49.5. Уравновешенный гироскоп движется по инерции в кардано- вом подвесе. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения £
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равен У£) моменты инерции внутренней рамки |
|
относительно |
|
главных |
центральных |
осей |
|
х, |
у, z |
равны J'x, J\, J'z, а |
соответствующие |
|
моменты |
инерции |
гироскопа — Jx, |
Л и |
|
|
Ответ: 1) Г = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
интеграл, |
|
соответствующий |
|
циклической координате |
<р (интеграл момен- |
|
тов |
количества |
движения |
гироскопа |
отно- |
|
сительно оси z): £-{-(f>sin0 = |
«; |
|
|
|
|
3) |
интеграл, |
|
соответствующий |
К задаче 495. |
циклической |
координате |
ф |
(интеграл |
мо- |
|
ментов |
количества |
движения |
всей |
систе- |
мы относительно оси
+Гг -f (Jx+ JX — J'z) cos8 0] $ + Jznsin б = пй
4)интеграл энергии:
Л-f (/i+ Л — Л) cos8 9] фг
49.6.Игнорируя циклическую координату <j», составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение в координате 9 для сфериче-
ского маятника. (См чертеж к задаче 49.2.) |
, |
| |
итвст* i\ — |
г\ I ^ ~~* sin2 0/' |
sin3 в 1 / |
— »( |
^ |
где п = |
ф sin2 9 = |
const. |
|
|
|
49.7. |
Точка массы т движется |
в центральном |
силовом |
поле,по-^ |
тенциальная энергия которого равна П(г). Определяя положение точки полярными координатами г и tp и игнорируя циклическую координату ср, составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение движения в координате г.
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:1) R = ^\rt—-pij, |
2)m{r~--f*J~ — |
-gf-, |
где |
с = г*<|> = const — удвоенная |
секторная |
скорость. |
|
|
49.8. Гироскоп установлен в кардановом |
подвесе. На осях & и у |
вращения рамок подвеса действуют моменты |
внешних сил М^ и Му. |
Игнорируя циклическую координату |
ср. найти |
1) функцию |
Рауса, |
2) |
дифференциальное уравнения движения |
для |
координат |
<|» и 9, |
3) |
гироскопические члены. (См.чертеж |
к задаче 49.5.) |
|
Ответ: 1) R = ~ Ц + /, + (Л -f- Л — J',) cos9 6] ф*-f
+ |
у (/у + 4) 9* |
+ Л4 sin9 - 1 7 ^ ; |
2) [Л + Л + (Л + Л - |
Л) cosa в]$ |
- |
— 2 ( j ; -f 4 |
— /г) cos 8sin Щ -\-Jzn cos 93 = Mv |
{Jy -г J'y)9 + 2 (Л + Л — J'z) cos 9 sin вф^ — ]гп cos 9ф= My;
3)Jzn cos №,
49.9.Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы т и длиной /, положение которого определяется углом ср отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному диф-
ференциальному уравнению движения математического маятника.
1 о2
Ответ: 1) ^ = ~ T " ^ I ' — mgl cos у;
2)&==- р = — mgl sin f.
49.10.Материальная точка массы т подвешена с помощью невесомого стержня длиной / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ш (см. чертеж к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения.
Ответ:1) Н= |
1 |
а |
— |
|
|
|
|
|
|
у-^г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со9 sin2 <р — |
mgl |
cos <p; |
|
|
|
|
|
|
|
u)9sintpcoscp |
|
|
|
|
|
49.11. Вертикальное положение оси симме- |
К задаче 49 II. |
трии волчка, |
движущегося |
относительна непод- |
вижной |
точки О под действием силы |
тяжести, |
|
|
определяется |
углами |
а и р . |
Исключив |
циклическую |
координату <р |
(угол собственного вращения), составить для |
углов а и р функции |
Payca и |
Гамильтона. Масса волчка равна т, расстояние от его центра |
тяжести |
до точки |
О равно |
/, момент |
инерции |
относительно оси сим- |
метрии |
z равен |
С, а |
относительно осей |
х н |
у |
равен |
А. |
Ответ: R = |
у |
A (cos2 $а*-f- |
р) — Сп bin |
|
|
|
я, Р.
ит. п. означают обобщенные импульсы.)
49.12.Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона
дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения.
Ответ: |
а = -г- (Ра |
+ Сп$); |
Pa |
= |
mgla; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Сп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
49.13. Положение |
оси |
симметрии |
z волчка, движущегося относи- |
тельно |
неподвижной |
точки |
О под |
действием |
силы |
тяжести, |
опреде- |
ляются |
углами Эйлера: углом |
прецессии ijj и углом нутации 6. Соста- |
|
|
|
|
вить |
функцию |
Гамильтона |
для углов |
ij), 9 |
|
|
|
|
и |
ф |
(угол |
собственного |
вращения) |
и соот- |
|
|
|
|
ветствующих |
|
импульсов, |
|
если от |
—масса |
|
|
|
|
волчка, / — расстояние от его центра |
тяжести |
|
|
|
|
до |
точки |
О, С — момент |
инерции |
относи- |
|
|
|
|
тельно |
оси |
z, |
А — момент |
инерции |
отно- |
|
|
|
|
сительно любой оси, лежащей в экваториаль- |
|
|
|
|
ной |
плоскости, |
проходящей |
через точку О. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Н= — |
|
sin2 в |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Л |
|
|
|
|
|
К |
задаче |
49.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49.14. |
В |
условиях |
предыдущей |
задачи |
составить канонические уравнения движения волчка. |
|
|
|
Ответ: ф = - А sin2e |
|
' |
' * |
|
' |
cos 6-Л,,) |
|
|
|
|
/>9 |
• |
_ |
|
(РфСовв — |
|
|
|
|
~Л~' |
е |
= |
|
|
|
|
'. |
|
|
|
|
|
|
|
ф = - |
Л tg 6 sin 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49.15. Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх).
|
dV |
1 / dV \2 |
if dV |
|
Ответ: -зт-+-яг Нгг |
+ т к - |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
где Ьь |
Ь2 и С — произвольные постоянные. |
|
49.16. Пользуясь результатами, полученными |
при решении преды- |
дущей |
задачи, |
и свойствами |
полного интеграла |
уравнения Якоби — |
Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. |
|
Л!/ |
1 |
|
|
Ответ: |
~ = t + — V —2еу — 2Ь1 — Ь1 = |
ал, |
|
dV |
|
|
|
|
дх |
где |
as, bx и Ь2 — произвольные постоянные. |
|
49.17. Физический маятник |
массы |
М движется вокруг неподвиж- |
ной |
горизонтальной |
оси О. Момент |
|
инерции маятника |
относительно |
оси вращения равен J, расстояние |
от |
центра |
тяжести |
маятника до |
его |
оси вращения |
равно /. Составить дифференциальное уравнение |
Якоби—Гамильтона, |
найти его полный интеграл |
и первые интегралы |
движения |
маятника |
(нулевой |
уровень |
потенциальной |
энергии |
взять |
на |
уровне |
реи маятника). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1) ^+^(^* |
- |
Mgl cos <? = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) V=bt-\- У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Po |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— b = Jfy |
|
|
|
|
|
где |
а и b произвольные постоянные интегрирования. |
|
|
|
|
49.18. |
Движение |
волчка, |
имеющего |
одну |
неподвижную точку О, |
определяется углами |
Эйлера ф, 6 и <р.Пользуясь |
результатами |
реше- |
ния задачи |
49.13, составить |
уравнение в частных |
производных Якоби— |
Гамильтона и найти |
полный |
интеграл его. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч dV , |
1 |
IdV |
dV |
c |
n\« . 1 |
9 |
) |
* |
|
|
|
|
Ответ:1) _ + |
|
|
|
^ |
o |
s |
|
+ |
|
|
2)у =
49.19.Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, расстояние между которыми равно /. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить интеграл действия по Гамильтону для малых колебаний струны.
Предполагается, |
что колебания проис- |
. |
ходят в одной |
плоскости ху и что на |
|
струну действуют только силы натяже- |
|
ния; линейная плотность струны равна р. |
|
Ответ: |
|
|
|
»3 |
1 |
|
|
|
3 L vW |
\дх]J |
' |
h |
О |
|
К задаче 49.19. |
где у=у(х, |
t). |
|
|
49.20. Пользуясь принципом Гамильтона—Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны.
Ответ: -~ = а? -г^, где о2= —; граничные |
условия: у{0, t) = |
=у{1, 0 = 0. |
|
13* |
387 |
49.21. Абсолютно |
гибкая однородная |
и нерастяжимая нить |
дли- |
ной / подвешена |
за один конец в точке О. Определить интеграл дей- |
и |
ствия |
по Гамильтону для малых колебаний |
нити |
|
около |
вертикали, происходящих |
под действием |
силы |
|
тяжести. Масса единицы |
длины |
нити равна р. |
|
Лгде у=у(х, f).
49.22.Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского и результатами решения предыдущей зада-Ответ:
|
К задаче 49.2 |
чи, |
составить дифференциальное уравнение малых |
|
колебаний подвешенной за один конец нити. |
|
|
|
Ответ: |
|
— х)-~ ; граничные условия: 1)^(0, t) = 0, |
|
|
|
dv |
dt конечны.
Г Л А В А XII
ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
§ 50. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы)
50.1.Модуль силы всемирного тяготения, действующий на мате-
риальную |
точку |
массы |
т, |
определяется |
равенством |
F = m—i,'cixQ |
J J , = / M — |
гравитационный |
|
параметр притягивающего центра (М — его |
масса, /—гравитационная |
постоянная) |
и |
г — расстояние |
от центра |
притяжения до |
притягиваемой |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная радиус R небесного тела и ускорение g силы |
тяжести *) на |
его |
поверхности, |
|
определить |
гравитационный |
параметр р, небесного |
тела |
и |
вычислить |
его |
для |
Земли, |
если |
ее |
радиус |
/? = |
6370 |
км, |
a g = 9,81 |
м/сек*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: jj.=g#2 ; для Земли (х= 3,98-108 |
км3/сек*. |
|
|
|
50.2. |
Определить |
гравитационный |
параметр |
[А„ И ускорение |
силы |
тяжести |
gn |
на |
поверхности |
|
небесного |
тела, |
если |
известны |
отношения |
его |
массы |
Мп |
и радиуса |
Rn |
|
к массе |
уИ и радиусу R Земли. Вычис- |
лить |
эти |
величины |
для |
Луны, Венеры, |
Марса |
и Юпитера, |
для кою» |
рых |
соответствующие |
отношения даны |
в следующей таблице: |
|
|
|
|
|
|
|
Мп:М |
|
|
Rn:R |
|
|
|
|
ма-м |
Rn:R |
|
|
Л у н а |
|
|
|
0.0123 |
|
|
0,273 |
Марс |
|
|
|
0.107 |
0,535 |
|
|
В е н е р а . . . . |
0,814 |
|
|
0,958 |
Юпитер . |
. . |
|
317 |
10.95 |
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(«, |
(км'/сек1) |
g |
(м/сек*) |
|
|
|
(д. |
[кмг/сек') |
g (м/сек') |
|
|
Луиа |
. . . . |
4,90 • 10" |
|
|
|
1,62 |
Марс. . . |
. |
42,8.10» |
3,69 |
|
|
Beuepa . . . |
|
326 • 103 |
|
|
|
8,75 |
Юпитер . |
. |
126-10» |
26.0 |
|
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного тела направлена к его центру; ускорения сил тяжести g даются без учета вращения небесных тел.
