Файл: И.А. Штефан Аналитическое определение временных характеристик САР и ее элементов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра информационных и автоматизированных производственных систем
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК CAP И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ
Методические указания к лабораторной работе по курсу "Теория автоматического управления" для студентов специальности 210200 "Автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении)", по курсу "Основы теории управления" для студентов специальности 071900 "Информационные системы и технологии"
Составители И.А.ШТЕФАН В.В.ШТЕФАН
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 7 от 02.04.03 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 210200 Протокол № 96 от 10.04.03
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2003
1
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Цель работы – приобретение студентами практических навыков по определению аналитическими методами временных характеристик систем и элементов.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Временными характеристиками САР и ее элементов называют решения дифференциальных уравнений при типовых входных воздействиях. В качестве типовых входных воздействий рассматриваются:
-единичное ступенчатое воздействие 1(t );
-единичное импульсное воздействие δ (t );
-единичное линейное воздействие q(t).
Из временных характеристик в лабораторной работе рассматриваются:
-переходная характеристика h(t) – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие 1(t );
-весовая характеристика w(t) – реакция системы на единичное импульсное воздействие δ (t );
В системах ЧПУ довольно часто в качестве типового входного воздействия рассматривают единичное линейное воздействие вида
q (t )=t , |
(2.1) |
график которого представлен на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Единичное линейное воздействие
2
Переходной процесс, вызванный воздействием q(t), будем обозначать x(t). Если угловой коэффициент отличен от 1, т.е. v(t)=k t, то реакция системы на выходе определяется соотношением:
y (t )= k x(t ). |
(2.2) |
Так как изображение по Лапласу:
L{t} = |
1 |
, |
(2.3) |
|
p2 |
|
|
то изображение функции x(t):
Х (p)=W (p) |
. |
(2.4) |
p2 |
|
|
Чтобы найти оригинал x(t), необходимо передаточную функцию W(p) разделить на p2.
В основе метода аналитического определения временных характеристик САР и ее элементов лежат операторный метод и метод неопределенных коэффициентов [1, 5].
3. ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ САР И ИХ ПОСТРОЕНИЕ
Пусть элемент САР описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка вида
0,02 y′′′(t )+0,32 y′′(t )+1,3y′(t )+ y (t )= 0,5x′(t )+ x(t ), |
(3.1) |
при начальных условиях:
y′′′(0)= y′′(0)= y′(0)= 0; y(0)=1. |
(3.2) |
3
Требуется определить временные характеристики элемента операторным методом при типовых входных воздействиях 1(t) , δ(t) и q(t)
(2.1).
Запишем исходное дифференциальное уравнение (3.1) в операторной форме, используя теорему о дифференцировании преобразования Лапласа:
L{y(n) (t )}= pnY (p)− pn−1 y(0) −K− py(n−2) (0)− y(n−1) (0). (3.3)
Тогда уравнение (3.1) в операторной форме будет иметь вид
0,02 p3Y (p)−0,02 p2 y(0)+0,032 p2Y (p)−0,032 py(0)+ +1,3 pY (p)−1,3y(0)+Y (p)= 0,5 pX (p)+ X (p).
После преобразования уравнение в операторной форме примет вид
0, 02 p3Y (p)+0,32 p2Y (p)+1,3 pY (p)+Y (p)= |
(3.4) |
= 0,5X (p)+ X (p)+(0, 02 p2 +0,32 p +1,3)y (0). |
Тогда изображение выходной переменной примет вид:
0,5 |
р+1 |
|
|
|
||||
Y (p)= |
|
|
X ( p) + |
|
||||
0,02 p3 +0,32 p2 +1,3 p +1 |
(3.5) |
|||||||
|
0,02 p2 +0,32 p +1,3 |
|
|
|
||||
+ |
|
y(0)=Y ( p) +Y ( p). |
||||||
|
||||||||
|
0,02 p3 +0,32 p2 + |
1,3 p +1 |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|||||
Корни характеристического уравнения
0,02 p3 +0,32 p2 +1,3 p +1 = 0 |
(3.6) |
равны: p1 = −1; p2 = −10; p3 = −5.
4
3.1. Определение переходной характеристики
Так как L{1(t)}=1/p, то при определении переходной характеристики:
Y1 |
(p)= |
0,5 p +1 |
= |
25 p +50 |
.(3.7) |
|
0,02 p (p +1)(p +10)(p +5) |
p(p +1)(p +10)(p +5) |
|||||
|
|
|
|
Разложим выражение (3.7) на простые сомножители, используя метод неопределенных коэффициентов:
|
|
25 p +50 |
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
|
||
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
|
|
|
p(p +1)(p +10)(p +5) |
p |
p +1 |
p +10 |
p +5 |
|||||||
= |
A(p +1)(p +10)(p +5)+ Bp(p +10)(p +5)+Cp(p +1)(p +5)D(p +1)(p +10) |
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
p(p +1)(p +10)(p +5) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Для определения коэффициентов A,B,C,D составим уравнения, приравнивания коэффициенты числителей левой и правой частей при одинаковых степенях р в предыдущем выражении или придавая р удобные для вычисления коэффициентов значения. Рассмотрим последний метод.
Составим уравнение
25 p +50 = A(p +1)(p +10)(p +5)+ Bp(p +10)(p +5)+ +Cp(p +1)(p +5)+ Dp(p +1)(p +10).
На основе (3.8) имеем при: |
|
|
|
|
|
|||
р=0: |
А=1; |
|
р=-1: |
|
|
В=-0,69; |
||
р=-10: |
С=0,44; |
|
р=-5: |
|
|
D=-0,75. |
||
В итоге: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(p)= |
1 |
− 0,69 |
+ |
0, 44 |
− |
0,75 |
. |
|
|
|
||||||
1 |
|
p p +1 |
|
p +10 |
|
p +5 |
||
|
|
|
|
|||||
Аналогично определяем коэффициенты и для Y2(p).
(3.8)
(3.9)
5
Y (p)= |
0,02 p2 + 0,32 p +1,3 |
= |
p2 +16 p + 65 |
= |
2 |
0,02(p +1)(p +10)(p +5) |
|
(p +1)(p +10)(p +5) |
|
|
|
|
|
=pA+1 + p +B10 + pC+5.
Витоге получаем уравнение
p2 +16 p + 65 = A(p +10)(p +5)+ B(p +1)(p +5)+
+C (p +1)(p +10).
На основе (3.11) имеем при: |
|
|
|
|
|
|
||
|
p=-1: |
|
|
А=1,39. |
||||
|
р=-10: |
|
|
В=0,11. |
||||
Тогда |
P=-5: |
|
|
С=-0,5. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
(p)= 1,39 |
+ |
0,11 |
− |
0,5 |
. |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
p +1 |
|
p +10 |
|
p +5 |
||
|
|
|
|
|
||||
Подставив выражения (3.9) и (3.12) в (3.7), получим, что
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Y (p)= |
1 |
+ |
0,7 |
|
+ |
0,55 |
− |
1, 25 |
. |
(3.13) |
p |
p +1 |
p +10 |
|
|||||||
|
|
|
|
p +5 |
|
|||||
С учетом таблиц обратного преобразования Лапласа [1] решение дифференциального уравнения (переходная функция) имеет вид
h(t )=1 + 0,7e−t + 0,55e−10t −1,25e−5t . |
(3.14) |
3.2. Определение весовой характеристики
Так как L{δ(t)}=1, то при определении весовой характеристики
ω(t) имеем из (3.7):