70,

12,48,61,

13,47,62,

14,46,63,

15,45,64,

16,44,65,

17,43,66,

18,42,67,

19,41,68,

20,42,69,

М, Н, О

196, 126.

96, 148.

105, 135.

116, 126.

95, 145.

106, 136.

115, 125.

96, 146.

105, 135.

116, 126.

21,31,80,

22,32,71,

23,33,72,

24,34,73,

25,35,74,

26,36,75,

27,37,76,

28,38,77,

29,39,78,

30,40,79,

П, Ы

105, 125.

95, 145.

106, 136.

115, 125.

96, 146.

105, 135.

116, 126.

95, 145.

106, 136.

115, 125.

1, 60, 90,

2, 59, 81,

3, 58, 82,

4, 57, 83,

5, 56, 84,

6, 55, 85,

7, 54, 86,

8, 53, 87,

9, 52, 88,

10,51,89,

С, У

104, 134.

94, 144.

107, 137.

114, 124.

97, 147.

104, 134.

117, 127.

94, 144.

107, 137.

114, 124.

11,50,70,

12,49,61,

13,48,62,

14,47,63,

15,46,64,

16,45,65,

17,44,66,

18,43,67,

19,42,68,

20,41,69,

Р, Т, Ф

103, 123.

93, 143.

108, 138.

113, 123.

98, 148.

103, 133.

118, 128.

93, 143.

108, 138.

113, 123.

21,40,80,

22,39,71,

23,38,72,

24,37,73,

25,36,74,

26,35,75,

27,34,76,

28,33,77,

29,32,78,

30,31,79,

Ц, Х, Ш

102, 122.

92, 142.

109, 139.

112, 122.

99, 149.

102, 132.

119, 129.

92, 142.

108, 139.

112, 122.

Ч, Щ, Э,

1, 51, 90,

2, 52, 81,

3, 53, 82,

4, 54, 83,

5, 55, 84,

6, 56, 85,

7, 57, 86,

8, 58, 87,

9, 59, 88,

10,60,89,

Ю, Я

101, 121.

91, 141.

110, 140.

11, 121.

100, 150.

101, 131.

120, 130.

91, 141.

110, 140.

111, 121.

- 4 -

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 4 В данную контрольную работу включены задачи дифференциаль-

ного исчисления функции одной переменной. По каждой изучаемой теме приведены ссылки с указанием страниц. Ссылки даны на несколько учебников, пользоваться можно любым из них.

Для решения задач № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл. VI, § I, п. 8, 14; 2 гл. III, § 1-15, § 20; 4, гл. VI, § 1, 3], выписать и выучить таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования. Особое внимание следует обратить на правило дифференцирования сложной функции [1, гл. VI, § 1, п. 11, с 221-223; 3, с 63; 4, с 221]. Очень важно научиться правильно представлять слож-

ную функцию цепочкой элементарных функций. Например, y = tg2 2x - это сложная функция. Представим её в виде цепочки элементарных

функций. Рассуждаем так: задана степенная функция y = u2 . Сложной она считается потому, что её аргумент u сам является функцией (тригонометрическойu = tgv ) и опять сложной, т. к. её аргумент v есть линей-

ная функция v =

2x . Итак,

мы получили цепочку элементарных функ-

ций: y =

u2 , u =

tgv , v =

2x. Найдём производную данной функции. По

правилу дифференцирования сложной функции,

′

′ ′

имеем yx =

yuux , где

′

′

′

′

′

′

′

′

= (u

2 ′

′

v ( 2x)

′

x =

2u

1

2x .

ux

= uv vx

yx

= yu uv

vx , т. е.

yx

)u (tgv)

cos2 v

u

v

x ,

Подставляя

вместо

и

их

выражения

через

получаем

y′x

= 2tg2x

1

2 = 4

tg2x

.

cos2

2x

cos2 2 x

Рассмотрим другой пример. Функцию y = e(2 x 2 +

3) можно представить

как y = eu, где u = 2x2 + 3, тогда

y′x = (eu)′x =

(eu)′u u′x =

eu(

2x2 +

3)

′x =

e2 x2 + 3 4x . Функцию

y =

ln(sin3x)

можно представить цепочкой y =

ln u , где u =

sinv ,

v =

3x . Тогда:

3

3cos3x

′

′

′

′

′

′ ′

= (lnu) u( sinv)

v( 3x)

x

=

cosv =

= 3ctg3x .

yx

= yuuvvx

u

sin3x

- 5 -

Если заданы сумма, произведение или частное функций, то нужно обратится к правилам дифференцирования [3, § 7 с. 77-79; [5], гл.VI, § 1, с. 217-219]. Например, для определения производной функции

y =

1

ctg4 x + ln 2x −

x2 следует применить правила: (u ± v)′x =

u′x ± v′x

3

и (c u)′x =

c u′x . Тогда:

′

((ctgx) 4 )x′ +

1

1

1

y′x

=

ctg

4 x

′ +

(ln 2x) x′ − (x

2 ) x

=

(2x)′

−

2x =

3

3

2x

x

1

1

2

4

ctg3 x

1

=

4 ctg

3 x

−

+

− 2 x =

−

+

− 2x.

3

2 x

3 sin2 x

x

sin2 x

Для определения производной функции y =

sin3 x cos(x2 ) применим

правило дифференцирования произведения двух функций:

(u v)′x =

u′x

v +

u v′x . Тогда:

y′x =

(sin3 x)′ cos(x2 )+

sin3 x (cos(x2 ))′

= 3sin2 x (sin x)′ cos(x2 )+

+

sin3 x (−

sin(x2))( x2)

′

= 3 sin2 x cos x cos(

x2)

+

sin3 x(−

sin( x)2 )2x =

=

3 sin2 x cos x cos(x2 )−

2 x sin3 x sin(x2 ).

ln

x

−

1

3

Для определения производной функции y =

применим прави-

e2 x

+

3

u ′

u′ v −

u v′

ло дифференцирования частного двух функций:

=

.

v

2

′

v

x

x

′

ln

− 1

e2 x +

3 −

ln

−

1

e2 x

+ 3

3

3

Тогда: y′

=

=

2 x

2

e

+ 3

1

1

x

− 1 ′

e2 x

+ 3 − ln

x

− 1

1

(e2 x + 3)−

(e2 x + 3)′

2

x

− 1

3

3

2

=

3

=

e2 x + 3

- 6 -

1

1

e2 x +

3 − ln

x

− 1

2e2 x

x

−

1

3

3

2 e2 x + 3

=

3

.

e2 x + 3

При решении задач № 1-30 (пункт г) изучите литературу [1, гл. VI,

§3, п.1, с. 232-234; 2, § 12, c. 88].

Пример: Найти дифференциал функции y = (x2 + 7)arcsin x . Ис-

пользуем формулу: dy =

y′xdx . При определении y′x нельзя воспользо-

ваться ни производной степенной функции (xn )′, ни производной пока-

зательной функции (a x )′, так как здесь и основание, и показатель степени - переменные величины. Поэтому предварительно прологарифмиру-

ем данную функцию и используем свойство

lnab = b lna . Получаем

ln y = ln(x2 +

7)arcsin x =

arcsin x ln(x2 + 7). Продифференцируем это ра-

венство по x , тогда: (ln y)′ y =

(arcsin x ln(x2 +

7))′x или

1

y′x =

(arcsin x)′x ln(x2 +

7)+

arcsin x(ln(x2 +

7))′x отсюда следует:

y

ln(x 2 +

7)+

y′x

=

1

arcsin x

1

2 x

или

x 2 +

y

1 − x 2

7

ln(x2 + 7)

2x arcsin x

y′x

= y

+

2

=

1−

x2

x

+

7

= (x2 +

7)

arcsin x

2

+

7) + 2 x arcsin x

ln(x

.

1−

x2

x

2

+

7

Окончательно получаем

dy = (x2 +

7)

arcsin x

ln(x

2

+

7)

+ 2 x arcsin x dx .

1−

x2

x

2

+ 7

В

задачах № 1-30 (пункт д) функция задана неявно уравнением

F (x; y)

= 0. Для нахождения производной следует дифференцировать

все члены уравнения по

x , не забывая,

что

y есть функция от x , [1,

гл. VI, § 1, п. 15, с. 225-227; 2, § 11, с. 85; 3, с. 75].

Смотрите также файлы