Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 824

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

12.6. теыеойс

381

бОБМПЗЙЮОП, ДМС МЕŒЩИ ЮБУФЙГ ОБИПДЙН

 

’2(x; t) = ch „ ’~2(x; t) − sh „ ’~1(x; t) ;

(12.107)

лБЛ Й ŒЩЫЕ Œ (12.29), (12.31), ФЙМШДБ Œ (12.106), (12.107) ПВПЪОБЮБЕФ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ЗБНЙМШФПОЙБО ДЙБЗПОБМЕО.

юФПВЩ ОБКФЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ У РПНПЭША (12.106) Й (12.107), ЪБНЕФЙН УМЕДХАЭЕЕ. œ ДЙБЗПОБМЙЪПŒБООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ПРЕТБФПТЩ ’~1(x; t) É ’~2(x ; t ) ЛПННХФЙТХАФ, Й РПЬФПНХ УТЕДОЕЕ Œ (12.50) ТБУРБДБЕФУС ОБ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ УТЕДОЙИ ПФ ЬЛУРПОЕОФ МЕŒЩИ Й РТБŒЩИ ŒЕМЙЮЙО. лБЦДПЕ ЙЪ ЬФЙИ УТЕДОЙИ РТБЛФЙЮЕУЛЙ УПŒРБДБЕФ У ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, ОБКДЕООПК ŒЩЫЕ, ПФМЙЮБСУШ МЙЫШ НОПЦЙФЕМСНЙ ch „ Й sh „ Œ РПЛБЪБФЕМСИ ЬЛУРПОЕОФ. рПЬФПНХ ХУТЕДОЕОЙЕ НПЦОП ЪБОПŒП ОЕ РТПŒПДЙФШ Й УТБЪХ ЪБРЙУБФШ ПФŒЕФ:

2

2

 

G10(x; t)

ch2

„

G20(x; t)

sh2

„

 

G1(x; t) = (2ıa)ch

„+sh

„−1

ch

2

„

2

;

(12.108)

2

2

„−1

G20(x; t)

 

G10(x; t)

sh

„

 

G2(x; t) = (2ıa)ch

„+sh

 

 

 

 

:

(12.109)

рПДУФБŒМСС Œ (12.108) ŒЩТБЦЕОЙС (12.103) Й (12.104) ДМС G01(x; t) É G02(x; t), РПМХЮБЕН (12.51).

тЕЫЕОЙЕ 80 В. жХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕОБ ФЕН ЦЕ НЕФПДПН, ЮФП Й ЖХОЛГЙС зТЙОБ РТЙ T = 0. уОБЮБМБ НЩ ТБУУНПФТЙН УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПФУХФУФŒХЕФ. рПУМЕ ЬФПЗП УППФОПЫЕОЙС (12.106) Й (12.107) РПЪŒПМСФ УŒСЪБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК Й ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК УМХЮБЙ.

œ ПФУХФУФŒЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ŒЩЮЙУМЕОЙЕ РТПЙЪŒПДЙФУС ФБЛ. рТЕПВТБЪХЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (12.50) РП ЖПТНХМЕ (12.100) Й ХУТЕДОЙН РПМХЮЙŒЫЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ РП НБФТЙГЕ РМПФОПУФЙ РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ. ьФП ХУТЕДОЕОЙЕ ЗБХУУПŒП, РПЬФПНХ ЙНЕЕН

ei’j (x;t)e−i’j (0;0) = e− 21 (’j (x;t)−i’j (0;0))2 e 21 [’j (x;t);’j (0;0)] :

(12.110)

тБУУНПФТЙН РТБŒЩЕ ЮБУФЙГЩ (j = 1). œЩЮЙУМСЕН УТЕДОЕЕ Œ (12.110), РПМШЪХСУШ (12.36):

 

 

0

|eikx(t) − 1|2 ;

 

(’j (x; t) − i’j (0; 0))2 =

–k2Le−ak (2nB (k) + 1)

(12.111)

k>

ÇÄÅ x(t) = x −vt, Á nB (k) | ВПЪЕŒУЛБС ЖХОЛГЙС ТБУРТЕДЕМЕОЙС. лПННХФБФПТ Œ РТБŒПК ЮБУФЙ (12.110) ЕУФШ

 

 

 

 

0

 

 

[’j (x; t); ’j (0; 0)] =

–k2Le−ak (eikx(t) − e−ikx(t)) :

(12.112)

 

 

 

 

k>

 

рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.110) НПЦОП РЕТЕРЙУБФШ Œ ŒЙДЕ eA, ÇÄÅ

 

A = 2ı k>0

k

(nB (k) + 1)

eikx(t) − 1 + nB (k) e−ikx(t) − 1 :

(12.113)

 

e−ak

 

 

 

 

 

 

 

 

 

382

змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

юФПВЩ ОБКФЙ ŒЕМЙЮЙОХ A, ТБЪМПЦЙН ЖХОЛГЙА ТБУРТЕДЕМЕОЙС Œ ТСД:

 

 

1

= e−bk + e−2bk + e−3bk + ::: ; b = v=T :

(12.114)

 

nB (k) =

 

evk=T

− 1

 

рПДУФБŒМСС (12.114) Œ (12.113), Й ЙОФЕЗТЙТХС ЛБЦДЩК ЮМЕО ТСДБ (12.114) РП ПФДЕМШОПУФЙ, РПМХЮБЕН

 

mb

−

 

 

mb + a

 

A =

ln mb + a ix(t)

+

m>0

ln mb + a + ix(t)

:

m 0

 

 

 

 

 

пФУАДБ, РЕТЕИПДС Л РТЕДЕМХ a → 0, ОБИПДЙН

eA =

a

ıx(t)=b

=

ıia=b

:

a − ix(t) sh(ıx(t)=b)

sh(ı(x(t) + ia)=b)

œ ТЕЪХМШФБФЕ РТЙИПДЙН Л УМЕДХАЭЕНХ ŒЩТБЦЕОЙА ДМС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ:

G10(x; t) =

2b sh(ı(x

i

vt + ia)=b) ; G20(x; t) = −

i

 

ia)=b)

−

2b sh(ı(x + vt

−

 

 

 

 

 

(12.115)

(12.116)

(12.117)

(жХОЛГЙС зТЙОБ МЕŒЩИ ЮБУФЙГ РПМХЮБЕФУС БОБМПЗЙЮОП.)

дМС ОБИПЦДЕОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЩ РТЙНЕОЙН РТЙЕН, ЙУРПМШЪПŒБООЩК ŒЩЫЕ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ УМХЮБС T = 0. ъБНЕФЙН, ЮФП УППФОПЫЕОЙС (12.106), (12.107), ДБАЭЙЕ РТБŒЙМП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ПРЕТБФПТПŒ ЖБЪЩ ’1;2(x; t) РТЙ ДЙБЗПОБМЙЪБГЙЙ ЗБНЙМШФПОЙБОБ (12.19), ŒЕТОЩ Й РТЙ T > 0. œЩТБЦБС У РПНПЭША (12.106), (12.107) ПРЕТБФПТЩ ’1;2(x; t) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ ЖБЪЩ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ’~1;2(x; t), РПДУФБŒМСЕН ЙИ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (12.50). рТЙ ЬФПН ŒЛМБДЩ ’~1(x; t) É ’~2(x ; t ) Œ (12.50) ЖБЛФПТЙЪХАФУС. рП ЬФПК РТЙЮЙОЕ, ЛБЛ Й ŒЩЫЕ, ЛБЦДЩК ЙЪ ŒЛМБДПŒ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ЖХОЛГЙС зТЙОБ УŒПВПДОЩИ ЮБУФЙГ, РТБŒЩИ ЙМЙ МЕŒЩИ, ŒПЪŒЕДЕООБС Œ УФЕРЕОШ ch2 „ ÉÌÉ sh2 „, УППФŒЕФУФŒЕООП. œ ТЕЪХМШФБФЕ ОБИПДЙН

 

1

ıT ia~

 

ch2

„

 

ıT ia~

G1(x; t) =

2ıa

sh(ıT ( vx

− t + ia~))

 

 

sh(ıT (−vx − t + ia~))

 

1

ıT ia~

 

ch2 „

ıT ia~

 

 

 

 

 

G2(x; t) =

2ıa

sh(ıT (−vx − t + ia~))

 

 

sh(ıT ( vx − t + ia~))

v = (2ıv + g1)2 − g22 1=2

=2ı ; a~ = a=v ;

 

sh2 „

(12; .118)

sh2 „

(12; .119)

(12.120)

ЗДЕ, ЛБЛ Й Œ (12.51), v | УЛПТПУФШ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, РЕТЕОПТНЙТПŒБООБС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, Й th 2„ = g2=(g1 + 2ıv).

тЕЫЕОЙЕ 81. оБЮОЕН У ŒЩŒПДБ ПВЭЕЗП ŒЩТБЦЕОЙС ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ. œЩЮЙУМЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ ФТЕВХЕФУС РТПДЕМБФШ, ПФЮБУФЙ ДХВМЙТХЕФ РТЙŒЕДЕООЩК Œ ЪБДБЮЕ 68 ŒЩŒПД ЖПТНХМЩ (11.14) ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ. пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ МБФФЙОЦЕТПŒУЛПК ЦЙДЛПУФЙ ВПМЕЕ ХДПВОП РПМШЪПŒБФШУС ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, Б ОЕ Œ ЙНРХМШУОПН, ЛБЛ Œ ЗМ. 11, ВПМЕЕ РПМЕЪОП ОЕ РЕТЕИПДЙФШ

12.6. теыеойс

383

Œ (11.14) ПФ ЙНРХМШУОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС Л ЛППТДЙОБФОПНХ, Б ŒЩРПМОЙФШ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ЪБОПŒП.

йФБЛ, РПДБООПЕ ОБ ФХООЕМШОЩК ЛПОФБЛФ НЕЦДХ УЙУФЕНБНЙ A Й B ОБРТСЦЕОЙЕ eV РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ТБЪОПУФШ ИЙНЙЮЕУЛЙИ РПФЕОГЙБМПŒ: eV = —B − —A. хДПВОП УДЕМБФШ ЛБМЙВТПŒПЮОПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, РТЙŒПДСЭЕЕ ЗБНЙМШФПОЙБО Л ŒЙДХ Htot =

HA

+

HB

+

Htun

(t), ЗДЕ ЗБНЙМШФПОЙБО ФХООЕМЙТПŒБОЙС СŒОП ЪБŒЙУЙФ ПФ ŒТЕНЕОЙ УМЕ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДХАЭЙН ПВТБЪПН:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Htun(t) = w e−

ieV t

+

A$

x=x0

+ h:c: :

(12.121)

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

$

 

 

 

пРЕТБФПТ ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЛБЛ РТПЙЪŒПДОБС РП ŒТЕНЕОЙ ПФ ПРЕТБФПТБ

ЪБТСДБ:

 

 

 

 

$

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

I = ie [Htot; QA] ;

 

QA =

A+(x)

A(x)dx :

(12.122)

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

œЩЮЙУМСС ЛПННХФБФПТ Œ (12.122), РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

I

= ie w e−

ieV t

+

A − w e

ieV t +

B x=x0

:

(12.123)

 

B

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нЩ ВХДЕН ЙУЛБФШ ФХООЕМШОЩК ФПЛ У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РП (НБМПК) БНРМЙФХДЕ ФХООЕМЙТПŒБОЙС w. рПЬФПНХ ТБЪХНОП РЕТЕКФЙ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

РП ПФОПЫЕОЙА Л ĂŒПЪНХЭЕОЙАĄ

Htun(t):

I(t) = U −1

(t)I(t)U (t) 0 ;

U (t) = T exp

−i t

Htun(t )dt

 

:

(12.124)

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

тБЪМБЗБС ( ) Œ ТСД РП УФЕРЕОСН , ХВЕЦДБЕНУС, ЮФП ЗМБŒОЩК ŒЛМБД ДБЕФУС ЮМЕОПН

U t w

ТБЪМПЦЕОЙС РЕТŒПЗП РПТСДЛБ. уППФŒЕФУФŒХАЭЙК ПРЕТБФПТ РПД ЪОБЛПН ХУТЕДОЕОЙС::: 0 Œ (12.124) ÅÓÔØ

e|w|2

 

t

[

B (t )

A(t );

A (t) B (t)]e−

( − − [ A (t ) B (t );

B (t) A(t)]e

( −

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

+

ieV t t)

+

+

ieV t

t)

−∞

(12.125) дŒБ ЙЪ ЮЕФЩТЕИ УМБЗБЕНЩИ, РПМХЮБАЭЙИУС РТЙ ТБУРЙУЩŒБОЙЙ ЛПННХФБФПТПŒ Œ (12.125), НПЦОП РТЕПВТБЪПŒБФШ, УДЕМБŒ ЪБНЕОХ t − t → t − t. рТЙ ЬФПН (12.125) РТЙПВТЕФБЕФ ЖПТНХ, Œ ЛПФПТПК ПВМБУФЙ t < t Й t > t ПЛБЪЩŒБАФУС ТБŒОПРТБŒОЩНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФХООЕМШОПЗП ФПЛБ (12.124) РТЙПВТЕФБЕФ ŒЕУШНБ ХДПВОЩК ŒЙД:

I(t) = e|w|2

∞

KBA(t − t )e−ieV (t −t)

− KAB (t − t )eieV (t −t)

dt ;

(12.126)

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KBA(t − t ) =

B+(t )

B (t)

A(t )

A+(t) ;

 

(12.127)

 

 

KAB (t − t ) =

A+(t )

A(t)

B (t )

B+(t) :

 

(12.128)

384 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

уТЕДОЙЕ Œ (12.127) ВЕТХФУС УППФŒЕФУФŒЕООП РП ПУОПŒОЩН УПУФПСОЙСН УЙУФЕН A ЙМЙ B. пФНЕФЙН, ЮФП РПМХЮЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.126) ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЛПОЛТЕФОЩИ ДЕФБМЕК ЖЙЪЙЛЙ ФХООЕМЙТПŒБОЙС Й ЙНЕЕФ ŒЕУШНБ ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ.

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УЙФХБГЙС, ЛПЗДБ УЙУФЕНЩ A Й B РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК МБФФЙОЦЕТПŒУЛЙЕ ЦЙДЛПУФЙ. œЩТБЪЙН ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ (12.126) ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ Œ ВПЪПООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. дМС ПРТЕДЕМЕООПУФЙ ТБУУНПФТЙН ПРЕТБФПТЩ A+(x) É A(x) ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ УЙУФЕНЕ A. оБЙВПМЕЕ ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЬФЙИ ПРЕТБФПТПŒ, УРТБŒЕДМЙŒПЕ РТЙ УЛПМШ ХЗПДОП УЙМШОПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ, ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

−

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x) =

=1

Am;m ei(m−m )p0xeim’1

(x)+im ’2

(x) ;

(12.129)

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

+(x) =

=1

A

e−i(m−m )p0xe−im’1

(x)−im ’2

(x) :

(12.130)

A

m;m

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

жЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ ФПН, ЮФП ФХООЕМЙТХАЭЙК Œ УЙУФЕНХ A ЬМЕЛФТПО ПРЙУЩŒБЕФУС УХРЕТРПЪЙГЙЕК ОЕУЛПМШЛЙИ ŒПЪНПЦОЩИ УПУФПСОЙК. ьМЕЛФТПО НПЦЕФ РТЕŒТБФЙФШУС Œ РТБŒХА ЙМЙ Œ МЕŒХА ЮБУФЙГХ, Б НПЦЕФ | Œ ДŒЕ РТБŒЩИ ЮБУФЙГЩ Й МЕŒХА ДЩТЛХ, Й Ф. Р. оЙЦЕ НЩ ТБУУНПФТЙН ЪБДБЮХ, ОЕ ХЮЙФЩŒБС ŒЛМБДЩ УПУФБŒОЩИ ПРЕТБФПТПŒ. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП A(x) = (2ıa)−1=2ei’1(x), A+(x) = (2ıa)−1=2e−i’1(x). лБЛ ВХДЕФ ŒЙДОП ЙЪ ДБМШОЕКЫЕЗП, ТЕЫЕОЙЕ ВЕЪ ФТХДБ ПВПВЭБЕФУС ОБ ВПМЕЕ УМПЦОЩЕ УМХЮБЙ.

лПТТЕМСГЙПООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ПРЕТБФПТПŒ e±i’1(x) РТЙ РТПЙЪŒПМШОПК ФЕНРЕТБФХТЕ ВЩМЙ ОБКДЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 80. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ ВПМЕЕ РТПУФПК УМХЮБК T = 0. рПДУФБŒМСС ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.51) ДМС ЖХОЛГЙК зТЙОБ Œ (12.127), ОБИПДЙН

KBA(t − t ) = (2ıa)−2

a~ − i(t − t)

; KAB (t − t ) = KBA(t − t) ;

(12.131)

 

a~

¸

 

 

 

 

ÇÄÅ

 

 

 

a~ = a=vF É ¸ = 2(1 + sh2 „A + sh2 „B ) :

(12.132)

œЩТБЦЕОЙЕ (12.127) ХДПВОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША ЙЪŒЕУФОПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ЗБННБ-ЖХОЛГЙЙ:

∞

 

bz−1

 

 

e(a+it)b (a + it)−z dt = 2ı

`(z) ;

(12.133)

−∞

ŒЕТОПЗП РТЙ b > 0 Й z > 0. оБИПДЙН, ЮФП РТЙ V > 0 ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ РП ŒТЕНЕОЙ Œ (12.127) ДБЕФ ФПМШЛП РЕТŒЩК ЮМЕО, Б РТЙ V < 0 | ФПМШЛП ŒФПТПК ЮМЕО. уППФŒЕФУФŒЕООП, ФХООЕМШОЩК ФПЛ ЕУФШ

I = e|w|2

a~¸

(eV )¸−1

ÐÒÉ V > 0

,

(12.134)

2ıa2`(¸) %

( eV )¸−1

ÐÒÉ V < 0

.

 

 

− −

 

 

 

рПМХЮБЕН, ЮФП ФХООЕМШОЩК ФПЛ РТЙ T = 0 ЕУФШ УФЕРЕООБС ЖХОЛГЙС I V ¸−1, РТЙЮЕН РПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ ЪБŒЙУЙФ ПФ УЙМЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ УЙУФЕНБИ A Й B. пФНЕФЙН

Смотрите также файлы