Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

случае зависит от нециклических координат (33) и от их импульсов.

Предположим, что система уравнений (36) проинтегрирована, т. е. найдены все нециклические координаты и соответствующие импульсы как функции времени. Эти функции зависят or 2 (п —т) произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании системы дифференциальных уравнений (36), так как порядок этой системы равен 2 (п — т), и, кроме того, от т произвольных постоянных С/, которые с самого начала входили в выражение для функции Н в силу (35):

В равенствах (38) переменные разделяются, т. е. каждое из уравнений (38) можно представить в виде

dq, = (дН/дС,) dt = i|>; (/; С; S) dt

Зависимость циклических координат от времени находится интегрированием:

q,= \tf(t, С, S)dt + N, (j = n-m + l, .... п). (39)

Циклические импульсы в данном случае не требуется определять — они просто равны произвольным постоянным С,. При интегрировании вносится т дополнительных произвольных постоянных N;. Общее число произвольных постоянных в конечном результате будет равно 2га, т. е. в точности равно порядку общей системы уравнений Гамильтона, составленной для всех гамильтоновых переменных. Таким образом, при наличии т циклических координат порядок системы, которую приходится интегрировать, уменьшается на 2т, поскольку уравнения (36) для нециклических координат «отщепляются», и после того, как эти уравнения проинтегрированы, циклические координаты находятся с помощью т независимых квадратур (39).

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, «отщепить» часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры.

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложеныэле- менты вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения.

§ 4. Элементы вариационного исчисления.

Действие по Гамильтону. Вариация действия

До сих пор в этом к}рее изучение движения сводилось к составлению и исследованию дифференциальных уравнений, описывающих эго движение. Исходным для дифференциальных уравнений любого вида был второй закон Ньютона, устанавливающий связь между ускорением и величиной действующей силы в этот же момент. Поэтому в основе дифференциальных уравнений, которыми мы пользовались до сих пор, всегда лежали локальные

скалярными или векторными величинами, рассмотренными в один и тот же момент времени. Задача описания движения в целом сводилась к интегрированию полученных дифференциальных уравнений, и мы уже знакомы с возникающими здесь трудностями.

Такой локальный подход не является единственно возможным при изучении движения. В конечном итоге траектория движения —кривая в некотором пространстве, и поэтому возможен иной подход к изучению движения. При этом подходе интересуются не локальными свойствами движения, а его глобальными свойствами— тем, чем эта траектория движения в целом отличается от других кривых в том же пространстве.

Если локальному подходу соответствовал аппарат дифференциальных уравнений, то глобальному подходу соответствует аппарат вариационного исчисления. В связи с тем, что основы вариационного исчисления обычно незнакомы студентам к моменту, когда изучается классическая механика, автор вынужден предпослать изложению вопросов, связанных с глобальным подходом, некоторые сведения о вариационном исчислении, ограничиваясь лишь самыми необходимыми фактами; мы рассмотрим к тому же не общий, а лишь частный, недостаточный для наших целей случай, когда сравниваются кривые, принадлежащие одному и тому же однопараметрическому семейству (пучку).

Отображение, которое ставит в соответствие каждой функции из некоторого множества определенное число, называется функционалом. (Пример функционала — определенный интеграл.)

Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых, определенных в (п + 1 )-мерном расширенном координатном пространстве qu q2, ..., qn, t:

где a —параметр, задание которого однозначно определяет кривую семейства. В качестве функционала условимся рассматривать определенный интеграл от какой-либо функции Ф, зависящей от всех или некоторых из координат q, скоростей q и, вообще говоря, времени t, взятый от момента t0 до t^.

Семейство функций (40) определяет в расширенном координатном пространстве семейство отрезков кривых 1) (рис.VII 1). Возь-

мем нижние концы этих отрезков на некоторой кривой, получающейся подстановкой t0 (а) вместо t в формулы (40). Тогда эти формулы параметрически зададут кривую в расширенном координатном пространстве (а —параметр). Пусть другие концы отрезков кривых (40) будут расположены в расширенном координатном

ренцировать по времени и подставить полученные выражения q и q в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число—• значение /ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое опре-

малей.

Таким образом, экстремалями заданного семейства кривых (40) являются те кривые, на которых функционал имеет стационарные значения.

Имея дело с семейством функций (40) от двух переменных, условимся далее обозначать буквой d операцию частного дифференцирования по явно входящему времени (при неизменном параметре а), а буквой б —операцию частного дифференцирования по параметру а (при фиксированном значении времени t):