Файл: Л.В. Кутенков Устойчивость стержней при сжатии.pdf

Министерство образования Российской Федерации

Кузбасский государственный технический университет

Кафедра сопротивления материалов

Устойчивость стержней при сжатии

Методические указания к лабораторной работе № 13 по сопротивлению материалов для студентов

всех специальностей

Составитель Л.В. Кутенков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 1 от 30.08.2000

Рекомендованы к печати методической комиссией направления 550100 Протокол № 7 от 27.09.2000

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2001

1

1. Цель работы

Цель данной лабораторной работы – ознакомление с особенностями работы стержня при сжатии его продольной силой.

2. Теоретические положения

Если стержень определенной длины подвергнуть продольному сжатию, то он может разрушиться, предварительно изогнувшись. При этом сжимающая сила, при которой произойдет разрушение, может оказаться значительно меньше той, которая была бы разрушающей при простом сжатии. Разрушение стержня произойдет потому, что он не сможет сохранить приданную ему прямолинейную форму и искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающей силы Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба. В этом случае говорят, что стержень потерял устойчивость прямолинейной формы и после этого разрушился. Значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой формой равновесия сжатого стержня, называется критическим Ркр . Критическую величину сжимающей силы Ркр

следует считать эквивалентной нагрузке, разрушающей сжатый стержень. Критическая сила Ркр вызывает в сжатом стержне

напряжение, называемое критическим. Оно определяется по формуле

где F – площадь поперечного сечения стержня.

Поэтому для обеспечения устойчивости прямолинейной формы стержня, сжатого силой Р, необходимо к условию прочности добавить условие устойчивости:

где [σ у] – допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т.е.

2

[σ y ] = σ кр k y ,

где k y – коэффициент запаса на устойчивость.

Критическое значение сжимающей силы можно определить с помощью двух формул: Эйлера и Ясинского.

где π = 3,14; Е – модуль упругости материала стержня; Jmin – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; µ – коэффициент, зависящий от способов закрепления концов стержня (рис. 1), называемый коэффициентом приведения длины; ! – длина стержня.

Рис. 1. Расчетные схемы наиболее распространенных способов закрепления концов стержня

где а и в – постоянные коэффициенты; λ – гибкость стержня, определяемая из выражения:

где imin – минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

3

Применение той или иной формулы для расчета определяется фактической величиной гибкости стержня λ . Формула Эйлера применима, если фактическая гибкость стержня λ не меньше предельного ее значения, определяемого для каждого материала по формуле

где σ пц – предел пропорциональности. Предельные значения гибкости составляют: для мягкой стали – около 100, для дюралюминия и древесины – около 60.

При меньших значениях гибкости λ формула Эйлера неприменима, т.к. потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности. В этих случаях применяют эмпирическую формулу Ясинского.

3. Содержание работы

На специальной установке (рис. 2), сконструированной и изготовленной студентами под руководством доц., к.т.н. Л.В. Кутенкова, экспериментально определяют критическое значение сжимающей силы Ркр. Эту же величину определяют теоретически по одной из вышеприведенных формул. Оба полученных результата сравнивают между собой. Выполнение всей работы рассчитано на 2 часа.

4. Описание установки

Установка, на которой производят экспериментальное определение критической силы Ркр продольно-сжатого стержня, представляет собой раму в виде замкнутого прямоугольника 1, на которой размещены две опоры 2, 3 продольно-сжимаемого стержня 4 и две подшипниковые опоры 5, 6, каждая из которых имеет установленный в подшипниках вал. Схема закрепления концов стержня, реализованная в установке, представлена на рис. 3.

4

Рис. 2. Схема установки для испытания стержней на продольную устойчивость

На валу подшипниковой опоры 5 жестко закреплен двуплечий рычаг 7, на вертикальном плече которого одним концом закреплен толкатель 8. Другим концом толкатель 8 упирается в подвижный торец продольно-сжимаемого стержня 4. На горизонтальном плече рычага 7, имеющем миллиметровую разметку, свободно на роликах установлена подвижная каретка 9 с грузом 10, имеющая в средней своей части указатель положения II. На валу подшипниковой опоры 6 укреплен барабан с гибкой тягой 12. Свободным концом тяга прикреплена к каретке 9. Вал вместе с барабаном может вращаться вокруг своей оси с помощью прикрепленной к валу рукоятки 13. При наматывании гибкой тяги на барабан каретка 9 перемещается по горизонтальному плечу рычага 7, удаляясь от оси подшипниковой опоры. При этом изменяется (возрастает) размер а (см. рис. 2) и меняется соотношение плеч рычага

5

(меняется коэффициент R = ав , где в – размер вертикального плеча 7, не

изменяющийся при нагружении), отчего продольная сила Р, сжимающая стержень, возрастает. При сматывании гибкой тяги с барабана каретка свободно скатывается к опоре 5 из-за небольшого наклона горизонтального плеча рычага 7 (сила Р при этом уменьшается). Для балансировки двуплечего рычага на нем установлен противовес 14. Контроль за состоянием прямолинейности сжимаемого стержня 4 может производиться с помощью индикатора часового типа 15, установленного в средней части, а также визуально сверху через щель в ригеле 16 рамы 1. Развитие больших деформаций в стержне 4 и его разрушение (возникновение пластических деформаций) предотвращаются наличием на толкателе 8 ограничителя его хода 17. Продольная сжимающая сила Р, соответствующая определенному положению каретки с грузом на горизонтальном плече рычага 7, может быть определена по формуле

где qк – вес каретки; qгр – величина груза в каретке.

Коэффициент R, как указывалось ранее, определяется отношением размеров а и в. Так как размер в есть величина постоянная для данной установки, то коэффициент R является функцией только переменной величины а, поэтому для упрощения силы Р этот коэффициент приводится в табличных данных установки вместе с данными по испытываемому образцу. В табличных данных учтен также наклон горизонтального плеча рычага 7.

6

Максимально возможная продольная сила Р, которая может создаваться на описанной установке, составляет 50 кг.

5. Порядок работы

1. Записать постоянные параметры испытываемого образца.

2.По формуле (5) вычислить фактическую гибкость λ стержня, после чего выбрать соответствующее выражение для определения критической силы – формулы (3) и (4).

3.По выбранной формуле вычислить величину критической силы

Ркр.

4.Подготовить установку для проведения эксперимента, для этого сделать следующее: выбрать, используя выражение (6), величину груза 10 каретки 9 соответственно полученному в п. 3 значению критической

силы (Ркр), взяв из таблицы технических данных установки значение коэффициента R, соответствующее среднему положению каретки на горизонтальном плече 7; снять каретку с рычага и отбалансировать его, вращая противовес в ту или иную сторону; поставить каретку на рычаг

вкрайнее нижнее (левое) положение; записать начальный отсчет по индикатору 15; осторожно уложить на каретку выбранный груз.

5.Вращая барабан с гибкой тягой 12 рукояткой 13, медленно передвигать по рычагу каретку 9 с грузом 10, внимательно наблюдая за прямолинейностью стержня по индикатору 15, отмечающему величину бокового прогиба, и визуально – через щель в ригеле 16 сверху. О степени близости нагрузки к критическому значению можно судить по частоте соответственных колебаний стержня, которая уменьшается с нагружением и при критическом нагружении равна нулю. Для этого стержень приводят в колебательное состояние от руки: слегка деформируют и внезапно освобождают.

6.После определения состояния критической нагрузки берут отсчет по шкале рычага против указателя положения каретки II.

7.Согласно отсчету, определенному в п. 6, берут из таблицы технических данных установки значение коэффициента R, соответствующее критической нагрузке, и по выражению (6) вычисляют критическую нагрузку Ркр.

8.Сравнивают критические нагрузки, полученные аналитически и экспериментально, и оценивают расхождение.

7

6. Обработка результат

Исходные данные образца, результаты вычислений и испытаний записывают в таблицу.

8

Контрольные вопросы

1. Какова цель данной работы?

2.Что понимается под критическим значением продольной сжимающей силы?

3.Как экспериментально определяется критическая сила?

4.Что такое гибкость стержня?

5.Что является критерием, определяющим область применения формул Эйлера и Ясинского?

6.Какой зависимостью связаны между собой критическая сила и критическое напряжение?

7.Как записывается условие устойчивости сжатого стержня?

8.Как устроена установка для определения критической силы сжатого стержня?

9.Каким образом фиксируется состояние критической нагрузки на образце?

10. Как зависит критическая сила от способов закрепления концов стержня?

Составитель Кутенков Лев Васильевич

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ ПРИ СЖАТИИ

Методические указания к лабораторной работе № 13

по сопротивлению материалов для студентов всех специальностей

Редактор Е.Л. Наркевич

ЛР № 020313 от 23.12.96

Подписано в печать 09.10.2000 Формат 60× 84⁄16. Отпечатано на ризографе.

Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 0,50. Тираж 100 экз. Заказ

Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.