Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 931

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

ЮЗ

§8. Применение основных теорем механики

внеинерциальных системах отсчета

Основные теоремы механики были доказаны в §§ 2—4 этой главы в предположении, что исследуемая динамическая система удовлетворяет условиям 1°—3°, указанным в конце предыдущей главы.

В этом параграфе мы откажемся от условия 1° (об инерци-

альности

системы

отсчета), а в следующем —от условия 2° (о по-

стоянстве

состава

системы), и

покажем,

каким образом —за

счет введения

дополнительных

 

\Z

сил —удается,

несмотря на это,

 

применять основные теоремы.

 

Рассмотрим систему

матери-

 

альных

точек в предположении,

 

что выполняются

все

условия,

 

о которых

шла

речь

в преды-

 

 

дущей главе, кроме одного: те-

 

 

перь система отсчета, относи-

 

 

тельно которой рассматривается

 

 

движение, не является инер-

„ ^ " ^

У

циальной.

 

 

 

 

х

 

Выберем инерциальную сие-

 

ри с ш.15.

тему отсчета х)

х, у, г и рассмот-

 

 

рим неинерциальную систему \, г|, £, движущуюся относительно инер-

циальной (рис. II 1.15). Рассмотрим далее /-ю точку материальной

системы с массой

т{. С точки зрения наблюдателя, находящегося

в инерциальной системе, и с точки зрения наблюдателя, находя-

щегося в неинерциальной системе, точка mt совершает различные

движения. Наблюдатель, находящийся в инерциальной системе,

имеет право для

изучения движения точки применять законы

механики, о которых

речь

шла выше, в частности второй закон

Ньютона

 

 

 

 

 

 

niiWi^Fi,

(70)

где

W( — ускорение точки относительно

инерциальной системы х,

У,

г.

 

 

 

 

Если наблюдатель, находящийся в неинерциальной системе

отсчета и считающий, что

на точку

т; действует та же самая

сила F{, попытается

применить закон Ньютона, то он обнаружит,

что

закон Ньютона

в его

системе отсчета не выполняется, т. е.

масса, умноженная на

ускорение, которое он наблюдает, не равна

действующей

на точку

силе.

Вернемся

к рис. II 1.15. Движение точки т4 можно считать

сложным движением: движение точки /п( относительно инерциаль-

') Здесь и далее для краткости мы отождествляем систему отсчета с выбранной в ней декартовой системой координат (см. гл. 1).

104

ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

 

 

ной системы можно рассматривать как абсолютное,

движение

точки

относительно неинерциальной

системы —как относительное,

а движение неинерциальной системы отсчета

относительно

инер-

циальной системы отсчета —как переносное.

Тогда

в силу

общих

геометрических

свойств

сложного движения,

изученных

в гл. I,

 

 

«>/абе = «»1<т,+ «'/Пср+ ™*«ар-

 

 

(71)

Вспомним, что в качестве

ускорения в левой части

формулы

(70) фигурирует

ускорение точки т{

относительно

инерциальной

системы, т. е. как раз то ускорение,

которое

теперь, рассматри-

вая движение точки т,- как

сложное, мы назвали

абсолютным.

Подставляя в (70) выражение

(71) для wia6c,

получаем

 

 

 

 

Щ (щ от „+ w, П(ф + Щ к о р ) = Ft.

 

 

 

Это соотношение можно

переписать так:

 

 

 

 

 

 

tnwt0TH

= Ft-

trii-Wiпер-niiWiкор.

 

 

 

(72)

Формулу (72) можно трактовать как запись закона Ньютона применительно к неинерциальной системе отсчета. В правой части этой формулы к силе, действующей на точку, добавляются еще два члена —они появляются в результате наличия переносного и кориолисова ускорений. Обозначая эти члены с учетом их знаков соответственно У,-пер и JiKop, получаем

 

ер I "I кор -

(73)

Векторы, которые появились в правой части

формулы (73),

имеют размерность силы и

называются силами инерции: вектор

•Л'пер — — miWincp называется

переносной силой инерции, а вектор

Jj к о р = — mtWiк о р —кориолисовои силой инерции. Переносная и кориолисова силы инерции получаются соответственно умножением

переносного и кориолисова ускорения на массу точки тг. На-

правление сил инерции

противоположно

направлению

соответст-

вующих ускорений.

 

 

 

 

 

 

Мы установили таким образом, что

второй закон

Ньютона

может

быть применен и в неинерциальной систем

отсчета, если

к силам, действующим на каждую точку,

добавить

переносную и

кориолисову силы инерции.

 

 

 

 

Вспомним теперь,

что при выводе всех основных теорем меха-

ники в §§ 2—4 этой

главы

мы опирались

лишь на второй закон

Ньютона.

Следовательно,

все теоремы механики, сформулирован-

ные нами

выше, будут

верны и в неинерциальных

системах от-

счета,

если к силам,

действующим на точки системы,

добавить

переносные и кориолисовы силы инерции.

Если силы делятся на

§ 8 НЕИНЕРЦИЛЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

105

внешние и внутренние, то силы инерции относятся к внешним силам.

Так, например, теорему об изменении количества движения и теорему сб изменении кинетического момента в неинерциальной системе отсчета можно записать так:

£t

= = **внеш ~т "пер

г "кор!

\'^)

^ = М О в И е Ш - Ь М о , п е р + Мо ,к о р ,

(75)

где /п е р и Укор — главные векторы

переносных и соответственно

кориолисовых сил

инерции всех

точек системы, a MOJ

и

MOJ —главные моменты этих сил относительно полюса О.

кор

Главные векторы переносных и кориолисовых сил инерции легко определить, если известны переносное и кориолисово ускорения центра инерции системы. Действительно,

 

Лер = — 2 гпм

п с р = — 2 m, [w0 4- 8 х П + сох (со х п)]

=

 

= — [w0

• £'"/ + е X v m,-/-,- + юх (о х S тгг,-)] =

 

 

= — [Mw0

-|-е х Mrc

+ » X (соX Mrc )] =

 

 

 

 

= - М [ т о о

+ £ХА-с + сох(сохгс )] = — MwCnep

 

 

(76)

и

аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лор == — 2 Ц т,- (сох Т)г01„) = — 2 (сох v тм 0ТН) =

 

 

 

= - 2

(сох MvCmH)

= —2М (ахюсоти)-

 

 

(77)

 

Таким

образом,

 

главные

векторы

переносных и

кориолисовых

сил инерции системы равны соответственно

переносной

и кориоли-

совой силе

инерции,

которые следовало бы приложить

к

матери-

альной точке массы

Л1= 2/п<»

е с л и

^ы

эта

точка

 

находилась

в центре инерции системы и

двигалась вместе с ним.

 

 

 

Теорема

об

изменении

кинетической

энергии

записывается

в

неинерциальной

системе отсчета

внешне

совершенно

так же,

как и в неинерциальной,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dT = 8A,

 

 

 

 

 

(78)

где 8А —работа всех приложенных сил на элементарных перемещениях относительно неинерциальной системы отсчета, т. е. на относительных перемещениях. При подсчете 8А надо учитывать элементарную работу не только сил, действующих на точки системы (внешних и внутренних), но и работу переносных сил инерции.

Работа кориолисовых сил инерции равна нулю, так как кориолисова сила инерции всегда ортогональна относительному перемещению. В самом деле,

6 i 4 o P = УК °Р 'dr°™ = ~ 2 т (ю х *°™)' e°™ d t = 0 >

106

ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Из

формул (74), (75) и (78) следует, что законы сохранения,

сформулированные в §§ 2—4

этой главы, могут быть сформули-

рованы и в неинерциальных

системах отсчета, однако при иных

условиях, чем это имело место в инерциальных системах. Так, например, в инерциальных системах закон сохранения количества движения или кинетического момента имел место в тех случаях,

когда главный вектор или соответственно главный момент

внеш-

них сил был равен нулю, в частности, в замкнутой

системе, на

которую

по определению не действуют

внешние силы.

Иначе

обстоит

дело в неинерциальных системах отсчета.

Даже для

замкнутой системы в неинерциальной

системе отсчета,

вообще

говоря, не выполняются законы сохранения количества движения

и кинетического

момента. Для того чтобы количество движения

и кинетический

момент не изменялись в неинерциальных систе-

мах

отсчета, нужно, чтобы были равны нулю главный вектор

(или

соответственно главный момент), составленный совместнодля

внешних сил и сил инерции. Ясно, что это может

иметь место

лишь при специальных

условиях. Поэтому случаи,

когда кне-

инерциальным системам

можно применять законы

сохранения

количества движения и кинетического момента, значительно более редки и носят частный характер.

В связи с последним замечанием особый интерес представляет центральная система, которая движется поступательно относительно инерциальной так, что в любой момент t скорость (ускорение) всех ее точек совпадает со скоростью (ускорением) центра инерции рассматриваемой системы материальных точек. В центральной системе кориолисовых сил инерции нет (так как переносное движение поступательно и ю = 0), и для связанного с ней наблюдателя центр инерции рассматриваемой системы материальных точек неподвижен (vc = wc —0). Поэтому для такого наблюдателя изформулы Q = Mvc следует, чтов центральной системе Q =0 всегда (т.е. нетолько для замкнутых систем, но и при любых внеш-

них силах!): количество движения системы сохраняетсяравным нулю во время движения. Из теоремы одвижении центра инерции

гпер

следует, что в центральной системе главный вектор всех сил, приложенных к точкам системы (включая силы инерции), равен нулю.

Поэтому в центральной системе как М— главный момент всех сил (включая силы инерции), так и К— кинетический момент не зависят от выбора полюса1).

2) При переносе полюса

главный момент системы векторов изменяется на

момент главного вектора (/? — в случае сил, Q — в случае импульсов), прило-

женного в «старом» полюсе;

см. приложение, стр. 340.

§ 9. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

107

Рассмотрим теперь случай относительного равновесия. Если материальная точка неподвижна относительно неинерциальной системы отсчета, то говорят, что имеет место относительное равновесие. При относительном равновесии

В связи с тем,

что ©отн = 0, кориолисово ускорение не возни-

кает и главный вектор кориолисовых сил инерции также равен

нулю. Из формулы

(73) следует тогда условие

относительного

равновесия

 

 

 

/= 4 е р = 0.

(79)

Если бы система была инерциальной, то условием равновесия точки было бы равенство нулю приложенной к ней силы'). Мы видим теперь, что в неинерциальных системах отсчета равенство нулю силы, приложенной к точке, еще не определяет равновесия: относительное равновесие достигается только тогда, когда равна нулю сумма действующей на точку силы и переносной силы инерции.

§ 9. Применение основных теорем механики к движению системы переменного состава

Предположим теперь, что рассматривается система, которая не удовлетворяет условиям основной модели классической механики по другой причине: состав системы во время изучаемого движения не остается постоянным, а изменяется. Начнем с нескольких простых примеров.

В качестве первого примера рассмотрим движение трубки, заполненной мелкими шариками, например дробинками, под действием некоторой силы (рис. III. 16, а). Предполагается, что трубка закрыта пробкой, массой которой можно пренебречь (на рисунке эта пробка обозначена буквой Я) и что во время движения дро-

бинки не высыпаются

из трубки и не добавляются

в нее. Тогда

трубка

и дробинки —система

постоянного

состава,

и к

ним при-

менимы законы и теоремы мех'аники.

 

 

 

 

Предположим теперь, что пробка Я вынута, и поэтому дро-

бинки

высыпаются

из

трубки

(рис.

III.16, б); в

то

же время

в нее

все время

поступают

дробинки

из какого-либо

бункера.

Предполагается,

что

«приток»

дробинок

из бункера

в трубку

в точности равен их «расходу». Поэтому количество дробинок, находящихся внутри трубки, всегда совершенно такое же, какое было до того, как была вынута пробка Я и начался «проток»

!) При

наличии нескольких сил, приложенных к точке, нулю должна

быть равна

их векторная сумма.

Смотрите также файлы