Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Рассмотрим теперь следующую задачу: заданы две различные системы скользящих векторов. Требуется определить, эквивалентны ли они, т. е. можно ли одну из них перевести в другую последовательностью элементарных преобразований. Опираясь на доказанную выше теорему 6, можно доказать следующую теорему, устанавливающую общий критерий эквивалентности двух систем скользящих векторов.

Рис. П.16.

Т е о р е м а 7. Для эквивалентности двух систем скользящих векторов необходимо и достаточно, чтобы эти системы имели равные главные векторы и равные главные моменты относительно произвольно выбранного полюса.

относительно любого другого полюса в силу равенства главных векторов.

До к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Если две системы эквивалентны, то это означает, что любая из них получается из другой элементарными преобразованиями, а элементарные преобразования не меняют ни главного момента, ни главного вектора системы (теорема 5).

До с т а т о ч н о с т ь . Пусть две системы \F\ и {О\ имеют одинаковые главные моменты и главные векторы. Покажем их эквивалентность. Введем систему {О*} так, чтобы каждый вектор О\

352 ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

противоположны. Поэтому главный вектор и главный момент системы {F, G*} разны нулю.

Рассмотрим систему {F, G*} и элементарными преобразованиями сведем ее к двум векторам (это возможно в силу теоремы 6). Элементарные преобразования не меняют ни главного вектора, ни главного момента, так что главный момент и главный вектор этих двух векторов также будут равны нулю. Но это возможно лишь тогда, когда два вектора образуют векторный нуль. Отсюда

б)

Мы докажем теперь основную теорему теории систем скользящих векторов.

Теорема 8. Произвольная система скользящих векторов эквивалентна одной из простейших.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В §2 было показано, что скалярное произведение R • Мо является инвариантом, т. е. полностью определяется рассматриваемой системой векторов и не зависит от выбора полюса О. По

R • Мо = [ R 11Мо | cosa,

где а —угол между вектором Мо и вектором R, построенным в О, а | Мп j cos а = Mt = ПркМ0 — проекция вектора Мо па направление вектора R.

Разделим теперь весь класс систем скользящих векторов на четыре подкласса, определив их следующим образом:

первыйподкласс —системы, у которых RфO и Мхф0; второй подкласс— системы, у которых R —0 и МфО', третий подкласс — системы, у которых ЛфО и Mi= 0 (в связи

с тем, что Мо — 0, или в связи с тем, что УИ0=т^О,.но ос= я/2); четвертый подкласс —системы, у кэторых /?= М = 0.

Легко видеть, что каждая система скользящих векторов принадлежит одному и только одному из этих подклассов. Рассмотрим теперь каждый из этих четырех подклассов по отдельности.

торов, выбранных так: один из них по величине и направлению совпадает с главным вектором R системы А и действует вдоль

СистемаА Система А

Полюс О выберем на центральной оси. Системы А и А* имеют по построению одинаковый главный вектор /?. Главный момент

/£ = УИ = О. В качестве системы Л* выберем произвольный вектор-

этого подкласса эквивалентна одному вектору; этот вектор называется равнодействующим. Равнодействующий вектор всегда совпадает с главным вектором системы, а линией его действия служит центральная ось. Выберем полюс О на центральной оси. У системы, принадлежащей третьему подклассу, главный момент относительно О равен нулю. Перейдем к полюсу О', не лежащему на центральной оси; тогда в силу теоремы 1

Мо' =М0 + т0' (R0) = m0' (Ro)-

Но /?0, т. е. главный пектор, приложенный в О, и является равнодействующим. Поэтому главный моментсистемы из третьего подклассаотносительно произвольного полюса равен моменту равнодействующего вектора относительно этого же полюса.Эго утверждение иногда называют обобщенной теоремой Вариньона1).

Теперь рассмотрим системы из второго подкласса. Каждая система из третьего подкласса эквивалентна единственной совер-