Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 982

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

342

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

 

 

называется проекция на эту ось главного момента

системы отно-

сительно

любой точки О, взятой на этой оси.

 

 

 

 

Главный момент системы относительно оси / обозначается

Mi,

а момент относительно

оси

/ вектора F, обозначается

mt(F,).

 

 

 

 

Для

осей х, у,

г

имеют место со-

 

 

 

 

ответственно обозначения Мх,

Му,

 

 

 

 

Мг

и mx{Ft),

 

my{F,),

mt(F.).

 

 

 

 

Главный момент системы относи-

 

 

 

 

тельно

оси I

является, не векто-

 

 

 

 

ром,

а скаляром

и, следователь-

 

 

 

 

но, задается абсолютным значением

 

 

 

 

и знаком.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подсчитать

 

главный

момент

 

 

 

 

системы {F}

относительно

неко-

 

 

 

 

торой оси удобнее

всего так: про-

 

 

 

 

вести

перпендикулярную этой оси

 

РИС П5.

 

плоскость, спроектировать

на нее

 

 

 

 

все

векторы из {/•"}

и подсчитать

главный

момент

этих

проекций

 

относительно

точки

 

пере-

сечения

оси с плоскостью

(рис. П.5). Действительно,

 

 

/щ (F,)= Пр,т0

(F.) = | т0

{F,) | cosа, = 2 Пл Д ОАВ cos а,,

но

Пл Д О АВ • cos а, = Пл Д О А'В'.

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим через FT составляющую Ft в плоскости, перпендикулярной /. Тогда с точностью до знака

m, (F,)= 2 ПлД О А'В' = | т0 (Ft) |

,)=2]\mo(Ff)\.

Вернемся к понятию о главном моменте системы векторов относительно полюса О. Выше уже было показано, что в отличие от главного вектора системы /? главный момент Мо зависит от Еыбора полюса. Однако имеет место

Т е о р е м а 3. Скалярное произведение главного момента системы векторов на главный вектор той же системы не зависит от выбора полюса.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу теоремы 1

Умножим скалярно

левую и правую части этого равенства

на R:

 

Мо- • /? = Мо-R + mo' (Ro) • R.

 

 

2 ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ

 

 

 

 

343

Но векторы nto- (Ro)

и R

взаимно перпендикулярны, поэтому их

скалярное произведение равно нулю. Теорема доказана.

 

 

Таким

образом, произведение MoR

является

инвариантом

системы векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим главный

момент относительно произвольной точки О

на две составляющие: Mi, параллельную R, и М2,

перпендику-

лярную направлению R (рис. П.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

В

силу

теоремы 3 скалярное произведение

Mo-R

 

не зависит

от выбора полюса. Главный вектор R также обладает этим свой-

ством. Следовательно, модуль вектора Мх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . .

—. . .

 

« " "п

 

 

 

 

 

 

 

 

также

не

зависит от

выбора полюса,

 

 

 

 

 

 

 

 

и изменение Мо

при смене полюса про-

 

 

 

 

 

 

 

 

исходит только за счет изменения М2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 4.

Для любой системы

 

 

 

 

 

 

 

векторовс R Ф О всегда существует пря-

 

Рис. П.6.

 

 

 

мая,

и притом

единственная, в точ-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ках Т которой Mr = Mlt

m. е. главный момент коллинеарен R.

Эта прямая параллельна главному вектору R.

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем произвольную

точку

О. Про-

ведем плоскость П через Мо и главный вектор Ro,

отложенный

из точки О. В

плоскости П разложим

MQ на параллельную

Ro

и перпендикулярную

Ro составляющие. Проведем прямую /, пер-

 

 

 

 

 

пендикулярную

плоскости

II,

 

 

 

 

 

и возьмем

произвольную точку

 

 

 

 

 

N на этой прямой

(рис. П.7).

 

 

 

 

 

Рассмотрим

mN

(Ro) — мо-

 

 

 

 

 

мент вектора

Ro,

 

приложенно-

 

 

 

 

 

го в точке

О,

относительно по-

 

 

 

 

 

люса

N. Этот

момент

паралле-

 

 

 

 

 

лен вектору

М2.

Если

переме-

 

 

 

 

 

щать

полюс N вдоль

прямой /,

 

 

 

 

 

то величина момента

[ т^ (Ro) |

 

 

 

 

 

будет

меняться.

Если

точка N

 

 

Рис. П.7.

 

«пробежит»

всю

прямую /, то

модуль вектора mN(Ro) «пробежит» всю числовую ось от —оо до +оо. Поэтому всегда можно —и притом единственным образом —выбрать N =N* так, чтобы тц*(к0) — — Мг. При этом выборе полюса N*

N* (Ro)

= Mi

- М2

т. е. в точке N=N* момент

коллинеарен R и

344 ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИЯ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ

Проведем через точку N*

прямую s, параллельную R. Во

всех точках Т этой прямой

 

Но тг(Лл?*) = 0, так как RN* —главный вектор R, приложенный

в точке

N*,— проходит через

точку Т, и следовательно, MT = Mi

во всех

точках прямой s.

 

Возьмем точку О' вне прямой s; тогда

Мо' = Мм• + m0- (RN•)

и Мо> фMi,

так как то> (RN*):¥=Q-

 

 

 

 

Следовательно,

прямая, во всех точках

которой M0

= Mlt для

любой

системы векторов с /?=^0 существует и единственна.Тео-

рема доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

Упомянутая

в тексте теоремы 4 прямая

является

геометриче-

ским

местом минимальных

моментов, так как во всех ее точках

М = МХ, а

в других точках к Mt всегда

добавляется

Л12. Она

 

 

 

 

 

 

называется поэтому

осью ми-

 

 

 

 

 

 

нимальных моментов или цент-

Л.

 

 

 

 

ральной осьюсистемывекторов.

 

 

 

 

Расположение

центральной

 

 

 

 

 

 

оси

в пространстве

целиком

 

 

 

 

 

 

определяется заданной системой

 

 

 

 

 

У

векторов и является ее важной

 

 

 

 

 

характеристикой.

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем уравнение централь-

 

 

 

 

 

 

ной оси.Зададим систему коор-

 

 

 

 

 

 

динат х, у, z с началом в про-

 

 

Рис. П.8.

 

извольной точке О и с ортами

 

 

 

 

 

 

/, j , k и будем считать извест-

ными

главный

вектор R рассматриваемой

системы

векторов и

Мо — ее главный

момент

относительно О, начала выбранной си-

стемы

координат.

Наша

цель

состоит в том, чтобы

составить

уравнение центральной оси этой системы в координатах

х, у, г,

содержащее только Мо и R. В точках

Т

дентальной

оси s, и

только в них, вектор Мт коллинеарен

вектору /?, т. е. MT =i]R,

где т]—некоторое число. Поэтому в силу теоремы 1 (рис. П.8)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскроем векторное произведение

 

 

 

 

 

 

i

j к

 

 

 

 

 

 

 

 

у

= /{yR, - zRy) +j(zRx - xRJ +k(xRy - yRx).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

345

Проектируя

теперь

раненство

(4) поочередно

на оси х, у и z

и

исключая

г), пол)чаем

искомое

уравнение

центральной оси

 

 

M.-jyR.-zR,,)

_

Mv-(zRx-xRz)

 

__

 

M2-(xRy-yRx)

 

 

 

 

 

'

 

R[

 

 

 

 

Ry

 

"

 

 

Rz

 

'

 

(

)

 

В

этом

урапиопии

Mx, Му

и Mz

—проекции Мо на оси х, у, ?,

т. е. главные моменты относительно

выбранных

осей

 

координат,

a Rx, R,,п /?-—проекции

главного вектора

R на те же оси.

 

Используя

понятие

центральной

оси и теорему 1, нетрудно

установить

всюкартину

распределения век-

 

 

 

 

 

 

 

торов

Мо в

пространстве

для

произволь-

 

^-—

 

 

^

 

ной

системы

векторов

с ИфО. Для этого

 

С

 

.р

 

 

рассмотрим

поверхность

кругового

цилин-

^ " " ^ '—

 

дра,

ось которого

совпадает с центральной

 

 

"о,;

^

 

 

осью

системы

(рис. П.9), а радиус равен г.

 

fyf.fi

 

 

..

 

Возьмем

на

этой

поверхности

точку

Oi и

 

\/т1^ О

 

опустим

из нееперпендикуляр на централь-

 

 

^ * ^ [ _ | _ _ _ _ ^

ную ось. В этой

точке

 

 

 

 

 

 

 

 

; МщШ0^0)

 

 

причем

 

 

Мо,=М1

+ М2о,,

 

 

 

 

ч^/

'

J

''https://studfile.net/—^>

 

 

 

 

 

/Иго, = mOl

(Ro)-

 

 

 

 

 

./"^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Центральная

М о д у л ь

этого

в е к т о р а

| УИго,\ = \R\r,

по-

 

дг»

 

 

 

Э Т 0 М У

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РисП.9.

 

 

 

 

 

 

 

|AfOl| = K|A!1|» + |«|V*.

 

 

местом точек,

для которых

 

Таким образом,

геометрическим

главные

моменты

системы

векторов

равны по модулю,

является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхность

 

кругового

 

цилиндра,

 

 

 

 

 

 

i

 

 

ось которого совпадает с централь-

 

 

 

 

'

"

 

~~*N

ной осью

системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ч --—. _—-^

 

 

При перемещении

точки

О,

 

 

 

 

 

^ < ! *' щ

 

вдоль

образующей цилиндра, т. е.

 

 

 

^' '$т£.1

?ff

ff/"

параллельно

 

центральной оси,

 

 

^^•^

'""ц\л 0щ\""'

 

вектор

 

УИо,не меняется

ни по

 

4-''

м

"^^^"«^

 

 

величине, нипо направлению. При

jfr^~<!L^

 

/'"щ\У^го,"

 

перемещении

0 t

по окружности,

 

\^^\

 

/'

 

[

^

 

 

лежащей

в плоскости,

перпенди-

 

i ^ '

i // ч1_^

i\ ^)

 

 

кулярной

центральной

оси,

век-

 

^i^^/

 

 

 

j \

 

 

тор УИо, лишь поворачивается

вмес-

 

 

*Р

 

Центральная

т е

с

°i- оставаясь

в

касательной

 

 

 

 

 

 

 

ось

 

плоскости; ориентация

вектора MOl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в этой плоскости неменяется.При

 

 

 

Рис. пло.

 

 

 

перемещении же 01

вдоль

радиуса,

т. е.присмене цилиндрической поверхности, Мо, изменяется засчет изменения величины г (рис. ПЛО).

Смотрите также файлы