Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 822
Скачиваний: 1
çÌÁŒÁ 1.
лŒБЪЙЮБУФЙГЩ
1.1.œФПТЙЮОПЕ ЛŒБОФПŒБОЙЕ. лБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС
уЙУФЕНЩ, УПУФПСЭЙЕ ЙЪ ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ ФПЦДЕУФŒЕООЩИ ЮБУФЙГ, ХДПВОП ЙЪХЮБФШ, РПМШЪХСУШ НЕФПДПН ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. оБРПНОЙН ПУОПŒОХА ЙДЕА ЬФПЗП НЕ-
ФПДБ, ОЕ ХФПЮОСС РПЛБ ŒЙД ЮБУФЙГ. (œ ЪБДБЮБИ ЖЙЪЙЛЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ ЬФП НПЗХФ ВЩФШ, УЛБЦЕН, ЬМЕЛФТПОЩ, ЖПОПОЩ, ЖПФПОЩ, ЬЛУЙФПОЩ Й Ф. Д.)
тБУУНПФТЙН ŒОБЮБМЕ УЙУФЕНХ ВПЪЕ-ЮБУФЙГ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ НПЦЕФ ОБИПДЙФШУС
Œ ПДОПН ЙЪ УПУФПСОЙК i(x), i = 1; 2; : : : нОПЗПЮБУФЙЮОБС ŒПМОПŒБС ЖХОЛГЙС ЪБДБЕФУС Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЮЙУЕМ ЪБРПМОЕОЙС, ХЛБЪЩŒБАЭЕН УЛПМШЛП ЮБУФЙГ ЪБОЙНБАФ ЛБЦДПЕ
ЙЪ УПУФПСОЙК i(x). œ ПВПЪОБЮЕОЙСИ дЙТБЛБ ФБЛЙЕ УПУФПСОЙС НПЗХФ ВЩФШ ЪБРЙУБОЩ ЛБЛ | : : : ; Ni−1; Ni; Ni+1; : : : , ЗДЕ ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС Ni РТЙОЙНБАФ РТПЙЪŒПМШОЩЕ ГЕМЩЕ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС, Ni = 0; 1; : : : лБОПОЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС a+i É ai ŒŒПДСФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
+| |
: : : ; Ni; Ni |
+1 |
|
i| |
i − |
1; N |
i+1 |
|
|
ai |
|
; : : : = |
N |
: : : ; N |
|
; : : : ; |
|
||
ai | : : : ; Ni; Ni+1; : : : = |
Ni + 1| : : : ; Ni + 1; Ni+1; : : : : |
(1.1) |
|||||||
оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ŒЩРПМОСАФУС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС: |
|
||||||||
[ai; aj+] = aiaj+ − aj+ai = ‹ij ; |
[ai; aj ] = [ai+; aj+] = 0 |
(1.2) |
|||||||
дБМЕЕ, ŒŒПДСФУС -ПРЕТБФПТЩ: |
|
+(x) = i |
ai+ |
i (x) : |
|
||||
|
(x) = i |
ai i(x) ; |
(1.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жХОЛГЙЙ i(x) ŒЩВЙТБАФ ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФПВЩ ПОЙ ПВТБЪПŒЩŒБМЙ РПМОХА ПТФПОПТНЙТПŒБООХА УЙУФЕНХ. рТЙ ЬФПН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС -ПРЕТБФПТПŒ ПЛБЪЩŒБАФУС УМЕДХАЭЙНЙ:
[ (x); +(x )] = ‹(x − x ) ; [ (x); (x )] = [ +(x); +(x )] = 0 : |
(1.4) |
11
12 |
змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ |
œ УМХЮБЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЮЙУЕМ ЪБРПМОЕОЙС, Б ФБЛЦЕ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС, ЙИ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС Й -ПРЕТБФПТЩ ŒŒПДСФУС УИПДОЩН ПВТБЪПН. пУФБОПŒЙНУС ОБ ПФМЙЮЙСИ ВПЪЕŒУЛПЗП Й ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. œП-РЕТŒЩИ, Œ УЙМХ РТЙОГЙРБ рБХМЙ, ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС Ni РТЙОЙНБАФ ŒУЕЗП ДŒБ ЪОБЮЕОЙС: Ni = 0; 1. рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ ai É a+i ДЕКУФŒХАФ ФБЛ:
ai| : : : ; Ni; Ni+1; : : : = |
0| |
i+1 |
|
ÐÒÉ Ni = 0 ; |
|
|
|
|
|
: : : ; 0; N |
|
; : : : |
ÐÒÉ Ni = 1, |
|
|
ai+| : : : ; Ni; Ni+1; : : : = |
| : : : ; 1; Ni+1; : : : |
ÐÒÉ Ni = 0 |
. |
(1.5) |
|||
|
|
0 |
|
|
ÐÒÉ Ni = 1 |
, |
|
œП-ŒФПТЩИ, БОФЙУЙННЕФТЙС НОПЗПЮБУФЙЮОПЗП УПУФПСОЙС РП ПФОПЫЕОЙА Л РЕТЕУФБОПŒЛЕ ЮБУФЙГ РТЙŒПДЙФ Л БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ai É a+j :
[ai+; aj ]+ = ai+aj + aj ai+ = ‹ij ; [ai; aj ]+ = [ai+; aj+]+ = 0 : |
(1.6) |
дМС -ПРЕТБФПТПŒ (1.3) УППФОПЫЕОЙС БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ: |
|
[ (x); +(x )]+ = ‹(x − x ) ; [ (x); (x )]+ = [ +(x); +(x )]+ = 0 : |
(1.7) |
хДПВУФŒП РТЕДУФБŒМЕОЙС ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, УŒСЪШ НЕЦДХ ПДОП- Й НОПЗПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮБНЙ ОБ СЪЩЛЕ -ПРЕТБФПТПŒ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РТПУФПК. оБРТЙНЕТ, ОЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВПЪЕЙМЙ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ, ЙНЕАЭЙИ НБУУХ m Й ДŒЙЦХЭЙИУС Œ РПФЕОГЙБМЕ U (r), ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:
H = |
− |
2—hm2 |
|
+(r) 2 |
(r) + |
+(r) |
|
(r)U (r) d3r : |
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б ЕУМЙ ЮБУФЙГЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ РП ЪБЛПОХ V (r1 − r2), ФП ЗБНЙМШФПОЙБО ОХЦОП
РТПУФП ДПРПМОЙФШ ЮМЕОПН |
+(r1) |
+(r2)V (r1 − r2) (r2) |
(r1)d3r1d3r2 : |
|
||||||||
Hint = 2 |
|
(1.9) |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(r) (r) СŒМСЕФУС |
||||||
œФПТЙЮОП ЛŒБОФПŒБООЩК ПРЕТБФПТ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ j(r) = |
|
|||||||||||
НОПЗПЮБУФЙЮОЩН ЬЛŒЙŒБМЕОФПН ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС |
|
(r) |
|
2 |
РМПФОПУФЙ ŒЕ- |
|||||||
|
|
|
||||||||||
ТПСФОПУФЙ. йОФЕЗТБМ ПФ j |
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
|
||
ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ |
(r), ŒЪСФЩК РП ŒУЕНХ РТПУФТБОУФŒХ, ЕУФШ ПРЕТБФПТ РПМОПЗП |
|||||||||||
|
|
|
N = |
+(r) (r) d3r : |
|
|
|
|
|
(1.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рПДЮЕТЛОЕН, ЮФП ŒУЕ ПРЕТБФПТЩ (1.8) | (1.10) Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС ЙНЕАФ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ŒЙД Й ДМС ЖЕТНЙПОПŒ, Й ДМС ВПЪПОПŒ.
пУФБОПŒЙНУС ФЕРЕТШ ОБ ŒБЦОПН РПОСФЙЙ ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС Й ОБ ФПН, ЛБЛ ЬФЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒЩЗМСДСФ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. оБРПНОЙН, ЮФП Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК НЕИБОЙЛЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖБЪПŒПЗП РТПУФТБОУФŒБ (p; q) → (p ; q ) ŒŒПДСФУС У РПНПЭША УЛПВПЛ рХБУУПОБ {: : :}, РТЙЮЕН ТПМШ
1.1. лбопойюеулйе ртепвтбъпœбойс |
13 |
ЬФЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП ПОЙ УПИТБОСАФ ЗБНЙМШФПОПŒХ ЖПТНХ ХТБŒОЕОЙК ДŒЙЦЕОЙС: p = {p; H}, q = {q; H}.
œ ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ ТПМШ УЛПВПЛ рХБУУПОБ РЕТЕИПДЙФ Л ЛПННХФБФПТБН. (оБРТЙ-
НЕТ, Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ХТБŒОЕОЙС ДŒЙЦЕОЙС ЙНЕАФ ŒЙД ih@— tA = [A; H].)
рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙНЙ ОБЪЩŒБАФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО, УПИТБОСАЭЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ. лБЛ Й Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК НЕИБОЙЛЕ, ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒБЦОЩ, РПУЛПМШЛХ ПОЙ УПИТБОСАФ ЖПТНХ ХТБŒОЕОЙК ДŒЙЦЕОЙС.
рПДПВТБŒ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ЮБУФП ŒПЪНПЦОП РЕТЕКФЙ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ Л ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙН ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН. оБЙВПМЕЕ ЮБУФП ТБУУНБ-
ФТЙŒБАФ МЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ (ВПЪПОПŒ ЙМЙ ЖЕТНЙП-
ÎÏŒ) |
|
Uij aj + Vij aj+ ; |
|
|
Vij aj + Uij aj+ ; |
|
|
ai = |
ai+ = |
(1.11) |
|||||
j |
j |
ОБЪЩŒБЕНЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ вПЗПМАВПŒБ. пДОПК ЙЪ ЮБУФП ŒУФТЕЮБАЭЙИУС ЪБДБЮ СŒМСЕФУС ПФЩУЛБОЙЕ УРЕЛФТБ Й УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК ЗБНЙМШФПОЙБОБ, ЛŒБДТБФЙЮОПЗП РП ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РТПЙЪŒПМШОЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ФБЛПЗП ŒЙДБ НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕО Л ДЙБЗПОБМШОПК ЖПТНЕ У РПНПЭША УППФŒЕФУФŒХАЭЙН ПВТБЪПН РПДПВТБООПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.11):
|
|
(1) |
+ |
(2) |
|
i |
|
|
|
H = |
|
hij |
ai |
aj + hij |
aiaj + h:c: = |
"iai |
ai |
+ 0|H|0 : |
(1.12) |
ij
ьОЕТЗЙЙ ДБАФ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, Б ЛПОУФБОФБ 0 0 Œ РТБŒПК ЮБУФЙ РТЕДУФБ-
"i |H|
ŒМСЕФ УПВПК ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.
рТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.11) СŒМСАФУС ЛБОПОЙЮЕУЛЙНЙ, ЕУМЙ ПОЙ УПИТБОСАФ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС
[ai; aj ]± = 0; [ai; aj+]± = ‹ij : |
(1.13) |
уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ХУМПŒЙС ОБ НБФТЙГЩ U Й V Œ (1.11) Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ:
UkiVkj ± VkiUkj = 0 ; UkiUkj ± VkiVkj = ‹ij ; |
(1.14) |
ЗДЕ ЪОБЛ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ УМХЮБА ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ, Б ЪОБЛ Ă−Ą | УМХЮБА ВПЪЕУФБФЙУФЙЛЙ.
уФТХЛФХТБ РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.11) ДМС ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ ŒЙДОБ ХЦЕ Œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ ПДОПК ВПЪПООПК УФЕРЕОЙ УŒПВПДЩ (РТЙНЕТПН СŒМСЕФУС ЛŒБОФПŒП-НЕИБОЙЮЕУЛЙК ПУГЙММСФПТ). рТЙ ЬФПН U Й V | ОЕ НБФТЙГЩ, Б ЮЙУМБ, Й ЙНЕЕФУС ŒУЕЗП ДŒБ РТПУФЕКЫЙИ ПДОПТПДОЩИ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙС:
a = ch – a + sh – a+ |
a = ei’ a |
|
|
a+ = sh – a + ch – a+ ; |
a+ = e−i’ a+ |
: |
(1.15) |
ЗДЕ – Й ’ | ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ РБТБНЕФТЩ. вПМЕЕ ПВЭЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ (ЛПНРПЪЙГЙА) РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.15).
14 змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ
œ УМХЮБЕ ЦЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ МЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЪБДБАФУС УИПДОЩН ПВТБЪПН. дМС ПДОПК ЖЕТНЙПООПК УФЕРЕОЙ УŒПВПДЩ ŒУЕ МЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЙУЮЕТРЩŒБАФУС УПРТСЦЕОЙЕН, a = a+, a+ = a, Й ХНОПЦЕОЙЕН ОБ ЖБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ, a = ei’a+, a+ = e−i’a, Б РТЕПВТБЪПŒБОЙС ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ОЕМЙОЕКОЩНЙ | УН. ЪБДБЮХ 3. вПМЕЕ ПВЭЙЕ МЙОЕКОЩЕ
РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒПЪОЙЛБАФ Œ УЙУФЕНЕ ЙЪ ДŒХИ ЖЕТНЙПОПŒ, ОБРТЙНЕТ, |
|
||||
a = |
cos „ a − sin „ b+ |
; |
a+ = cos „ a+ − sin „ b |
; |
(1.16) |
b+ = |
sin „ a + cos „ b+ |
|
b = sin „ a+ + cos „ b |
|
|
ЗДЕ „ | РБТБНЕФТ. йОФЕТЕУОП, ЮФП РЕТŒПЕ ЙЪ ВПЪПООЩИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.15) ЕУФШ РУЕŒДПЕŒЛМЙДПŒП ŒТБЭЕОЙЕ, ФП ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ мПТЕОГБ У ВЩУФТПФПК – Œ ДŒХНЕТОПН РТПУФТБОУФŒЕ{ŒТЕНЕОЙ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЖЕТНЙПОПŒ ŒПЪОЙЛБАФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒЙДБ (1.16), УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ŒТБЭЕОЙА ЕŒЛМЙДПŒБ РТПУФТБОУФŒБ.
œПЪНПЦОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОЕ ЙУЮЕТРЩŒБАФУС ПДОПТПДОЩНЙ МЙОЕКОЩНЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ. йОПЗДБ ВЩŒБАФ РПМЕЪОЩ ОЕПДОПТПДОЩЕ МЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 6) ЙМЙ ДБЦЕ ОЕМЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (УН. ЪБДБЮХ 3, Б ФБЛЦЕ ТБЪДЕМ 1.4).
юБУФП ŒУФТЕЮБАЭБСУС ТБЪОПŒЙДОПУФШ МЙОЕКОЩИ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК |
ЖХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ |
-ПРЕТБФПТПŒ: |
|
+(r) = |
e−ipr ap+ (2ı)3 : |
(1.17) |
|||||
(r) = |
|
eipr ap (2ı)3 ; |
|
|||||||
|
|
|
|
d3p |
|
|
|
d3p |
|
|
|
[ap1 |
|
|
+ |
|
|
(1.18) |
|||
|
|
; ap2 ]± = (2ı) |
|
(p1 − p2) |
|
|||||
рТЙОСФП ŒЩВЙТБФШ ОПТНЙТПŒЛХ ПРЕТБФПТПŒ ap |
É ap |
ФБЛ, ЮФПВЩ |
|
|||||||
|
|
|
|
+ |
|
3‹(3) |
|
|
: |
|
|
|
ПРТЕДЕМЕОЙСНЙ (1.4) Й (1.7). |
|
|
||||||
фБЛПК ŒЩВПТ УПЗМБУХЕФУС У |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
йНЕЕФУС ŒБЦОЩК ДМС ФЕПТЙЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ ЛТХЗ ЪБДБЮ, ЛПЗДБ |
-ПРЕТБФПТЩ ЙМЙ |
|||||||||
ДТХЗЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ ЪБДБОЩ ОБ ТЕЫЕФЛЕ. жХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ (1.17) ОЕФТХДОП ТБУРТПУФТБОЙФШ ОБ ЬФПФ УМХЮБК, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЕУМЙ r РТПВЕЗБЕФ ХЪМЩ ОЕЛПФПТПК ТЕЫЕФЛЙ, ФП p ЙЪНЕОСЕФУС ŒОХФТЙ РЕТЙПДБ ПВТБФОПК ТЕЫЕФЛЙ (ЙМЙ, ЙОБЮЕ ЗПŒПТС, ŒОХФТЙ ЪПОЩ вТЙММАЬОБ). уЛБЦЕН, Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ ТЕЫЕФЛБ ЕУФШ rn = an, Б ЪПОБ вТЙММАЬОБ | ЬФП ПФТЕЪПЛ −ı=a < p < ı=a. фБЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЙУРПМШЪХЕФУС Œ ЪБДБЮБИ 1, 2
É 4.
мЙФЕТБФХТБ: рПДТПВОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ НЕФПДБ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС НПЦОП ОБКФЙ Œ [3], ЗМ. VI, Б ФБЛЦЕ Œ [2], § 64, 65 É [1], § 3. рПОСФЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПВУХЦДБЕФУС Œ [1], ЗМ. 1 Й [6], ЗМ. 1. лБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС вПЗПМАВПŒБ ДМС ВПЪЕ-ЮБУФЙГ ТБУУНБФТЙŒБАФУС Œ [1], § 4 É [6], § 25, Б ДМС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ | Œ [6], § 39.
1.2. ъБДБЮЙ 1 { 4
ъБДБЮБ 1. (лМБУУЙЮЕУЛБС ГЕРПЮЛБ ПУГЙММСФПТПŒ 1.) тБУУНПФТЙН ГЕРПЮЛХ БФПНПŒ
1C ТБУУНПФТЕОЙС ЬФПК РТПУФЕКЫЕК НПДЕМЙ ЛПМЕВБОЙК ТЕЫЕФЛЙ ОБЮЙОБАФУС РПЮФЙ ŒУЕ ЛХТУЩ
1.2. ъбдбюй 1 { 4 |
|
15 |
НБУУЩ mi, УПЕДЙОЕООЩИ ПДЙОБЛПŒЩНЙ РТХЦЙОЛБНЙ ЦЕУФЛПУФЙ K: |
|
|
∞ |
pi2=(2mi) + (K=2)(xi − xi+1)2 |
|
−∞ |
(1.19) |
|
H = i= |
||
ÇÄÅ mi = m, ЕУМЙ i ЮЕФОП, Й mi = M , ЕУМЙ i ОЕЮЕФОП. пРТЕДЕМЙФЕ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ ДМС ЬФПК УЙУФЕНЩ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙИ ДŒЕ: БЛХУФЙЮЕУЛБС Й ПРФЙЮЕУЛБС.
юЕНХ ТБŒОБ УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ c? рПМХЮЙФУС МЙ ФБЛПК ЦЕ ПФŒЕФ, ЕУМЙ ŒЩЮЙУМСФШ c РП
ЖПТНХМЕ мБРМБУБ c = @P=@j, ЗДЕ P | ДБŒМЕОЙЕ, Б j | РМПФОПУФШ?
юЕНХ ТБŒОБ ЫЙТЙОБ ЭЕМЙ НЕЦДХ ПРФЙЮЕУЛПК Й БЛХУФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒСНЙ? рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ M m ДЙУРЕТУЙС ПРФЙЮЕУЛПК НПДЩ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ПФУХФУФŒХЕФ. лБЛ НПЦОП
ПВ СУОЙФШ ЬФП ЛБЮЕУФŒЕООП?
ъБДБЮБ 2. (жЕТНЙПООБС ГЕРПЮЛБ.) оБКДЙФЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ, ДЙБЗПОБМЙЪХАЭЕЕ ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО
H = i= |
|
J1 ai+ai+1 + J1 ai++1ai + J2 aiai+1 + J2 ai++1ai+ − 2B ai+ai : |
(1.20) |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
||
фБЛПК ЗБНЙМШФПОЙБО ŒПЪОЙЛБЕФ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ПДОПНЕТОПК НПДЕМЙ ЛŒБОФПŒПЗП НБЗОЕФЙЛБ, ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ĂXY-НПДЕМЙĄ(УН. ТБЪДЕМ 1.4).
пРТЕДЕМЙФЕ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(k) ЗБНЙМШФПОЙБОБ (1.20). пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ,
ÞÔÏ ÐÒÉ B = 0 É J1 = J2 ДЙУРЕТУЙС РТПРБДБЕФ. нПЦОП МЙ РПОСФШ ЬФП ВЕЪ ŒЩЮЙУМЕОЙК?
ъБДБЮБ 3. (оЕМЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС.) тБУУНПФТЙН ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ a Й a+, ДЕКУФŒХАЭЙЕ Œ РТПУФТБОУФŒЕ УПУФПСОЙК ЖЕТНЙПОБ, ЛПФПТЩК НПЦЕФ ЪБРПМОСФШ ЙМЙ ОЕ ЪБРПМОСФШ ТПŒОП ПДОП УПУФПСОЙЕ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РТПУФТБОУФŒП НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙК ДŒХНЕТОП Й ЛБОПОЙЮЕУЛЙН ВБЪЙУПН Œ ОЕН УМХЦБФ УПУФПСОЙС |0 É |1 .
оБКДЙФЕ ŒУЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ПРЕТБФПТПŒ a Й a+, УПИТБОСАЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС a2 = (a+)2 = 0 É a+a + aa+ = 1. хВЕДЙФЕУШ Œ ФПН, ЮФП ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ ОЕ ПРЙУЩŒБАФУС МЙОЕКОЩНЙ УППФОПЫЕОЙСНЙ ŒЙДБ (1.11).
тБУУНПФТЙФЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ УРЙОПŒЩНЙ НБФТЙГБНЙ рБХМЙ:
x = a + a+ ; y = i(a − a+) ; z = 2a+a − 1 : |
(1.21) |
рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС a Й a+ УППФŒЕФУФŒХАФ ŒТБЭЕОЙСН Œ УРЙОПŒПН РТПУФТБОУФŒЕ.
уŒСЪШ НЕЦДХ ЖЕТНЙЕŒУЛЙНЙ ПРЕТБФПТБНЙ Й ПРЕТБФПТБНЙ УРЙОБ 1=2 ВПМЕЕ РПДТПВ-
ОП ТБУУНПФТЕОБ Œ ТБЪДЕМЕ 1.4.
ъБДБЮБ 4. (лŒБОФПŒБС ГЕРПЮЛБ ПУГЙММСФПТПŒ.) рХУФШ ФЕРЕТШ ЗБНЙМШФПОЙБО (1.19) ПРТЕДЕМСЕФ ЛŒБОФПŒХА ЪБДБЮХ, Ф. Е. pi = −ih@=@x— i . рЕТЕКДЙФЕ Л ВПЪПООЩН ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС:
xi = |
h— |
ai + ai+ ; pi = |
hm— |
i!i |
ai − ai+ : |
(1.22) |
|
mi!i |
√2 |
|
|
i√2 |
|
|
|
|
|
|
|
ЖЙЪЙЛЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ.