Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 918

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5 СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ

31

греческой системы отсчета относительно латинской — переносным движением.

Пусгь ГА И рд — радиусы-векторы точки А в латинской и греческой системах отсчета соответственно. Тогда (рис. 1.18)

или

Вычислим

скорость

оаб1. точки А

в

абсолютном

движении.

С этой целью продифференцируем последнее

равенство

по /, счи-

тая

греческие

координаты точки I, т], £, радиус-вектор го> и орты /,

j и k функциями от t:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr.

drn,

 

 

di

 

dj

dfc

 

d\

 

dr\

dt,

 

 

Для того чтобы вычислить скорость

в относительном

движе-

нии

(ее обозначают

г»отн),

надо при

дифференцировании

считать

функциями t лишь координаты | , t\ и £;

тогда

dro'/dt

= di/dt =

= dj/dt = dk/dt = 0 и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ф °т н =

~dll + ~dt ^ + "dT

 

 

fe"

 

^3 2 )

Скоростью

точки

А в переносном движении (ее обозначают ©пер)

называется скорость, которую имеет относительно латинской

системы отсчета та точка греческой системы,

в которой

в рас-

сматриваемый момент находится точка А.

Иначе

говоря,

это та

скорость,

которую

имела бы точка

А,

 

если в этот момент она

«примерзла» бы к

греческой системе

и далее

двигалась

бы вместе

с ней. Поэтому,

чтобы

определить

vnep,

 

надо при дифференциро-

вании ГА считать

dl/dt

= dr]/dt = dZ,/dt = O,

а

это дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

drn,

dl

 

dj

 

 

dk

 

 

 

 

 

 

 

 

"»ep—ar+S-ar +IW +Cw

 

 

(3 3 >

Сравнивая найденные иыражения для о

а 6 с ,

оп е р

и г>отн,

устана-

вливаем, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" п е р ~Г "отн>

 

 

 

 

 

(34)

т. е. скорость

точки

А относительно

латинской

системы

отсчета

(абсолютная

скорость)

равна ее скорости

 

относительно

греческой

системы

отсчета

 

(относительная

скорость)

 

плюс скорость

отно-

сительно

латинской

системы той точки

греческой системы,

в кото-

рой

находится

в

этот

момент

точка

 

А

(переносная

скорость).

 

При выводе этого правила сложения скоростей в сложном

движении мы существенно

использовали

основное

предположение

32

ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

о том, что момент времени t одинаков в обеих системах — латинской и греческой. Если рассматривать / как параметр, то равенство (34) выражает лишь геометрический факт —связь между производными по параметру от функций, зависящих от этого параметра, в различных системах координат. Но если параметр / понимается как время, то правило (34) оказывается верным лишь тогда, когда время в латинской и греческой системах протекает одинаково и когда для этих сред имеет смысл понятие одновременности, т. е. когда могут быть указаны в них одинаковые моменты времени. Отказ от этого предположения является краеугольным камнем релятивистской механики Эйнштейна, в которой формула (34) уже неприменима.

Вернемся теперь к равенству (31) и продифференцируем его еще раз:

dli + Л d(i T t ш2

+ dt* '

dt*

 

 

Если мы интересуемся относительным движением, то считаем неподвижной греческую систему отсчета, т. е. полагаем

dt ~~ dt ~~ dt ~ dV- ~ dr- ~~ dfi ~ U >

что Дает следующую формулу для относительного ускорения Wom:

W0TH=|l-/+-g-J+Jr*. (36)

В переносном же движении не изменяются греческие координаты, т. е. dg/d/ = d>)/^ = dC/^ = d2 |/^2 ==d2 T) /^2 = d2£/d/2=0 и переносное ускорение wa!,p равно1)

d*r0,

dH

dy

d*k

wwp —~W +'^"dW + ц IF + ^ OF'

Сопоставляя формулы

(35), (36) и

(37), устанавливаем, что,

в отличие от скорости, абсолютное ускорение не равно сумме ускорений в переносном и относительном движениях. Для того чтобы получить абсолютное ускорение, надо к переносному и относительному ускорениям добавить еще дополнительное или

кориолисово ускорение

dt ^ dt dt + dt dt)'

J ) При подсчете юПер удобно использовать вторую формулу (41) с учетом следующих за ней пояснений.

 

 

 

§ 5 СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ

 

33

так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

Wnep

 

 

(39)

Выше (см. § 3) мы уже установили, чтолюбое движение одной

системы

отсчета

относительно другой

(рис. 1.1,6)

может быть

представлено

как сумма

поступательного движения

и движения

с неподвижной точкой.

 

 

 

 

При

поступательном движении греческой

системы ее орты не

изменяются,

di/dt =df/dt

= dk/dt = 0 и

wKop

= Q. Поэтому при

подсчете

шк о р

существенно лишь движение с неподвижной точкой.

Но при этом движении, в силу доказанной выше теоремы, всегда

существует вектор

<о такой, что скорости всех точек определяются

по формуле (23). Поэтому скорости концов ортов таковы:

 

di/dt = tox /,

dj/dt = о Xj,

dk/dt = юх ft.

Подставляя эти формулы в равенство (38), получаем

-+ (»хЛ-а +(coxft)

или,

учитывая формулу (32),

 

 

= 2 ( Й Х ©о т н )

(40)

т. е.

кориолисово ускорение некоторой точки равно

удвоенному

векторному произведению угловойскорости переносного движения на скорость точки в ее относительном движении.Таким образом, дополнительное (кориолисово) ускорение не возникает не только

тогда,

когда переносное

движение

является поступательным, но

и тогда, когда

скорость

относительного

движения

равна нулю

или параллельна

вектору ю угловой

скорости переносного дви-

жения ').

 

 

 

 

 

 

 

2.

Движение

одной

системы

отсчета

относительно

другой.

Вернемся теперь

к случаю движения

одной системы отсчета отно-

сительно другой (рис. 1.1,6). Выше

было

показано,

что

любое

движение системы отсчета можно

рассматривать как ее поступа-

тельное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной ее точки О', плюс движение системы отсчета с неподвижной точкой О' (рис. 1.12). Введя вспомогательную систему

!) В качестве примера читателю рекомендуется самостоятельно выяснить, кула направлено кориолисово ускорение частиц воды рек, текущих в разных направлениях (например, с юга на север, с запада на восток) и т. д. на различных участках земной поверхности.

2 М. А, Айзерман

34

ГЛ I. КЛАССИЧЕСКАЯ КИНЕМАТИКА

 

отсчета х',у',г',

движущуюся

поступательно

со скоростью vo>—

— dro'/dt, и считая движение

этой системы

переносным, а дви-

жение системы

отсчета

х', у', г' с неподвижной точкой

О' отно-

сительным, можно

использовать

формулы

(34) и (39). При этом

следует

учесть, что в данном

случае

ге/кор

= 0,, так как перенос-

ное

движение

является

 

поступательным.

 

 

 

 

В

результате

устанавливаем,

что при произвольном

движении

одной системы отсчета относительно другой

 

 

 

 

 

"ОА = «пер + W0TH = dro'/dt

+ О)X Г о'А,

 

 

 

( 4 j ч

 

 

WA = яУ„еР + wmH

= d*rO'/dl2

+ е х Гом + » X (m X го.А).

В этих равенствах 7)А

и wA — скорость и ускорение

произвольной

точки

А

движущейся

 

системы,

а

са и г —угловая скорость и

угловое

ускорение

движущейся

системы в ее движении

относи-

тельно системы х'', у',

г', т. е. в движении с неподвижной точ-

кой

О'.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

рассматривается движение какой-либо точки относительно

системы

отсчета,

движущейся

произвольным образом, то движение

этой

 

системы

отсчета

 

можно

принять за переносное. Тогда фор-

мулы

(41) будут служить

для определения

переносных

скоростей

и ускорений, и вектор

со, входящий в этиформулы, будет играть

роль

 

переносной угловой

скорости —именно он войдет

в

выраже-

ние (40) для подсчета

 

кориолисова

ускорения.

 

 

 

3.

Общий

случай

сложения

движений.

Рассмотрим

п систем

отсчета,

движущихся

 

одна

относительно

другой

(рис. 1.1,г):

первая система (координаты я,, уг,

гг) движется относительно «нуле-

вой» (координаты х0

, у0, г0); вторая система (координаты х2, у2, г2) —

относительно

первой

системы; ... последняя, п-я система

(коорди-

наты хп, уп, г„) — относительно (п — 1)-й (координаты xn-lt

уп-ъ Zn-i).

Предполагается,

что известна

скорость

относительного движе-

ния

каждой

«последующей» системы

относительно

«предыдущей»

(n-й

системы

относительно (п— 1)-й,

этой

(п —1)-й

системы отно-

сительно

(п—2)-й и т. д.); требуется

определить

скорости дви-

жения n-й системы

(хп, уп, г„) относительно «нулевой» (х0, у0, z0).

Рассмотрим

сначала

движение

только

я-й системы

относи-

тельно (л—2)-й. Можно считать,

что точки n-й системы совер-

шают

сложное движение: относительным

является

движение /г-й

системы

относительно

(я—1)-й

(со скоростью ©„,„_!),

а

перенос-

ным—движение (п— 1)-й системы относительно (п—2)-й (со скоростью г»„_1>и_2). «Абсолютные» скорости точек я-й системы относительно (п — 2)-й (обозначим их ^.я-г) равны

"On, п-2 = ©я,я-1 + Яя-1, я _г .

Теперь можно исключить из рассмотрения (п — 1 )-ю систему и рассматривать движение я-й системы относительно (п — 2)-й как

Смотрите также файлы