Файл: Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения.pdf

16

Следовательно: y = 5x2 −12x +12 , а искомый общий интеграл данного неоднородного уравнения

y = u + y = c1e−5x + c2e−x +5x2 −12x +12 .

Пример 2. Решить уравнение: y′′− 2 y′+10 y = 37 cos 3x .

Решение. Составляем характеристическое уравнение r2 - 2r + 10 = 0, определяем его корни r1,2 =1 ± 3i и находим общий интеграл u однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному урав-

3Bcos3x,

y′′ = -9Acos3x – 9Bsin3x в данное неоднородное уравнение, полу-

чим равенство (A – 6B)cos3x + (B + 6A)sin3x = 37cos3x,

которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов у подобных членов (y cos3x и y sin3x) в обеих его частях: A – 6B = 37; B + 6A = 0. Решая эту систему, найдём A = 1; B = -6. Следовательно:

y = cos3x – 6sin3x,

= u + y = ex (c1 cos 3x + c2 sin 3x) + cos3x – 6sin3x.

Пример 3. Решить уравнение: y′′−6 y′+9 y = 3x −8ex .

Решение. Написав характеристическое уравнение r2 – 6r + 9 = 0 или (r – 3)2 = 0 и найдя его корни r1 = r2 = 3, получим (по правилу 3 из п. 2.2) общий интеграл соответствующего однородного уравнения

u = e3x (c1 + c2 x) .

Правая часть данного уравнения есть сумма многочлена первой степени 3x и показательной функции -8ex. Поэтому частный интеграл

9Ax + (9B – 6A) + 4Cex = 3x – 8ex

и приравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей полученного равенства, имеем систему: 9A = 3, 9B – 6A = 0, 4C = -8,

1 2

из которой находим A = 3 , B = 9 , C = -2. Следовательно:

Решение. Характеристическое уравнение r3 + r2 = 0 имеет корни r1,2 = 0, r3 = -1; общий интеграл соответствующего однородного уравне-

корень характеристического уравнения. Поэтому частный интеграл данного уравнения y = Ax2 + x(Bx2 +Cx + D)e−x .

Подставляя эту функцию в данное уравнение, получим равенство

2A +[3Bx2 +(2C −12B)x +(6B −4C + D)]e−x =1−6x2e−x ,

откуда имеем систему 2A = 1, 3B = -6, 2C – 12B = 0, 6B – 4C + D = 0,

2.4. Метод вариации произвольных постоянных

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения

ного уравнения (2.7) можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. При этом частное решение неоднородного уравнения находим в том же виде, что и общее решение соответствующего однородного уравнения:

но произвольные постоянные являются функциями от x. Для получения функций c1(x), c2(x), …, cn(x) имеем следующую систему уравнений

18

y1′ dcdx1 + y2′ dcdx2 +...+ yn′ dcdxn = 0,

………………………………………………

y1(n−1) dcdx1 + y2(n−1) dcdx2 +... + yn (n−1) dcdxn = q(x) .

Определитель этой системы отличен от нуля, так как решения y1, y2,…, yn - линейно независимы, поэтому система имеет единственное

Проинтегрировав полученные таким образом производные и подставляя их в (2.8), получим частное решение неоднородного уравнения (2.7); общее решение этого уравнения равно сумме полученного частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Пример 1. Применяя метод вариации произвольных постоянных,

Нетрудно проверить, что функции y1 = x, y2 = x2, y3 = x3 являются частными решениями этого уравнения. Поскольку эти функции линейно независимы, общее решение однородного уравнения имеет вид:

u = c1x + c2x2 + c3x3 , а частное решение исходного неоднородного уравнения, согласно методу вариации произвольных постоянных, нахо-

19

c3 (x) = x +c6 , где с4, с5, с6 - произвольные постоянные, которые

для данного частного решения могут быть приняты равными нулю. При этом частное решение неоднородного уравнения примет вид:

Решение. Характеристическое уравнение r2 + 4 = 0 имеет корни r1,2 = ± 2i, а потому общее решение однородного уравнения

u = c1cos2x + c2sin2x.

Частное решение исходного уравнения методом неопределённых коэффициентов искать нельзя, а потому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем искать частное решение в виде