Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

ственным. Помимо прямого пути проведем произвольное семейство кривых, соединяющих точки А и В так, чтобы они совместно с прямым путем образовывали бы однопараметрическое семейство кривых. Обозначим через а параметр этого семейства и предположим, что прямой путь соответствует а = 0.

Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пучке кривых. Сравнивая возникающую так задачу с задачей, рассмотренной в § 4 при выводе общей формулы для приращения действия по Гамильтону, обратим внимание на то, что все кривые введенного сейчас в рассмотрение пучка (рис. VII.2) пергсекаются в начальной и в конечной точках А и В. Эго значит, что в точках А и В ни значения координат, ни значения времени t не меняются при изменении параметра а, т. е.

и общая формула для приращения функционала для такого пучка (рис. VII.2) принимает вид

На прямом пути удовлетворяются уравнения Лагранжа системы; поэтому все выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла в формуле (61), тождественно равны нулю. Отсюда сразу следует, что на прямом пути вариация действия по Гамильтону равна нулю, г. е. что прямой путь является экстремалью рассматриваемой вариационной задачи —на прямом пути действие по Гамильтону достигает стационарного значения.

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (илиначалом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширгнного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей 1).

!) Если система содержит механические голономные связи, a qj —ее обобщенные координаты, то по самому определению обобщенных координат движение по любой кривой, ведущей из точки А в точку В, не противоречит механическим связям.

Обратим внимание теперь на то, что справедливо и обратное утверждение: если соответствующая сс= О кривая из пучка, представленного на рис. VII.2, такова, что действие по Гамильтону достигает на этой кривой стационарного значения и при а = 0 вариация действия равна нулю, то эта кривая удовлетворяет уравнению Лагранжа, т. е. является прямым путем. Действительно, если положить равной нулю вариацию действия в левой части уравнения (61) и вспомнить затем, что вариации координат 8qj независимы и могут быть выбраны произвольно, то отсюда следует, что выражения, стоящие в скобках под знаком интеграла, порознь равны нулю, т. е. что уравнения Лагранжа удовлетворяются всегда, когда в формуле (61) левая часть обращается в нуль.

вариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный прин-

ционного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения.

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине: оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования

t эти решения определяют семейство кривых. В пространстве q*, t* им соответствует «новое» семейство кривых.

Поставим теперь следующие вопросы: всегда ли существует

Как определить «НОЕЫЙ» лагранжиан L* (q*, dq*/dt*, i*) по «старому» лагранжиану L (q, dqjdt, t)?

Чтобы ответить на эти вопросы, выпишем действие по Гамильтону для «старой» системы

и

I =\L(q, dq/dt, t) dt

и выполним в нем замену переменной t на t* в соответствии с преобразованием (62). При этой замене используется соотношение /= г|> (q* (t*), t*), и поэтому

q(t) = q№{q*(t*), t*))= Ф(q*(П, t*).

Таким образом, операция замены переменной t на t* эквивалентна подстановке в подынтегральное выражение зависимостей (62). В результате получаем

или

'?

d < 7 |

a dty/dt* совпадает со знаменателем этой дроби.

Легко показать, что экстремаль является инвариантом преобразований, т. е. если преобразования (62) выполняются одновременно над кривой пучка, представляющей собой экстремаль, и над функционалом, то преобразованная кривая остается экстремалью для преобразованного функционала. Отсюда и из обратного утверждения принципа Гамильтона (см. выше) сразу следует, что пре-

Таким образом уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат и времени вида (62),

расширенного координатного пространства. Поэтому из того факта,

Вернемся теперь к принципу Гамильтона и выясним, какого типа стационарная точка —максимум, минимум или точка пере- гиба—достигается действием на прямом пути. Ответ на этот вопрос тесно связан с указанными в начале этого параграфа особенностями краевой задачи, которая возникает при проведении прямого пути.

Если точка В достаточно близка к точке А, то эта краевая задача всегда имеет лишь конечное число решений : ). При удалении точки В от точки А может, однако, оказаться, что существуют такие точки, что, выбрав их в качестве точки В, мы получим краевую задачу с бесконечным числом решений. Такого рода точки расширенного координатного пространства называются

кинетическимифокусами,сопряженными с точкой А.

ствия по Гамильтону является минимумом. В том же случае, когда между точками Л и В на прямом пути расположен кинетический фокус, то действие по Гамильтону хотя и экстремально на прямом пути, но утверждение, что этим экстремумом всегда является минимум действия, уже не верно; в зависимости от условий исследуемой динамической задачи это может быть минимум, максимум или экстремум иного типа2 ).

Приводя здесь без доказательства эти краткие сведения о связи между особенностями возникающей стационарной точки с особенностями краевой задачи, определяющей прямой путь, приведем лишь два примера, разъясняющих, каким образом в задачах механики появляются кинетические фокусы.

i) Более того, обычно в этом случае решение единственно. Если существует несколько решений, то пучок, изображенный на рис. VII.2, строится так, чтобы он содержал лишь один из прямых путей (при а = 0), а окольные пути выбираются в окрестности этого прямого пути.