Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 932

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

108 ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

дробинок через трубку. Несмотря на то, что в обоих рассмотрен-

ных

случаях

масса трубки

с дробинками

совершенно одинакова

и движение

рызывается одной и той же

силой,

движения,

кото-

рые

возникают в этих случаях, будут различными. Теоремы меха-

 

Оо t

ники, доказанные

выше в этой главе, нель-

 

му

зя применять к случаю,

соответствующему

 

(

рис.

III.16, б,

так

как в этом случае не

 

 

выполняется

условие

постоянства

состава

 

 

рассматриваемой

материальной

системы:

 

 

несмотря

на

то,

что

количество

вещества

 

 

в трубке

не

изменяется

во времени,

сос-

 

 

тав этого

вещества

меняется: одни

дро-

£бинки (высыпающиеся из трубки) заменя-

ет)

ются другими (поступающими

из

бунке-

 

ра). Совершенно аналогично обстоит

дело

 

в случае,

представленном на

рис. II 1.17,

 

где через

трубку протекает

жидкость,

 

скажем, вода.

 

 

 

 

 

 

 

 

\

Представим

теперь

себе пружинные ве-

сы, на которых взвешиваются три отрезка

 

 

трубы: U-образный (рис.

III.18, а),

L-об-

 

разный (рис. III.18, б)

и прямой

горизон-

 

тальный

(рис.

III . 18, в).

Через

трубы

 

протекает

жидкость,

приток

которой в

 

трубу в точности

равен

расходу,

и

взве-

 

.шиваемые

отрезки

все

время

полностью

б)

заполнены водой; направление течения по-

ри с . ш.16.

казано стрелками. Предполагается,

что во

 

всех трех

случаях

вес

трубы

и заполняю-

щей ее воды совершенно одинаков. С точки

зрения

обычных

представлений

механики систем

постоянного

состава

показания

весов в этих случаях должны быть одинаковы. Однако в действительности показания весов будут разными. Это различие пока-

заний весов за счет протока

жидкости возникает благодаря явле-

ниям, специфическим для

механики

систем

переменного

состава

и не имеющим места для систем постоянного

 

состава.

 

 

В качестве следующего

примера

рассмотрим

ротор

гидравли-

ческой турбины,

условно

изображенный на

рис. III.19.

Непре-

рывный поток воды через турбину

является

равномерным, и

количество воды,

заполняющей промежутки

между

лопатками

турбины, не меняется во времени.

С точки

зрения

механики

системы постоянного состава

ротор

турбины

 

уравновешен и нет

непосредственных причин для создания вращающего момента. Между тем только за счет протока воды через турбину возникает вращающий момент, достаточный для работы, скажем, мощных динамомашин.

§ 9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

109

В качестве последнего примера рассмотрим движение излучающей материальной частицы, либо испаряющейся во время движения жидкой капли, либо, наконец, ракеты (рис. II1.20). Благодаря горению топлива внутри ракеты развиваются большие давления, и продукты горения вылетают из сопла наружу. Ракету можно было бы рассматривать как систему постоянного состава, но тогда наряду с самой ракетой нужно было бы все время рассматривать и вытекшее ранее «облако» газа. К системе

'№

 

в)

Рис. III.17.

Рис. III.18.

«ракета -\- вытекшие газы» могут быть применены теоремы механики, выведенные в этой главе. В частности, если рассматривать движение ракеты при отсутствии внешних сил, то ракета и вытекшие из нее газы представляют собой замкнутую материальную систему

Рис. III.19.

Рис. 111.20.

и, следовательно, скорость центра инерции этой системы не может меняться. Поэтому из того факта, что газы под действием внутренних сил вытекают, скажем, влево, следует сразу, что корпус

но

ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

ракеты

должен двигаться

вправо. Однако если бы мы захотели

изучать

движение корпуса

ракеты с не сгоревшим к этому моменту

топливом, не учитквая движения ранее вытекших из ракеты газов, то теоремы механики нельзя было бы применять непосредственно из-за того, что газы выбрасываются из ракеты, материальный

состав такой системы меняется, и

следовательно, корпус

ракеты

с оставшимся в нем (несгоревшим)

топливом представляет

собой

систему

переменного состава.

Аналогично обстоит дело при дви-

жении

излучающей частицы

или испаряющейся капли.

 

Наша цель состоит в том, чтобы научиться применять законы механики к системам подобного рода. Мы сконцентрируем свое внимание на теоремах об изменении количества движения и момента количества движения системы и на тех изменениях, кото-

рые надо внести в эти теоремы для

того, чтобы они были верны

и для систем переменного состава,

но постоянного объема — все

рассмотренные выше примеры относились к системам такого рода. 1. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента применительно к системам переменного состава. Рассмотрим в системе отсчета х, у, z (эта система может быть и неинерциальной) систему материальных точек, которые в момент

 

 

а)

 

 

 

6)

 

 

 

t = t0

заполняют некоторый

объем

W

(рис. II 1.21, а). Предполо-

жим, что этот объем выделен какой-либо проницаемой перегород-

кой, сквозь которую могут выходить

заключенные

внутри него

частицы и входить частицы извне.

 

 

 

 

 

Отметим

крестиками

частицы,

находящиеся

в

момент

t = t0

в объеме W, так, как это показано

на рис.

III.21, а.

Пусть,

далее,

в момент t1 = t0-{'At

частицы,

занимавшие в момент t0

объем

W и отмеченныг крестиками, занимают некоторый другой

объем

(рис.

II1.21,6).

Тогда в

этот

момент

объем W

будет

 

 

$9 ЛВПЖСННР СИСТЕМЫ ПЕРЕМПННОГО СОСТАВА

 

111

частично заполнен

теми частицами, которые были в

нем ранее,

а частично

новыми

частицами, проникшими сквозь ограничиваю-

щую этот объем оболочку за время Д^ (они отмечены на рис. II 1.21, б

кружками).

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем

теперь

в рассмотрение

две

материальные

системы.

Прежде

всего мы будем рассматривать систему постоянного состава,

образованную теми

материальными

точками,

которые

находились

в объеме W в начальный

момент t = t0,

т. е. частицы,

отмеченные

крестиками. Со временем

эти точки, вообще

говоря,

выходят из

объема

W. Такую

систему постоянного

состава (но переменного

объема)

назовем системой

2 . По отношению к этой системе верны

теоремы, доказанные в этой главе, в частности, теорема

об изме-

нении количества движения.

 

 

 

 

 

Наряду с этой системой 2 будем рассматривать другую систему, состоящую в любой момент из материальных точек, заполняющих

фиксированный объем

W;

часть материальных точек выходит из

этой

системы

и далее

в ее составе

нами не учитывается,

часть же

точек

входит

в эту систему

извне. Такую систему будем

называть

системой W.

Система

W

является

системой постоянного

объема

(но переменного состава).

 

 

 

 

 

Разумеется, в каждое мгновение можно вычислить векторы

количества движения

Q2

и

Qw

для систем 2 и W.

 

В

момент

t = t0 система

2

совпадает с системой W, и поэтому

 

 

 

 

Cs/0

= Q^0 -

(80)

Рассмотрим теперь момент t = ti = t0-\-M. В этот момент количество движения системы W и системы 2 уже могут быть различны. Количество движения системы W можно выразить так:

 

 

 

их-

 

(81)

Здесь Дф у х о д — количество движения частиц, уходящих из объема W

за время Kt (т. е. частиц,

отмеченных

крестиком,

но не

находя-

щихся в этот момент в объеме W); соответственно

ДQl i p i ) X

— коли-

чество

движения частиц,

приходящих

за время

At в объем

W

извне

(т. е. частиц, отмеченных на рис. III.21, б

кружками).

 

Подсчитаем производную dQwjdt:

 

 

 

 

 

 

AW^^-Q^

8

Учитывая равенство (80) и очевидное соотношение

Д/-.0

получаем

dQ w

 

dQz

(it

~

~Ш /уход ~Г/прих>

Ш

112 ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ II ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

где /уход и /п р и х обозначают соответственно

пределы

/уход—f — иiimт

А у х о д

А п р и х

—^д ^ — > /прих—f — limп т

—^ - ^ — .

Непосредственно видно, что этими пределами служат векторы,

имеющие размерность силы. Это следует, впрочем, сразу

и из

формулы

(83).

 

 

 

Удобно

ввести

в рассмотрение вектор /?

д о п —сумму этих

двух

векторов

с

учетом

их знаков:

 

 

 

 

 

*^доп ~~ /уход ~Г"/прих'

 

v"*-v

Вектор Ядоп называют дополнительной силой. Он возникает лишь благодаря «уходу» частиц из рассматриваемой системы или «приходу» новых частиц в эту систему и по величине и направлению определяется формулой (85^. С учетом (85) равенство (83) можно переписать так:

~ЗГ = ~дГ +Л д о п >

(8 6 )

Соотношение (86) верно как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета, так как при его выводе производился лишь подсчет количеств движения.

Если система отсчета инерциальна, то к системе 2 применимы теоремы, доказанные в §§ 2—4 этой главы, и

поэтому

в инерциальной

системе отсчета

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

^ВНСШ 4 " "ДОЛ'

 

 

 

 

( 8 7 )

Теперь

теорему об изменении

количества

движения

для

системы

переменного

состава

можно

сформулировать

так:

в инерциаль-

ной системе

отсчета

производная

по времени

от

вектора

коли-

чества

движения системы постоянного об?,ема (но переменного со-

става)

равна главному вектору внешних сил

и

дополнительной

силы, определяемой формулой

(85).

 

 

 

 

 

 

Аналогично, в неинерциальной

системе

отсчета

 

 

 

 

 

Т,

=

^внеш "Г ^пер

~Г •'кор Т

"доп-

 

 

("8)

 

 

=

 

 

Вернемся теперь к инерциальной системе отсчета и введем понятие о стационарном потоке материи через объем W. Будем говорить, что поток материи является стационарным, если количество движения в любом элементарном объеме внутри W зависит только от его положения внутри этого объема и не меняется со временем. Это условие относится не только к внутренним

Смотрите также файлы