Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

262 Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

ром этой модели, то ее лагранжиан является тем же SO(4)-инвариан- том, который рассматривался в качестве примера в разделе 19.2,

где суммирование по n идет по значениям 1, 2, 3, 4, а ϕr — изовекторное псевдоскалярное поле и ϕ4 — изоскалярное ска-

лярное поле.

Проблема, с которой немедленно сталкиваются при рассмотрении любого типа эффективных лагранжианов, заключается в том, что с целью использовать их для расчета амплитуд рассеяния мы должны либо включить все фейнмановские диаграммы всех порядков теории возмущений, либо найти какие-то основания для отбрасывания диаграмм высших порядков. Для лагранжианов типа (19.5.1), в которых нарушенная симметрия реализуется через линейные преобразования различных полей, такие основания не обнаруживаются. К счастью, любой такой лагранжиан можно переписать в виде, позволяющем использовать фейнмановские диаграммы для построения разложения амлитуды рассеяния в ряд по степеням энергий голдстоуновских бозонов. Чтобы осуществить это, совершим в каждой точке пространства-времени преобразование симметрии, устраняющее поля, отвечающие голдстоуновским бозонам теории. Степени свободы, соответствующие голдстоуновским бозонам, вновь возникают в преобразованной теории как параметры преобразования симметрии. Однако, поскольку лагранжиан инвариантен относительно не зависящих от пространственно-временных точек преобразований симметрии, в нем не может содержаться какая-либо зависимость от новых полей голдстоуновских бозонов, если они постоянны, и таким образом каждое слагаемое в лагранжиане, содержащее эти новые поля, должно содержать еще как минимум одну пространственно-времен- ную производную поля. При расчете элементов S-матрицы для реакций с голдстоуновскими бозонами, эти производные вносят степени энергии голдстоуновского бозона. Как будет видно, такой лагранжиан можно использовать для построения разложения элементов S-мат- рицы в ряд по степеням этих энергий.

Так, чтобы переписать лагранжиан (19.5.1) в удобном виде, запишем 4-вектор ϕn как киральное вращение R, действующее на 4-вектор {0,0,0,σ}, первые три компоненты которого (голдстоуновская часть ϕn) равны нулю:

Поскольку R — ортогональная матрица, слагаемое ∂μσ∂μσ íå çàâè-

сит от R, и перекрестное слагаемое исчезает:

Åñëè M2 отрицательно, то σ имеет ненулевое вакуумное среднее,

которое в низшем порядке определяется положением минимума суммы последних двух слагаемых в точке σ =| M|/λ .

Вместо старых переменных ϕn вводим теперь новые переменные σ − | M|/λ , а также любые другие переменные, необходимые

для параметризации вращения R. Например, эти параметры можно выбрать просто равными самим Ra4 (где a, b, ... с этого момента являются изоспиновыми индексами, принимающими значения 1, 2, 3), а R44 определяется условием ортогональности R. Другая параметризация приводит к более простым окончательным результатам и была исторически первой параметризацией, использованной для этих целей. Определим

264Глава 19. Спонтанно нарушенные глобальные симметрии

èвыберем

r

Какая бы параметризация не использовалась, ясно, что поля z îïè-

сывают частицы нулевой массы, все взаимодействия которых вклю- чают производные полей. Эти поля (с точностью до нормировки) и являются новыми пионными полями.

Несмотря на внешний вид, этот лагранжиан все еще инвариантен относительно SO(4) симметрии, но только реализованной нелинейно. Относительно изоспинового преобразования с инфините-

так что лагранжиан (19.5.10) явно изоинвариантен. С другой стороны, относительно преобразований нарушенной симметрии, параметризованных инфинитезимальным вектором εr , исходные

поля преобразуются по формулам

Тогда из (19.5.7) находим, что