Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 916

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3 ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМ ОТСЧЕТА

21

две точки среды заведомо не могут иметь отличные по величине скорости, направленные вдоль соединяющей эти точки прямой, ибо при таких скоростях менялось бы расстояние между точками. Поэтому при движении срелы скорости ее точек не произвольны, а распределены некоторым специальным образом.

Наша цель состоит в том, чтобы выяснить, как распределены скорости точек греческой среды, движущейся относительно латинской среды.

Пусть в момент t оси х, у, г

 

и £> Л» £ совпадают, а в момент

Рис 1.10.

tx за счет движения греческой

 

среды это совпадение несохраня-

 

ется (рис. 1.10). В связи с тем, что по предположению расстояния

между точками среды не меняются

во время движения, коорди-

наты |, т), £ любой точки

греческой

среды неизменны во времени.

Из рис. 1.10 следует, что

 

 

поэтому

(18)

и, следовательно,

dj dfc

d4

d*k

(19)

 

 

dP

 

Рассмотрим теперь два частных

случая движения среды.

В первом случае во все время движения оси £, т], £ параллельны

осям х, у, г, т. е.

каждый

из ортов

/, /, k всегда параллелен

самому себе (рис. 1.11). Тогда

 

di

dj dk

d4 dy

d*k

~dt==~diz=~di==dP=1dP~d!*

=

и поэтому

(20)

т. е. скорости и ускорения всех точек греческой среды в любой фиксированный момент времени одинаковы. Такое движение называется поступательным. Легко видеть, что при поступательном

22

ГЛ I КЛАССИЧГСКАЯ КИНЕМАТИКА

движении не только оси координат, но и любая другая прямая, закрепленная в греческой среде, перемещается параллельно самой себе. Второй случай соответствует предположению, что во время движения точка О' неподвижна, а греческая среда вращается вокруг этой точки. В этом случае Vo' —O, и поэтому

di

dj

r dk

 

'It'

'dt'

si~dl'

(21)

dH

 

 

 

 

 

Введем вспомогательную среду и соответствующую систему координат х', у', г' (рис. 1.12). Начало этой системы координат закреплено в точке О' греческой среды и движется вместе с ней, а оси х', у', г' все время остаются параллельными осям х, у, г

Рис. 1.11. Рис. 1.12.

соответственно. При рассмотрении движения греческой среды относительно вспомогательной среды точка О' неподвижна, и поэтому скорости и ускорения всех точек могут быгь определены по формулам (21).

Напомним, что точка О' была выбрана в греческой среде произвольно. Поэтому из сравнения формулы (19) с формулами (20) и (21) следует, что в любое мгновение скорость каждой точки греческой среды может быть подсчитана как сумма скоростей ее произвольно выбранной точки О' и той скорости, которую имеет рассматриваемая точка греческой среды относительно вспомогательной среды, движущейся с этой точкой О' поступательно.

Задача сводится, таким образом, к изучению распределения скоростей и ускорений в среде, имеющей одну неподвижную точку.

§4 ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

23

§ 4. Движение среды с неподвижной точкой

Прежде чем перейти к рассмотрению этого случая движения, рассмотрим более простое движение — вращение вокруг неподвижной оси (рис. 1.13). В этом простом случае каждая точка движется по окружности вокруг оси.

Поэтому скорость i-й точки равна

где р; —расстояние от этой точки до оси.

 

Величина

a = d(p/dl называется угловой

 

скоростью вращения среды.

 

 

 

 

Введем

вектор

<о,

направленный

 

вдоль

оси вращения 1) так, чтобы

 

 

 

 

 

 

О) X

Гь

 

 

(22)

 

где

rt

— радиус-вектор,

проведенный

Р и с j 1 3

к

1-й

точке

из

некоторой точки,

 

произвольно

выбранной

на оси

вращения. Модуль вектора ю

равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(о

= -

1_ =

!i!L! =

аЛ

 

 

 

 

 

а,-

р,-

dt

 

 

 

 

 

 

 

а его направление определяется обычными правилами векторного умножения: для правой системы координат вектор ю направлен вдоль оси вращения так, чтобы из его конца любая точка среды, расположенная вне оси, казалась вращающейся против часовой стрелки.

Для ускорения имеем

Касательное ускорение равно

где е = da/dt = d2cp/c^2 —угловое ускорение. Если ввести в рассмотрение вектор е, определяемый так, чтобы

то распределение касательных ускорений в среде также представится векторным произведением. При е > 0 , т. е. при ускоренном

!) Точнее— псевдовехтор, так

как при

переходе от правой системы коор-

динат к левой вектор ю заменяется

вектором

—о».

24 ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНГМАТИКЛ

вращении среды, вектор Е направлен так же, как и пектор ю; он направлен вдоль оси вращения'противоположно вектору о при е < 0 , т. е. при замедленном вращении.

Нормальное ускорение

w«i = -vl я = »2рг/г

в данном случае направлено к центру кривизны траектории, т. е. к оси вращения, и для случая вращения вокруг оси называется

осестремител1 ным ускорением.

Обратимся теперь к основной задаче этого параграфа —к изу-

 

 

 

 

чению движения среды, имею-

 

 

 

 

щей

неподвижную точку.

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

1. При

движе-

 

 

 

 

нии

среды с неподвижной

точ-

 

 

 

 

кой в каждый момент существу-

 

 

 

 

ет единственныйвектор ю та-

 

 

 

 

кой,

что

мгновенная

скорость

 

 

 

 

любойточки среды определяет-

 

 

 

 

ся формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(23)

 

 

Рис.

t.14.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Выбе-

 

 

 

 

 

 

 

 

рем начало координат в непод-

вижной точке (рис. 1.14)

и обозначим через i,j

и k орты осей | , г\

и £. Тогда

скорость произвольной /-й точки

равна

 

 

 

 

 

vi = Ь di/dt+ г),dj/dt+ ^ dk/dt,

 

 

 

а ее проекция v^

на ось Ъ, равна

 

 

 

 

 

Vli

= v,-i = l, (di/dt) • < +1), (dj/dt) • i + £, (dk/dt) •i.

(24)

Ho / •/ =

1

и поэтому

(di/dt) • / = 0, а из

тождества /•/ = 0 сле-

дует, что

 

(dj/dt)

i —— (di/dt) j . Поэтому

равенство (24) можно

записать так:

 

 

(dk/dt) i

(dl/dt)-j

 

 

 

 

 

 

 

 

(25)

vtl

= ^ (dk/dt) -i-rit (di/dt)• / =

 

 

 

Проекции vir[

n'

век гора v определяются аналогично1):

 

 

 

 

 

\ (di/dt)-J

(djldt)-k

 

 

(26)

 

 

 

 

Ь

Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(dj/dt) • k

(dk/dt) • I

 

 

(27)

 

 

 

 

li

Ai

 

 

 

 

l) Равенство (25) содержит лишь проекции векторов на ортогональные оси

ипоэтому сохраняется при циклической перестановке осей. Дважды выполняя циклическую перестановку, можно сразу из (25) получичь равенства (26) и (27),

§ 4 ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

25

Поэтому вектор

vt

равен

 

 

 

 

 

(dk/dt)

I

(di/dt)-j

(dl/dt)-j (dj/dt

к J+

 

 

 

 

 

(djjdt) • к

(dk/dt)

• I

 

l

j

к

 

 

 

 

к

= (dj/dt).к

(dk/dt) I (di/dt)

j

где

 

 

 

 

 

 

 

 

= ((dj/dt)

k)i

+ ((dk/dt) • i) j+((d'/dt)

-j) k.

(28)

Теорема доказана. Более того, формула (28) позволяет определить (и притом единственным образом) вектор и, если известны скорости трех точек — концов ортов /, J и к «греческой» системы отсчета \, ц, t,. Выясним теперь, нельзя ли определить w на основе меньшей информации, например по скорости v только одной или двух точек.

На первый взгляд представляется, что для определения ю достаточно знать скорость vt какой-либо одной точки с г = гх . Действительно, векторное равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ч

 

 

 

эквивалентно трем скалярным:

 

 

 

 

 

 

Однако из

полученных

так

трех

уравнений

нельзя

найти три

неизвестные

величины

 

 

ы

 

),

поскольку

определитель

системы равен нулю:

 

 

 

п,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

Если же

кроме

скорости vt

 

(точки с г = гг)

известно направле-

ние скорости г»2

(точки с г

= г2),

 

неколлинеарной vlt

то вектор и

может быть

определен. Действительно,

рассмотрим

плоскости Ut

и П2, проходящие через вектор гх

перпендикулярно

vx

и через г2

перпендикулярно ©2

соответственно. По свойству векторного про-

изведения

вектор

о

лежит

 

как

в

П^

так и в ГТ2, т. е. на пря-

мой, по

которой

пересекаются

эти плоскости. Модуль о легко

определить

по модулю

vx:

 

 

 

 

 

 

 

 

| siii a '

Смотрите также файлы