Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

С физической точки зрения важно, что P должен сохранять знак

J, так как по крайней мере орбитальная часть J есть векторное произведение r × p двух векторов, каждый из которых меняет

знак при инверсии пространственных координат. С другой стороны, оператор T меняет знак J, так как после обращения времени

наблюдатель видит все тела вращающимися в другую сторону. Заметим попутно, что (2.6.10) совместно с перестановочными соотношениями для компонент углового момента J × J = iJ, поскольку T

меняет знак не только J, но и i. Читатель может без труда проверить, что (2.6.7)−(2.6.13) совместны со всеми перестановочными соотношениями (2.418)−(2.4.24).

Рассмотрим действие операторов P è T на одночастичные

состояния.

P: M > 0

Одночастичные состояния Ψk,σ определены как собственные векторы операторов p, H и J3 с собственными значениями 0, М и σ,

соответственно. Из соотношений (2.6.7), (2.6.9) и (2.6.13) следует, что это же верно и для состояния PΨk,σ, и потому, чтобы исключить

вырождение, такие состояния могут отличаться только фазой:

PΨk,σ = ησ Ψk,σ

причем фазовый множитель (|η| = 1) может как зависеть, так и не зависеть от проекции спина σ. Чтобы показать, что ησ не зависит от σ, заметим, что из (2.5.8), (2.5.20) и (2.5.21) следует формула

где j — спин частицы. Действуя оператором P на обе части этого

равенства, имеем

ησ = ησ ±1 ,

òàê ÷òî ησ действительно не зависит от σ. Поэтому можно записать

где фазовый множитель η носит название внутренней четности,

зависящей только от типа частицы, на волновую функцию которой действует оператор P.

Чтобы перейти к состояниям с конечным импульсом, следует подействовать на состояние унитарным оператором U(L(p)), соответствующим «бусту» (2.5.24):

Ψp,σ = Mp0 U(L(p))Ψk,σ .

Заметим, что

PL(p)P −1 = L(Pp),

Pp = (− p,p2 + M2 ).

так что, пользуясь (2.6.1) и (2.6.15), находим:

T: M >0

Из уравнений (2.6.10), (2.6.12) и (2.6.13) следует, что действие T на одночастичное состояние с нулевым импульсом Ψk,σ приводит

к состоянию со следующими свойствами:

P(TΨk,σ ) = 0 ,

H(TΨk,σ ) = M(TΨk,σ ) ,

J3 (TΨk,σ ) = −σ(TΨk,σ ) ,

òàê ÷òî

TΨk,σ = ζσ Ψk,−σ ,

ãäå ζσ — фазовый множитель. Применяя оператор T к (2.6.14) и вспоминая, что T антикоммутирует не только с J, но и c i,

находим:

(−J1 ± iJ2 )ζσ Ψk,−σ = (j m σ)(j ± σ + 1)ζσ ±1Ψk,−σ ±1 .

Снова используя в левой части равенства соотношение (2.6.14), видим, что квадратные корни сокращаются и

−ζσ = ζσ ±1 .

Решением последнего уравнения является ζσ = ζ(−)j−σ , ãäå ζ —

некоторый другой фазовый множитель, зависящий только от типа

Однако в противоположность «внутренней четности» η фазовый множитель операции обращения времени ζ физически несущест-

венен. Этот вывод следует из того, что всегда можно переопределить одночастичные состояния, изменив их фазу:

так что фазовый множитель ζ исчезает из закона преобразования:

В последующем изложении мы сохраним произвольный фазовый множитель ζ в (2.6.17), чтобы не ограничивать возможности выбора

фазы одночастичных состояний. Однако следует помнить, что эта фаза на самом деле не имеет значения.

Чтобы построить состояния с конечным импульсом, вновь действуем «бустом» (2.5.24). Заметим, что

T L(p)T −1 = L(Pp) ,

Pp = (−p, p2 + M2 ) .

(Это означает, что изменение знака каждого элемента Λμν ñ

нечетным числом временных индексов эквивалентно изменению знака эле-ментов с нечетным числом пространственных индексов.) С помощью (2.6.2) и (2.5.5) находим:

выше, это показывает, что существование симметрии относительно пространственной инверсии требует, чтобы каждый тип безмассовых частиц с ненулевой спиральностью обязательно имел партнера с противоположной спиральностью. Так как P не оставляет инва-

риантным стандартный импульс, удобно вместо этого рассмотреть оператор U(R2−1)P, ãäå R2 — вращение, также переводящее k в P k. Его удобно выбрать как вращение на угол −180° вокруг оси y: