Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

отличаться от приведенного не более чем на начальное вращение вокруг третьей оси, соответствующее просто переопределению фазового множителя для одночастичного состояния.

Заметим, что спиральность лоренц-инвариантна; безмассовая частица заданной спиральности σ выглядит одинаково (не считая

импульса) во всех инерциальных системах отсчета, и можно рассматривать безмассовые частицы с заданными различными значе- ниями спиральности как разные сорта частиц. Однако, как будет показано в следующем разделе, частицы противоположной спиральности связаны симметрией относительно пространственного отражения. Так, поскольку электромагнитные и гравитационные силы удовлетворяют требованию симметрии по отношению к пространственной инверсии, обе безмассовые частицы со спиральностями ±1, связанные с электромагнетизмом, носят на-

звание фотонов, а две безмассовые частицы со спиральностями

±2, которые считаются связанными с тяготением, называются

гравитонами. С другой стороны, предполагаемые безмассовые частицы со спиральностями ±1/2, испускаемые при β−распаде

ядер, при взаимодействиях не сохраняют симметрию по отношению к пространственной инверсии (если не считать тяготения), поэтому такие частицы называются по-разному: нейтрино в случае спиральности +1/2, и антинейтрино — в случае спиральности −1/2.

Хотя спиральность безмассовых частиц является лоренц−

инвариантной характеристикой, сами состояния частиц не обладают этим свойством. В частности, из-за зависящего от спиральности фазового множителя exp(iσθ) в уравнении (2.5.42),

состояние, образованное как линейная суперпозиция одночастичных состояний с противоположными спиральностями, перейдет в результате лоренцовского преобразования в другую суперпозицию. Например, общее однофотонное состояние с заданным 4-импульсом можно записать в виде

Ψp;α = α + Ψp,+1 + α − Ψp,−1 ,

| α+ |2 + | α− |2 = 1.

Наиболее общим является случай эллиптической поляризации, когда оба коэффициента |a±| не равны нулю и различны. Предельны-

ми частными случаями является циркулярная (круговая) поляризация, когда один из коэффициентов a+ èëè a− обращается в нуль, и линейная поляризация, когда |a+| = |a−|. Общая фаза a+ è a− íå

имеет физического смысла и в случае линейной поляризации может быть выбрана так, что a− = a+*. Однако относительная фаза важна. Действительно, в случае линейной поляризации с a− = a+* ôàçó a+ можно сопоставить с углом между плоскостью поляриза-

ции и некоторым фиксированным опорным направлением, перпендикулярным вектору p. Из формулы (2.5.43) следует, что под действием лоренцовского преобразования Lμν этот угол изменяется на величину q(L, p). Плоскополяризованные гравитоны можно опреде-

лить аналогичным образом, при этом следствием соотношения (2.5.42) будет то, что под действием лоренцовского преобразования L плоскость поляризации повернется на угол 2q(L, p).

2.6. Пространственная инверсия и обращение времени

В разделе 2.3 было показано, что всякое однородное преобразование Лоренца является или собственным и ортохронным (т. е. Det L = +1 è L00 ³ +1), или произведением собственного орто-

хронного преобразования и одного из преобразований Р, T или PT, где Р и T — преобразования пространственной инверсии и обращения времени:

Всегда считалось самоочевидным, что фундаментальное правило умножения элементов группы Пуанкаре

U(L, a)U(L, a) = U(LL, La + a)

выполняется и в том случае, если Λ è/èëè`Λ включают множи-

тели Р, T или P T. В частности, считалось, что существуют операторы, соответствующие самим P и T,

P ≡ U(P ,0) , T ≡ U(T ,0) ,

такие, что

для любого собственного ортохронного преобразования Лоренца Λμν и любой трансляции aμ. Эти законы преобразования содержат

в себе большую часть того, что принято понимать под словами

î«сохранении»величин P è T.

Â1956-1957 годах стало понятно8, ÷òî äëÿ P это верно толь-

ко в приближении, когда мы пренебрегаем эффектами слабых взаимодействий, типа тех, которые обусловливают β−распад.

Инвариантность по отношению к обращению времени «прожила» еще некоторое время, пока в 1964 году не появились косвенные свидетельства9, что эти свойства T также верны лишь приближен-

но (см. раздел 3.3). В последующем изложении мы примем, что операторы P è T, удовлетворяющие соотношениям (2.6.1) и (2.6.2),

действительно существуют, но будем держать в памяти, что это утверждение носит приближенный характер.

Рассмотрим (2.6.1) и (2.6.2) для случая инфинитезимальных преобразований, т. е. положим

Λμ ν = δμ ν + ωμ ν , aμ = εμ ,

ãäå ωμν = −ωνμ è εμ — бесконечно малые величины. Пользуясь соотношением (2.4.3) и приравнивая коэффициенты при ωρσ è ερ â

(2.6.1) и (2.6.2), найдем свойства преобразования генераторов группы Пуанкаре по отношению к P è T:

Во многом эти соотношения напоминают формулы (2.4.8) и (2.4.9), если не считать того, что мы не сократили множители i в обеих частях этих уравнений, так как еще не приняли решения, считать ли P è T линейными и унитарными или антилинейными и анти-

унитарными операторами.

Решение принимается очень просто. Полагая ρ = 0 в формуле

(2.6.4), находим:

PiHP−1 = iH,

ãäå H ≡ P0 — оператор энергии. Если бы P был антиунитарным и

антилинейным оператором, то он антикоммутировал бы с i, так что PHP−1 = −H. Но в этом случае для любого состояния Ψ с E > 0 существовало бы другое состояние P−1Ψ с энергией −E < 0. Однако

не существует состояний с отрицательной энергией (т. е. энергией, меньшей энергии вакуума), так что мы вынуждены выбрать другую альтернативу: оператор P — линейный и унитарный и он комму-

тирует с оператором Н.

С другой стороны, полагая ρ = 0 в (2.6.6), имеем

TiHT−1 = −iH.

Если предположить, что T — линейный и унитарный оператор, можно просто сократить все i, так что THT−1 = −H, è â

результате мы опять приходим к губительному выводу, что для любого состояния Ψ c энергией Е существует другое состояние T−1Ψ c энергией −Е. Чтобы избежать этого, мы вынуждены заключить, что T является антилинейным и антиунитарным

оператором.

Поскольку мы решили, что оператор P линеен, а T антилинеен, можно переписать соотношения (2.6.3)−(2.6.6) в трехмерных обозна- чениях через генераторы (2.4.15)−(2.4.17):