Файл: Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.pdf

e( x + 2) y ,

x +

2

∂

2 z

∂

2 z

45.

z =

−

=

0.

y

∂

x2

y 2

∂

46.

z =

x3 +

xy 2 −

5xy3 +

y5 ,

∂ 2 z

=

∂ 2 z

.

∂ x∂ y

2

∂ y∂ x

47.

z =

4 y 2

x ,

x

∂

2 z

+

∂

2 z

=

0 .

8

y

∂

x2

∂

y 2

e xy

2

y3

1)

∂

2z

∂

2z

48.

z =

,

2(y2 x +

=

.

∂ y∂

x

∂

x2

49.

z =

ln(x +

y2),

2 y

∂ 2z

=

∂ 2z

.

∂

∂

x2

y∂

x

50.

z =

x

,

∂

2z

=

∂

2z

.

y2

∂ x∂

y

∂

y∂

x

51. z =

esin( x+

2 y) ,

4

∂

2z

=

∂

2z

.

x2

∂

∂

y2

52.

z =

cos2 ( y +

3x) ,

∂ 2z

=

∂ 2z

.

∂

x∂

y

∂

y∂

x

53.

z =

2x3

5 y +

1,

∂ 2z

=

∂

∂ 2 z .

∂

x∂

y

y∂

x

54.

z =

e3 y cos x,

9

∂ 2z

+

∂ 2z

=

0 .

∂ x2

∂

y2

55.

z =

x3 y2 −

3xy3 −

xy +

1,

∂ 2 z

=

∂

2z

.

∂

x∂

y

∂

y∂ x

56.

z =

3axy −

x3 −

y3 ,

y ∂ 2z

=

∂ 2z

.

x ∂

x2

∂ y2

57.

z =

x3 y +

ln y −

x ,

∂

2z

=

∂

2 z

.

∂

x∂

y

∂

y∂

x

- 40 -

58.

z =

e y cos 5x,

25

∂ 2z

+

∂ 2z

=

0 .

∂ y2

∂

x2

59.

z =

a xy ,

x2

∂

2z

=

∂

2z

.

y2

∂

x2

∂

y2

60.

z =

ln(xy +

1) ,

∂

2z

=

∂

2z

.

∂ x∂

y

∂

y∂ x

и две точки A(x0 ; y0) и B(x1; y1) .

61-90.

Дана функция

z =

f (x; y)

ференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверх-

ности z = f (x; y)

в точке C(x0 ; y0 ; z0) .

61. z = x2 + 3xy + y2 , A(3;1) , B( 3,05;1,02) .

62.

z =

xy +

y2 −

2x ,

A(2;1) , B( 2,03;0,96) .

63.

z =

x2 +

y2 −

x −

y,

A(− 2;2) , B( − 2,02;2,05) .

64.

z =

2x2 + 2xy −

y2 ,

A(1;3) , B( 0,95;2,94) .

65.

z =

x2 +

3xy −

y2 ,

A(1;3) , B( 0,96;2,95) .

66.

z =

xy + 2x −

y,

A(2;2) , B(1,93;2,05) .

67.

z =

3 y2 −

9xy +

y,

A(1;3)

, B(1,07;2,94) .

68.

z =

xy +

x − y,

A(1,5;2,3)

, B(1,43;2,35) .

69.

z =

y2 −

xy −

x2 ,

A(− 4;5) , B( − 3,92;5,06) .

70.

z =

x2 +

y2 −

x −

y,

A(1;− 3) , B(1,08;− 2,94) .

71. z = x2 + 2x + y2 , A(1;2) , B(1,03;1,97) .

72.

z =

2x2 − 9xy −

y,

A(1;1) , B( 0,98;1,03) .

73.

z =

3 y2 +

xy −

x −

y, A(2;1) , B(1,98;0,98) .

74.

z =

xy +

y2 −

x,

A(3;2) , B( 3,03;1,92) .

75.

z =

2 x + 3 y −

y2 ,

A(1;2) , B(1,06;2,01) .

77.

z =

2 y2 −

3x2 −

x +

2 y,

A(− 2;1) , B( − 1,93;0,92) .

78.

z =

3 y2 −

2xy +

x2 ,

A(3;− 1) , B( 3,04;− 0,93) .

79.

z =

7 x +

8 y −

xy,

A(5;3) , B( 4,98;3,03) .

80.

z =

x2 −

y2 +

5xy,

A(− 3;− 2) , B( − 3,02;− 1,98) .

81. z = y2 − 3xy + x2 , A(− 1;1) , B( − 0,96;1,04) .

82.

z =

x +

y −

4 y2 ,

A(2;5) , B( 2,01;4,93) .

83.

z =

2x2 +

y2 −

x −

2 y,

A(− 2;3) , B( − 1,97;2,94) .

84.

z =

7 x2 +

y2 −

3x,

A(1;2) , B(1,01;2,03) .

85.

z =

x +

y −

8xy,

A(3;2)

, B( 3,04;1,98) .

86.

z =

4xy +

y2 −

2x2 ,

A(5;2) , B( 5,07;2,04) .

87.

z =

8x2 +

7 y2 −

5 y,

A(1;2) , B( 0,95;2,05) .

88.

z =

3x +

4 y −

y2 ,

A(− 1;− 1) , B( − 0,93;− 1,04) .

89.

z =

x2 −

y2 +

xy,

A(3;− 1) , B( 3,01;− 1,08) .

90.

z =

3 y −

5xy −

y2 ,

A(2;− 1) , B(1,92;− 1,03) .

91. z =

x2 +

y2 −

xy − 4 x в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, 2x + 3 y − 12 = 0.

92.

z =

x2 +

y2 −

4xy + 4x в квадрате 0 ≤

x ≤ 4,

0 ≤

y ≤

4.

93.

z =

x3 +

y3 −

3xy в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3.

94.

z =

x2 −

2 y2 + 4xy − 6x − 1 в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, x + y = 3.

95.

z =

xy −

2x −

y в прямоугольнике 0 ≤

x ≤ 3,

0 ≤

y ≤ 4.

96.

z =

1

x

2

− xy в области, ограниченной параболой

y =

x2

и прямой

2

3

y =

3.

97.

z =

2x +

y −

xy, в квадрате 0 ≤ x ≤ 4,

0 ≤ y ≤ 4.

- 42 -

98. z = x2 +

4xy − y2 −

6 x − 2 y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, y = 4 − x .

99. z = x2 +

y2 − xy + x +

y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, x + y = − 3.

100.

z =

x3 + 8 y3 −

6xy +

1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми

y = 1, y = − 1, x = 0, x = 2 .

101. z =

2x2 +

y2 −

3xy +

y в треугольнике, ограниченном прямыми

x = 5, y = 0, y = 2x .

102.

z =

5x2 −

y2 −

2x в треугольнике, ограниченном прямыми

y = x, y = − x, x = 3 .

103.

z =

x2 +

y2 − 4x −

y в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 2x , y = 0, y = 10 − 2x .

104.

z =

x2 + 2 y2 +

4 xy +

1 в прямоугольнике − 1≤ x ≤ 1,

−

2 ≤ y ≤ 1.

105.

z =

x2 +

xy − 3x −

y в прямоугольнике 0 ≤ x ≤

2, 0 ≤

y ≤ 3.

106.

z =

x2 +

y2 −

xy −

5 y +

3 в трапеции, ограниченной прямыми

x = 0, y = 0, y = 5, y = 8 − x .

107.

z =

3x2 −

3 y2 − x +

y +

xy в треугольнике, ограниченном прямыми

x =

0, y = 0, y = 5 − 5x

2

.

2 y2 +

3x2 − 2xy −

108.

z =

5x в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 0, y = 4 − x , y = 4 + x .

109.

z =

y3 +

x3 −

xy в прямоугольнике 0 ≤ x ≤ 3,

0 ≤

y ≤ 4.

110.

z =

8x3 +

y3 −

12xy + 5 в трапеции, ограниченной прямыми

x = 0, y = 0, y = 4, y = 6 − x .

111.

z = xy +

2x −

5 y в прямоугольнике

1 ≤ x ≤ 6,

− 3 ≤ y ≤ 0 . z =

x −

3 y +

10xy в четырёхугольнике, ограни-

ченном прямыми x =

0,

x =

3,

y = − 2, y = 3 − x .

112.

z =

x −

3 y + 10xy в четырёхугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, x = 3, y = − 2, y = 3 − x .

113.

z =

x +

3 y − 5xy в четырёхугольнике, ограниченном прямыми

x = 0, y = 0, x = 5, x + 5 y = 10 .