ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1513
Скачиваний: 2
52 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
ϕ r → ϕ r + ε Aδ |
A |
ϕ r . |
(15.8.1) |
Здесь используется сокращенная система «обозначений де Витта» *, в которой r и A включают как пространственно-временные координаты, так и дискретные индексы, а суммы включают интегралы по этим координатам. Например, для калибровочного преобразования (15.1.9) индекс А включает групповой индекс α и пространственновременную координату x, причем εαx ≡ εα(x), а индекс r содержит векторный индекс μ, а также групповой индекс α и пространствен- но-временную координату x, так что ϕμαx ≡ Aμα(x). В обозначениях, введенных в (15.8.1), вариация δAϕr из преобразования (15.1.9) запи-
шется в виде
δβγ ϕμαx = δβα |
∂ |
δ4 |
(x − y) + Cβ γαϕμγxδ4 (x − y) . |
|
|
||||
∂xμ |
||||
|
|
|
Как и в рассмотренном в предыдущем разделе частном случае теорий Янга–Миллса, БРСТ-инвариантность можно использовать как замену формулировки Фаддеева–Попова–де Витта, которая применима даже тогда, когда подход Фаддеева–Попова–де Витта теряет силу. Тем не менее, чтобы обосновать введение БРСТ-инвари- антности, начнем с формулировки Фаддеева–Попова–де Витта теорий с произвольными локальными симметриями, а затем перейдем к рассмотрению дальнейших обобщений.
Следуя тем же рассуждениям, которые использовались при выводе формулы (15.5.21), получим обобщенную теорему Фаддее- ва–Попова–де Витта:
C X ϕ iI[ϕ] ϕ =
Y [d ]e V[ ]
Ω Z
X Y Z
[dϕ]eiI[ϕ]B |
|
f[ϕ] |
|
Det(δ |
f [ϕ])V[ϕ], |
(15.8.2) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A B |
Здесь V[ϕ] – произвольный функционал от ϕr, инвариантный относительно калибровочных преобразований (15.8.1), fA[ϕ] – множество функционалов ϕr, фиксирующих калибровку и выбранных так, что «матрица» δAfB[ϕ] имеет отличный от нуля детерминант, а
B[f] — более или менее произвольный функционал fA (например,
* Эти обозначения часто называют «конденсированными». — Прим. ред.
15.8. Обобщения БРСТ симметрии |
53 |
∏Àδ(fA)) *. Постоянная Ω есть объем калибровочной группы, а по-
стоянная С определяется, как и в (15.5.19), интегралом
C ≡ z [df]B[ f] . |
(15.8.3) |
Как мы видели, значение равенства (15.8.3) в калибровочных теориях заключается в утверждении, что интеграл в правой части не зависит от выбора фиксирующих калибровку функционалов fA, а зависимость от B[f] содержится только в константе C. Если удается придать какой-то смысл обычно бесконечному групповому объему Ω, как в калибровочных теориях на конечной пространственно-
временной решетке, равенство (15.8.2) может иметь ценность как формула, определяющая интеграл в левой части.
Для определения нильпотентного БРСТ-преобразования мы должны сначала представить функционал B[f] в виде фурье-интег- рала
B[f] = z [dh] exp(ihA fA )B[h], |
(15.8.4) |
ãäå [dh] = ∏AdhA. Кроме того, детерминант можно записать как интеграл по фермионным с-числовым полям ** ω*A è ωA:
Det(δA fB [ϕ]) z [dω* ][dω] expdiω*BωAδA fB i , |
(15.8.5) |
|
ãäå [dω*] ≡ ∏ dω*A |
è [dω] ≡ ∏ dωA и, как обычно, знак означает |
|
A |
A |
|
пропорциональность с точностью до независящих от поля множите-
*Мы используем те же буквы А, В, и т. д., для обозначения функций fA
èкалибровочных вариаций δA. Это делается для того, чтобы подчеркнуть,
что должно существовать столько же фиксирующих калибровку функционалов, сколько существует независимых калибровочных преобразований. Однако в некоторых случаях, например, в теории струн, естественно использовать фиксирующие калибровку функционалы fa, индекс a которых
пробегает «столько же» значений, что и индекс А в калибровочной вариа-
öèè δA, но сами значения этих индексов совершенно различны. Излагае-
мый формализм не требует никаких изменений до тех пор, пока мы можем
определить fA = cAafa, где матрица сÀà не зависит от поля и несингулярна. ** В теориях струн и ряде других принято обозначать поля гостов ω*A è
ωA êàê bA (èëè bA) è ñA, соответственно.
54 |
Глава 15. Неабелевы калибровочные теории |
лей. Подставляя эти выражения в (15.8.2), получаем общую формулу для функционального интеграла в фиксированной калибровке:
z [dϕ]expbiI[ϕ]gB f[ϕ]Det(δA fB [ϕ])V[ϕ]
µ z [dj][dh][dw* ][dw] exp diINEW [j, h, w, w* ]iB[h]V[j], (15.8.6)
ãäå INEW — новое полное действие
I |
NEW |
[ϕ, h, ω, ω* ] = I[ϕ] + hA f [ϕ] + ω*Bω Aδ |
f [ϕ] . |
(15.8.7) |
|
A |
A B |
|
Как отмечалось в разделе 15.6, введение полей гостов можно представлять как компенсацию за то, что мы интегрируем по всем jr, включая те, которые отличаются только калибровочными пре-
образованиями (15.8.1). Поскольку госты являются фермионами, петли, образованные линиями гостов, вносят дополнительный знак «минус», что позволяет таким петлям компенсировать вклады от интегрирования по калибровочно эквивалентным полям j. Однако, для того, чтобы такой механизм работал, число духовых полей wA
должно совпадать с числом независимых калибровочных преобразований. Иными словами, поскольку wA независимы, все калибро-
вочные преобразования (15.8.1) также должны быть независимы. Именно так обстоит дело для калибровочных преобразований в теории Янга–Миллса и преобразований координат в общей теории относительности, но может быть и иначе. Классическим примером теории с зависимыми калибровочными преобразованиями является описанная в разделе 8.8 теория калибровочных полей, представляющих собой р-формы. Такая р-форма А (антисимметричный тензор ранга р) подвергается калибровочному преобразованию A ® A + dj, ãäå j есть (р-1)-форма, а dj — ее внешняя (антисимметризованная)
производная. Так как d — нильпотентный оператор, то для р ³ 2 можно сдвинуть j на величину dj без изменения калибровоч-
ного преобразования, так что имеется определенного вида инвариантность самих калибровочных преобразований относительно калибровочных преобразований, у которых параметрами преобразования являются (р-2)-формы y. В таких случаях, чтобы компен-
сировать введение слишком большого количества гостов, нужно также вводить «госты для гостов» 15. Ïðè ð ³ 3 требуется дальнейшая
компенсация путем введения «гостов для гостов для гостов» и т. д.
15.8. Обобщения БРСТ симметрии |
55 |
Ниже мы предположим, что все калибровочные преобразования (15.8.1) независимы, так что достаточно иметь только поля гостов ωA (и антигостов ω*A).
Хотя первоначальная симметрия устранилась за счет включе- ния калибровочно неинвариантного функционала B[f], новое полное действие обладает точной симметрией относительно инфинитезимальных БРСТ преобразований
χ → χ + θsχ , |
(15.8.8) |
ãäå χ — любое из полей ϕr, ωA, ωÀ* èëè hA, θ — инфинитезимальное
антикоммутирующее с-число, а s — оператор Славнова:
s = ω |
A |
δAϕ |
r δL |
− |
1 |
ω |
B |
ω |
C |
f |
A |
δL |
− h |
A δL |
|
. |
(15.8.9) |
||
|
|
δϕr |
2 |
|
|
BC |
δωA |
|
* |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δω |
A |
|
||||
Нижний индекс L в (15.8.9) означает левое дифференцирование, определенное так, что если δF = δχG, òî δLF/δχ = G, à fABC —
структурные константы *, возникающие в коммутационном соотношении
[δ |
B |
, δ |
C |
] = |
fABCδ |
A |
. |
(15.8.10) |
|
|
|
|
|
|
В неабелевых калибровочных теориях и в теориях струн константы fABC не зависят от поля, однако формализм БРСТ не ограничивается этим случаем. Прямое вычисление показывает, что
|
1 |
|
|
L |
|
|
δL (δBϕ |
r |
) |
s2 = |
ω Aω B Mδ |
|
ϕs |
|
|||||
|
A |
δϕs |
|
|
|||||
2 |
|
|
N |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
L |
|
|
|
|
− |
ω BωCω D MfEBC fADE |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
N |
|
|
||
|
δ |
L |
(δ |
A |
ϕr ) |
|
O |
δ |
L |
− δBϕs |
|
|
|
− fCABδC |
ϕr P |
|
|||
|
|
δϕs |
δϕr |
||||||
|
|
|
|
Q |
|||||
+ δDϕr |
δ |
L |
fABC O |
δ |
L |
|
(15.8.11) |
|
|
|
P |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
δϕr |
Q |
δωA |
|
|||
Отсюда, условие нильпотентности БРСТ преобразования эквивалентно коммутационному соотношению (15.8.10) и условию совместности
* Например, для калибровочного преобразования, действующего на поле
материи ψ(x), имеем: δβγψ(x) = itβψ(x)δ4(x – y) è δβγδγzψ(x) = –tγtβψ(x)δ4(x –y) δ4(x – z). Отсюда в данном случае получаем fαxβyγz = Cαβγ δ4(x – y)δ4(x – z).