ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2024
Просмотров: 285
Скачиваний: 1
16
Определим прогиб в середине пролета – в сечении (С) (рис. 7). Нагрузим балку единичной силой Р = 1 в сечении (С) (рис.7, б) и
построим единичную эпюру M(vC ) (рис.7,в).
Единичная эпюра на третьем участке (между сечениями (2) и (В) представлена не одной линейной зависимостью, а двумя, поэтому необходимо грузовую эпюру Мр на третьем участке дополнительно разбить, как показано на рис. 7, а.
ω |
ωp5 |
ωp6 |
ωp7 |
|||
ω |
ω |
|||||
p2 |
p4 |
p8 |
−
а) +
5
Эп.Миз = Мр(кН·м)
3
ωp3
10 |
|||||
28 |
25 |
||||
A |
2 |
P =1 |
B |
||
б) |
C |
||||
в) |
+ |
Эп.M(vC) (м) |
|||
Y2 |
Y3 |
Y8 |
|||
Y4 |
|||||
Y5 |
Y6 |
Y7 |
|||
1,25 |
Рис.7. К определению прогиба в середине пролета балки
Определим площади грузовой эпюры Мр (рис. 7, а) и ординаты единичной эпюры M(vC ) (рис. 7,в) под центрами тяжестей площадей ωpi.
17
Тогда ωp2 = − 1 2 5 = −5 кН м2 , |
Y2 =0,5 0,67 =0,335м, |
|||||||||
10 23 |
2 |
|||||||||
ω |
p3 |
= |
=6 ,67 кН м2 , |
Y |
=0,5 1 =0,5м, |
|||||
12 |
3 |
|||||||||
ω |
p4 |
= |
1 2 3 = 3 кН м2 , |
Y |
=0,5 1,33 =0,65м, |
|||||
2 |
4 |
|||||||||
ω |
p5 |
= |
1 0,5 28 =7 кH м2 , |
Y |
=0,5 2,17 =1,085м, |
|||||
2 |
5 |
|||||||||
ω |
p6 |
= |
1 0,5 25 =6 ,25 кН м2 , |
Y |
=0,5 2,33 =1,165м, |
|||||
2 |
6 |
|||||||||
ω |
р7 |
= 1 2,5 25 = 31,25 кН м2 , |
Y |
=0,5 1,67 =0,835м, |
||||||
2 |
7 |
|||||||||
ω |
р8 |
= 1 10 2,5 =12,5 кН м2 , |
Y |
=0,5 0,83 =0,415м. |
||||||
2 |
8 |
|||||||||
Вычислим значение прогиба в сечении (С), перемножив эпюры Мр
и M(vС ) :
V(c) = EI1x (ω p2Y2 +ω p3Y3 +ω p4Y4 +ω p5Y5 +ω p6 Y6 +ω p7Y7 +
+ω p8Y8 ) = 36801 (−5 0,335 + 6,67 0,5 + 3 0,65 +7 1,085 + 6,25 1,165 +
+31,25 0,835 + 12,5 0,415) =0,013м(внаправлении единичной силы).
По полученным значениям прогибов видно, что
Vmax = V(С) =0,013 м = 1,3 см < [V] = 500300 = 1,67см.
Таким образом, условие жесткости выполняется.
6.Пример определения перемещений в составной балке
спромежуточным сквозным шарниром методом начальных параметров
Для балки, расчетная схема которой показана на рис.8,требуется:
1)построить эпюры Q, Mиз и подобрать сечение из прокатного двутавра, полагая [σ] = 160 ΜПа;
2)определить прогибы и углы поворота в характерных сечениях при
Е= 2 105 МПа и построить прогнутую ось балки;
18 |
||||||||||
3) проверить жесткость при |
[ |
] |
= |
l |
||||||
V |
300 . |
|||||||||
R A =15кH |
m =10кH·м |
q = 10кH/м |
R В =15кH |
m B =5кH·м |
||||||
P=40кH |
Z |
|||||||||
А |
1 |
2 |
3 |
В |
||||||
V |
2м |
4м |
1м |
2м |
||||||
15 |
+ |
15 |
15 |
+ |
15 |
|||||
Эп.Q(кН) |
||||||||||
3,5 м |
– |
25 |
||||||||
25 |
25 |
|||||||||
– |
Эп.Миз=Мр(кН·м) |
|||||||||
+ |
5 |
|||||||||
θA |
30 |
20 |
31,3 |
θ(лев3) |
θпр |
|||||
(3) |
||||||||||
A |
1 |
2 |
∆θ(3) |
3 |
B |
|||||
V |
V(2) |
V(3) |
||||||||
(1) |
||||||||||
Рис. 8. Схема балки, эпюры Q и Миз, изогнутая ось балки
Решение
После построения эпюр Q и Миз из условия прочности при изгибе по сортаменту (ГОСТ 8239-89) принимаем двутавр № 20а с Ix=1970 см4,
тогда EIx = 2 105 106 1970 10−8 = 3940 103 H м2 = 3940 кН м2 .
Записываем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и дважды его интегрируем, учитывая наличие промежуточного шарнира:
EI xV " = −RA z + m( z − 2 )o + q |
( z − 2 )2 |
− q |
( z −6 )2 |
− P( z −7 ). |
|||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||
EI |
θ |
= EI V ' = C − R |
z2 |
+ m( z −2 ) + q |
( z −2 )3 |
+ |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
x |
x |
A |
6 |
||||||||||||||
+ EIx |
∆θ |
( z −6 )o −q |
( z −6 )3 |
− P |
( z −7 )2 |
. |
|||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
( 3 ) |
6 |
||||||||||||||||
19
EI V |
= D +C z − R |
z3 |
+ m ( z −2 )2 |
+ q |
( z −2 )4 |
+ |
||||
A 6 |
24 |
|||||||||
x |
2 |
|||||||||
+ EIx |
∆θ |
( z −6 ) −q ( z −6 )4 |
− P ( z −7 )3 . |
|||||||
( 3 ) |
24 |
6 |
||||||||
Граничные условия:
V(A) = V(0) = 0; V(B) = V(9) = 0; θ(B) = θ (9) = 0.
Первое условие дает D = 0, а два остальных дают систему уравнений относительно С и ∆θ (3):
93 |
72 |
74 |
34 |
23 |
+C 9 |
+ EIx |
∆θ |
3, |
|||||||||||||||
0 |
= −15 |
+10 |
+10 |
−10 |
−40 |
||||||||||||||||||
6 |
2 |
24 |
24 |
6 |
( 3 ) |
||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
92 |
73 |
33 |
2 |
||||||||||||||||||||
+10 7 |
+10 |
−10 |
−40 |
+C + EIx ∆θ( 3 ). |
|||||||||||||||||||
0 |
= −15 |
2 |
6 |
6 |
2 |
||||||||||||||||||
Откуда С = 65,26 кН·м2, ∆θ(3) = 0,0065 рад.
Определяем прогибы и углы поворота в характерных сечениях:
V(1) = |
1 |
(65,26 2 −15 |
23 |
) =0,0282м = 2,82см, (вниз); |
|||||||||||||||||||||||
3940 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||
3,53 |
1,52 |
1,54 |
|||||||||||||||||||||||||
V(2) |
= |
1 |
(65,26 3,5 −15 |
+ 10 |
+ 10 |
) =0,0342м = 3,42см(вниз); |
|||||||||||||||||||||
3940 |
6 |
2 |
24 |
||||||||||||||||||||||||
V(3) |
= |
1 |
(65 ,26 6 − |
15 |
6 3 |
+ 10 |
4 |
2 |
+ 10 |
4 |
4 |
) = 0,0093 м = 0,93 см(вниз ); |
|||||||||||||||
3940 |
6 |
2 |
24 |
||||||||||||||||||||||||
θ( A ) |
= |
1 |
65,26 = 0,0166 рад (по часовой стрелке); |
||||||||||||||||||||||||
3940 |
|||||||||||||||||||||||||||
6 2 |
43 |
||||||||||||||||||||||||||
θ(лев3 ) = |
1 |
(65,26 −15 |
+10 4 +10 |
) = |
|||||||||||||||||||||||
3940 |
2 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||
=−0,0147 рад( противчасовой стрелки);
θ(прав3 ) =θ(лев3 ) +∆θ( 3 ) =−0,0147 +0,0065 =
=−0,0082 рад( против часовой стрелки).
7.Пример определения перемещений в составной балке
спромежуточным сквозным шарниром способом Верещагина
Для заданной балки (рис. 8) способом Верещагина определить прогибы в сечениях (1) и (3) и углы поворота в сечениях (А) и (3).