Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм.pdf

-8-

благоприятных исходов согласно Рис. 1 состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами, равными 6045 = 34 , общей площадью,

щади квадрата со стороной 1. Следовательно, площадь всевозможных

5. Теоремы сложения Т.1. Для несовместных событий вероятность появления суммы со-

бытий равна сумме вероятностей. То есть p(A + B)= p(A)+ p(B).

Доказательство. Пусть опыт имеет n исходов, событию А благоприятствует k из них, а событию В - благоприятствует m. Тогда сумме событий А+В благоприятствуют m+k. Тогда

p(A + B)= mn+ k = mn + kn = p(A)+ p(B).

Пример 8. Вероятности получить на экзамене 5, 4, 3 соответственно равны 0,2; 0,3; 0,3. Найти вероятность успешной сдачи экзамена.

Решение. Обозначим события А – студент успешно сдал экзамен;

Т. 2. Для любых событий вероятность появления суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. То есть p(A+B)= p(A)+ p(B)− p(A B).

-9-

p(B A)= p(B)− p(A B). Подставляя в первое, получаем оконча-

тельно p(A +B)= p(A)+ p(B)− p(A B).

6. Теоремы умножения О. 1. Два события называются независимыми, если вероятность

появления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

О. 2. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любая комбинация из них независима.

О. 3. События называются зависимыми, если появление или не появление одного из них, изменяет вероятность появления другого.

О. 4. Вероятность события В, вычисленная в предположении осуществления события А, называется условной вероятностью события

В и обозначается pA (B).

Пример 9. Из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара, наудачу последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлечённый шар белый если известно, что первый извлечённый шар чёрный.

Решение. Обозначим события А – первый извлечённый шар чёрный, В - второй извлечённый шар белый. Для нахождения искомой

вероятности используем классическое определение pA (B)= mn , где

m- число благоприятных исходов, равное числу оставшихся после первого извлечения белых шаров, то есть m=2, а n- число всевозможных оставшихся шаров, то есть n=4. Тогда искомая вероятность равна pA (B)= 24 = 12 .

Т. 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычис-

ленную при условии, что первое событие произошло. То есть p(A B)= p(A) pA (B)= p(B) pB (A).

Доказательство. Пусть число всевозможных исходов опыта равно n. Из них событию А благоприятствует m из них. Совместному

появлению событий А и В благоприятствует k. Тогда pA (B)= mk , так

как число всевозможных исходов для этого условного события равно m (событие А произошло), число благоприятных исходов равно k

-10- (событие В происходит при условии появления события А). Для дру-

мулу, имеем kn = mn mk = kn тождество.

Следствие 1. Если появление события А не зависит от события В, то появление события В не зависит от события А.

Доказательство. Если появление события А не зависит от события В, то можно записать p(A)= pB (A). Используя две записи теоре-

мы умножения, имеем, p(A) pA (B)= p(B) pB (A) подставив указанное условие, получим p(A) pA (B)= p(B) p(A), разделив обе части на p(A), получим pA (B)= p(B), то есть вероятность появления со-

бытия В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий.

Доказательство. Применяя первое следствие к теореме умножения, получаем p(A B)= p(A) p(B).

Пример 10. Известно, что 85% готовой продукции цеха является стандартной. Вероятность того, что стандартная деталь отличного качества, равна 0,51. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется отличного качества.

Решение. Пусть А- событие, означающее, что взятое наудачу изделие стандартное, В- событие, означающее, что изделие отличного качества. Изделие может быть отличного качества, если оно стан-

7. Формула полной вероятности Т. Если событие А может наступить только при условии появ-

ления одного из событий H1, H2, …. Hn , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, …. Hn на соответствующую условную вероятность события А,

p(A)= ∑n p(Hk ) pHk (A).

k =1